Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.
Хабибуллина Альфия Якубовна ,
учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177
города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,
кандидат педагогических наук.
Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида P n (x)=0, где P n (x) - многочлен степени n, т.е. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Определение 2. Корень уравнения – числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.
Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением .
Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.
Замечание : вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.
Пути разложения многочлена на множители :
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2.
Квадратный трехчлен
можно разложить на множители с помощью формулы ах
2
+вх+с=а(х-х
1
)(х-х
2
),
где а
0, х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена.
3. Использование формул сокращенного умножения :
а n – в n = (а - в)(а n-1 + Сn- 2 а n-2 в + Сn- 3 а n-3 в + …+ С 1 а в n-2 +в n-1), n
N.
Выделение полного квадрата . Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.
4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).
5. Использование следствия теоремы Безу .
1)если уравнение а 0 х n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n = 0 , a 0 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х 0 =
(где - несократимая дробь, p
q
), то p –делитель свободного члена a n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 .
2)если х = х 0 – корень уравнения Р n (х) = 0, то Р n (х) = 0 равносильно уравнению
(х – х 0)Р n-1 (х)=0, где Р n-1 (х) – многочлен, который можно найти при делении
Р n (х) на (х – х 0) “уголком” или методом неопределенных коэффициентов.
II . Метод введения новой переменной (Подстановка )
Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем 
. Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка
). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t 1 , t 2 , … Вернувшись в подстановку р(x)=t 1 , р(x)=t 2 ,…, находим значения переменной х.
III Метод строгой монотонности.
Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)
Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.
IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)
Теорема
Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)
а, и g(x)
а, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе 
.
Следствие
: Если на множестве Р 
или 
, то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.
Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений
V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов
Рассмотрим уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Теорема.
Если x 0 = 
- корень алгебраического уравнения степени n, а i – целые коэффициенты, то p – делитель свободного члена а n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 . При а 0 =1 x 0 =p (делитель свободного члена).
Следствие теоремы Безу: Если х 0 – корень алгебраического уравнения, то P n (x) делится на (x-x 0) без остатка, т.е P n (x)=(x-x 0)Q n-1 (x).
VI Метод неопределенных коэффициентов.
Он базируется на следующих утверждениях:
два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.
любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов
второй степени.
VII. Схема Горнера .
С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.
VIII . Метод производных.
Теорема.
Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для 
x
R.
Tеорема
. Если 
(x) и 
(x) делятся на 
, то (x) делится на 
.
Следствие
: Если (x) и (x) делятся на многочлен R(x) , то (x) делится на 
(x), а наибольший общий делитель многочленов (x) и (x)
имеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена (x) кратностью не менее 2.
IX . Симметрические, возвратные уравнения .
Определение
. Уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 называется симметрическим
, если 
1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если 
, тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на 
0 
+
+
+
=0 Введем замену t=
и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.
2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда 
= -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на 
и получаем случай 1.. Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется Преобразуем алгебраическое уравнение P n (x)=0 (где P n (x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.
Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.
Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).
4.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:
х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,
х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .
Решение примеров
Пример 1.
Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение.
По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.
Ответ: R = 0.
Пример 2.
Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2
2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:
(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.
Пример 1.
(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.
Решение:
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х 2 + х + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:
х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;
х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;
Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример 1.
х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:
(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.
(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.
(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.
х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,
{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.
Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами
Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n - 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .
Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n - 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 на x - x 1 .
Подставляем остальные выписанные делители в P n - 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 .Здесь P n - 2 (x) будет частным от деления P n - 1 (x) на x - x 2 .
Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Здесь P n - m (x) является многочленом n - m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.
Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.
У нас в итоге получилось уравнение P n - m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.
Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.
Пример 1
Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Решение
Начнем с нахождений целых корней.
У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , - 1 , 3 и - 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.
При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.
Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (х - 1) в столбик:
Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0
У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный - 1 .
Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:
Получаем, что
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.
Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .
D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11 < 0
Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.
В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
После нахождения следующего корня, равного - 1 , мы получаем следующее:
Ответ: х = - 1 , х = 1 , x = - 1 2 ± i 11 2 .
Пример 2
Условие: решите уравнение x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 .
Решение
У свободного члена есть делители 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Проверяем их по порядку:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0
Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2 , воспользовавшись схемой Горнера:
В итоге мы получим x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0
Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:
В итоге получим (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.
Решим квадратное уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3 < 0
Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Ответ : x = - 3 2 ± i 3 2 .
Пример 3
Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 действительные корни.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0
Заменяем переменные y = 2 x:
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = - 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2 .
Ответ: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике довольно часто встречаются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо:
Определить рациональные корни уравнения;
Разложить на множители многочлен, который находится в левой части уравнения;
Найти корни уравнения.
Допустим, нам дано уравнение следующего вида:
Найдем все действительные его корни. Умножим левую и правую части уравнения на \
Выполним замену переменных \
Таким образом, у нас получилось приведенное уравнение четвертой степени, которое решается по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня \ и два комплексных. Получим следующий ответ нашего уравнения четвертой степени:
Где можно решить уравнение высших степеней онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
