ሞጁል ሁሉም ሰው የሰማው ከሚመስሉት ነገሮች አንዱ ነው, ነገር ግን በእውነቱ ማንም በትክክል የሚረዳው የለም. ስለዚህ፣ ዛሬ ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን ለመፍታት የተዘጋጀ ትልቅ ትምህርት ይኖራል።
ወዲያውኑ እነግራችኋለሁ: ትምህርቱ ቀላል ይሆናል. በአጠቃላይ, ሞጁሎች በአጠቃላይ በአንጻራዊነት ቀላል ርዕስ ናቸው. "አዎ, በእርግጥ, ቀላል ነው! አእምሮዬ እንዲፈነዳ ያደርገዋል!" - ብዙ ተማሪዎች ይላሉ, ነገር ግን እነዚህ ሁሉ የአንጎል እረፍቶች ብዙ ሰዎች በጭንቅላታቸው ውስጥ እውቀት ስለሌላቸው ነው, ነገር ግን አንድ ዓይነት ቆሻሻ ነው. እና የዚህ ትምህርት አላማ ቆሻሻን ወደ እውቀት መቀየር ነው። :)
የንድፈ ሀሳብ ትንሽ
ስለዚህ እንሂድ. በጣም አስፈላጊ በሆነው እንጀምር፡ ሞጁል ምንድን ነው? እስቲ ላስታውስህ የቁጥር ሞጁል በቀላሉ ተመሳሳይ ቁጥር ነው ነገር ግን ያለ ቅነሳ ምልክት ይወሰዳል። ይህም ለምሳሌ, $\ግራ| -5 \ቀኝ|=5$ ወይም $\ግራ| -129.5\ቀኝ=129.5$.
ይህን ያህል ቀላል ነው? አዎ ቀላል። የአዎንታዊ ቁጥር ሞጁሎች ምንድ ናቸው? እዚህ የበለጠ ቀላል ነው፡ የአዎንታዊ ቁጥር ሞጁሎች ራሱ ከዚህ ቁጥር ጋር እኩል ነው፡ $\ግራ| 5\ቀኝ|=5$; $\ግራ| 129.5 \ቀኝ|=129.5$ ወዘተ
አንድ አስገራሚ ነገር ይወጣል-የተለያዩ ቁጥሮች አንድ አይነት ሞጁል ሊኖራቸው ይችላል. ለምሳሌ: $\ግራ| -5 \ቀኝ|=\ግራ| 5\ቀኝ|=5$; $\ግራ| -129.5 \ቀኝ|=\ግራ| 129.5 \ቀኝ|=129.5$። ሞጁሎቹ አንድ ዓይነት ሲሆኑ እነዚህ ምን ዓይነት ቁጥሮች እንደሆኑ ለማየት ቀላል ነው-እነዚህ ቁጥሮች ተቃራኒዎች ናቸው. ስለዚህ ፣ የተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል መሆናቸውን ለራሳችን እናስተውላለን-
\[\ግራ| -a \ቀኝ|=\ግራ| አ\ቀኝ|\]
ሌላው ጠቃሚ እውነታ፡- ሞዱል ፈጽሞ አሉታዊ አይደለም. የምንወስደው ቁጥር ምንም ይሁን ምን - አወንታዊ ፣ አሉታዊም ቢሆን - ሞጁሉ ሁል ጊዜ ወደ አወንታዊ ይሆናል (ወይም በከባድ ሁኔታዎች ፣ ዜሮ)። ለዚህም ነው ሞጁሉስ ብዙውን ጊዜ የቁጥር ፍፁም እሴት ተብሎ የሚጠራው።
በተጨማሪም የሞጁሉን ፍቺ ለአዎንታዊ እና አሉታዊ ቁጥር ካዋሃድነው ለሁሉም ቁጥሮች የሞጁሉን ዓለም አቀፋዊ ፍቺ እናገኛለን። ይኸውም: የቁጥር ሞጁል ከዚህ ቁጥር ጋር እኩል ነው, ቁጥሩ አዎንታዊ (ወይም ዜሮ) ከሆነ, ወይም ከተቃራኒው ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ, ቁጥሩ አሉታዊ ከሆነ. ይህንን እንደ ቀመር መጻፍ ይችላሉ-
በተጨማሪም ዜሮ ሞጁል አለ, ግን ሁልጊዜ ነው ዜሮ. በተጨማሪም ዜሮ ተቃራኒ የሌለው ብቸኛው ቁጥር ነው።
ስለዚህም $y=\ግራ| የሚለውን ተግባር ካጤንን። x \right|$ እና ግራፉን ለመሳል ይሞክሩ ፣ እንደዚህ ያለ “daw” ያገኛሉ፡-
ሞዱሉስ ግራፍ እና እኩልታ የመፍትሄ ምሳሌ
ከዚህ ምስል ወዲያውኑ ያንን $\ግራ| ማየት ይችላሉ። -m \ቀኝ|=\ግራ| m \right|$፣ እና የሞጁሉ ሴራ ከ x-ዘንግ በታች በጭራሽ አይወድቅም። ግን ያ ብቻ አይደለም፡ ቀይ መስመር ቀጥታ መስመር $y=a$ን ያመላክታል፣ እሱም በአዎንታዊ $a$፣ በአንድ ጊዜ ሁለት ስር ይሰጠናል፡ $((x)__(1))$ እና $(((x)) _(2))$፣ ግን ስለዚያ በኋላ እንነጋገራለን :)
ከንፁህ በላይ የአልጀብራ ትርጉም, ጂኦሜትሪክ ነው. በቁጥር መስመር ላይ ሁለት ነጥቦች አሉ እንበል፡- $((x)__(1))$ እና $((x)__(2))$። በዚህ አጋጣሚ $\ግራ| የሚለው አገላለጽ ((x)_(1))-((x)__(2)) \ቀኝ|$ በተጠቀሱት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ብቻ ነው። ወይም፣ ከፈለጉ፣ እነዚህን ነጥቦች የሚያገናኘው የክፍሉ ርዝመት፡-
ሞዱሉስ በቁጥር መስመር ላይ ባሉ ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ነው በተጨማሪም ከዚህ ፍቺ መሰረት ሞጁሉስ ሁል ጊዜ አሉታዊ ያልሆነ ነው. ግን በቂ ትርጓሜዎች እና ቲዎሪ - ወደ እውነተኛ እኩልታዎች እንሂድ። :)
መሰረታዊ ቀመር
እሺ፣ ትርጉሙን አውጥተናል። ግን ምንም ቀላል አልነበረም። ይህን ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?
ተረጋጋ፣ ዝም ብለህ ተረጋጋ። በጣም ቀላል በሆኑ ነገሮች እንጀምር. ይህን የመሰለ ነገር አስቡበት፡-
\[\ግራ| x\ቀኝ=3\]
ስለዚህ ሞዱሎ$x$ 3. $x$ ከምን ጋር እኩል ሊሆን ይችላል? እንግዲህ፣ በትርጉሙ ስንገመግም፣ $x=3$ ጥሩ ይሆነናል። በእውነት፡-
\[\ግራ| 3\ቀኝ=3\]
ሌሎች ቁጥሮች አሉ? ካፕ እንዳለ የሚጠቁም ይመስላል። ለምሳሌ፣ $x=-3$ — $\ግራ| -3 \ቀኝ|=3$፣ i.e. የሚፈለገው እኩልነት ረክቷል.
ስለዚህ ምናልባት ከፈለግን, ካሰብን, ተጨማሪ ቁጥሮች እናገኛለን? ግን ተለያዩ፡ ተጨማሪ ቁጥሮች የሉም። እኩልታ $\ግራ| x \right|=3$ ሁለት ሥር ብቻ ነው ያለው፡$x=3$ እና $x=-3$።
አሁን ስራውን ትንሽ እናወሳስበው። ከተለዋዋጭ $ x$ ይልቅ $ f \ ግራ(x \ ቀኝ) $ በሞጁል ምልክት ስር ይንጠለጠል ፣ በቀኝ በኩል ፣ ከሦስት እጥፍ ይልቅ ፣ የዘፈቀደ ቁጥር $ a$ እናስቀምጣለን። ቀመር እናገኛለን፡-
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=a\]
ደህና፣ እንዴት ነው የምትወስነው? ላስታውስህ፡$ f\ግራ(x \ቀኝ)$ የዘፈቀደ ተግባር ነው፣ $a$ ማንኛውም ቁጥር ነው። እነዚያ። ለማንኛውም! ለምሳሌ:
\[\ግራ| 2x+1 \ቀኝ=5\]
\[\ግራ| 10x-5 \ቀኝ|=-65\]
ሁለተኛውን እኩልታ እንይ። ወዲያውኑ ስለ እሱ መናገር ይችላሉ: እሱ ሥሮች የሉትም. ለምን? ልክ ነው፡ ምክንያቱም ሞጁሉን ሁል ጊዜ አወንታዊ ቁጥር ወይም በከፋ ሁኔታ ዜሮ መሆኑን ስለምናውቅ ሞጁሉን ከአሉታዊ ቁጥር ጋር እኩል እንዲሆን ስለሚፈልግ በጭራሽ አይከሰትም።
ነገር ግን ከመጀመሪያው እኩልነት, ሁሉም ነገር የበለጠ አስደሳች ነው. ሁለት አማራጮች አሉ-በሞጁል ምልክት ስር አዎንታዊ አገላለጽ አለ ፣ እና ከዚያ $ \ ግራ| 2x+1 \right|=2x+1$፣ ወይም ይህ አገላለጽ አሁንም አሉታዊ ነው፣ በዚህ አጋጣሚ $\ግራ| 2x+1 \ቀኝ|=-\ግራ(2x+1 \ቀኝ)=-2x-1$። በመጀመሪያው ሁኔታ የእኛ እኩልነት እንደሚከተለው ይጻፋል፡-
\[\ግራ| 2x+1 \ቀኝ|=5\ቀኝ ቀስት 2x+1=5\]
እና በድንገት የንዑስ ሞዱል አገላለጽ $2x+1$ በእርግጥ አዎንታዊ ነው - ከቁጥር 5 ጋር እኩል ነው። ይህንን እኩልነት በደህና መፍታት እንችላለን - የተገኘው ሥሩ የመልሱ ቁራጭ ይሆናል-
በተለይም የማይታመኑ ሰዎች የተገኘውን ሥር ወደ መጀመሪያው እኩልታ ለመተካት መሞከር እና በእውነቱ በሞጁሉ ስር አዎንታዊ ቁጥር እንደሚኖር ያረጋግጡ።
አሁን የአሉታዊ ንዑስ ሞዱል አገላለጽ ሁኔታን እንመልከት፡-
\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)& \ግራ| 2x+1 \ቀኝ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ\ቀኝ\ቀኝ-2x-1=5 \ ቀኝ ቀስት 2x+1=-5\]
ውይ! እንደገና, ሁሉም ነገር ግልጽ ነው: እኛ $2x+1 \lt 0$ ብለን ገምተናል, እና በውጤቱም ያንን $2x+1=-5$ አገኘን - በእርግጥ ይህ አገላለጽ ከዜሮ ያነሰ ነው. የተገኘው ሥሩ እንደሚስማማን አስቀድሞ እያወቅን የተፈጠረውን እኩልታ እንፈታለን።
በድምሩ፣ ሁለት መልሶችን በድጋሚ ተቀብለናል፡-$x=2$ እና $x=3$። አዎ፣ የስሌቶቹ መጠን በጣም ቀላል ከሆነው $\ግራ| ጋር ካለው ስሌት ትንሽ የበለጠ ሆኖ ተገኝቷል x \right|=3$፣ ግን በመሠረቱ ምንም አልተለወጠም። ስለዚህ ምናልባት አንድ ዓይነት ሁለንተናዊ አልጎሪዝም አለ?
አዎ, እንደዚህ አይነት ስልተ ቀመር አለ. እና አሁን እንመረምራለን.
የሞጁሉን ምልክት ማስወገድ
እኩልታው $\ግራ| ይሰጠን f\left(x \right) \right|=a$ እና $a\ge 0$ (አለበለዚያ ቀደም ብለን እንደምናውቀው ሥረ-ሥሮች የሉም)። ከዚያ በሚከተለው ደንብ መሠረት የሞዱሎ ምልክትን ማስወገድ ይችላሉ-
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=a\ቀኝ ቀስት f\ግራ(x \ቀኝ)=\pm a\]
ስለዚህ፣ ከሞጁሉ ጋር ያለን እኩልታ ለሁለት ይከፈላል፣ ግን ያለ ሞጁሉስ። ያ አጠቃላይ ቴክኖሎጂ ነው! ሁለት እኩልታዎችን ለመፍታት እንሞክር። በዚህ እንጀምር
\[\ግራ| 5x+4 \ቀኝ|=10\ቀኝ ቀስት 5x+4=\pm 10\]
በቀኝ በኩል ፕላስ ያለው አስር ሲኖር እና ሲቀነስ ለየብቻ እንመለከታለን። እና አለነ:
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& 5x+4=10\ ቀኝ ቀስት 5x=6\ቀኝ ቀስት x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\ ቀኝ ቀስት 5x=-14\ቀኝቀስት x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ይኼው ነው! ሁለት ስሮች አሉን: $ x = 1.2 $ እና $ x = -2.8 $. ሙሉው መፍትሄ በትክክል ሁለት መስመሮችን ወስዷል.
እሺ፣ ምንም ጥያቄ የለም፣ እስቲ ትንሽ የበለጠ ከባድ ነገር እንመልከት፡-
\[\ግራ| 7-5x \ቀኝ=13\]
እንደገና፣ ሞጁሉን በፕላስ እና በመቀነስ ይክፈቱ፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& 7-5x=13\ ቀኝ -5x=6\ቀኝ x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\ ቀኝ -5x=-20\ቀኝ x=4። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
እንደገና ሁለት መስመሮች - እና መልሱ ዝግጁ ነው! እንደተናገርኩት በሞጁሎች ውስጥ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. ጥቂት ደንቦችን ማስታወስ ብቻ ያስፈልግዎታል. ስለዚህ ወደ ፊት እንሄዳለን እና በጣም ከባድ በሆኑ ስራዎች እንቀጥላለን።
ተለዋዋጭ የቀኝ ጎን መያዣ
አሁን ይህንን ቀመር አስቡበት፡-
\[\ግራ| 3x-2 \ቀኝ=2x\]
ይህ እኩልታ በመሠረቱ ከቀዳሚዎቹ ሁሉ የተለየ ነው። እንዴት? እና $ 2x$ የሚለው አገላለጽ ከእኩል ምልክት በቀኝ በኩል - እና አዎንታዊ ወይም አሉታዊ መሆኑን አስቀድመን ማወቅ አንችልም.
በዚህ ጉዳይ ላይ እንዴት መሆን እንደሚቻል? በመጀመሪያ፣ ያንን ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ መረዳት አለብን የእኩልታው የቀኝ ጎን አሉታዊ ከሆነ ፣ እኩልዮቱ ምንም ሥሮች አይኖረውም።- ሞጁሉ ከአሉታዊ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን እንደማይችል አስቀድመን አውቀናል.
በሁለተኛ ደረጃ ፣ ትክክለኛው ክፍል አሁንም አዎንታዊ ከሆነ (ወይም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ) ፣ ከዚያ ልክ እንደበፊቱ በተመሳሳይ መንገድ መቀጠል ይችላሉ-ሞጁሉን ከመደመር ምልክት ጋር እና በተናጥል በመቀነስ ምልክት ይክፈቱ።
ስለዚህም የዘፈቀደ ተግባራትን $f\ግራ(x \ቀኝ)$ እና $g\ግራ(x \ቀኝ)$
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=g\ግራ(x \ቀኝ)\ቀኝ \ግራ\(\ጀማሪ(align)& f\ግራ(x \ቀኝ)=\pm g\ግራ(x \ቀኝ) ), \\& g\ግራ(x \ቀኝ)\ge 0. \\\ መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
የእኛን እኩልነት በተመለከተ፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
\[\ግራ| 3x-2 \ቀኝ|=2x\ቀኝ ቀስት \ግራ\( \ጀምር(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\ end(align) \ right\\]
ደህና፣ የ$2x\ge 0$ መስፈርት በሆነ መንገድ ማስተናገድ እንችላለን። በመጨረሻ ፣ ከመጀመሪያው ስሌት የምናገኛቸውን ሥሮች በሞኝነት መተካት እና እኩልነት መያዙን እና አለመሆኑን ማረጋገጥ እንችላለን።
ስለዚህ እኩልታውን እራሱ እንፈታው፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& 3x-2=2\ቀኝ ቀስት 3x=4\ቀኝ x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\ ቀኝ ቀስት 3x=0\ቀኝ x=0። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ደህና፣ ከእነዚህ ሁለት ሥሮች መካከል $2x\ge 0$ን የሚያሟላው የትኛው ነው? አዎ ሁለቱም! ስለዚህ, መልሱ ሁለት ቁጥሮች ይሆናል: $ x=(4)/(3)\;$ እና $x=0$. መፍትሄው ያ ነው። :)
ከተማሪዎቹ አንዱ መሰላቸት እንደጀመረ እገምታለሁ? ደህና፣ ይበልጥ ውስብስብ የሆነውን እኩልታ አስቡበት፡-
\[\ግራ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \ቀኝ|=x-(((x)^(3))\]
ምንም እንኳን ክፋት ቢመስልም ፣ በእውነቱ ፣ “ሞዱለስ እኩል ተግባር” የቅጹ ተመሳሳይ እኩልታ ነው፡-
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=g\ግራ(x \ቀኝ)\]
እና በተመሳሳይ መንገድ ተፈትቷል-
\[\ግራ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \ቀኝ|=x-((((x)^(3))\ቀኝ ቀስት \ግራ\( \ጀምር(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \ግራ(x-(((x)^(3)) \ቀኝ)፣ \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
በኋላ ላይ እኩልነትን እናስተናግዳለን - በሆነ መንገድ በጣም ጨካኝ ነው (በእውነቱ ቀላል ፣ ግን አንፈታውም)። ለአሁን፣ የተፈጠሩትን እኩልታዎች እንመልከት። የመጀመሪያውን ጉዳይ ግምት ውስጥ ያስገቡ - ይህ ሞጁሉ በመደመር ምልክት ሲሰፋ ነው-
\[(((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
ደህና, እዚህ በግራ በኩል ሁሉንም ነገር መሰብሰብ ያስፈልግዎታል, ተመሳሳይ የሆኑትን ይዘው ይምጡ እና ምን እንደሚፈጠር ይመልከቱ. እና የሆነው ይህ ነው፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\ & 2 ((x)^ (3))-3 ((x)^ (2)) = 0; \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የጋራ ፋክተር $((x)^(2))$ን ከቅንፉ ውስጥ በማስቀመጥ በጣም ቀላል ቀመር እናገኛለን፡-
\[(((x)^(2))\ግራ(2x-3 \ቀኝ)=0\ቀኝ ቀስት \ግራ[\ጀምር(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]
\[(((x)__(1))=0፤\quad ((x)__(2)=\frac(3)(2)=1.5።\]
እዚህ የምርቱን ጠቃሚ ንብረት ተጠቀምን ፣ ለዚህም ፣ ዋናውን ፖሊኖሚል ለይተናል-ምርቱ ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።
አሁን ፣ በተመሳሳይ መንገድ ፣ ሞጁሉን በመቀነስ ምልክት በማስፋፋት የሚገኘውን ሁለተኛውን እኩልታ እናስተናግዳለን ።
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\ግራ(x-((((x)^(3))) \ቀኝ); \\& (((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ግራ(-3x+2 \ቀኝ)=0። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
በድጋሚ, ተመሳሳይ ነገር: ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ዜሮ ሲሆኑ ምርቱ ዜሮ ነው. እና አለነ:
\[\ግራ[\ጀማሪ(አሰላለፍ)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]
ደህና, ሶስት ስርወ- $ x=0$, $x=1.5$ እና $x=(2)/(3)\;$. ደህና፣ ከዚህ ስብስብ ወደ መጨረሻው መልስ ምን ይገባል? ይህንን ለማድረግ, ተጨማሪ የእኩልነት ገደብ እንዳለን ያስታውሱ.
ይህንን መስፈርት እንዴት ግምት ውስጥ ማስገባት እንደሚቻል? የተገኙትን ሥሮች እንተካ እና የእኩልነት አለመመጣጠን ለእነዚህ $x$ መያዙን ወይም አለመሆኑን እንፈትሽ። እና አለነ:
\[\ጀምር (አሰላለፍ)& x=0\ቀኝ ቀስት x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\ቀኝ ቀስት x-(((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\ቀኝ ቀስት x-(((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ስለዚህም $x=1.5$ ስርወ አይስማማንም። እና በምላሹ ሁለት ሥሮች ብቻ ይሄዳሉ-
\[(((x)__(1))=0፤\quad ((x)__(2))=\frac(2)(3)።\]
እንደሚመለከቱት, በዚህ ሁኔታ ውስጥ እንኳን ምንም አስቸጋሪ ነገር አልነበረም - ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎች ሁልጊዜ በአልጎሪዝም መሰረት ይፈታሉ. ስለ ፖሊኖሚሎች እና አለመመጣጠን ጥሩ ግንዛቤ እንዲኖርዎት ብቻ ያስፈልግዎታል። ስለዚህ, ወደ ውስብስብ ስራዎች እንሄዳለን - ቀድሞውኑ አንድ ሳይሆን ሁለት ሞጁሎች አይኖሩም.
ከሁለት ሞጁሎች ጋር እኩልታዎች
እስካሁን ድረስ, በጣም ቀላል የሆኑትን እኩልታዎች ብቻ አጥንተናል - አንድ ሞጁል እና ሌላ ነገር ነበር. ይህንን "ሌላ ነገር" ከሞጁሉ ርቀን ወደ ሌላ እኩልነት ክፍል ልከናል, ስለዚህም በመጨረሻ ሁሉም ነገር ወደ እኩልነት እንዲቀንስ $\ ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=g\ግራ(x \ቀኝ)$ ወይም እንዲያውም ቀላል $\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=a$።
ግን ኪንደርጋርደንበላይ - የበለጠ ከባድ የሆነውን ነገር ግምት ውስጥ ማስገባት ጊዜው አሁን ነው። እንደዚህ ባሉ እኩልታዎች እንጀምር፡-
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=\ግራ| g\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|\]
ይህ "ሞጁሉ ከሞጁሉ ጋር እኩል ነው" የቅጹ እኩልታ ነው. አንድ መሠረታዊ አስፈላጊ ነጥብ ሌሎች ውሎች እና ሁኔታዎች አለመኖር ነው: በግራ አንድ ሞጁል ብቻ, በቀኝ አንድ ተጨማሪ ሞጁል - እና ምንም ተጨማሪ.
አንድ ሰው አሁን ካጠናነው ይልቅ እንደነዚህ ያሉ እኩልታዎች ለመፍታት በጣም አስቸጋሪ ናቸው ብሎ ያስባል. ግን አይሆንም፡ እነዚህ እኩልታዎች ይበልጥ ቀላል ናቸው. ቀመሩ ይኸውና፡-
\[\ግራ| f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=\ግራ| g\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|\ቀኝ ቀስት f\ግራ(x \ቀኝ)=\pm g\ግራ(x \ቀኝ)\]
ሁሉም ነገር! የንዑስ ሞዱል አገላለጾችን ከመካከላቸው አንዱን በመደመር ወይም በመቀነስ ምልክት በማስቀደም እናመሳስላቸዋለን። እና ከዚያ የተገኘውን ሁለት እኩልታዎች እንፈታለን - እና ሥሮቹ ዝግጁ ናቸው! ምንም ተጨማሪ ገደቦች የሉም, ምንም እኩልነት የለም, ወዘተ. ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው.
ይህን ችግር ለመፍታት እንሞክር፡-
\[\ግራ| 2x+3 \ቀኝ|=\ግራ| 2x-7 \ቀኝ|\]
አንደኛ ደረጃ ዋትሰን! ሞጁሎችን መክፈት;
\[\ግራ| 2x+3 \ቀኝ|=\ግራ| 2x-7 \ቀኝ|\ቀኝ ቀስት 2x+3=\pm \በግራ(2x-7 \በቀኝ)\]
እያንዳንዱን ጉዳይ ለየብቻ እንመልከታቸው፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& 2x+3=2x-7\ ቀኝ ቀስት 3=-7\ ቀኝ ቀስት \emptyset; \\& 2x+3=-\ ግራ(2x-7 \በቀኝ)\ቀኝ ቀስት 2x+3=-2x+7። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የመጀመሪያው እኩልታ ሥር የለውም. ምክንያቱም $3=-7$ መቼ ነው? ለየትኞቹ የ$x$ ዋጋዎች? "ምን ፌክ $x$ ነው? በድንጋይ ተወግረዋል? ምንም $x$ የለም” ትላለህ። እና ትክክል ትሆናለህ. በተለዋዋጭ $ x$ ላይ የማይመካ እኩልነት አግኝተናል, እና በተመሳሳይ ጊዜ እኩልነት እራሱ የተሳሳተ ነው. ለዚያም ነው ሥሮች የሉትም.
በሁለተኛው እኩልታ ፣ ሁሉም ነገር ትንሽ የበለጠ አስደሳች ነው ፣ ግን ደግሞ በጣም ፣ በጣም ቀላል ነው-
እንደሚመለከቱት ፣ ሁሉም ነገር በጥሬው በሁለት መስመር ተወስኗል - ከመስመራዊ እኩልታ ሌላ ምንም ነገር አልጠበቅንም ። :)
በውጤቱም, የመጨረሻው መልስ: $ x=1$ ነው.
ደህና ፣ እንዴት? የተወሳሰበ? በጭራሽ. ሌላ ነገር እንሞክር፡-
\[\ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| ((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ|\]
እንደገና እንደ $\ግራ| እኩልነት አለን። f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=\ግራ| g\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|$. ስለዚህ የሞጁሉን ምልክት በመግለጥ ወዲያውኑ እንደገና እንጽፋለን-
\[(((x)^(2))-3x+2=\pm \በግራ(x-1 \ቀኝ)\]
ምናልባት አንድ ሰው አሁን እንዲህ ብሎ ይጠይቃል፡- “ሄይ፣ ምን አይነት ከንቱ ነገር ነው? ለምን ፕላስ-መቀነስ በቀኝ በኩል እና በግራ በኩል አይደለም? ተረጋጋ, ሁሉንም ነገር እገልጻለሁ. በእርግጥ፣ በጥሩ ሁኔታ፣ የእኛን እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንደገና መፃፍ ነበረብን።
ከዚያም ማቀፊያዎቹን መክፈት ያስፈልግዎታል, ሁሉንም ቃላቶች ከተመሳሳይ ምልክት ወደ አንድ አቅጣጫ ያንቀሳቅሱ (ስለ እኩልታው, ግልጽ በሆነ መልኩ, በሁለቱም ሁኔታዎች ካሬ ይሆናል) እና ከዚያም ሥሮቹን ያግኙ. ነገር ግን መቀበል አለብዎት: "ፕላስ-minus" በሶስት ቃላት ፊት ለፊት (በተለይ ከነዚህ ቃላት ውስጥ አንዱ የካሬ አገላለጽ ከሆነ) "ፕላስ-minus" በሁለት ፊት ለፊት ብቻ ከሆነው ሁኔታ የበለጠ የተወሳሰበ ይመስላል. ውሎች
ነገር ግን ዋናውን እኩልነት በሚከተለው መልኩ እንዳንጽፈው ምንም ነገር አይከለክልንም፡
\[\ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| ((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ|\ቀኝ ቀስት \ ግራ| ((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ|=\ግራ| x-1 \ቀኝ|\]
ምን ተፈጠረ? አዎ፣ ምንም የተለየ ነገር የለም፡ የግራ እና የቀኝ ጎኖቹን ብቻ ቀይረዋቸዋል። ትንሽ ፣ በመጨረሻ ህይወታችንን ትንሽ ቀላል ያደርገዋል። :)
በአጠቃላይ፣ አማራጮችን በመደመር እና በመቀነስ ግምት ውስጥ በማስገባት ይህንን እኩልነት እንፈታዋለን፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\ ቀኝ ቀስት ((x)^(2))-4x+3=0; \\& (((x)^(2))-3x+2=-\ግራ(x-1 \ቀኝ)\ቀኝ ቀስት ((x)^(2))-2x+1=0። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
የመጀመሪያው እኩልታ $x=3$ እና $x=1$ ስር አለው። ሁለተኛው በአጠቃላይ ትክክለኛ ካሬ ነው፡-
\[(((x)^(2))-2x+1=((\ግራ(x-1 \ቀኝ)))^(2))\]
ስለዚህ, አንድ ነጠላ ሥር አለው: $ x=1$. ግን ይህን ሥር ቀደም ብለን ተቀብለነዋል. ስለዚህ ፣ ወደ መጨረሻው መልስ ሁለት ቁጥሮች ብቻ ይገባሉ-
\[(((x)__(1))=3;\quad ((x)__(2))=1።\]
ተልዕኮ ተጠናቋል! ከመደርደሪያው ወስደህ አንድ ኬክ መብላት ትችላለህ. ከእነሱ ውስጥ 2 አሉ፣ የእርስዎ አማካይ። :)
ጠቃሚ ማስታወሻ. ተመሳሳይ ሥሮች መኖራቸው የተለያዩ አማራጮችሞጁል መስፋፋት ማለት የመጀመሪያዎቹ ፖሊኖሚሎች ወደ ምክንያቶች ተበላሽተዋል, እና ከእነዚህ ምክንያቶች መካከል የግድ የተለመደ ይሆናል. በእውነት፡-
\[\ጀማሪ(አሰላለፍ)& \ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| ((x)^(2))-3x+2 \ቀኝ|; \\&\ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| \ግራ(x-1 \ቀኝ)\ግራ(x-2 \ቀኝ) \ቀኝ| \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ከሞጁል ባህሪያት አንዱ: $\ግራ| a\cdot b \ቀኝ|=\ግራ| a \ቀኝ|\cdot \ግራ| b \ right|$ (ይህም የምርቱ ሞጁል ነው። ከምርቱ ጋር እኩል ነውሞጁሎች)፣ ስለዚህ ዋናው እኩልታ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።
\[\ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| x-1 \ቀኝ|\cdot \ግራ| x-2 \ቀኝ|\]
እርስዎ እንደሚመለከቱት, እኛ በእርግጥ አንድ የጋራ ምክንያት አለን. አሁን ፣ ሁሉንም ሞጁሎች በአንድ በኩል ከሰበሰቡ ፣ ከዚያ ይህንን ማባዣ ከቅንፉ ማውጣት ይችላሉ-
\[\ጀማሪ(አሰላለፍ)& \ግራ| x-1 \ቀኝ|=\ግራ| x-1 \ቀኝ|\cdot \ግራ| x-2 \ቀኝ|; \\&\ግራ| x-1 \ቀኝ|-\ግራ| x-1 \ቀኝ|\cdot \ግራ| x-2 \ቀኝ|=0; \\&\ግራ| x-1 \ቀኝ|\cdot \ግራ(1-\ግራ| x-2 \ቀኝ| \ቀኝ|\ቀኝ)=0። \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ደህና፣ አሁን ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆኑ ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን እናስታውሳለን።
\[\ግራ[\ጀምር(align)& \ግራ| x-1 \ቀኝ|=0፣ \\& \ግራ| x-2 \ቀኝ|=1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]
ስለዚህ, ከሁለት ሞጁሎች ጋር ያለው የመጀመሪያው እኩልታ በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ ወደ ተነጋገርናቸው ሁለት ቀላል እኩልታዎች ቀንሷል. እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች በሁለት መስመሮች ብቻ ሊፈቱ ይችላሉ. :)
ይህ አስተያየት አላስፈላጊ ውስብስብ እና በተግባር የማይተገበር ሊመስል ይችላል። ሆኖም፣ እንደ እውነቱ ከሆነ፣ ዛሬ ከምንተነትናቸው በጣም የተወሳሰቡ ሥራዎች ሊያጋጥሙዎት ይችላሉ። በውስጣቸው, ሞጁሎች ከፖሊኖሚሎች, ከሂሳብ ስሮች, ሎጋሪዝም, ወዘተ ጋር ሊጣመሩ ይችላሉ. እና እንደዚህ ባሉ ሁኔታዎች ውስጥ አንድ ነገር ከቅንፉ ውስጥ በማስቀመጥ አጠቃላይ የእኩልታውን ደረጃ የመቀነስ ችሎታ በጣም እና በጣም ምቹ ሊሆን ይችላል። :)
አሁን ሌላ ቀመር መተንተን እፈልጋለሁ፣ እሱም በመጀመሪያ እይታ እብድ ሊመስል ይችላል። ብዙ ተማሪዎች በላዩ ላይ "ይጣበቃሉ" - ስለ ሞጁሎች ጥሩ ግንዛቤ እንዳላቸው የሚያምኑትም እንኳ።
ሆኖም፣ ይህ እኩልታ ቀደም ብለን ካየነው የበለጠ ለመፍታት ቀላል ነው። እና ለምን እንደሆነ ከተረዳህ ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን በፍጥነት ለመፍታት ሌላ ዘዴ ታገኛለህ።
ስለዚህ እኩልታው፡-
\[\ግራ| x-((x)^(3)) \ቀኝ|+\ግራ| ((x)^(2))+x-2 \ቀኝ|=0\]
አይ፣ ይህ የፊደል አጻጻፍ አይደለም፡ በ ሞጁሎች መካከል ፕላስ ነው። እና ለየትኛው $ x$ የሁለት ሞጁሎች ድምር ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ መፈለግ አለብን። :)
ችግሩ ምንድን ነው? እና ችግሩ እያንዳንዱ ሞጁል አወንታዊ ቁጥር ነው, ወይም በአስጊ ሁኔታ ውስጥ, ዜሮ ነው. ሁለት አዎንታዊ ቁጥሮች ሲጨምሩ ምን ይሆናል? በግልጽ፣ እንደገና አዎንታዊ ቁጥር፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& 5+7=12 \gt 0; \\ & 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ መጨረሻ(align)\]
የመጨረሻው መስመር አንድ ሀሳብ ሊሰጥዎት ይችላል፡ የሞዱሊው ድምር ዜሮ የሆነበት ብቸኛው ሁኔታ እያንዳንዱ ሞጁል ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፡-
\[\ግራ| x-((x)^(3)) \ቀኝ|+\ግራ| ((x)^(2))+x-2 \ቀኝ|=0\ቀኝ ቀስት \ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)& \ግራ| x-(((x)^(3)) \ቀኝ|=0፣ \\& \ግራ|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ\]
ሞጁሉ ከዜሮ ጋር እኩል የሚሆነው መቼ ነው? በአንድ ጉዳይ ላይ ብቻ - የንዑስ ሞዱል አገላለጽ ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ:
\[((((x)^(2))+x-2=0\ቀኝ ቀስት \ግራ(x+2 \ቀኝ)\ግራ(x-1 \ቀኝ)=0\ቀኝ ቀስት በግራ[\ጀምር(align)& x=-2 \\& x=1 \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ) \\ቀኝ\]
ስለዚህ, የመጀመሪያው ሞጁል ወደ ዜሮ የሚዘጋጅባቸው ሶስት ነጥቦች አሉን: 0, 1 እና -1; እንዲሁም ሁለተኛው ሞጁል ዜሮ የተደረገባቸው ሁለት ነጥቦች: -2 እና 1. ሆኖም ግን, ሁለቱም ሞጁሎች በአንድ ጊዜ ዜሮ እንዲሆኑ እንፈልጋለን, ስለዚህ ከተገኙት ቁጥሮች መካከል, በሁለቱም ስብስቦች ውስጥ የተካተቱትን መምረጥ አለብን. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እንደዚህ ያለ ቁጥር አንድ ብቻ ነው: $ x = 1 $ - ይህ የመጨረሻው መልስ ይሆናል.
የመከፋፈል ዘዴ
ደህና ፣ ቀደም ሲል ብዙ ስራዎችን ሸፍነናል እና ብዙ ዘዴዎችን ተምረናል። ያ ነው ብለው ያስባሉ? ግን አይደለም! አሁን የመጨረሻውን ዘዴ እንመለከታለን - እና በተመሳሳይ ጊዜ በጣም አስፈላጊ. ስለ ሞጁሎች እኩልታዎችን ስለመከፋፈል እንነጋገራለን. ምን ይብራራል? ትንሽ ወደ ኋላ እንመለስና አንዳንድ ቀላል እኩልታዎችን እናስብ። ለምሳሌ ይህ፡-
\[\ግራ| 3x-5\ቀኝ=5-3x\]
በመርህ ደረጃ, እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ እንዴት እንደሚፈታ አስቀድመን አውቀናል, ምክንያቱም መደበኛ $\ግራ| ነው f\ግራ(x \ቀኝ) \ቀኝ|=g\ግራ(x \ቀኝ)$። ግን ይህን እኩልነት ከተለየ አቅጣጫ ለማየት እንሞክር። ይበልጥ በትክክል, በሞጁል ምልክት ስር ያለውን አገላለጽ አስቡበት. እስቲ ላስታውስህ የማንኛውም ቁጥር ሞጁል ከራሱ ቁጥር ጋር እኩል ሊሆን ይችላል ወይም ከዚህ ቁጥር ጋር ተቃራኒ ሊሆን ይችላል፡
\[\ግራ| a \right|=\ግራ\(\ጀምር(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\ end(align) \ right.\]
እንደ እውነቱ ከሆነ, ይህ አሻሚነት አጠቃላይ ችግር ነው-በሞጁል ስር ያለው ቁጥር ስለሚቀየር (በተለዋዋጭው ላይ የተመሰረተ ነው), አዎንታዊ ወይም አሉታዊ እንደሆነ ለእኛ ግልጽ አይደለም.
ግን መጀመሪያ ላይ ይህ ቁጥር አዎንታዊ እንዲሆን ብንፈልግስ? ለምሳሌ ፣ $ 3x-5 \gt 0$ እንጠይቅ - በዚህ ሁኔታ ፣ በሞጁሉ ምልክት ስር አወንታዊ ቁጥር ለማግኘት ዋስትና ተሰጥቶናል ፣ እና ይህንን ሞጁል ሙሉ በሙሉ ማስወገድ እንችላለን-
ስለዚህ ፣ የእኛ እኩልነት ወደ መስመራዊ ፣ በቀላሉ የሚፈታ ይሆናል ።
እውነት ነው ፣ እነዚህ ሁሉ ታሳቢዎች ትርጉም የሚሰጡት በ $ 3x-5 \gt 0$ ሁኔታ ብቻ ነው - እኛ እራሳችን ሞጁሉን በማያሻማ ሁኔታ ለማሳየት ይህንን መስፈርት አስተዋውቀናል ። ስለዚህ የተገኘውን $x=\frac(5)(3)$ በዚህ ሁኔታ እንተካው እና ያረጋግጡ፡-
ለተጠቀሰው የ$x$ ዋጋ የእኛ መስፈርት አልተሟላም ፣ ምክንያቱም አገላለጽ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ተገኝቷል፣ እና ከዜሮ በጥብቅ እንዲበልጥ እንፈልጋለን። የተከፋ. :(
ግን ያ ደህና ነው! ደግሞም ሌላ አማራጭ አለ $3x-5 \lt 0$. ከዚህም በላይ: ጉዳዩም አለ $ 3x-5 = 0 $ - ይህ ደግሞ ግምት ውስጥ መግባት አለበት, አለበለዚያ መፍትሄው ያልተሟላ ይሆናል. ስለዚህ፣ የ$3x-5 \lt 0$ ጉዳይን አስቡበት፡-
ሞጁሉ በመቀነስ ምልክት እንደሚከፈት ግልጽ ነው. ግን ከዚያ አንድ እንግዳ ሁኔታ ይፈጠራል-ያው አገላለጽ በዋናው እኩልታ በግራ እና በቀኝ በሁለቱም ላይ ተጣብቋል።
እኔ የሚገርመኝ ለ $ x$ $5-3x$ የሚለው አገላለጽ $5-3x$ ከሚለው አገላለጽ ጋር የሚተካከለው በምንድን ነው? ከእንደዚህ አይነት እኩልታዎች ውስጥ, ካፒቴን እንኳን ሳይቀር ምራቅን ይንቃል, ነገር ግን ይህ እኩልነት ማንነት መሆኑን እናውቃለን, ማለትም. ለማንኛውም የተለዋዋጭ እሴት እውነት ነው!
እና ይሄ ማለት ማንኛውም $ x$ ይስማማናል ማለት ነው። ሆኖም፣ ገደብ አለን።
በሌላ አነጋገር መልሱ ነጠላ ቁጥር ሳይሆን ሙሉ ክፍተት ይሆናል፡-
በመጨረሻ፣ ሊታሰብበት የሚገባ አንድ ተጨማሪ ጉዳይ አለ፡ $3x-5=0$። እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው በሞጁሉ ስር ዜሮ ይሆናል ፣ እና የዜሮ ሞጁሉ ከዜሮ ጋር እኩል ነው (ይህ በቀጥታ ከትርጓሜው ይከተላል)
ግን ከዚያ የዋናው እኩልታ $\ግራ| 3x-5 \right|=5-3x$ እንደሚከተለው ይጻፋል፡-
ጉዳዩን $3x-5 \gt 0$ ስንመለከት ከዚህ በላይ ያለውን ሥር አግኝተናል። ከዚህም በላይ ይህ ሥር ለ $ 3x-5=0$ እኩልታ መፍትሄ ነው - ይህ እኛ እራሳችን ሞጁሉን ለማጥፋት ያስተዋወቅነው ገደብ ነው። :)
ስለዚህ ፣ ከክፍተቱ በተጨማሪ ፣ በዚህ የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ ባለው ቁጥር እንረካለን-
ስሮችን ከሞዱሉስ ጋር በማጣመር ጠቅላላ የመጨረሻ መልስ: $ x \ በግራ (-\ infty; \ frac (5) (3) \ ትክክል]$. ይልቁንም ቀላል (በመሠረቱ መስመራዊ) ከሞጁሎች ጋር እኩልታ በተሰጠው መልስ ላይ እንደዚህ ያለ መጥፎ ነገር ማየት በጣም የተለመደ አይደለም ደህና ፣ እሱን ተለማመዱ-የሞጁሉ ውስብስብነት በእንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ውስጥ ያሉት መልሶች ሙሉ በሙሉ የማይታወቁ ሊሆኑ ስለሚችሉ ነው።
በጣም አስፈላጊው ነገር ሌላ ነው፡ አንድን እኩልታ በሞጁል ለመፍታት ሁለንተናዊ ስልተ ቀመር አፍርሰናል! እና ይህ ስልተ ቀመር የሚከተሉትን ደረጃዎች ያካትታል:
- እያንዳንዱን ሞጁሎች በቀመር ውስጥ ወደ ዜሮ ያመሳስሉ። አንዳንድ እኩልታዎችን እናገኝ;
- እነዚህን ሁሉ እኩልታዎች ይፍቱ እና ሥሮቹን በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ. በውጤቱም, ቀጥታ መስመር ወደ ብዙ ክፍተቶች ይከፈላል, በእያንዳንዳቸው ላይ ሁሉም ሞጁሎች በተለየ ሁኔታ ይሰፋሉ;
- ለእያንዳንዱ የጊዜ ልዩነት የመጀመሪያውን እኩልታ ይፍቱ እና መልሶቹን ያጣምሩ።
ይኼው ነው! አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል-በ 1 ኛ ደረጃ ከተገኙት ሥሮች ጋር ምን ማድረግ አለበት? ሁለት ስሮች አሉን እንበል፡- $x=1$ እና $x=5$። የቁጥሩን መስመር በ3 ክፍሎች ይሰብራሉ፡-
ነጥቦችን በመጠቀም የቁጥር መስመርን ወደ ክፍተቶች መከፋፈል ስለዚህ ክፍተቶቹ ምንድን ናቸው? ከእነዚህ ውስጥ ሦስቱ እንዳሉ ግልጽ ነው.
- በግራ በኩል: $ x \lt 1$ - አሃዱ ራሱ በጊዜ ክፍተት ውስጥ አልተካተተም;
- ማዕከላዊ: $ 1 \ le x \ lt 5$ - እዚህ አንዱ በክፍተቱ ውስጥ ተካቷል, ነገር ግን አምስቱ አልተካተተም;
- በጣም ትክክለኛው፡ $x\ge 5$ - አምስቱ እዚህ ብቻ ተካተዋል!
ንድፉን አስቀድመው የተረዱት ይመስለኛል። እያንዳንዱ ክፍተት የግራውን ጫፍ ያካትታል እና ትክክለኛውን ጫፍ አያካትትም.
በቅድመ-እይታ, እንዲህ ዓይነቱ መዝገብ የማይመች, ምክንያታዊ ያልሆነ እና በአጠቃላይ አንዳንድ እብድ ሊመስል ይችላል. ግን እመኑኝ: ከትንሽ ልምምድ በኋላ, ይህ በጣም አስተማማኝ አቀራረብ መሆኑን እና በተመሳሳይ ጊዜ በማያሻማ ሞጁሎች ላይ ጣልቃ አይገባም. በእያንዳንዱ ጊዜ ከማሰብ ይልቅ እንዲህ ዓይነቱን እቅድ መጠቀም የተሻለ ነው-የግራ / ቀኝ ጫፍ ለአሁኑ ክፍተት ይስጡ ወይም ወደሚቀጥለው "ይጣሉት".
ትምህርቱ የሚያልቅበት ቦታ ነው. ተግባሮችን አውርድ ለ ገለልተኛ መፍትሄ, ባቡር, ከመልሶቹ ጋር አወዳድር - እና በሚቀጥለው ትምህርት እንገናኝ, ይህም ከሞጁሎች ጋር አለመመጣጠን ላይ ያተኮረ ይሆናል. :)
በመጀመሪያ, በሞጁሉ ምልክት ስር የገለጻውን ምልክት እንገልፃለን, ከዚያም ሞጁሉን እናሰፋዋለን:
- የገለጻው ዋጋ ከዜሮ በላይ ከሆነ በቀላሉ ከሞጁል ምልክት ስር እናወጣዋለን ፣
- አገላለጹ ከዜሮ በታች ከሆነ ፣ ከዚያ ቀደም ሲል በምሳሌዎቹ ላይ እንዳደረግነው ምልክቱን በሚቀይሩበት ጊዜ ከሞጁሉ ምልክት ስር እናወጣዋለን።
ደህና ፣ እንሞክራለን? እንገምተው፡-
( ረስተዋል ፣ ይድገሙት።)
ከሆነ ምልክቱ ምንድን ነው? ደህና ፣ በእርግጥ ፣!
እና ስለዚህ ፣ የሞጁሉን ምልክት በመቀየር የገለጻውን ምልክት እንገልጣለን-
ገባኝ? ከዚያ እራስዎ ይሞክሩት:
መልሶች፡-
ሞጁሉ ምን ሌሎች ንብረቶች አሉት?
በሞዱሎ ምልክት ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች ማባዛት ከፈለግን የነዚህን ቁጥሮች ሞጁሎች በአስተማማኝ ሁኔታ ማባዛት እንችላለን!!!
በሂሳብ አነጋገር፣ የቁጥሮች ምርት ሞጁል የእነዚህ ቁጥሮች ሞጁሎች ምርት ጋር እኩል ነው።
ለምሳሌ:
ግን በሞዱሎ ምልክት ስር ሁለት ቁጥሮችን (መግለጫዎችን) መከፋፈል ብንፈልግስ?
አዎ፣ ከማባዛት ጋር ተመሳሳይ ነው! በሞጁል ምልክት ስር ወደ ሁለት የተለያዩ ቁጥሮች (መግለጫዎች) እንከፋፍለው፡-
ያ ከሆነ (በዜሮ መከፋፈል ስለማይችሉ)።
የሞጁሉን አንድ ተጨማሪ ንብረት ማስታወስ ጠቃሚ ነው-
የቁጥሮች ድምር ሞጁል ሁልጊዜ ከእነዚህ ቁጥሮች ሞጁሎች ድምር ያነሰ ወይም እኩል ነው።
ለምንድነው? ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው!
እንደምናስታውሰው, ሞጁሉ ሁልጊዜ አዎንታዊ ነው. ነገር ግን በሞጁሉ ምልክት ስር ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል: አዎንታዊ እና አሉታዊ. ቁጥሮቹ እና ሁለቱም አዎንታዊ እንደሆኑ አስብ. ከዚያ የግራ አገላለጽ ከትክክለኛው አገላለጽ ጋር እኩል ይሆናል.
አንድ ምሳሌ እንመልከት፡-
በሞጁል ምልክት ስር አንድ ቁጥር አሉታዊ እና ሌላኛው አዎንታዊ ከሆነ ፣ የግራ አገላለጽ ሁልጊዜ ከትክክለኛው ያነሰ ይሆናል:
ከዚህ ንብረት ጋር ሁሉም ነገር ግልጽ የሆነ ይመስላል ፣ እስቲ አንድ ባልና ሚስት የበለጠ ጠቃሚ የሞጁሉን ባህሪያትን እንመልከት።
ይህ አገላለጽ ቢኖረንስ?
በዚህ አገላለጽ ምን ማድረግ እንችላለን? የ xን ዋጋ አናውቅም፣ ግን ምን ማለት እንደሆነ አስቀድመን አውቀናል ማለት ነው።
ቁጥሩ ከዜሮ በላይ ነው፣ ይህ ማለት በቀላሉ መጻፍ ይችላሉ፡-
ስለዚህ ወደ ሌላ ንብረት ደረስን, በአጠቃላይ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል.
የዚህ አገላለጽ ትርጉም ምንድን ነው?
ስለዚህ, በሞጁሉ ስር ያለውን ምልክት መግለፅ አለብን. እዚህ ምልክትን መግለፅ አስፈላጊ ነው?
በእርግጥ አይደለም፣ ማንኛውም ቁጥር ካሬ ሁልጊዜ ከዜሮ እንደሚበልጥ ካስታወሱ! ካላስታወሱ ርዕሱን ይመልከቱ። እና ምን ይሆናል? እና ምን እንደሆነ እነሆ፡-
በጣም ጥሩ ነው አይደል? በጣም ምቹ። አና አሁን የተለየ ምሳሌለማስተካከል:
ደህና ፣ ለምን ተጠራጣሪ? በድፍረት እንስራ!
ሁሉንም ነገር ተረድተሃል? ከዚያ ይቀጥሉ እና በምሳሌዎች ይለማመዱ!
1. የቃሉን አገላለጽ ዋጋ ያግኙ.
2. ሞጁሉ ምን ዓይነት ቁጥሮች እኩል ናቸው?
3. የአገላለጾችን ትርጉም ይፈልጉ፡-
ሁሉም ነገር ገና ግልፅ ካልሆነ እና ውሳኔዎችን ለማድረግ ችግሮች ካሉ ፣ እንግዲያውስ እንረዳው-
መፍትሄ 1፡
ስለዚህ ፣ በመግለጫው ውስጥ ያሉትን እሴቶች እንተኩ
መፍትሄ 2፡
እንደምናስታውሰው, ተቃራኒ ቁጥሮች ሞዱሎ እኩል ናቸው. ይህ ማለት የሞጁሉ ዋጋ ከሁለት ቁጥሮች ጋር እኩል ነው: እና.
መፍትሄ 3፡-
ሀ)
ለ)
ውስጥ)
ሰ)
ሁሉንም ነገር ወስደዋል? ከዚያ ወደ ውስብስብ ነገር ለመቀጠል ጊዜው አሁን ነው!
አገላለጹን ለማቃለል እንሞክር
ውሳኔ፡-
ስለዚህ, የሞጁል እሴቱ ከዜሮ በታች መሆን እንደማይችል እናስታውሳለን. በሞጁል ምልክት ስር ያለው ቁጥር አዎንታዊ ከሆነ, ከዚያ በቀላሉ ምልክቱን መጣል እንችላለን: የቁጥሩ ሞጁል ከዚህ ቁጥር ጋር እኩል ይሆናል.
ነገር ግን በሞጁል ምልክት ስር አሉታዊ ቁጥር ከሆነ, ከዚያም የሞጁሉ ዋጋ ከተቃራኒው ቁጥር ጋር እኩል ነው (ይህም በ "-" ምልክት የተወሰደው ቁጥር).
የማንኛውም አገላለጽ ሞጁሉን ለማግኘት በመጀመሪያ አወንታዊ ወይም አሉታዊ መሆኑን ማወቅ ያስፈልግዎታል።
ሞጁል ስር የመጀመሪያው አገላለጽ ዋጋ, ተለወጠ.
ስለዚህ, በሞጁል ምልክት ስር ያለው አገላለጽ አሉታዊ ነው. ሁለት አወንታዊ ቁጥሮችን እየጨመርን ስለሆነ በሞጁል ምልክት ስር ያለው ሁለተኛው አገላለጽ ሁል ጊዜ አዎንታዊ ነው።
ስለዚህ ፣ በሞጁል ምልክት ስር ያለው የመጀመሪያው አገላለጽ ዋጋ አሉታዊ ነው ፣ ሁለተኛው አዎንታዊ ነው-
ይህ ማለት የመጀመሪያው አገላለጽ ሞጁል ምልክትን ሲሰፋ ይህንን አገላለጽ በ "-" ምልክት መውሰድ አለብን. ልክ እንደዚህ:
በሁለተኛው ጉዳይ ላይ የሞዱሎ ምልክትን በቀላሉ እንጥላለን-
ይህንን አገላለጽ ሙሉ ለሙሉ እናቅልለው፡-
የቁጥር ሞዱል እና ባህሪያቱ (ጥብቅ መግለጫዎች እና ማረጋገጫዎች)
ፍቺ፡
ሞዱል ( ፍጹም ዋጋ) ቁጥሮች ቁጥሩ ራሱ ከሆነ እና ቁጥሩ ከሆነ፡-
ለምሳሌ:
ለምሳሌ:
አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።
ውሳኔ፡-
የሞጁሉ መሰረታዊ ባህሪያት
ለሁሉም:
ለምሳሌ:
ንብረት ቁጥር 5 ያረጋግጡ።
ማረጋገጫ፡-
እንዳሉ እናስብ
የእኩልነት ግራ እና ቀኝ ክፍሎችን እናሳጥር (ይህ ሊከናወን ይችላል ፣ ምክንያቱም ሁለቱም የእኩልነት ክፍሎች ሁል ጊዜ አሉታዊ አይደሉም)
እና ይህ የአንድ ሞጁል ፍቺን ይቃረናል.
በውጤቱም, እንደዚህ አይነት ሰዎች የሉም, ይህም ማለት ለሁሉም እኩልነት ማለት ነው
ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌዎች፡-
1) ንብረት ቁጥር 6 ያረጋግጡ።
2) አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።
መልሶች፡-
1) የንብረት ቁጥር 3:, እና ከዚያ ጀምሮ, እንጠቀም
ለማቃለል, ሞጁሎችን ማስፋፋት ያስፈልግዎታል. እና ሞጁሎቹን ለማስፋት በሞጁሉ ስር ያሉት መግለጫዎች አዎንታዊ ወይም አሉታዊ መሆናቸውን ማወቅ ያስፈልግዎታል?
ሀ. ቁጥሮቹን እናነፃፅር እና:
ለ. አሁን እናወዳድር፡-
የሞጁሎቹን እሴቶች እንጨምራለን-
የቁጥር ፍፁም ዋጋ። ስለ ዋናው ነገር በአጭሩ።
የቁጥር ሞጁል (ፍፁም እሴት) ቁጥሩ ራሱ ከሆነ እና ቁጥሩ ከሆነ፡-
የሞዱል ባህሪያት:
- የቁጥር ሞጁል አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው:;
- የተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል ናቸው;
- የሁለት (ወይም ከዚያ በላይ) ቁጥሮች ምርት ሞጁል ከነሱ ሞጁሎች ምርት ጋር እኩል ነው;
- የሁለት ቁጥሮች ብዛት ያለው ሞጁል ከነሱ ሞጁሎች ብዛት ጋር እኩል ነው:;
- የቁጥሮች ድምር ሞጁል ሁልጊዜ ከ ወይም ያነሰ ነው ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የእነዚህ ቁጥሮች ሞጁሎች:;
- ከሞጁል ምልክት ውስጥ የማያቋርጥ አወንታዊ ሁኔታ ሊወጣ ይችላል: at;
የሞዱል ቁጥርይህ ቁጥር ራሱ አሉታዊ ካልሆነ ወይም አሉታዊ ከሆነ ከተቃራኒ ምልክት ጋር ተመሳሳይ ቁጥር ይባላል.
ለምሳሌ የ 5 ሞጁል 5 ሲሆን የ -5 ሞጁል ደግሞ 5 ነው።
ያም ማለት የቁጥሩ ሞጁሎች ምልክቱን ከግምት ውስጥ ሳያስገባ የዚህ ቁጥር ፍፁም ዋጋ እንደ ፍፁም እሴት ይገነዘባል።
እንደሚከተለው ተጠቁሟል፡|5|, | X|, |ሀ| ወዘተ.
ደንብ:
ማብራሪያ፡-
|5| = 5
እንዲህ ይነበባል፡ የቁጥር 5 ሞጁል 5 ነው።
|–5| = –(–5) = 5
እንዲህ ይነበባል፡ የቁጥር -5 ሞጁል 5 ነው።
|0| = 0
እንዲህ ይነበባል፡ የዜሮ ሞጁል ዜሮ ነው።
የሞዱል ባህሪያት:
1) የቁጥር ሞጁል አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው፡- |ሀ| ≥ 0 2) ተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል ናቸው፡- |ሀ| = |–ሀ| 3) የቁጥር ሞጁል ካሬ ከዚህ ቁጥር ካሬ ጋር እኩል ነው፡ |ሀ| 2 = a2 4) የቁጥሮች ምርት ሞጁል የእነዚህ ቁጥሮች ሞጁሎች ምርት ጋር እኩል ነው። |ሀ · ለ| = |ሀ| · | ለ| 6) የግል ቁጥሮች ሞጁል የእነዚህ ቁጥሮች ሞጁሎች ጥምርታ ጋር እኩል ነው፡ |ሀ : ለ| = |ሀ| : |ለ| 7) የቁጥሮች ድምር ሞጁል ከሞጁሎቻቸው ድምር ያነሰ ወይም እኩል ነው። |ሀ + ለ| ≤ |ሀ| + |ለ| 8) የቁጥሮች ልዩነት ሞጁል ከሞጁሎቻቸው ድምር ያነሰ ወይም እኩል ነው። |ሀ – ለ| ≤ |ሀ| + |ለ| 9) የቁጥሮች ድምር / ልዩነት ሞጁል በሞጁሎች መካከል ካለው ልዩነት ሞጁል የበለጠ ወይም እኩል ነው ። |ሀ ± ለ| ≥ ||ሀ| – |ለ|| 10) የማያቋርጥ አወንታዊ ሁኔታ ከሞጁሉ ምልክት ውስጥ ሊወጣ ይችላል- |ኤም · ሀ| = ኤም · | ሀ|, ኤም >0 11) የቁጥር ደረጃ ከሞጁል ምልክት ሊወጣ ይችላል- |ሀ k | = | ሀ| k ካለ 12) | ሀ| = |ለ|፣ እንግዲያውስ ሀ = ± ለ |
የሞጁሉ ጂኦሜትሪክ ትርጉም.
የቁጥር ሞጁል ከዜሮ ወደዚያ ቁጥር ያለው ርቀት ነው።
ለምሳሌ, ቁጥር 5 ን እንደገና እንውሰድ ከ 0 እስከ 5 ያለው ርቀት ከ 0 እስከ -5 (ምስል 1) ጋር ተመሳሳይ ነው. እና ለእኛ የክፍሉን ርዝመት ብቻ ማወቅ አስፈላጊ በሚሆንበት ጊዜ ምልክቱ ምንም ትርጉም ብቻ ሳይሆን ትርጉምም የለውም. ሆኖም ግን, ሙሉ በሙሉ እውነት አይደለም: ርቀቱን የምንለካው በአዎንታዊ ቁጥሮች ብቻ ነው - ወይም አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች. የኛን ሚዛን የመከፋፈል ዋጋ 1 ሴ.ሜ ይሁን ከዚያም ከዜሮ እስከ 5 ያለው ክፍል ርዝመት 5 ሴ.ሜ, ከዜሮ እስከ -5 ደግሞ 5 ሴ.ሜ ነው.
በተግባር, ርቀቱ ብዙውን ጊዜ የሚለካው ከዜሮ ብቻ አይደለም - ማንኛውም ቁጥር የማጣቀሻ ነጥብ ሊሆን ይችላል (ምስል 2). ነገር ግን የዚህ ዋናው ነገር አይለወጥም. የቅጹ መዝገብ |a – b| በነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ይገልጻል ሀእና ለበቁጥር መስመር ላይ.
ምሳሌ 1. እኩልታ መፍታት | X – 1| = 3.
ውሳኔ.
የእኩልታው ትርጉም በነጥቦቹ መካከል ያለው ርቀት ነው Xእና 1 ከ 3 ጋር እኩል ነው (ምስል 2). ስለዚህ, ከቁጥር 1 ሶስት ክፍሎችን ወደ ግራ እና ሶስት ክፍሎችን ወደ ቀኝ እንቆጥራለን - እና ሁለቱንም እሴቶች በግልፅ እናያለን. X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
ማስላት እንችላለን።
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
መልስ፡- X 1 = –2; X 2 = 4.
ምሳሌ 2. የአንድን አገላለጽ ሞዱል ይፈልጉ፡-
ውሳኔ.
በመጀመሪያ አገላለጹ አዎንታዊ ወይም አሉታዊ መሆኑን እንወቅ። ይህንን ለማድረግ, ተመሳሳይ የሆኑ ቁጥሮችን እንዲይዝ አገላለጹን እንለውጣለን. የ 5 ሥርን አንፈልግ - በጣም ከባድ ነው. ቀላል እናድርገው፡ 3 እና 10ን ወደ ሥሩ እናነሳለን።ከዚያም ልዩነቱን የሚፈጥሩትን የቁጥሮች መጠን እናነፃፅራለን፡-
3 = √9 ስለዚህ 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
የመጀመሪያው ቁጥር ከሁለተኛው ያነሰ መሆኑን እናያለን. ይህ ማለት አገላለጹ አሉታዊ ነው ማለትም መልሱ ከዜሮ ያነሰ ነው፡-
3√5 – 10 < 0.
ነገር ግን እንደ ደንቡ, የአሉታዊ ቁጥር ሞጁል ከተቃራኒ ምልክት ጋር ተመሳሳይ ቁጥር ነው. አሉታዊ መግለጫ አለን። ስለዚህ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው መለወጥ አስፈላጊ ነው. የ3√5 - 10 ተቃራኒ -(3√5 - 10) ነው። በውስጡ ያሉትን ቅንፎች እንክፈተው - እና መልሱን እናገኛለን:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
መልስ .
መመሪያ
ሞጁሉ እንደ ቀጣይነት ያለው ተግባር ከተወከለ የመከራከሪያው ዋጋ አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን ይችላል: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x
ሞጁሉ ዜሮ ነው, እና የማንኛውም አወንታዊ ቁጥር ሞጁል የእሱ ሞጁል ነው. ክርክሩ አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ቅንፎችን ከከፈቱ በኋላ ምልክቱ ከመቀነስ ወደ ፕላስ ይቀየራል. በዚህ መሠረት መደምደሚያው የተቃራኒው ሞጁሎች እኩል ናቸው-|-x| = |x| = x.
ሞጁል ውስብስብ ቁጥርበቀመር ይገኛል፡ |a| =√b ² + c ² እና |a + b| ≤ |አ| + |ለ| ክርክሩ አወንታዊ ቁጥርን እንደ ማባዛት ከያዘ፣ ከዚያም በቅንፍ ምልክቱ ላይ ሊወጣ ይችላል፣ ለምሳሌ፡ |4*b| = 4*|ለ|
ክርክሩ እንደ ውስብስብ ቁጥር ከቀረበ ለስሌቶች ምቾት ሲባል በካሬ ቅንፎች ውስጥ የተካተቱት የቃላት ቅደም ተከተል ይፈቀዳል: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 ምክንያቱም (2-3) ከዜሮ ያነሰ ነው.
በስልጣን ላይ የሚነሳው ክርክር በተመሳሳይ የስርአት ስር ምልክት ስር ነው - የሚፈታው፡ √a² = |a| = ± ሀ
ሞጁሉን ቅንፎችን ለማስፋፋት ሁኔታውን የማይገልጽ ሥራ ከፊት ለፊትዎ ካለ, ከዚያ እነሱን ማስወገድ አያስፈልግዎትም - ይህ የመጨረሻው ውጤት ይሆናል. እና እነሱን ለመክፈት ከፈለጉ, ምልክቱን ± መግለጽ አለብዎት. ለምሳሌ፣ የቃሉን ዋጋ ማግኘት አለቦት√(2 * (4-b)) ²። የሱ መፍትሄ ይህንን ይመስላል፡ √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ለ| የ 4-b አገላለጽ ምልክት የማይታወቅ ስለሆነ በቅንፍ ውስጥ መተው አለበት. ተጨማሪ ሁኔታ ካከሉ፣ ለምሳሌ |4-b| >
የዜሮ ሞጁል ከዜሮ ጋር እኩል ነው, እና የማንኛውም አወንታዊ ቁጥር ሞጁል ከራሱ ጋር እኩል ነው. ክርክሩ አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ቅንፎችን ከከፈቱ በኋላ ምልክቱ ከመቀነስ ወደ ፕላስ ይቀየራል. ከዚህ በመነሳት መደምደሚያው የተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል ናቸው፡|-x| = |x| = x.
ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞጁል በቀመሩ፡ |a| ይገኛል። =√b ² + c ² እና |a + b| ≤ |አ| + |ለ| ክርክሩ አወንታዊ ኢንቲጀር እንደ ማባዣ ካለው፣ ከቅንፍ ምልክቱ ሊወጣ ይችላል፣ ለምሳሌ፡ |4*b| = 4*|ለ|
ሞጁሉ አሉታዊ ሊሆን አይችልም፣ ስለዚህ ማንኛውም አሉታዊ ቁጥር ወደ አወንታዊ ይቀየራል፡|-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, | -2.5| = 2.5.
ክርክሩ እንደ ውስብስብ ቁጥር ከቀረበ ለስሌቶች ምቾት ሲባል በካሬ ቅንፎች ውስጥ የተካተቱትን የቃላቶች ቅደም ተከተል መቀየር ይፈቀዳል: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 ምክንያቱም (2-3) ከዜሮ ያነሰ ነው.
ሞጁሉን ቅንፎችን ለማስፋፋት ሁኔታውን የማይገልጽ ሥራ ከፊት ለፊትዎ ካለ, ከዚያ እነሱን ማስወገድ አያስፈልግዎትም - ይህ የመጨረሻው ውጤት ይሆናል. እና እነሱን ለመክፈት ከፈለጉ, ምልክቱን ± መግለጽ አለብዎት. ለምሳሌ፣ የቃሉን ዋጋ ማግኘት አለቦት√(2 * (4-b)) ²። የሱ መፍትሄ ይህንን ይመስላል፡ √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-ለ| የ 4-b አገላለጽ ምልክት የማይታወቅ ስለሆነ በቅንፍ ውስጥ መተው አለበት. ተጨማሪ ሁኔታ ካከሉ፣ ለምሳሌ |4-b| > 0፣ ከዚያ ውጤቱ 2 * |4-b| ነው። = 2 * (4 - ለ)። እንደ ያልታወቀ አካል, የተወሰነ ቁጥርም ሊሰጥ ይችላል, ይህም ግምት ውስጥ መግባት አለበት, ምክንያቱም. የመግለጫው ምልክት ላይ ተጽዕኖ ይኖረዋል.
በተመሳሳይም, ውስብስብ ቁጥሮች z 1 - z 2 ውስብስብ ቁጥሮች z 1 እና z 2 ከቬክተሮች ልዩነት ጋር ይዛመዳል ከቁጥሮች z 1 እና z 2. የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ሞጁል z 1 እና z 2, በሞጁሉ ፍቺ መሠረት. , የቬክተር ርዝመት ነው z 1 - z 2. ቬክተር እንገንባ , እንደ ሁለት ቬክተሮች ድምር z 2 እና (- z 1). ከቬክተር ጋር እኩል የሆነ ቬክተር እናገኛለን.ስለዚህ የቬክተር ርዝመት አለ, ማለትም, የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት ሞጁል ከነዚህ ቁጥሮች ጋር በሚዛመደው ውስብስብ አውሮፕላን መካከል ያለው ርቀት ነው.
6. ውስብስብ ቁጥር ያላቸው ክርክሮች. የ ውስብስብ ቁጥር z= a + ib ክርክር በእውነተኛው ዘንግ እና በቬክተር z መካከል ያለው አንግል ነው; የማዕዘኑ ዋጋ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ከተቆጠረ እንደ አዎንታዊ ይቆጠራል, እና በሰዓት አቅጣጫ ከተቆጠረ አሉታዊ.
j ቁጥሩ የ z= a+ ib ቁጥር መከራከሪያ መሆኑን ለማመልከት j=argz ወይም j=arg (a+ib) ይፃፉ።
ለቁጥር z=0፣ ክርክሩ አልተገለጸም። ስለዚህ, ከክርክር ጽንሰ-ሐሳብ ጋር በተያያዙ ሁሉም ተከታይ ክርክሮች ውስጥ, እኛ እንገምታለን. ቁጥሩ z=0 ሞጁሉን ብቻ በመጥቀስ የሚወስነው ብቸኛው ቁጥር ነው።
በሌላ በኩል ፣ የተወሳሰበ ቁጥር ከተሰጠ ፣ በግልጽ ፣ የዚህ ቁጥር ሞጁል ሁል ጊዜ በልዩ ሁኔታ ይገለጻል ፣ ከክርክሩ በተቃራኒ ፣ ሁል ጊዜም በአሻሚ ይገለጻል- j የቁጥር z የተወሰነ ክርክር ከሆነ ፣ ከዚያ አንግል j + 2pk የቁጥር ግቤቶችም ናቸው።
ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ፍቺ ይከተላል j=arg (a+ib) ከሆነ የሚከተለው ስርዓት ይከናወናል
ምሳሌ 4 የእኩልታዎች ስርዓት ስንት መፍትሄዎች አሉት
ሀ) ሞጁሎቹ ከ 3 እና 1 ጋር እኩል የሆኑ ቁጥሮችን በአንድ ውስብስብ አውሮፕላን ይሳሉ
ሞጁሉን ፈልግ - እኔ: .
በትልቁ ክበብ ላይ ምንም ነጥብ እንደሌለ ልብ ይበሉ
ከትንሹ ጋር እኩል በሆነ ርቀት ቅርብ ፣
ከዚህ በኋላ ስርዓቱ ምንም ሥር የለውም.
በ 3 ሲቀየር እኔከትንሹ ክበብ አንድ ነጥብ ብቻ ፣ ይህ ነጥብ በ ላይ እንደወደቀ እናገኘዋለን
ሌላ ክበብ.
ይህ ነጥብ የስርዓቱ መፍትሄ ይሆናል.
ሐ) ሞዱሊቻቸው ከ 1 ጋር እኩል የሆኑ ቁጥሮችን በአንድ ውስብስብ አውሮፕላን ይሳሉ።
ሁለት ነጥቦችን ብቻ በአንድ ወደ ግራ ሲቀይሩ ወደ አንድ ክበብ እንሄዳለን, ይህም ማለት እነዚህ ሁለት ቁጥሮች የስርዓቱ መፍትሄዎች ይሆናሉ ማለት ነው.
7. ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ እና ትሪግኖሜትሪክ ቅርጾች. ውስብስብ ቁጥር z እንደ a + ib መፃፍ ይባላል የአልጀብራ ቅርጽውስብስብ ቁጥር.
ውስብስብ ቁጥሮችን ሌሎች የአጻጻፍ ዓይነቶችን ተመልከት. r ሞጁል ይሁን እና j ከውስብስብ ቁጥር z= a+ ib፣ ማለትም r = ,j=arg (a+ib) ክርክሮች አንዱ ይሁን። ከዚያ ከቀመር (5) ይከተላል ፣ እና ፣ ስለሆነም ፣
በቅጹ ውስጥ የተወሳሰበ ቁጥር መፃፍ የእሱ ይባላል ትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ.
ከተወሳሰበ ቁጥር a + ib ወደ ትሪጎኖሜትሪክ አንድ አልጀብራዊ ቅርፅ ለማለፍ ሞጁሉን እና አንዱን ክርክሮች ማግኘት በቂ ነው።
ምሳሌ 5 ውስብስብ አውሮፕላኑ ምን ነጥቦች ስብስብ በሁኔታው ተሰጥቷል
ሀ) ወደ ታች ሲቀየር ነጥቦችን መገንባት አለብን እኔእና ወደ ቀኝ በ 1 ከመነሻው, ከየት እኩል ርቀት ይማራሉ
የተወሰነ ቅድመ ሁኔታን የሚያሟሉ የነጥቦችን ስብስብ ለመገንባት የሚከተሉትን ማድረግ አለብን:
1) ከመነሻው እኩል የሆነ የነጥብ ስብስብ በ 2 መገንባት
2) 1 ወደ ግራ ያንቀሳቅሱት እና እኔወደ ላይ
ለ) ወደ ነጥቡ በቅርበት የሚቀመጡ ነጥቦችን መገንባት አለብን - እኔከማለት ይልቅ 2እኔእነዚህ ነጥቦች በሥዕሉ ላይ ተገልጸዋል.
ሐ) ይህ እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው
ያም ማለት, እነዚህ ቁጥሮች በርቀት ይወገዳሉ
1 ወደ ቀኝ. በዚህ ሁኔታ, ሁለተኛው ሁኔታ ከተሟላ, y በስዕሉ ላይ የሚታየውን አንግል ያገኛል.
ማለትም ፣ እነዚህ ከ 1 በማይበልጡ መጋጠሚያዎች አመጣጥ ርቀው የሚገኙ ነጥቦች ይሆናሉ እና በተመሳሳይ ጊዜ ቁጥሩን ሳይጨምር 0. ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ሁኔታዎች ከግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን-
|
|
|||
ረ) የመጀመሪያውን ሁኔታ የሚያሟሉ ነጥቦችን ለመገንባት በ 1 ርቀት ላይ ያሉትን ነጥቦች መቀየር አስፈላጊ ነው.
1 ወደ ቀኝ. በተመሳሳይ ጊዜ, ሌሎች ሁኔታዎችን ከግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን
የሚፈለጉ ነጥቦች ስብስብ.
ምሳሌ 6 የሚከተሉት አገላለጾች የቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ይሆናሉ
የቁጥር አጻጻፍ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ አገላለጽ ብቻ ይሆናል ሀ) ፣ ምክንያቱም የቁጥር አጻጻፍ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅን ብቻ ስለሚያረካ (እና ለሁሉም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ፣ ማዕዘኖቹ እኩል መሆን አለባቸው ፣ እና እንዲሁም የቁጥር እሴትን ካሰሉ) አገላለጽ, ከዚያም እኩል መሆን አለበት).
8. ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ማባዛትና ማከፋፈል. ይሁን
ስለዚህም ሞጁሉ እና የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት ከምክንያቶቹ ሞዱሊዎች ምርት ጋር እኩል ነው ፣ እና የምክንያቶቹ ክርክሮች ድምር የምርት ክርክር ነው።
እንግዲያውስ
ስለዚህም የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች የቁጥር ሞጁል ከክፍልፋይ እና አካፋዩ ሞጁል መጠን ጋር እኩል ነው ፣ እና በአከፋፋዩ እና በአከፋፋዩ ክርክር መካከል ያለው ልዩነት የተደጋጋሚው ክርክር ነው።
9. ገላጭ እና ሥር ማውጣት. የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት ፎርሙላ (6) በምክንያቶች ሁኔታ ሊጠቃለል ይችላል። የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ፣ ክርክሮች ቁጥሮች ፣ በቅደም ተከተል ፣ ከዚያ ለማሳየት ቀላል ነው ።
ከዚህ በመነሳት ፣ እንደ ልዩ ሁኔታ ፣ ውስብስብ ቁጥርን ወደ አወንታዊ የኢንቲጀር ኃይል ለማሳደግ ደንብ የሚሰጥ ቀመር ተገኝቷል ።
ስለዚህም አንድ ውስብስብ ቁጥር ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ወደ ሃይል ሲነሳ, ሞጁሎቹ ተመሳሳይ ገላጭ ወዳለው ኃይል ይነሳል, እና ክርክሩ በአርበኛው ይባዛል.
ፎርሙላ (8) የ De Moivre ቀመር ይባላል።
ቁጥሩ የቁጥሩ ሥር ይባላል ወ(እንደሆነ ምልክት ተደርጎበታል።
ከሆነ ወ=0, ከዚያ ለማንኛውም nቀመር አንድ እና አንድ መፍትሄ ብቻ ነው z= 0.
አሁን እስቲ አስቡት ዝእና ወበትሪግኖሜትሪክ መልክ፡-
ከዚያም እኩልታው ቅጹን ይወስዳል
ሞዱሊቻቸው እኩል ከሆኑ እና ክርክራቸው በ 2 ብዜት የሚለያዩ ከሆነ ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እኩል ናቸው። ገጽ.ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ስለዚህ, ሁሉም የእኩልታ መፍትሄዎች በቀመርው ይሰጣሉ
በእርግጥ ቁጥሩን መስጠት ክበቀመር (9) ከ 0፣ 1፣…፣ () ውጪ ኢንቲጀር እሴቶች ናቸው። n-1)፣ ሌሎች ውስብስብ ቁጥሮች አናገኝም።
ቀመር (9) ይባላል የ De Moivre ሁለተኛ ቀመር.
ስለዚህ ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ በትክክል አለ። nዲግሪ ሥሮች nከቁጥር ወሁሉም በቀመር (9) ውስጥ ይገኛሉ።
በተለይም ፣ = 2 ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት።
ያም ማለት እነዚህ ሥሮች ስለ አመጣጥ አመጣጣኝ ናቸው.
ከቀመር (9) ማግኘት ቀላል ነው እንግዲህ ሁሉንም የእኩልታ ሥሮች የሚወክሉት ነጥቦች የመደበኛው ጫፎች መሆናቸውን ነው። n -በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ካሬ ዝ=0 እና ራዲየስ.
ምልክቱ ግልጽ ያልሆነ ትርጉም እንደሌለው ከላይ ከተጠቀሰው ነው. ስለዚህ, በሚጠቀሙበት ጊዜ, ይህ ምን ማለት እንደሆነ በግልፅ መረዳት አለበት. ለምሳሌ, ማስታወሻ ሲጠቀሙ, ይህ ውስብስብ ቁጥሮችን የሚያመለክት መሆኑን ግልጽ ለማድረግ ጥንቃቄ መደረግ አለበት እኔእና - እኔ, ወይም አንድ, እና አንድ ከሆነ, የትኛው.
ምሳሌ 7 በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይፃፉ፡-
ለ) ከዚያ ወዲህ ከየት።
ጀምሮ ፣ ከዚያ ፣ ከየት
ሐ) ከዚያ ወዲህ ከየት።
10. ኳድራቲክ እኩልታዎች. አት የትምህርት ቤት ኮርስአልጀብራ፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች ግምት ውስጥ ገብተዋል።
ከእውነተኛ ቅንጅቶች ጋር a, b, c.እዚያ ታይቷል የእኩልታ (10) አድልዎ አሉታዊ ካልሆነ ፣ የእንደዚህ ዓይነቱ እኩልታ መፍትሄዎች በቀመሩ ተሰጥተዋል ።
ከሆነ፣ ሒሳቡ መፍትሔ የለውም ከተባለ።
ቀመር (11) ለማግኘት የሶስትዮሽ ካሬን የማውጣት ዘዴን ተጠቅመን በግራ በኩል ወደ መስመራዊ ሁኔታዎች መበስበስን ተከትሎ።
ከየትኛው ቀመር (11) ተገኝቷል. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, እነዚህ ሁሉ ስሌቶች በሚኖሩበት ጊዜም ቢሆን ልክ እንደሆኑ ይቆያሉ a, b, cውስብስብ ቁጥሮች ናቸው, እና የእኩልታው ሥሮች ውስብስብ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ ይገኛሉ.
ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ, እኩልታ
ሁልጊዜ ይፈቀዳል. እኩልታው አንድ ሥር ካለው፣ እኩልታው ሁለት ሥር አለው። በሁሉም ሁኔታዎች የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ትክክለኛ ነው።
ሁሉም የሥሩ እሴቶች የሚያመለክቱበት።
ምሳሌ 8 እኩልታውን መፍታት
ሀ) ይህ እኩልታ ኳድራቲክ ነው።
እና ስለዚህ xእና yስርዓቱን ማርካት
እና xእና y
ያስተውሉ, ያንን x
ስናገኝ፡-
እኩልታውን እንፍታ(*): x 4 +15x 2 -16 =0 በተመለከተ አራት ማዕዘን እኩልታ ነው። x 2, ከየት
ወደ ስርዓቱ እንመለስ፡-
ለ) ይህ እኩልታ ኳድራቲክ ነው።
እንደ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር እኛ አለን-
ሁሉንም ዋጋዎች ለመወሰን, እናዘጋጃለን
እና ስለዚህ xእና yስርዓቱን ማርካት
እና xእና yእውነተኛ ቁጥሮች. ስርዓቱን እንፍታው፡-
ያስተውሉ, ያንን x=0 ለስርአቱ መፍትሄ አይሆንም።
ስናገኝ፡-
እኩልታውን እንፍታ(*): x 4 -16x 2 -225=0 - ኳድራቲክ እኩልታን በተመለከተ x 2, ከየት
ወደ ስርዓቱ እንመለስ፡-
ምሳሌ 9 እኩልታውን መፍታት
ሀ) እንሂድ፣ ከዚያ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል፡-
በንድፈ ሀሳቡ መሰረት የቪዬታ ንድፈ ሃሳብ ተገላቢጦሽ ከየት እናገኛለን
ወደ መመለስ ዝ, እናገኛለን
አንድ) . አስተውል፣ ያንን። ሁለተኛውን የ De Moivre ቀመር በመጠቀም፣ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
ስለዚህም እ.ኤ.አ.
2) አስተውል፣ ያንን። ሁለተኛውን የ De Moivre ቀመር በመጠቀም፣ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ለ) ቀመርን እንለውጥ፡-
አስተውል፣ ያንን። ሁለተኛውን የ De Moivre ቀመር በመጠቀም፣ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
ምሳሌ 10. እኩልታውን ይፍቱ፡
ሒሳብን በተመለከተ እንደ ኳድራቲክ እንፈታዋለን ዝ 2፡D=
ይሁን z=a+ib፣ከዚያም, እና እኩልታው ቅጹ አለው
እንግዲያውስ ከየት
እንግዲያውስ እንግዲያውስ እናገኘዋለን ማለት ነው፣ ከዚያም ያንን እናገኛለን
