ሁለት ዓይነቶችን የእኩልታ መፍቻ ሥርዓቶችን እንመረምራለን-

1. የስርዓቱን መፍትሄ በመተካት ዘዴ.
2. የስርዓቱን እኩልታዎች በጊዜ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) የስርዓቱን መፍትሄ.

የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት የመተካት ዘዴቀላል ስልተ ቀመር መከተል ያስፈልግዎታል:
1. እንገልፃለን. ከማንኛውም እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ እንገልፃለን.
2. ምትክ. በተገለፀው ተለዋዋጭ ምትክ ፣ የተገኘውን እሴት በሌላ ቀመር እንተካለን።
3. የተገኘውን እኩልነት ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እንፈታዋለን. ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

ለመፍታት ስርዓት በጊዜ-ጊዜ መደመር (መቀነስ)ፍላጎት፡-
1. ተመሳሳዩን መጋጠሚያዎች የምንሠራበትን ተለዋዋጭ ይምረጡ.
2. እኩልታዎችን እንጨምራለን ወይም እንቀንሳለን, በውጤቱም ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት እናገኛለን.
3. የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ እንፈታዋለን. ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

የስርዓቱ መፍትሄ የተግባሩ ግራፎች መገናኛ ነጥቦች ናቸው.

ምሳሌዎችን በመጠቀም የስርዓቶችን መፍትሄ በዝርዝር እንመልከት.

ምሳሌ #1፡

በመተካት ዘዴ እንፍታ

የእኩልታዎችን ስርዓት በመተካት ዘዴ መፍታት

2x+5y=1 (1 እኩልታ)
x-10y=3 (2ኛ እኩልታ)

1. ይግለጹ
በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ ተለዋዋጭ x የ 1 ኮፊሸን መኖሩን ማየት ይቻላል, ስለዚህም ተለዋዋጭ xን ከሁለተኛው እኩልታ ለመግለፅ በጣም ቀላል ነው.
x=3+10ይ

2. ከገለጽን በኋላ, በተለዋዋጭ x ምትክ 3 + 10y በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ እንተካለን.
2(3+10ይ)+5ይ=1

3. የተገኘውን እኩልነት ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እንፈታዋለን.
2(3+10ይ)+5y=1(ክፍት ቅንፎች)
6+20ይ+5ይ=1
25ይ=1-6
25ይ=-5 |: (25)
y=-5፡25
y= -0.2

የእኩልታ ስርዓቱ መፍትሄው የግራፎቹ መገናኛ ነጥብ ነው ፣ ስለሆነም x እና y ን መፈለግ አለብን ፣ ምክንያቱም የመገናኛ ነጥቡ x እና y ያካትታል ። xን እንፈልግ በገለፅንበት የመጀመሪያ አንቀጽ y ን እንተካለን።
x=3+10ይ
x=3+10*(-0.2)=1

በመጀመሪያ ነጥቦችን መጻፍ የተለመደ ነው, ተለዋዋጭ x እንጽፋለን, እና በሁለተኛው ቦታ ላይ ተለዋዋጭ y.
መልስ፡ (1; -0.2)

ምሳሌ #2፡

በመደመር (በመቀነስ) እንፍታ።

የእኩልታዎችን ስርዓት በመደመር ዘዴ መፍታት

3x-2y=1 (1 እኩልታ)
2x-3y=-10 (2ኛ እኩልታ)

1. ተለዋዋጭ ምረጥ, x እንመርጣለን እንበል. በመጀመሪያው እኩልዮሽ ውስጥ, ተለዋዋጭ x የ 3 ኮፊሸን አለው, በሁለተኛው ውስጥ - 2. ጥራቶቹን አንድ አይነት ማድረግ አለብን, ለዚህም እኩልታዎችን ለማባዛት ወይም በማንኛውም ቁጥር ለመከፋፈል መብት አለን. የመጀመሪያውን እኩልታ በ 2 ፣ እና ሁለተኛው በ 3 እናባዛለን እና አጠቃላይ ድምር 6 እናገኛለን።

3x-2ይ=1 |*2
6x-4y=2

2x-3ይ=-10 |*3
6x-9y=-30

2. ከመጀመሪያው እኩልታ, ተለዋዋጭ xን ለማስወገድ ሁለተኛውን ይቀንሱ. መስመራዊ እኩልታውን ይፍቱ.
__6x-4y=2

5ይ=32 | :5
y=6.4

3. x ፈልግ. የተገኘውን y በማንኛውም እኩልታዎች እንተካለን፣ በመጀመሪያው ቀመር እንበል።
3x-2ይ=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

የመገናኛው ነጥብ x=4.6 ይሆናል; y=6.4
መልስ፡ (4.6፤ 6.4)

ለፈተናዎች በነጻ መዘጋጀት ይፈልጋሉ? በመስመር ላይ አስተማሪ ነጻ ነው. ቀ ል ድ አ ይ ደ ለ ም.

እኩልታውአንድ ወይም ብዙ ተለዋዋጮች ያሉበት እኩልነት ነው።
በቀመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ማለትም አንድ የማይታወቅ ቁጥር ሲኖር ጉዳዩን እንመለከታለን. በመሠረቱ፣ እኩልታ የሂሳብ ሞዴል ዓይነት ነው። ስለዚህ, በመጀመሪያ, ችግሮችን ለመፍታት እኩልታዎች ያስፈልጉናል.

አንድን ችግር ለመፍታት የሂሳብ ሞዴል እንዴት እንደተዘጋጀ እናስታውስ።
ለምሳሌ, በአዲሱ ውስጥ የትምህርት ዘመንበትምህርት ቤት ቁጥር 5 ያሉ ተማሪዎች ቁጥር በእጥፍ ጨምሯል። 20 ተማሪዎች ወደ ሌላ ትምህርት ቤት ከተዛወሩ በኋላ በአጠቃላይ 720 ተማሪዎች በትምህርት ቤት ቁጥር 5 መማር ጀመሩ። ባለፈው ዓመት ስንት ተማሪዎች ነበሩ?

በሒሳብ ቋንቋ በሁኔታው የተነገረውን መግለፅ አለብን። ያለፈው ዓመት የተማሪዎች ቁጥር X ይሁን ከዚያም እንደ ችግሩ ሁኔታ፣
2X - 20 = 720. የሂሳብ ሞዴል አለን, ይህም ማለት ነው አንድ ተለዋዋጭ እኩልታ. ይበልጥ በትክክል ፣ ይህ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታ ነው። ሥሩን ለማግኘት ይቀራል.

የእኩልታው መነሻ ምንድን ነው?

የእኛ እኩልነት ወደ የሚቀየርበት የተለዋዋጭ እሴት እውነተኛ እኩልነት፣ የእኩልታው ሥር ይባላል። ብዙ ሥር ያላቸው እኩልታዎች አሉ። ለምሳሌ፣ በቀመር 2*X = (5-3)*X ማንኛውም የX እሴት ስር ነው። እና እኩልታ X \u003d X + 5 ምንም ሥሮች የሉትም ፣ ምክንያቱም የ X እሴት ምንም ብንተካ ፣ ትክክለኛውን እኩልነት አናገኝም። እኩልታን መፍታት ማለት ሁሉንም ሥሮቹን ማግኘት ወይም ሥር እንደሌለው መወሰን ማለት ነው። ስለዚህ ጥያቄያችንን ለመመለስ 2X - 20 = 720 የሚለውን ስሌት መፍታት አለብን።

እኩልታዎችን በአንድ ተለዋዋጭ እንዴት መፍታት ይቻላል?

በመጀመሪያ፣ አንዳንድ መሠረታዊ ትርጓሜዎችን እንጻፍ። እያንዳንዱ እኩልታ የቀኝ እና የግራ ጎን አለው። በእኛ ሁኔታ, (2X - 20) በግራ በኩል በግራ በኩል ነው (ከእኩል ምልክት በስተግራ ነው), እና 720 የቀኝ እኩል ጎን ነው. የእኩልታው የቀኝ እና የግራ ቃላቶች የእኩልታ ውሎች ይባላሉ። በቀመር ውስጥ የእኛ ውሎች 2X፣ -20 እና 720 ናቸው።

ስለ 2 የእኩልታዎች ባህሪያት ወዲያውኑ እንበል፡-

የእኩልታው ማንኛውም ቃል ከትክክለኛው የቀኝ በኩል ወደ ግራ እና በተቃራኒው ሊተላለፍ ይችላል. በዚህ ሁኔታ የዚህን እኩልነት ቃል ምልክት ወደ ተቃራኒው መለወጥ አስፈላጊ ነው. ማለትም እንደ 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X ያሉ ግቤቶች እኩል ናቸው።
የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ቁጥር ሊባዙ ወይም ሊከፋፈሉ ይችላሉ። ይህ ቁጥር ዜሮ መሆን የለበትም። ማለትም እንደ 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 ያሉ ግቤቶች እንዲሁ እኩል ናቸው።

የእኛን እኩልታ ለመፍታት እነዚህን ንብረቶች እንጠቀም።

እንሂድ -20 ወደ ቀኝ ጎን በተቃራኒው ምልክት. እናገኛለን፡-

2X = 720 + 20. በቀኝ በኩል ያለንን እንጨምር። 2X = 740 እናገኛለን።

አሁን የእኩልቱን ግራ እና ቀኝ በ 2 ይከፋፍሉት።

2X: 2 = 740: 2 ወይም X = 370. የኛን እኩልነት መሠረት አግኝተናል እና በተመሳሳይ ጊዜ ለችግሮቻችን መልስ አግኝተናል. ባለፈው አመት በትምህርት ቤት ቁጥር 5 370 ተማሪዎች ነበሩ።

የኛ ሥረ መሠረት በትክክል እኩልታውን ወደ እውነተኛ እኩልነት ይለውጠው እንደሆነ እንፈትሽ። በቀመር 2X - 20 = 720 Xን ቁጥር 370 እንተካው።

2*370-20 = 720.

እሺ.

ስለዚህ፣ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ለመፍታት፣ a እና b አንዳንድ ቁጥሮች ወደሆኑበት የቅጹ መጥረቢያ \u003d b ወደሚባለው መስመራዊ እኩልታ መቀነስ አለበት። ከዚያ የግራ እና የቀኝ ክፍሎችን በቁጥር ሀ. ያንን x = b:a እናገኛለን።

እኩልታን ወደ መስመራዊ እኩልታ ማምጣት ምን ማለት ነው?

ይህንን እኩልነት አስቡበት፡-

5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X።

ይህ ደግሞ ከአንድ የማይታወቅ ተለዋዋጭ X ጋር እኩልታ ነው። የእኛ ተግባር ይህንን እኩልታ ወደ ቅጽ መጥረቢያ = b ማምጣት ነው።

ይህንን ለማድረግ, በመጀመሪያ በግራ በኩል በግራ በኩል X እንደ ምክንያት, እና የቀሩትን ቃላት በቀኝ በኩል ያሉትን ሁሉንም ቃላት እንሰበስባለን. እንደ ፋክተር ተመሳሳይ ፊደል ያላቸው ውሎች ተመሳሳይ ቃላት ይባላሉ።

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10።

በማባዛት የማከፋፈያ ንብረት መሰረት፣ ተመሳሳዩን ምክንያት ከቅንፍ ውስጥ ማውጣት እንችላለን፣ እና ውህደቶቹን (ለተለዋዋጭ x ብዜቶች) ማከል እንችላለን። ይህ ሂደት ተመሳሳይ ቃላትን መቀነስ ተብሎም ይጠራል.

X (5-2+7-3) = 49.

7X = 49. እኩልታውን ወደ ቅፅ መጥረቢያ = b, a = 7, b = 49 ቀንስነው.

እና ከላይ እንደጻፍነው የቅጽ መጥረቢያ \u003d b እኩልነት ስር x \u003d b: a.

ይህም X = 49፡7 = 7 ነው።

ስልተ ቀመር ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የእኩልታ ሥሮችን ለማግኘት።

በቀመርው በግራ በኩል እንደ ቃላት ይሰብስቡ፣ የቀሩትን ቃላቶች በቀመርው በቀኝ በኩል።
እንደ ውሎች አምጡ።
እኩልታውን ወደ ቅጹ መጥረቢያ = b.
ቀመሩን x = b:a በመጠቀም ሥሮችን ያግኙ።

ማስታወሻ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, ተለዋዋጭው ወደ ማናቸውም ኃይል የሚነሳባቸውን ጉዳዮች ግምት ውስጥ አላስገባንም. በሌላ አነጋገር የአንደኛ ዲግሪ እኩልታዎችን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ተመልክተናል።

እኩልታዎች

እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?

በዚህ ክፍል፣ በጣም የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታዎችን እናስታውሳለን (ወይም ጥናት - ማንም እንደሚወደው)። ስለዚህ እኩልታ ምንድን ነው? በሰዎች አነጋገር፣ ይህ አንድ ዓይነት የሂሳብ አገላለጽ ነው፣ የእኩል ምልክት እና የማይታወቅ። ብዙውን ጊዜ በደብዳቤው የሚገለጠው "X". እኩልታውን መፍታትበሚተካበት ጊዜ እንደዚህ ያሉ x-እሴቶችን ማግኘት ነው። ኦሪጅናልአገላለጽ ትክክለኛውን ማንነት ይሰጠናል. ላስታውሳችሁ ማንነት ፍፁም በሂሳብ እውቀት ላልተጫነው ሰው ጥርጣሬን የማይፈጥር አገላለጽ ነው። እንደ 2=2፣ 0=0፣ ab=ab ወዘተ። ስለዚህ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?እስቲ እንገምተው።

ሁሉም አይነት እኩልታዎች አሉ (ገረመኝ አይደል?)። ነገር ግን ሁሉም ማለቂያ የሌላቸው ልዩነታቸው በአራት ዓይነቶች ብቻ ሊከፋፈሉ ይችላሉ.

4. ሌላ.)

የተቀሩት ሁሉ ፣ በእርግጥ ፣ ከሁሉም በላይ ፣ አዎ ...) ይህ ኪዩቢክ ፣ እና ገላጭ ፣ እና ሎጋሪዝም ፣ እና ትሪግኖሜትሪክ እና ሌሎች ሁሉንም ያጠቃልላል። በሚመለከታቸው ክፍሎች ውስጥ ከእነሱ ጋር በቅርበት እንሰራለን.

ወዲያውኑ መናገር አለብኝ አንዳንድ ጊዜ የመጀመሪያዎቹ ሶስት ዓይነቶች እኩልታዎች በጣም ቁስለኛ ስለሆኑ እነሱን አታውቃቸውም ... ምንም። እንዴት እነሱን መፍታት እንዳለብን እንማራለን.

እና እነዚህን አራት ዓይነቶች ለምን ያስፈልገናል? እና ከዚያ ምን መስመራዊ እኩልታዎችበአንድ መንገድ ተፈትቷል ካሬሌሎች ክፍልፋይ ምክንያታዊ - ሦስተኛው,ሀ ማረፍበፍፁም አልተፈታም! ደህና, እነሱ ጨርሶ የማይወስኑት አይደለም, ሂሳብን በከንቱ አስከፋሁ.) የራሳቸው ልዩ ዘዴዎች እና ዘዴዎች ስላላቸው ብቻ ነው.

ግን ለማንኛውም (እደግመዋለሁ - ለ ማንኛውም!) እኩልታዎች ለመፍታት አስተማማኝ እና ከችግር ነፃ የሆነ መሠረት ነው። በሁሉም ቦታ እና ሁልጊዜ ይሰራል. ይህ መሠረት - አስፈሪ ይመስላል, ነገር ግን ነገሩ በጣም ቀላል ነው. እና በጣም (በጣም!)አስፈላጊ.

በእውነቱ ፣ የእኩልታው መፍትሄ እነዚህን ተመሳሳይ ለውጦችን ያካትታል። በ99% ለጥያቄው መልስ: " እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?" በነዚህ ለውጦች ውስጥ ብቻ ነው። ፍንጩ ግልጽ ነው?)

የእኩልታዎች የማንነት ለውጦች።

አት ማንኛውም እኩልታዎችየማይታወቅን ለማግኘት የመጀመሪያውን ምሳሌ መለወጥ እና ማቅለል አስፈላጊ ነው. ከዚህም በላይ, በሚቀይሩበት ጊዜ መልክ የእኩልታው ይዘት አልተለወጠም።እንደዚህ አይነት ለውጦች ይባላሉ ተመሳሳይወይም ተመጣጣኝ.

እነዚህ ለውጦች መሆናቸውን ልብ ይበሉ ለእኩልታዎች ብቻ።በሂሳብ ውስጥ, አሁንም ተመሳሳይ ለውጦች አሉ መግለጫዎች.ይህ ሌላ ርዕስ ነው።

አሁን ሁሉንም-ሁሉንም-መሠረቱን እንደግማለን የእኩልታዎች ተመሳሳይ ለውጦች።

እነሱ ሊተገበሩ ስለሚችሉ መሰረታዊ ማንኛውምእኩልታዎች - መስመራዊ፣ ኳድራቲክ፣ ክፍልፋይ፣ ትሪግኖሜትሪክ፣ ገላጭ፣ ሎጋሪዝም፣ ወዘተ. ወዘተ.

የመጀመሪያው ተመሳሳይ ለውጥ; የማንኛውም እኩልታ ሁለቱም ጎኖች ሊጨመሩ ይችላሉ (መቀነስ) ማንኛውም(ግን አንድ አይነት ነው!) ቁጥር ወይም አገላለጽ (ከማይታወቅ አገላለጽ ጋር!) የእኩልታው ይዘት አይለወጥም።

በነገራችን ላይ፣ ይህን ለውጥ ያለማቋረጥ ተጠቅመህበታል፣ አንዳንድ ቃላትን ከምልክት ለውጥ ጋር ከአንድ የውጤት ክፍል ወደ ሌላ እያስተላለፍክ እንደሆነ ብቻ አስበህ ነበር። ዓይነት፡-

ጉዳዩ የሚታወቅ ነው፣ ዲውሱን ወደ ቀኝ እናንቀሳቅሰዋለን፣ እና የሚከተለውን እናገኛለን፡-

በእውነቱ አንተ ተወስዷልከሁለቱም እኩልዮሽ ዲውስ. ውጤቱም ተመሳሳይ ነው.

x+2 - 2 = 3 - 2

የቃላቶችን ወደ ግራ-ቀኝ ከምልክት ለውጥ ጋር ማስተላለፍ በቀላሉ የመጀመሪያው ተመሳሳይ ለውጥ አጭር ቅጂ ነው። እና እንደዚህ አይነት ጥልቅ እውቀት ለምን ያስፈልገናል? - ትጠይቃለህ. በእኩልታዎች ውስጥ ምንም የለም። ለእግዚአብሔር ብላችሁ አንቀሳቅሱት። ምልክቱን መቀየር ብቻ አይርሱ. ነገር ግን በእኩልነት አለመመጣጠን፣ የመተላለፍ ልማድ ወደ ሙት መጨረሻ ሊያመራ ይችላል።

ሁለተኛ የማንነት ለውጥ: የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ። ዜሮ ያልሆነቁጥር ወይም አገላለጽ. ሊረዳ የሚችል ገደብ እዚህ አስቀድሞ ይታያል፡ በዜሮ ማባዛት ሞኝነት ነው ነገርግን መከፋፈል ፈጽሞ አይቻልም። እንደ አሪፍ ነገር ሲወስኑ የሚጠቀሙት ለውጥ ይሄ ነው።

በማስተዋል፣ X= 2. ግን እንዴት አገኘኸው? ምርጫ? ወይስ ዝም ብሎ አበራ? ለማንሳት እና ማስተዋልን ላለመጠበቅ, ልክ እንደሆንክ መረዳት አለብህ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች ይከፋፍሉበ 5. በግራ በኩል (5x) ሲከፋፈሉ, አምስቱ ቀንሷል, ንጹህ X ይተዋል. የምንፈልገው የትኛው ነው። እና የቀኝ ጎን (10) በአምስት ሲካፈል ፣ በእርግጥ ፣ ዱቄ ሆነ።

ይኼው ነው.

በጣም የሚያስቅ ነው፣ ነገር ግን እነዚህ ሁለቱ (ሁለቱ ብቻ!) ተመሳሳይ ለውጦች የመፍትሄው መነሻ ናቸው። ሁሉም የሂሳብ እኩልታዎች.እንዴት! ምን እና እንዴት ምሳሌዎችን መመልከቱ ተገቢ ነው ፣ ትክክል?)

የእኩልታዎች ተመሳሳይ ለውጦች ምሳሌዎች። ዋና ችግሮች.

በዚ እንጀምር አንደኛተመሳሳይ ለውጥ. ወደ ግራ-ቀኝ ውሰድ።

ለትንንሽ ልጆች ምሳሌ)

የሚከተለውን እኩልታ መፍታት አለብን እንበል፡-

3-2x=5-3x

ድግሱን እናስታውስ፡- "ከ X ጋር - ወደ ግራ ፣ ያለ X - ወደ ቀኝ!"ይህ ፊደል የመጀመሪያውን የማንነት ለውጥ ተግባራዊ ለማድረግ መመሪያ ነው።) በቀኝ በኩል ያለው የ x የሚለው አገላለጽ ምንድን ነው? 3x? መልሱ የተሳሳተ ነው! በቀናችን - 3x! ተቀንሶሶስት x! ስለዚህ, ወደ ግራ ሲቀይሩ ምልክቱ ወደ ፕላስ ይለወጣል. አግኝ፡

3-2x+3x=5

ስለዚህ, Xs አንድ ላይ ተጣምረው ነበር. ቁጥሮቹን እናድርገው. በግራ በኩል ሶስት. የምን ምልክት? "ከምንም ጋር" መልሱ ተቀባይነት የለውም!) በሶስት እጥፍ ፊት, በእርግጥ, ምንም ነገር አልተሳለም. እና ይህ ማለት በሶስት እጥፍ ፊት ለፊት ነው አንድ ሲደመር.ስለዚህ የሂሳብ ሊቃውንት ተስማሙ። ምንም ነገር አልተጻፈም, ስለዚህ አንድ ሲደመር.ስለዚህ, ሶስት እጥፍ ወደ ቀኝ በኩል ይተላለፋል ከመቀነስ ጋር።እናገኛለን፡-

-2x+3x=5-3

ባዶ ቦታዎች ቀርተዋል። በግራ በኩል - ተመሳሳይ የሆኑትን ይስጡ, በቀኝ በኩል - ቆጠራ. መልሱ ወዲያውኑ ነው፡-

በዚህ ምሳሌ አንድ ተመሳሳይ ለውጥ በቂ ነበር። ሁለተኛው አያስፈልግም. ደህና ፣ እሺ)

ምሳሌ ለሽማግሌዎች)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። መማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

በቀደሙት ትምህርቶች ፣ መግለጫዎችን እናውቀዋለን ፣ እና እነሱን እንዴት ማቃለል እና ማስላት እንደሚቻል ተምረናል። አሁን ወደ ይበልጥ አስቸጋሪ እና ሳቢ ማለትም ወደ እኩልታዎች እንሸጋገራለን.

እኩልታ እና ሥሮቹ

ተለዋዋጭ(ዎች) የያዘ እኩልነት ይባላል እኩልታዎች. እኩልታውን መፍታት ፣ እኩልነቱ እውነት የሚሆንበትን ተለዋዋጭ ዋጋ ማግኘት ማለት ነው። የተለዋዋጭ እሴት ይባላል የእኩልታው ሥር .

እኩልታዎች አንድ ሥር፣ ብዙ ወይም ምንም ሊኖራቸው ይችላል።

እኩልታዎችን በሚፈቱበት ጊዜ, የሚከተሉት ባህሪያት ጥቅም ላይ ይውላሉ:

በቀመር ውስጥ ቃሉን ከአንዱ የሒሳብ ክፍል ወደ ሌላው የምናስተላልፍ ከሆነ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው እየቀየርን ከሆነ ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ እናገኛለን።
የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ቁጥር ከተባዙ ወይም ከተከፋፈሉ ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ ይመጣል።

ምሳሌ #1ከቁጥሮች ውስጥ የትኛው ነው: -2, -1, 0, 2, 3 የእኩልታው መነሻዎች ናቸው:

ይህንን ተግባር ለመፍታት ከተለዋዋጭ x ይልቅ እያንዳንዱን ቁጥሮች በተለዋዋጭ መተካት እና እኩልነት እንደ እውነት የሚቆጠርባቸውን ቁጥሮች መምረጥ ብቻ ያስፈልግዎታል።

በ"x \u003d -2"፡-

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\ (4 \u003d 4 \) - እኩልነት እውነት ነው ፣ ይህም ማለት (-2) የእኩልታችን መሠረት ነው ።

በ"x \u003d -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - እኩልነት ስህተት ነው፣ ስለዚህ (-1) የእኩልታው መነሻ አይደለም

(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - እኩልነት ስህተት ነው፣ ስለዚህ 0 የእኩልታው መነሻ አይደለም።

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\ (4 \u003d 4 \) - እኩልነት እውነት ነው ፣ ይህ ማለት 2 የእኩልታችን መሠረት ነው ።

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - እኩልነት ስህተት ነው, ስለዚህ 3 የእኩልታው መነሻ አይደለም

መልስ፡ ከቀረቡት ቁጥሮች፣ የእኩልታው ሥሮች \(x^2=10-3x \) ቁጥሮች -2 እና 2 ናቸው።

መስመራዊ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር የቅርጽ መጥረቢያ = b እኩልታዎች ሲሆኑ x ተለዋዋጭ እና a እና b የተወሰኑ ቁጥሮች ናቸው።

አለ። ብዙ ቁጥር ያለውየእኩልታ ዓይነቶች ግን የብዙዎቹ መፍትሄ ወደ መፍታት ይቀንሳል መስመራዊ እኩልታዎች, ስለዚህ የዚህ ርዕስ እውቀት ለተጨማሪ ትምህርት ግዴታ ነው!

ምሳሌ #2እኩልታውን ይፍቱ፡ 4(x+7) = 3-x

ይህንን እኩልነት ለመፍታት በመጀመሪያ ፣ ቅንፍውን ማስወገድ ያስፈልግዎታል ፣ እና ለዚህም በቅንፍ ውስጥ ያሉትን እያንዳንዱን ውሎች በ 4 እናባዛቸዋለን ፣ እናገኛለን

4x + 28 = 3 - x

አሁን ሁሉንም እሴቶች ከ "x" ወደ አንድ ጎን, እና ሁሉንም ነገር ወደ ሌላኛው ጎን (ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ለመቀየር በማስታወስ) ማስተላለፍ ያስፈልግዎታል:

4x + x = 3 - 28

አሁን በግራ እና በቀኝ ያለውን ዋጋ ይቀንሱ:

ያልታወቀ ምክንያት (x) ለማግኘት ምርቱን (25) በሚታወቀው ምክንያት (5) መከፋፈል ያስፈልግዎታል።

መልስ x = -5

ስለ መልሱ ጥርጣሬ ካለህ፣በእኛ እኩልታ ውስጥ ያለውን ዋጋ በ x ምትክ በመተካት ማረጋገጥ ትችላለህ፡-

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - እኩልታው በትክክል ተፈቷል!

አሁን ይበልጥ ከባድ የሆነውን ነገር ለመፍታት፡-

ምሳሌ #3የእኩልታውን ሥሮች ፈልግ፡ \((y+4)-(y-4)=6y \)

በመጀመሪያ ደረጃ ቅንፍዎቹንም አስወግዱ፡-

ወዲያውኑ y እና -y በግራ በኩል እናያለን ፣ ይህ ማለት በቀላሉ ሊሻገሩ ይችላሉ ፣ እና የተገኙት ቁጥሮች በቀላሉ ሊጨመሩ እና አገላለጹ ይፃፋል ።

አሁን እሴቶቹን በ "y" ወደ ግራ እና እሴቶቹን ከቁጥሮች ጋር ወደ ቀኝ ማንቀሳቀስ ይችላሉ. ነገር ግን ይህ አስፈላጊ አይደለም, ምክንያቱም ተለዋዋጮች ከየትኛው ጎን ላይ ቢሆኑም, ዋናው ነገር ያለ ቁጥሮች መሆናቸው ነው, ይህም ማለት ምንም ነገር አናስተላልፍም ማለት ነው. ለማይረዱት ግን ንብረቱ እንደሚለው እንደ ደንቡ እናደርጋለን እና ሁለቱንም ክፍሎች በ (-1) እናካፍላቸዋለን።

ያልታወቀ ምክንያት ለማግኘት ምርቱን በሚታወቀው ምክንያት መከፋፈል ያስፈልግዎታል፡-

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3)= 1\frac(1)(3))

መልስ፡ y = \(1\frac(1)(3) \)

እንዲሁም መልሱን ማረጋገጥ ይችላሉ, ግን እራስዎ ያድርጉት.

ምሳሌ #4\((0.5x+1.2)-(3.6-4.5x)=(4.8-0.3x)+(10.5x+0.6) \)

አሁን እኔ ብቻ እፈታለሁ ፣ ያለ ማብራሪያ ፣ እና የመፍትሄውን ሂደት እና የእኩልታዎች መፍትሄ ትክክለኛ መግለጫን ይመለከታሉ።

\((0.5x+1.2)-(3.6-4.5x)=(4.8-0.3x)+(10.5x+0.6) \)

(0.5x+1.2-3.6+4.5x=4.8-0.3x+10.5x+0.6 \)

(0.5x+4.5x+0.3x-10.5x=4.8+0.6-1.2+3.6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

መልስ: x = -1.5

በመንገድ ላይ አንድ ነገር ግልጽ ካልሆነ በአስተያየቶቹ ውስጥ ይፃፉ

ከእኩልታዎች ጋር ችግሮችን መፍታት

እኩልታዎች ምን እንደሆኑ ማወቅ እና እነሱን እንዴት ማስላት እንደሚችሉ በመማር፣ እኩልታዎች ለመፍታት የሚያገለግሉባቸውን ብዙ ችግሮችን የመፍታት እድልን ይከፍታሉ።

ወደ ቲዎሪ አልገባም, ሁሉንም ነገር በአንድ ጊዜ በምሳሌዎች ማሳየት የተሻለ ነው

ምሳሌ #5በቅርጫት ውስጥ ከሳጥኑ ውስጥ 2 እጥፍ ያነሱ ፖምዎች ነበሩ. 10 ፖም ከቅርጫቱ ወደ ሳጥኑ ከተዘዋወሩ በኋላ በቅርጫት ውስጥ ከ 5 እጥፍ በላይ ፖም ነበሩ. በቅርጫት ውስጥ ስንት ፖም እና በሳጥኑ ውስጥ ስንት ነበሩ?

በመጀመሪያ ደረጃ ለ "x" የምንወስደውን ነገር መወሰን አለብን, በዚህ ችግር ውስጥ ሁለቱንም ሳጥኖች እና ቅርጫቶች መቀበል እንችላለን, ነገር ግን ፖም በቅርጫት ውስጥ እወስዳለሁ.

ስለዚህ, በቅርጫት ውስጥ x ፖም ይኑር, በሳጥኑ ውስጥ ሁለት እጥፍ ፖም ስለነበረ, ከዚያም ይህንን ለ 2x እንወስዳለን. ፖም ከቅርጫቱ ወደ ሳጥኑ ከተዘዋወረ በኋላ የፖም ቅርጫት: x - 10, ማለትም - (2x + 10) ፖም በሳጥኑ ውስጥ ነበሩ.

አሁን እኩልታ ማድረግ ይችላሉ፡-

5 (x-10) - በሳጥኑ ውስጥ ከቅርጫቱ ውስጥ 5 እጥፍ ተጨማሪ ፖም አለ.

የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ዋጋ እኩል ያድርጉት፡-

2x+10 = 5(x-10) እና መፍታት፡-

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x \u003d -60 / -3 \u003d 20 (ፖም) - በቅርጫት ውስጥ

አሁን ፣ በቅርጫቱ ውስጥ ስንት ፖም እንደነበሩ በማወቅ ፣ በሳጥኑ ውስጥ ስንት ፖም እንደነበሩ እናገኛለን - ሁለት እጥፍ ስለነበሩ ውጤቱን በቀላሉ በ 2 እናባዛለን።

2 * 20 = 40 (ፖም) - በሳጥን ውስጥ

መልስ: በሳጥን ውስጥ 40 ፖም እና በቅርጫት ውስጥ 20 ፖም አለ.

ብዙዎቻችሁ ችግሮችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ሙሉ በሙሉ እንዳልተገነዘቡ ተረድቻለሁ, ነገር ግን በትምህርታችን ውስጥ ወደዚህ ርዕስ ከአንድ ጊዜ በላይ እንደምንመለስ አረጋግጣለሁ, አሁን ግን አሁንም ጥያቄዎች ካሉዎት በአስተያየቶቹ ውስጥ ይጠይቋቸው.

በመጨረሻ፣ እኩልታዎችን ለመፍታት ጥቂት ተጨማሪ ምሳሌዎች

ምሳሌ #6(2x - 0.7x = 0 \)

ምሳሌ #7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

ምሳሌ #8(6ይ-(y-1) = 4+5y \)

\(6ይ-y+1=4+5ይ\)

(6ይ-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - ምንም ሥሮች የሉም ፣ ምክንያቱም በዜሮ መከፋፈል አይችሉም!

ትኩረት ስለሰጣችሁን ሁላችሁንም አመሰግናለሁ። የሆነ ነገር ግልጽ ካልሆነ በአስተያየቶቹ ውስጥ ይጠይቁ.

ጃቫስክሪፕት በአሳሽዎ ውስጥ ተሰናክሏል።
ስሌቶችን ለመሥራት የActiveX መቆጣጠሪያዎች መንቃት አለባቸው!

አት የትምህርት ቤት ኮርስየሒሳብ ሊቃውንት የኳድራቲክ እኩልታዎችን ሥረ-ቀመሮችን ያጠናሉ ፣ በዚህም ማንኛውንም ባለአራት እኩልታዎች መፍታት ይችላሉ። ይሁን እንጂ ብዙ እኩልታዎችን በፍጥነት እና በምክንያታዊነት ለመፍታት የሚያስችሉዎትን ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ሌሎች መንገዶችም አሉ። ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት አስር መንገዶች አሉ። በስራዬ ውስጥ, እያንዳንዳቸውን በዝርዝር ገምግሜያለሁ.

1. ዘዴ : የእኩልታው ግራ ጎን ፋክተሪላይዜሽን።

እኩልታውን እንፍታው።

x 2 + 10x - 24 = 0.

የግራውን ጎን እናድርገው፡-

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2)።

ስለዚህ, እኩልታው እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

(x + 12) (x - 2) = 0

ምርቱ ዜሮ ስለሆነ ፣ ከዚያ ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ዜሮ. ስለዚህ፣ የእኩልታው ግራ ጎን በ ላይ ይጠፋል x = 2, እንዲሁም በ x = - 12. ይህ ማለት ቁጥሩ ማለት ነው 2 እና - 12 የእኩልታው መነሻዎች ናቸው። x 2 + 10x - 24 = 0.

2. ዘዴ : ሙሉ ካሬ ምርጫ ዘዴ.

እኩልታውን እንፍታው። x 2 + 6x - 7 = 0.

በግራ በኩል አንድ ሙሉ ካሬ እንመርጥ.

ይህንን ለማድረግ, አገላለጹን x 2 + 6x እንጽፋለን የሚከተለው ቅጽ:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3።

በውጤቱ አገላለጽ ውስጥ የመጀመሪያው ቃል የቁጥር x ካሬ ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ የ x በ 3 ድርብ ምርት ነው. ስለዚህ ሙሉውን ካሬ ለማግኘት 3 2 መጨመር ያስፈልግዎታል.

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

አሁን የእኩልቱን ግራ ጎን እንለውጣለን

x 2 + 6x - 7 = 0,

በእሱ ላይ መጨመር እና መቀነስ 3 2 . እና አለነ:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16።

ስለዚህ, ይህ እኩልነት እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ. x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ወይም x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. ዘዴ :የኳድራቲክ እኩልታዎች በቀመር መፍትሄ።

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ማባዛት።

አሀ 2+ለx + c = 0፣ a ≠ 0

በ 4a እና በተከታታይ እኛ አለን:

4a 2 x 2 + 4aለx + 4ac = 0፣

((2ax) 2 + 2axለ + ለ 2 ) - ለ 2 + 4 ac = 0,

(2ax + ለ) 2 = b 2 - 4ac፣

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac፣

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

ምሳሌዎች.

ሀ)እኩልታውን እንፈታው፡- 4x2 + 7x + 3 = 0።

ሀ = 4፣ለ= 7፣ c = 3፣ዲ = ለ 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ዲ > 0, ሁለት የተለያዩ ሥሮች;

ስለዚህ, በአዎንታዊ አድሎአዊ ሁኔታ, ማለትም. በ

ለ 2 - 4 ac >0 , እኩልታ አሀ 2+ለx + c = 0ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሉት.

ለ)እኩልታውን እንፈታው፡- 4x 2 - 4x + 1 = 0፣

ሀ = 4፣ለ= - 4, c = 1,ዲ = ለ 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ዲ = 0, አንድ ሥር;

ስለዚህ, አድልዎ ዜሮ ከሆነ, ማለትም. ለ 2 - 4 ac = 0 , ከዚያም እኩልታ

አሀ 2+ለx + c = 0ነጠላ ሥር አለው

ውስጥ)እኩልታውን እንፈታው፡- 2x 2 + 3x + 4 = 0፣

ሀ = 2፣ለ= 3፣ c = 4፣ዲ = ለ 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , ዲ < 0.

ይህ እኩልታ ሥር የለውም።

ስለዚህ, አድልዎ አሉታዊ ከሆነ, ማለትም. ለ 2 - 4 ac < 0 ,

እኩልታው አሀ 2+ለx + c = 0ሥር የለውም።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር (1) አሀ 2+ለx + c = 0ሥሮቹን እንዲያገኙ ያስችልዎታል ማንኛውም ኳድራቲክ እኩልታ (ካለ)፣ የተቀነሰ እና ያልተሟላን ጨምሮ። ቀመር (1) በቃላት እንደሚከተለው ይገለጻል። የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች አሃዛዊው ከሁለተኛው ኮፊሸን ጋር እኩል ከሆነ ክፍልፋይ ጋር እኩል ነው፣ በተቃራኒው ምልክት ከተወሰደ፣ በተጨማሪም የዚህ ኮፊፊሸን ስኩዌር ስኩዌር ስር ሲቀነስ የመጀመርያው ኮፊፊሸን በነጻ ቃል በአራት እጥፍ ሳይጨምር። እና መለያው የመጀመሪያው ኮፊሸን ሁለት እጥፍ ነው።

4. ዘዴ፡- የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም የእኩልታዎች መፍትሄ።

እንደሚታወቀው, የተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታመልክ አለው።

x 2+px + ሐ = 0. (1)

ሥሮቹ የቪዬታ ቲዎረምን ያረካሉ, እሱም, መቼ ሀ =1መልክ አለው።

x 1 x 2 = ቅ,

x 1 + x 2 = - ገጽ

ከዚህ በመነሳት የሚከተሉትን ድምዳሜዎች ልንሰጥ እንችላለን (የሥሮቹን ምልክቶች ከቁጥሮች p እና q) መተንበይ ይቻላል.

ሀ) የማጠቃለያ ቃል ከሆነ ቅየተቀነሰው ቀመር (1) አዎንታዊ ነው ( ቅ > 0 ), ከዚያም እኩልታው የአንድ ምልክት ሁለት ሥሮች አሉት እና ይህ የሁለተኛው ኮፊሸን ቅናት ነው ገጽ. ከሆነ አር< 0 , ከዚያም ሁለቱም ሥሮች አሉታዊ ከሆነ አር< 0 , ከዚያም ሁለቱም ሥሮች አዎንታዊ ናቸው.

ለምሳሌ,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 እና x 2 = 1, ምክንያቱም ቅ = 2 > 0 እና ገጽ = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 እና x 2 = - 1, ምክንያቱም ቅ = 7 > 0 እና ገጽ= 8 > 0.

ለ) ነፃ አባል ከሆነ ቅየተቀነሰው ቀመር (1) አሉታዊ ነው ( ቅ < 0 ), ከዚያ እኩልታው ሁለት የተለያዩ ምልክቶች አሉት, እና በፍፁም እሴት ውስጥ ያለው ትልቁ ሥር ከሆነ አዎንታዊ ይሆናል. ገጽ < 0 ፣ ወይም አሉታዊ ከሆነ ገጽ > 0 .

ለምሳሌ,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 እና x 2 = 1, ምክንያቱም ቅ= - 5 < 0 እና ገጽ = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 እና x 2 = - 1, ምክንያቱም ቅ = - 9 < 0 እና ገጽ = - 8 < 0.

5. ዘዴ፡- የ "ማስተላለፊያ" ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት.

የኳድራቲክ እኩልታውን አስቡበት

አሀ 2+ለx + c = 0፣የት a ≠ 0.

ሁለቱንም ክፍሎቹን በ a በማባዛት, እኩልታውን እናገኛለን

አንድ 2 x 2 + አለx + ac = 0

ፍቀድ አህ = y፣ የት x = y/a; ከዚያም ወደ እኩልታው እንመጣለን

y 2+በ+ ac = 0፣

ከዚህ ጋር እኩል ነው። ሥሮቹን 1እና በ 2 የቪዬታ ቲዎሬምን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል.

በመጨረሻም እናገኛለን

x 1 \u003d y 1 / አእና x 1 \u003d y 2 / አ.

በዚህ ዘዴ, ቅንጅት ሀበነጻው ቃል ተባዝቷል ፣ በእሱ ላይ “የተጣለ” ያህል ፣ ስለሆነም ይባላል የማስተላለፊያ ዘዴ. ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም የአንድን እኩልታ ሥር ለማግኘት ቀላል ሲሆን እና ከሁሉም በላይ ደግሞ አድልዎ ትክክለኛ ካሬ ሲሆን ነው።

ለምሳሌ.

እኩልታውን እንፍታው። 2x 2 - 11x + 15 = 0።

መፍትሄ። Coefficient 2 ን ወደ ነፃ ቃል "እናስተላልፍ" በዚህም ምክንያት እኩልታውን እናገኛለን

y 2 - 11y + 30 = 0.

በቪዬታ ቲዎሪ መሰረት

y 1 = 5 x 1 = 5/2x 1 = 2,5

y 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

መልስ፡ 2.5; 3.

6. ዘዴ፡- የኳድራቲክ እኩልታ ቅንጅቶች ባህሪያት.

ግን። የኳድራቲክ እኩልታ ይሁን

አሀ 2+ለx + c = 0፣የት a ≠ 0.

1) ከሆነ, a+ለ+ c \u003d 0 (ማለትም የቁጥሮች ድምር ዜሮ ነው)፣ ከዚያ x 1 \u003d 1፣