Metode rješavanja algebarskih jednačina viših stupnjeva.
Khabibullina Alfiya Yakubovna ,
nastavnik matematike najviše kategorije MBOU srednje škole №177
grad Kazanj, Počasni učitelj Republike Tatarstan,
kandidat pedagoških nauka.
Definicija 1. Algebarska jednadžba stepena n je jednačina oblika P n (x)=0, gdje je P n (x) polinom stepena n, tj. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Definicija 2. Root jednadžba - numerička vrijednost varijable x, koja, kada se zameni u ovu jednačinu, daje istinska jednakost.
Definicija 3. Odluči se Jednačina znači pronaći sve njene korijene ili dokazati da ih nema.
I. Metoda za faktoriranje polinoma u faktore sa naknadnim cijepanjem.
Jednačina se može razložiti i riješiti metodom cijepanja, odnosno razbijanjem na skup jednačina manjih stupnjeva.
Komentar: općenito, pri rješavanju jednadžbe metodom cijepanja, ne treba zaboraviti da je proizvod jednak nuli ako, i samo ako, barem jedan od faktora nula dok drugi ostaju značajni.
Načini faktorizacije polinoma:
1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.
2.
Kvadratni trinom može se faktorizirati korištenjem ah formule 2
+ u + c \u003d a (x-x 1
)(x-x 2
),
gdje a 
0, x 1 i x 2 su korijeni kvadratnog trinoma.
3. Upotreba skraćene formule za množenje :
a n - u n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C 1 a u n-2 + u n- 1) ,n 
N.
Potpuni izbor kvadrata. Polinom se može rastaviti na faktore koristeći formulu razlike kvadrata, nakon što je prethodno istaknut puni kvadrat zbira ili razlike izraza.
4. grupisanje(u kombinaciji sa vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada).
5. Koristeći posljedicu Bezoutove teoreme.
1) ako je jednadžba a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 sa cjelobrojnim koeficijentima ima racionalni korijen x 0 = 
(gde - nesvodljivi razlomak, str 
q 
), tada je p djelitelj slobodnog člana a n , a q je djelitelj vodećeg koeficijenta a 0 .
2) ako je x \u003d x 0 korijen jednadžbe P n (x) = 0, tada je P n (x) = 0 ekvivalentan jednadžbi
(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, gdje je P n-1 (x) polinom koji se može naći dijeljenjem
P n (x) na (x - x 0) “ugao” ili metodom neodređenih koeficijenata.
II . Metoda za uvođenje nove varijable (Supstitution )
Razmotrimo jednačinu f(x)=g(x). To je ekvivalentno jednadžbi f (x) -g (x) \u003d 0. Označimo razliku f (x) - g (x) = h (p (x)), i 
. Hajde da uvedemo promjenu t=p(x) (poziva se funkcija t=p(x). zamjena
). Tada dobijamo jednačinu h (p (x)) = 0 ili h (t) = 0, rješavajući posljednju jednačinu, nalazimo t 1, t 2, ... Vraćajući se na zamjenu p (x) = t 1, p (x) \u003d t 2 ,…, nalazimo vrijednosti varijable x.
III Metoda stroge monotonosti.
Teorema. Ako je y = f(x) striktno monotona na P, onda jednačina f(x) = a (a - const) ima najviše jedan korijen na skupu P. (Funkcija je strogo monotona: ili samo opada ili samo raste)
Komentar. Možete koristiti modifikaciju ove metode. Razmotrimo jednačinu f(x)=g(x). Ako je funkcija y= f(x) monotono opadajuća na P, a funkcija y= g(x) monotono opadajuća na P (ili obrnuto), tada jednačina f(x)=g(x) ima najviše jedan korijen na skupu P.
IV. Metoda za poređenje skupa vrijednosti oba dijela jednadžbe (metoda procjene)
Teorema Ako za bilo koji x iz skupa P nejednakosti f(x) 
a, i g(x) 
a, tada je jednadžba f(x)=g(x) na skupu R ekvivalentna sistemu 
.
Posljedica: Ako je na setu P 
ili 
, tada jednačina f(x)=g(x) nema korijen.
Ova metoda je prilično učinkovita u rješavanju transcendentalnih jednačina
V. Metoda nabrajanja djelitelja ekstremnih koeficijenata
Razmotrimo jednačinu a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Teorema. Ako je x 0 = 
je korijen algebarske jednadžbe stepena n, a i su cjelobrojni koeficijenti, tada je p djelitelj slobodnog člana a n , a q je djelitelj vodećeg koeficijenta a 0 . Kada je 0 = 1 x 0 = p (djelitelj slobodnog člana).
Posljedica Bezoutov teorem: Ako je x 0 korijen algebarske jednadžbe, tada se P n (x) dijeli sa (x-x 0) bez ostatka, tj. P n (x) = (x-x 0)Q n-1 (x) .
VI Metoda neodređenih koeficijenata.
Zasnovan je na sljedećim izjavama:
dva polinoma su identično jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti jednaki pri istim potencijama x.
bilo koji polinom trećeg stepena se razlaže u proizvod dva faktora: linearnog i kvadratnog.
bilo koji polinom četvrtog stepena se razlaže u proizvod dva polinoma
drugi stepen.
VII. Hornerova šema .
Koristeći tablicu koeficijenata prema Hornerovom algoritmu, odabirom se pronalaze korijeni jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana.
VIII . Derivativna metoda.
Teorema. Ako 2 polinoma P(x) i Q(x) imaju identično jednake izvode, onda postoji C-konst takva da je P(x)=Q(x)+C za 
x 
R.
Teorema. Ako a 
(x) i 
(x) su djeljive sa 
, onda (x) je djeljiv sa 
.
Posljedica: Ako a (x) i (x) su podijeljeni polinomom R(x) (x) je djeljiv sa 
(x), i najveći zajednički djelitelj polinoma (x) i (x) 
ima korijene koji su samo korijeni polinoma (x) sa višestrukim brojem od najmanje 2.
IX . Simetrične, recipročne jednačine .
Definicija. Jednačina a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 naziva se simetrično
, ako 
1. Razmotrimo slučaj kada je n parno, n =2k. Ako a 
, tada x = 0 nije korijen jednadžbe, što daje pravo da se jednačina podijeli na 
0 
+
+
+
=0 Hajde da uvedemo promjenu t= 
i, uzimajući u obzir lemu, rješavamo kvadratna jednačina u odnosu na varijablu t. Povratna zamjena će dati rješenje za varijablu x.
2. Razmotrimo slučaj kada je n neparno, n=2k+1. Onda 
= -1 je korijen jednadžbe. Podijelite jednačinu sa 
i dobijamo slučaj 1.. Povratna zamjena vam omogućava da pronađete vrijednosti x. Imajte na umu da se za m=-1 jednačina naziva Transformacija algebarska jednačina P n (x)=0 (gdje je P n (x) polinom stepena n) u jednačinu oblika f(x)=g(x). Postavite funkcije y=f(x), y=g(x); opisujemo njihova svojstva i crtamo grafove u jednom koordinatnom sistemu. Apscise presječnih tačaka bit će korijeni jednadžbe. Provjera se vrši zamjenom u originalnu jednačinu.
Razmislite rješavanje jednačina sa jednom varijablom stepena većeg od drugog.
Stepen jednačine P(x) = 0 je stepen polinoma P(x), tj. najveća potencija njegovih članova sa koeficijentom koji nije nula.
Tako, na primjer, jednadžba (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 ima peti stepen, jer nakon operacija otvaranja zagrada i dovođenja sličnih, dobijamo ekvivalentnu jednačinu x 5 - 2x 3 + 3 = 0 petog stepena.
Prisjetite se pravila koja će biti potrebna za rješavanje jednadžbi stepena višeg od drugog.
Izjave o korijenima polinoma i njegovim djeliteljima:
1. Polinom nth stepen ima broj korijena koji ne prelazi broj n, a korijeni višestrukosti m pojavljuju se tačno m puta.
2. Polinom neparnog stepena ima barem jedan pravi korijen.
3. Ako je α korijen od R(h), onda je R n (h) = (h – α) · Q n – 1 (x), gdje je Q n – 1 (x) polinom stepena (n – 1) .
4.
5. Redukovani polinom s cijelim koeficijentima ne može imati razlomačne racionalne korijene.
6. Za polinom trećeg stepena
P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d jedna od dvije stvari je moguća: ili se razlaže u proizvod tri binoma
P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), ili se razlaže u proizvod binoma i kvadratnog trinoma P 3 (x) = a (x - α) ( x 2 + βx + γ ).
7. Bilo koji polinom četvrtog stepena proširuje se u proizvod dva kvadratna trinoma.
8. Polinom f(x) je djeljiv polinomom g(x) bez ostatka ako postoji polinom q(x) takav da je f(x) = g(x) q(x). Za podjelu polinoma primjenjuje se pravilo "podjele uglom".
9. Da bi polinom P(x) bio djeljiv sa binomom (x – c), potrebno je i dovoljno da broj c bude korijen od P(x) (korolencija Bezoutove teoreme).
10. Vietin teorem: Ako su x 1, x 2, ..., x n pravi korijeni polinoma
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tada vrijede sljedeće jednakosti:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.
Rješenje primjera
Primjer 1
Pronađite ostatak nakon dijeljenja P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 sa (x - 1/3).
Rješenje.
Prema posledicama Bezoutove teoreme: "Ostatak dijeljenja polinoma binomom (x - c) jednak je vrijednosti polinoma u c." Nađimo P(1/3) = 0. Dakle, ostatak je 0, a broj 1/3 je korijen polinoma.
Odgovor: R = 0.
Primjer 2
Podijelite "ugao" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 sa (x + 2). Pronađite ostatak i nepotpuni količnik. 
Rješenje:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Odgovor: R = 3; količnik: 2x 2 - x.
Osnovne metode za rješavanje jednačina viših stupnjeva
1. Uvođenje nove varijable
Metoda uvođenja nove varijable već je poznata iz primjera bikvadratnih jednadžbi. Sastoji se u činjenici da se za rješavanje jednadžbe f (x) = 0 uvodi nova varijabla (zamjena) t = x n ili t = g (x) i f (x) se izražava kroz t, čime se dobiva nova jednačina r (t). Zatim rješavajući jednačinu r(t), pronađite korijene:
(t 1 , t 2 , …, t n). Nakon toga dobija se skup od n jednačina q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, iz kojih se nalaze korijeni izvorne jednačine.
Primjer 1
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Rješenje:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
Zamjena (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Obrnuta zamjena:
x 2 + x + 1 = 2 ili x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 ili x 2 + x = 0;
Odgovor: Iz prve jednačine: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, iz druge: 0 i -1.
2. Faktorizacija metodom grupisanja i skraćenim formulama za množenje
Osnova ove metode takođe nije nova i sastoji se u grupisanju pojmova na način da svaka grupa sadrži zajednički faktor. Da biste to učinili, ponekad morate koristiti neke umjetne trikove.
Primjer 1
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Rješenje.
Zamislite - 3x 2 = -2x 2 - x 2 i grupa:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 = 0 ili x 2 + x - 3 = 0.
Odgovor: U prvoj jednadžbi nema korijena, iz druge: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.
3. Faktorizacija metodom neodređenih koeficijenata
Suština metode je da se originalni polinom razlaže na faktore sa nepoznatim koeficijentima. Koristeći svojstvo da su polinomi jednaki ako su im koeficijenti jednaki na istim potencijama, nalaze se nepoznati koeficijenti proširenja.
Primjer 1
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Rješenje.
Polinom 3. stepena može se razložiti na proizvod linearnih i kvadratnih faktora.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Rešavanje sistema:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,
(a = -1,
(b=3,
(c = 2, tj.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Korijene jednačine (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 je lako pronaći.
Odgovor: -1; -2.
4. Metoda odabira korijena po najvećem i slobodnom koeficijentu
Metoda se zasniva na primjeni teorema:
1) Bilo koji cjelobrojni korijen polinoma s cijelim koeficijentima je djelitelj slobodnog člana.
2) Da bi nesvodljivi razlomak p / q (p je cijeli broj, q je prirodan) bio korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, potrebno je da je broj p cijeli broj djelitelj slobodnog člana a 0, a q je prirodni djelitelj najvećeg koeficijenta.
Primjer 1
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Rješenje:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Dakle, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Nakon što pronađemo jedan korijen, na primjer - 2, pronaći ćemo druge korijene pomoću dijeljenja uglom, metodom neodređenih koeficijenata ili Hornerovom shemom.
Odgovor: -2; 1/2; 1/3.
Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednačine?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Općenito, jednačina koja ima stepen veći od 4 ne može se riješiti u radikalima. Ali ponekad još uvijek možemo pronaći korijene polinoma s lijeve strane u jednadžbi najvišeg stepena, ako je predstavimo kao proizvod polinoma u stepenu ne većem od 4. Rješenje takvih jednačina zasniva se na dekompoziciji polinoma na faktore, pa vam savjetujemo da pregledate ovu temu prije proučavanja ovog članka.
Najčešće se radi o jednačinama viših stupnjeva sa cjelobrojnim koeficijentima. U tim slučajevima možemo pokušati pronaći racionalne korijene, a zatim činiti polinom tako da ga onda možemo pretvoriti u jednadžbu nižeg stepena, što će biti lako riješiti. U okviru ovog materijala razmotrit ćemo upravo takve primjere.
Jednačine višeg stepena sa celobrojnim koeficijentima
Sve jednadžbe oblika a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , možemo svesti na jednačinu istog stepena množenjem obje strane sa a n n - 1 i promjenom varijable oblika y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Rezultirajući koeficijenti će također biti cijeli brojevi. Dakle, moraćemo da rešimo redukovanu jednačinu n-tog stepena sa celobrojnim koeficijentima, koja ima oblik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Izračunavamo cjelobrojne korijene jednadžbe. Ako jednadžba ima cjelobrojne korijene, trebate ih potražiti među djeliteljima slobodnog člana a 0. Zapišimo ih i zamijenimo ih u izvornu jednakost jedan po jedan, provjeravajući rezultat. Nakon što smo dobili identitet i pronašli jedan od korijena jednadžbe, možemo ga zapisati u obliku x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Ovdje je x 1 korijen jednadžbe, a P n - 1 (x) je količnik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 podijeljen sa x - x 1 .
Zamijenite preostale djelitelje u P n - 1 (x) = 0 , počevši od x 1 , jer se korijeni mogu ponoviti. Nakon dobijanja identiteta, korijen x 2 se smatra pronađenim, a jednačina se može napisati kao (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) = 0. Ovdje je P n - 2 (x ) će biti količnik od dijeljenja P n - 1 (x) sa x - x 2 .
Nastavljamo da sortiramo djelitelje. Pronađite sve cjelobrojne korijene i označite njihov broj sa m. Nakon toga, originalna jednačina se može predstaviti kao x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Ovdje je P n - m (x) polinom n - m -tog stepena. Za proračun je zgodno koristiti Hornerovu shemu.
Ako naša originalna jednadžba ima cjelobrojne koeficijente, ne možemo završiti s razlomačnim korijenima.
Kao rezultat, dobili smo jednačinu P n - m (x) = 0, čiji se korijeni mogu pronaći na bilo koji pogodan način. One mogu biti iracionalne ili složene.
Hajde da pokažemo dalje konkretan primjer kako se takva shema rješenja primjenjuje.
Primjer 1
Stanje: naći rješenje jednačine x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Rješenje
Počnimo s pronalaženjem cjelobrojnih korijena.
Imamo presek jednak minus tri. Ima djelitelje jednake 1, -1, 3 i -3. Zamijenimo ih u originalnu jednačinu i vidimo koja će od njih dati identitete kao rezultat.
Za x jednako jedan, dobijamo 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 = 0, što znači da će jedan biti korijen ove jednadžbe.
Sada podijelimo polinom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 sa (x - 1) u stupac:
Dakle, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0
Dobili smo identitet, što znači da smo pronašli drugi korijen jednačine, jednak - 1.
Polinom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dijelimo sa (x + 1) u stupcu:
Shvatili smo to
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Zamjenjujemo sljedeći djelitelj u jednadžbu x 2 + x + 3 = 0, počevši od - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Rezultirajuće jednakosti će biti netačne, što znači da jednačina više nema cjelobrojne korijene.
Preostali korijeni bit će korijeni izraza x 2 + x + 3 .
D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0
Iz ovoga slijedi da ovaj kvadratni trinom nema realne korijene, ali ima kompleksno konjugirane: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Pojasnimo da se umjesto podjele u kolonu može koristiti Hornerova shema. To se radi ovako: nakon što smo odredili prvi korijen jednačine, popunjavamo tabelu.
U tabeli koeficijenata odmah možemo vidjeti koeficijente kvocijenta iz dijeljenja polinoma, što znači x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
Nakon pronalaženja sljedećeg korijena, jednakog -1, dobijamo sljedeće:
odgovor: x \u003d - 1, x = 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Primjer 2
Stanje: riješiti jednačinu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.
Rješenje
Slobodni član ima djelitelje 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Provjerimo ih redom:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0
Dakle, x = 2 će biti korijen jednadžbe. Podijelite x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 sa x - 2 koristeći Hornerovu šemu:
Kao rezultat, dobijamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0
Dakle, 2 će opet biti korijen. Podijelite x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 sa x - 2:
Kao rezultat, dobijamo (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Provjera preostalih djelitelja nema smisla, jer je jednakost x 2 + 3 x + 3 = 0 brže i pogodnije za rješavanje pomoću diskriminanta.
Rešimo kvadratnu jednačinu:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0
Dobijamo kompleksno konjugirani par korijena: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Odgovori: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Primjer 3
Stanje: pronađite prave korijene za jednadžbu x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.
Rješenje
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Izvodimo množenje 2 3 oba dijela jednačine:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0
Zamijenjujemo varijable y = 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
Kao rezultat, dobili smo standardnu jednačinu 4. stepena, koja se može riješiti prema standardnoj šemi. Provjerimo djelitelje, podijelimo i na kraju dobijemo da ima 2 realna korijena y = - 2, y = 3 i dva kompleksna. Ovdje nećemo predstavljati cjelokupno rješenje. Na osnovu zamjene, pravi korijeni ove jednadžbe će biti x = y 2 = - 2 2 = - 1 i x = y 2 = 3 2 .
odgovor: x 1 = - 1, x 2 = 3 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. U matematici su jednadžbe viših stupnjeva sa cjelobrojnim koeficijentima prilično česte. Da biste riješili ovakvu jednačinu, potrebno vam je:
Odrediti racionalne korijene jednadžbe;
Odvojite polinom koji se nalazi na lijevoj strani jednačine;
Pronađite korijene jednadžbe.
Pretpostavimo da nam je data jednadžba sledeće vrste:
Hajde da pronađemo sve njegove prave korene. Pomnožite lijevu i desnu stranu jednačine sa \
Promijenimo varijable \
Tako smo dobili redukovanu jednačinu četvrtog stepena koja se rješava prema standardnom algoritmu: provjeravamo djelitelje, vršimo dijeljenje i kao rezultat saznajemo da jednačina ima dva realna korijena \ i dva kompleksna one. Dobijamo sljedeći odgovor na našu jednačinu četvrtog stepena:
Gdje mogu riješiti jednadžbu viših snaga online pomoću rješavača?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
