Класс: 6
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока : Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Деление обыкновенных дробей»,используя мультимедиа технологии.
Задачи урока:
Образовательные:
- закрепить теоретические знания: определение взаимно обратных чисел; правила сложения, вычитания, умножения, деления обыкновенных дробей; правило нахождения дроби от числа.
- сформировать умения применять полученные теоретические знания для решения задач;
- осуществить контроль знаний с помощью компьютерного теста.
Развивающие:
- развивать познавательный интерес, интеллектуальные и творческие способности учащихся;
- формировать информационную культуру, овладение навыками поиска и анализа информации;
Воспитательные:
- обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;
- формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования, самовоспитания;
- воспитывать целеустремленность и настойчивость в достижении цели;
- воспитывать взаимопомощь.
План урока:
- Организационный и мотивация, постановка целей урока. обобщение и закрепление понятий, определений, правил. (I – устный счет)
- Тестирование. (II)
- Углубление, применение знаний, развитие мышления. (III-VIII)
- Итоги. (IX)
- Домашнее задание. (X)
Ход урока
Сегодня наш урок математики будет связан с литературой. Нас ждет необычное путешествие. Так как у нас урок математики, то и путешествие будет математическое. Тема нашего урока «Деление дробей». Прежде чем отправиться в путь, нужно проверить все ли готовы.
I. Устный счет
(слайд 2)
| - | * | : 4 |
| 3 - 1 | * | : |
| + | 1 * | : |
| * 5 | : | 6: |
Повторяем:
- Какие числа называются взаимообратными;
- правило сложения, вычитания, умножения и деления дробей.
И так, мы отправляемся в путь. И как вы уже догадались, путешествовать мы будем по сказкам А.С.Пушкина. В какой сказке мы сделаем первую остановку, вы узнаете из слов, которые получите при решении примеров на деление. Учащимся раздаются карточки-задания, карточки-ключи. Если есть возможность работы за компьютерами, то учащиеся выполняют тест по вариантам, созданный в программе Microsoft Exсel. В результате которого получат необходимые слова.
II. Программированный (дифференцированный) контроль. (тест)
| I вариант | II вариант | III вариант | IV вариант |
Карточки-ключи
| I в. | р | о | е | м |
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 | 1 | 9 | 10 | 8 |
| II в. | ы | б | а | к | р |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | 40 | 42 | 41 | 43 | 44 |
| 4 | |||||
| 5 | 7 |
| III в. | р | а | т | к | и | с |
| 1 | ||||||
| 2 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 | 1 |
| IV в. | т | р | ы | о | к |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | 60 | 65 | 61 | 63 | 64 |
| 4 | |||||
| 5 | |||||
| 6 |
Мы получили слова: корыто, рыбка, старик, море. В какую сказку мы попали? В сказку о рыбаке и рыбке. Кто помнит начало этой сказки? (слайд 3 )
Жил старик со своею старухой
У самого синего моря;
Они жили в ветхой землянке
Ровно тридцать лет и три года.
Герои сказки предлагают нам решить задачу.
III.
(слайд 4 )
Щука, карась и окунь вместе весят 1 кг. Сколько весит каждая рыба, если щука в 1 раза тяжелее карася, а масса окуня составляет массы карася.
IV. Чтобы узнать название следующей сказки А.С. Пушкина, надо открыть 2 сундука.
Для этого необходимо решить 2 уравнения. Уравнения решаются по вариантам, затем учащиеся меняются тетрадями и идет проверка решений. (слайды 5-9 )
I вариант
II вариант
Открываются сундуки и появляется название: Сказка о царе Салтане. (полное название сказки: Сказка о царе Салтане, о сыне его, славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче, и о прекрасной царевне лебеди.)
V.
(слайды 10-12 )
Остров на море лежит,
Град на острове стоит,
С златоглавыми церквами,
С теремами и садами;
Правит этим городом князь Гвидон. Кого мы можем повстречать там, узнаем выполнив следующее задание:
Перед вами цепочки из трех чисел, в каждой строчке нужно исключить лишнее число.
Найдите сумму лишних чисел. + 32 + = 33
Есть в этом городе несколько чудес.
Одно из них –
Море вздуется бурливо,
Закипит, подымет вой,
Хлынет на берег пустой,
Расплеснется в скором бреге,
И очутятся на бреге
В чешуе, как жар горя,
Тридцать три богатыря.
VI. Следующую сказку А.С. Пушкина подскажет ответ, который мы получим при решении примера на все действия.
(слайд 13)
1 : ((слайды 16-17)
Царь к окошку – ан на спице,
Видит бьется петушок,
Обратившись на восток.В какую сказку мы попадаем? В сказку о золотом петушке. Подходит к концу наше путешествие и закончим мы его словами, которыми заканчивается сказка о золотом петушке.
Чтобы узнать фразу, расставьте числа в порядке возрастания!
В результате получилась фраза: «Сказка ложь, да в ней намек!» Что означает эта фраза?
Класс: 6
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Образовательный аспект:
- повторить и углубить знания по теме “Деление обыкновенных дробей”
Развивающий аспект:
- развивать навыки анализа, сравнения материала;
- развивать внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
- содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.
Воспитательный аспект:
- прививать обучающимся навык самостоятельности в работе, учить трудолюбию, аккуратности;
- воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу одноклассников;
- воспитывать культуру речи, внимание к точности формулировок.
Формы организации учебной деятельности:
- фронтальная, индивидуальная, игровая
Используемые технологии:
- технология сотрудничества;
- информационные технологии;
- игровые технологии.
Оборудование:
- компьютер;
- мультимедиапроектор;
- презентация Microsoft Office PowerPoint;
- карточки-задания
Ход урока
I. Организационный момент
II. Устный счёт
1. Вычислите значения выражений, соберите пазл.
Учитель: Ребята, Вы узнаете, что изображено на этой фотографии?
Усолье Сибирское – один из старейших городов в Приангарье, он был основан как поселение в 1669 г. благодаря покорителям сибирских просторов енисейским казакам братьям Михалёвым, обнаружившим на берегу реки Ангара соляной источник и построившим соляную варницу
2. Не выполняя действий, сравните частное с делимым:
III. Повторение ранее изученного материала
1. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. В таблицу впишите буквы, соответствующие найденным ответам (работа в парах).
0,4 - А 1,2 - Р 0,006 - П 3,6 - И 0,9 - З 5,008 – Т 0,05 - У 2,16 - О 0,37 - Д 4,44 - С 5,08 - К 2,15 – М
Название города Иркутск происходит от реки Иркут, впадающей в Ангару. Своё начало город ведёт с первого Иркутского острога, заложенного казаками под руководством Якова Похабова 6 июля 1661 года. К сентябрю 1670 года на месте острога была построена крепость с четырьмя башнями, названа Кремлём. Иркутск практически с самого основания был важнейшим опорным пунктом по торговле с Китаем. Через город проходили все русско-китайские торговые караваны.
2. Представите обыкновенную дробь в виде десятичной дроби. Расположите полученные числа по возрастанию и прочитайте слово (самостоятельно, с последующей проверкой).
Ответы: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, слово – Байкал (гиперссылка на единую коллекцию ЦОР).
IV. Закрепление изученного материала
1. Заполни пропуски:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
2. Игра “Лото” (обучающимся нужно решить первый пример, затем перейти к тому примеру, который начинается с числа, полученного при решении предыдущего, составить предложение).
| I вариант | II вариант | ||||
у истока |
|||||
лишайник |
покрытый |
||||
Ответы: Скала Шаманка – мрамор, покрытый красным лишайником;
Шаман-камень – скала, лежащая у истока Ангары.
V. Физкультминутка
Руки в боки, руки – шире.
Раз, два, три, четыре.
Сейчас попрыгать мы решили.
Раз, два, три, четыре.
Потянулись – выше, выше...
Приседаем – ниже, ниже.
Встали – присели...
Встали – присели...
А теперь за парты сели.
VI. Решение задачи
Решить задачу: два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из городов Усолье-Сибирское и Иркутск, расстояние между которыми 80 км. Скорость первого автомобиля составляет скорости второго. Найдите скорости каждого автомобиля, если они встретились через сорок минут.
Пусть х (км/ч) - скорость второго автомобиля
Тогда х (км/ч) - скорость первого автомобиля
х+х (км/ч) - скорость сближения
Зная, что автомобили встретились через ч и проехали вместе 80 км, составим уравнение:
(х+ х ) * =80
(х+ х ) =80:
х = 120: 1
Ответ:
- 1 вариант ЖАРКИ
- 2 вариант ОМУЛЬ
VIII. Домашнее задание
Составьте задание
Технологическая карта урока.
ФИО учителя: Степанова Дарья Сергеевна
Место работы: МАОУ «СОШ №76»
Должность: учитель математики
Предмет: математика
Тема урока: «Деление обыкновенных дробей».
Тип урока : урок открытия нового знания .
ЦЕЛЬ УРОКА:
Образовательные: сформировать представление о делении обыкновенных дробей, выработать первичное умение выполнять деление чисел, записанных в виде дробей.
Развивающие: развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать культуру математических записей.
Оборудование : Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.- издание.- М.: Мнемозина, 2007, мультимедийный проектор, презентация к уроку по данной теме., раздаточный материал.
План:
Организационный момент (1 мин.).
Целеполагание и мотивация (7 мин.).
Открытия нового знания (13 мин.).
Физкультминутка (1мин.).
Закрепление нового (15 мин.).
Подведение итогов. Рефлексия (3 мин.).
Домашнее задание (1 мин).
–Здравствуйте! Давайте проверим все ли у нас готово к уроку?
Проверяют. Достают тетради и ручки, если не достали.
–Вспомним, с каким новым понятием мы познакомились на предыдущих уроках?
–Какие числа называют взаимно обратными?
–Хорошо! Молодцы! А теперь давайте устно решим примеры на слайде.
–Из 1 вычесть мы получим?
– Что мы должны сделать, чтобы решить второй пример?
–Чему он равен?
– Тогда дополнительный множитель, для первой дроби равен?
–Молдец! Чему равен НОЗ в третьем примере?
– Как вычислим следующий пример? Как мы умножаем дробь на дробь?
–Что можно сделатьперед тем как перемножать?
–Верно, Молодец! Как умножить натуральное число на дробь?
– Что будем делать, перед тем как перемножать?
–Молодец! Как решить следующий пример?
–Верно, что получим?
Хорошо! Следующий пример.
–Молодец! Что нужно сделать, чтоб перемножить следющие два числа?
–Как будем решать следующий приер?
–С понятием взаимно обратных чисел
– Числа называют взаимно обратным, если в произведении они дают единицу.
(один ученик вслух разбирает один пример).
–Найти наименьший общий знаменатель.
–14, так как 14 делиться на 7 нацело.
–Двум. Домножим дробь на два, получим 
. Прибавим к дробь 
, получим ответ 
.
–Так как 7 и 5 взаимно простые числа, наименьший общий знаменатель равен 35.
Для первой дроби дополнительный множитель равен 5, для второй дроби 7. Домножим первую дробь на 5, получим 
, вторую дробь на 7, получим 
. Разность равна 
.
–Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители дробей и записать это произведение в числитель, перемножить знаменатели и записать произведение в знаменатель.
–Можно сократить 4 и 8 на 4, и 3 и 9 на 3, получим одну шестую
– Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
–Сократим 23 и 23. Ответ 9.
– Сначала надо записать смешанное число в неправильную дробь, а потом перемножить.
–Получим дробь , перемножим ее с . Можем сократить 7 и 7. Ответ .
–Сократить ничего нельзя. Перемножаем 4 и 5,в числител запишем 20, в знаменателе 7 или 
.
– Нужно представить смешанные числа в виде неправильной дроби. Получим и 
. Можем сократить 5 и 15 на 3 и 22 и 2 на 2. В числителе получим 11 взнаменателе 3 или 
.
– Мы не знаем как делить.
–Как вы думаете, какая тема нашего урока на сегодня?
–Врно! Откройте тетради запишите число и тему урока.
–Какую цель мы поставим на сегоднящний урок?
–А для того, чтобы научиться делить, что нам сначала надо узнать?
–Верно! Для этого, вначале, рассмотрим задачу. Площадь прямоугольника равна 
. Длина одной стороны
. Найти длину другой стороны.
– Назовите формулу площади прямугольника.
– Ширина и площадь нам известны, а длина – нет. Как мы обозначаеим неизвестную величину?
– Можем мы с вами теперь составить уравнение?
–Мы с вами уже решали такие уравнения с помощью взаимно обратных чисел. Давайте решим его.
– Что получим в правой части уравнения?
–Что получим в левой части уравнения?
– Хорошо. Нашли чему равна длинна. Давайте вернемся к уравнению, и вспомним, как наити нейзвестный множитель?
–Верно! Примените это к нашему уравнению, что получим?
–Но мы уже знаем чему равен x .
– И как мы его нашли?
– А по отношению к какая дробь?
– То есть мы можем составить такое равенство: 
.
– Исходя из этого равенства попробуйте сформулировать правило деления обыкновенных дробей.В этом вам поможет карточка №1, заполните пропуски в ней.
–Верно, молодцы! Запишите в тетрадь данное определение в буквенном виде, самостоятельно. Проверьте.
–Можем ли мы теперь решить тот пример, который в начале вызвал у нас затруднение(возрашаемся к примеру)?
– Деление обыкновенных дробей.
(Открывают тетради, записывают тему урока).
–Научиться выполнять деление дробей.
–Правило деления дробей.
– S = ab .
– x .
–Да. 
.
– Нужно домножить обе части уравнение на обратное число, числу . То есть на .
–В правой части произведение двух взаимно обратных чисел дадут нам единицу.
–В левой части, произведение и . Сократить ничего нельзя, значит получим 
. 
.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
– 
.
–. Мы умножили на .
–Обратная.
–Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число обратную делителю.
– Да, 
.
–А теперь разомнемся немного. Сожмите разожмите кулочки. Расправте плечики. Делайте движения головой, следуя за снежинкой.
–Верно! Учиться применять правило на практике.
(На слайде примеры. Вызываем учеников по одному к доске, остальные работают в тетрадях.)
–Молодцы! У вас на партах есть карточка №2. Выполните ее самостоятельно. Задание: Вставьте пропуски в примерах, чтобы получились верные равенства.
–Проверьте себя сами! Если все пропуски заполнены верно или одна ошибка – оценка «5», если 2-4 ошибки – оценка «4», если 5-7 ошибок –оценка «3».
–Решать примеры.
(выполняют карточки с заданиями №2)
(проверяют, оценивают себя)
–Давайте подведем итоги! Как вы считаете, добились ли мы поставленной в начале урока цели?
–Давайте повторим правило, которое мы сегодня узнали. (спрашиваем нескольких учеников).
–Хорошо! Молодцы! У вас на столах лежат разного цвета карточки, оцените с помощью их результат вашей работы сегодня на уроке.
– Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число обратную делителю.
(поднимают карточки).
–Откройте дневники и запишите домашнее задание.
–Спасибо за урок!
(Записывают домашнее задание в дневники).
Раздаточный материал.
Каточка №1
Правило деления обыкновенных дробей.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое ___________ на число, ____________ делител ю.
Карточка №2
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается , если они имеют общий делитель, бóльший единицы.
Например, выражение можно вычислить двумя способами.
Первый способ . Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:
Второй способ . Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4 , поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:
Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:
А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить 7 на знаменатель дроби , а знаменатель оставить без изменений:
Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.
Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:
Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Умножение десятичных дробей
Десятичная форма записи позволяет выполнять умножение дробей практически по тем же правилам, по которым умножают натуральные числа. Отличие заключается в том, что необходимо определять место запятой в полученном произведении.
Поясним сказанное на примере; вычислим произведение 2,5 1,02.
Перенесем запятую в первом множителе на одну цифру вправо, а во втором-на две цифры вправо. Тем самым первый множитель увеличится в 10 раз, второй-в 10 2 = 100 раз, а произведение-в 10 100 = 1000 раз.
Определим произведение натуральных чисел 25 и 102:
25 102 = 2550.
Это число в 1000 раз больше, чем требуемое произведение. Поэтому необходимо число 2550 уменьшить в 1000= 10 3 раз, т. е. перенести в этом числе запятую влево на 3 цифры. Таким образом,
2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.
Можно рассуждать по-другому:
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби9 достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа9 а затем в полученном произведении справа отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
Например,
Деление десятичных дробей
Рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.
Пример . Вычислить 46,8: 2.
Решение . 4 десятка делим на 2-получаем цифру частного 2 (2 десятка).
6 единиц делим на 2 - получаем цифру частного 3 (3 единицы).
Деление целой части закончено-отделяем в частном целую часть запятой.
8 десятых делим на 2 - получаем цифру частного 4 (4 десятых). Остаток равен 0-деление закончено.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число переносом запятых в делимом и делителе на столько цифр вправо, чтобы делитель стал натуральным числом.
Пример . Вычислить 4,42:0,2.
Решение . Так как в делителе одна цифра после запятой, то достаточно перенести запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо. Тем самым делимое и делитель увеличиваются в 10 раз, поэтому частное не изменится. При этом делитель будет натуральным числом.
Можно рассуждать и таким образом:
Но не всегда получается точный результат при делении десятичных дробей. Чаще приходится довольствоваться приближенным частным.
Пример . Найти частное 1,723:0,03.
Решение . Освободимся от запятой в делителе: 1,723:0,03= 172,3:3. Выполним деление.
Начиная с разряда сотых, цифра 3 в частном повторяется без конца, потому что остаток, начиная с третьего этапа процесса деления, все время равен одному и тому же числу 1.
Если оставить у частного первые две цифры после запятой, то получится приближенное равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.
