Množenje
Množenje- jedna od četiri osnovne operacije, binarna matematička operacija u kojoj se jedan argument dodaje onoliko puta koliko drugi pokazuje. U pod množenje razumjeti kratki zapis navedenog broja istovjetnih pojmova. Na primjer, unos znači "dodaj tri petice", tj. Rezultat množenja naziva se raditi, a brojevi koji se množe su množitelji ili čimbenici. Prvi faktor se ponekad naziva "množenik".
Snimiti
Množenje s križićem "×" ili točkom "∙". Postovi
znače istu stvar. Znak množenja često se izostavlja osim ako ne izaziva zabunu. Na primjer, umjesto obično pišu .
Ako postoji mnogo faktora, onda se neki od njih mogu zamijeniti elipsama. Na primjer, umnožak cijelih brojeva od 1 do 100 može se napisati kao .
U abecednom zapisu također se koristi simbol proizvoda: 
. Na primjer, djelo se može ukratko napisati ovako: .
Svojstva množenja
Množenje ima sljedeća svojstva:
Savladavanje tablice množenja u osnovnoj školi zauzima značajno mjesto. Počevši od drugog razreda (UMK “Prospektivna osnovna škola”) uči se. Iz pedagoške prakse poznato je da se kod učenika učenjem tablice množenja napamet razvija voljna pažnja, zapažanje, logičko mišljenje, inteligencija i matematički govor. Ovladavanje radnjama množenja doprinosi razvoju kognitivnih procesa kao što su analiza, sinteza, usporedba i generalizacija.
Nastavni plan i program osnovne škole zahtijeva razvijanje samostalnosti kod mlađih školaraca u svladavanju tablice množenja. Prema regulatornim dokumentima, svaki učenik mora znati napisati bilo koji stupac radnji množenja, ilustrirajući to slikom, crtežom, dijagramom, opravdati svaki korak u svojoj radnji i provjeriti točnost izračuna. Ali u praksi se takve aktivnosti ne provode u potpunosti, što dovodi do ozbiljnih praznina u znanju učenika. Nažalost , Mnogi učitelji smatraju da vidljivost mora biti prisutna samo u početnoj fazi nastavnog sata, a razvojem apstraktnog mišljenja učenika ona gubi na značaju. U praksi se crteži, dijagrami, crteži rijetko koriste kao vizualna pomagala u razredima 2-3. U međuvremenu, vizualizacija je potrebna tijekom čitavog tijeka učenja, jer je važno sredstvo razvijanja složenijih oblika konkretnog mišljenja i formiranja matematičkih pojmova. Crteži, dijagrami, crteži potiču mlađe školarce da aktivno razmišljaju, traže najracionalnije načine u računalnim radnjama i pomažu ne samo u asimilaciji znanja.
1) Prva faza - sastavljanje i savladavanje tablica množenja i dijeljenja uključena je u sadržaj kolegija. Učenici uče tablicu množenja kao što uče značenje množenja. To omogućuje učenicima ponuditi zanimljive, sadržajne vježbe i zadatke čija izvedba pridonosi nehotičnom pamćenju tablice množenja.” Rezultati rada na formiranju vještina tabličnog množenja sažeti su u općim satima na temu "Množenje", gdje učenici dobivaju zadatak tijekom kojeg mogu provjeriti koliko je tko od njih savladao tablicu množenja. Iz navedenog možemo zaključiti da se prvo razvijaju vještine tablice množenja. Istodobno, rad povezan sa sastavljanjem i savladavanjem tablice množenja vremenski je raspoređen i organski uključen u sadržaj tečaja. U procesu svladavanja značenja dijeljenja, pravila o odnosu sastavnica i rezultata množenja i dijeljenja, uključeni su zadaci o dijeljenju brojeva u kojima se učenici služe tablicom množenja i odnosom među komponentama. Sljedeće značajke ovog pristupa razvoju vještina tabličnog množenja i dijeljenja:
2) sastavljanje i svladavanje tablice množenja započinje slučajevima množenja broja 9 (od težih prema lakšim), što učenicima omogućuje ne samo vježbanje zbrajanja i oduzimanja dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva s prijelazom kroz deseticu, zamjenjujući umnožak sa zbrojem, ali i usredotočiti se na slučajeve tablice množenja koji se teško pamte: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, u odnosu na koje su dane upute za pamćenje.
3) S obzirom na to da sva djeca ne mogu nehotice zapamtiti tablicu množenja u procesu rješavanja obrazovnih zadataka, u udžbeniku su u određenom sustavu dane upute za pamćenje tri ili četiri slučaja tablice. Istodobno, postavka za pamćenje tablice usmjerena je na pamćenje određenih slučajeva tablice. 4) Za organiziranje samostalnog rada učenika preporuča se zabilježiti sve slučajeve tabličnog množenja na kartici. Na primjer, s jedne strane je izraz, a s druge njegovo značenje. Isto treba učiniti sa svim slučajevima tablice dijeljenja, što će učenicima pomoći u ponašanju pri pamćenju tablica slučajeva množenja i dijeljenja, kao i pri samokontroli.” U procesu istraživanja upoznali smo se i s pristupom temi koja nas zanima u obrazovnom sustavu L.V. Zankov prema udžbeniku I.I. Arginskaja. U proučavanju tabličnog množenja i dijeljenja, autor je identificirao samo dvije faze u radu učenika:
Faza 1 – upoznavanje s teorijskim informacijama, uključujući redoslijed radnji u izrazima. Faza 2 – proučavanje tablica množenja i dijeljenja pomoću Pitagorine tablice.
I.I. Arginskaya razlikuje dva pristupa - izravni i neizravni, dajući im detaljan opis, ističući prednosti neizravnog. „Izravan pristup karakterizira prisutnost gotovog uzorka izvođenja operacije koja se proučava i veliki broj gotovih vježbi za obuku, tijekom čije provedbe studenti svladavaju vještinu koja se temelji na reproduktivnoj aktivnosti, gdje ovladavanje vještina djeluje sama sebi kao cilj prema principu “riješi da bi naučio rješavati”. Reproduktivnu aktivnost karakterizira činjenica da učenik prima gotove informacije, percipira ih, razumije, shvaća, pamti, a zatim ih sam reproducira. Glavni cilj ove vrste aktivnosti je formiranje znanja učenika o učenju, razvoj pažnje i pamćenja.” Ovdje je glavna prednost vrlo brzo postizanje traženog rezultata, zbog čega je toliko raširen i zauzima snažno mjesto u školskoj praksi. Međutim, postoje i negativne strane. I.I. Arginskaya smatra izravni pristup "neprirodnim, jer osoba svladava tehničku stranu bilo kojeg posla ne kao cilj sam po sebi, već radi rješavanja problema koji su mu važni. Prevladavanje reproduktivne aktivnosti u formiranju računalnih vještina značajno pruža mogućnost poticanja razvoja djece, a trenutno je razvoj školske djece prioritetna zadaća obrazovanja u svakom sustavu.
Iren Ilyinichna ističe prednosti neizravnog pristupa koji koristi u udžbeniku „Matematika. 3. razred” tako: “Najviša značajka neizravnog pristupa oblikovanju vještina je nepostojanje gotovog primjera izvođenja operacije koju treba savladati, samostalno traženje načina za izvođenje od strane samih učenika, koji odmah uključuje djecu u produktivnu kreativnu aktivnost. Ovaj pristup karakterizira visoka učinkovitost procesa razvijanja vještina tabličnog množenja i odgovarajućih slučajeva dijeljenja, puna svijest o teoretskom i praktičnom znanju te povećani interes za matematiku. Nedostatak je osjetno povećanje vremena utrošenog na postizanje rezultata.” Zašto sustav daje prednost neizravnom pristupu formiranju računalnih vještina? Činjenica je da gotovo svaki zadatak treba pridonijeti napredovanju djeteta u razvoju, a izravni pristup potpuno isključuje tu komponentu. Da bi se oblikovao razvoj kognitivnih interesa djece, potrebno ih je zainteresirati, što zahtijeva aktivne oblike i metode poučavanja kako bi se kod djece probudilo aktivno opažanje gradiva. Različita vizualna pomagala, kao i tablice, crteži i dijagrami koji se koriste u svakoj lekciji, doprinose najboljoj asimilaciji i pamćenju materijala od strane učenika.
Posebno je zanimljiv bio članak u časopisu "Osnovna škola", koji otkriva potpuno drugačiji pristup proučavanju tabličnog množenja i dijeljenja, koji nam nudi V.A.
U obradi teme postoje dvije faze: 1. Upoznavanje s operacijama množenja i dijeljenja. Proučavanje komutativnosti množenja. Uspostaviti veze između rezultata i sastavnica množenja i dijeljenja, kao i između samih radnji. Uvesti posebne slučajeve množenja i dijeljenja. Uvod u moderniziranu Pitagorinu tablicu. 2. Proučavanje tablice množenja i dijeljenja. Učeći o množenju i dijeljenju s deseticama, nulama i jedinicama prije učenja tablica množenja i dijeljenja, učenici više ne moraju pitati: "Zašto u tablici množenja nema rezultata množenja s brojevima 1 i 10?" Nakon otkrivanja značenja množenja i dijeljenja, nastavnik upoznaje učenike s Pitagorinom tablicom. Struktura ove tablice slična je strukturi tablice za zbrajanje i oduzimanje unutar 20 koju su učenici proučavali u 1. razredu. Istaknut je dio Pitagorine tablice. Ako ga uklonite, dobit ćete izrezanu Pitagorinu tablicu. Pri radu s rezanom Pitagorinom tablicom učenici često koriste komutativni zakon množenja. Kada radite s tablicom, brojeve je potrebno pretraživati pomoću određenog sustava: po redu (odozgo prema dolje); u stupcima (s lijeva na desno). To vam omogućuje da pronađete rezultate tablica množenja i dijeljenja uz minimalno vrijeme.
Množenje je aritmetička operacija u kojoj se prvi broj ponavlja kao pojam onoliko puta koliko pokazuje drugi broj.
Naziva se broj koji se ponavlja kao pojam višestruki(množi se), zove se broj koji pokazuje koliko puta treba ponoviti termin multiplikator. Broj dobiven množenjem naziva se raditi.
Na primjer, množenje prirodnog broja 2 prirodnim brojem 5 znači pronalaženje zbroja pet članova od kojih je svaki jednak 2:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
U ovom primjeru zbroj nalazimo običnim zbrajanjem. Ali kada je broj identičnih članova velik, pronalaženje zbroja zbrajanjem svih članova postaje previše zamorno.
Za pisanje množenja koristite znak × (kosa crta) ili · (točka). Nalazi se između množenika i množitelja, pri čemu se množenik piše lijevo od znaka množenja, a množitelj desno. Na primjer, zapis 2 · 5 znači da se broj 2 množi s brojem 5. Desno od zapisa množenja stavlja se znak = (jednako) iza kojeg se upisuje rezultat množenja. Dakle, kompletan unos množenja izgleda ovako:
Ovaj unos glasi ovako: umnožak dva i pet jednako je deset ili dva puta pet jednako je deset.
Dakle, vidimo da je množenje jednostavno kratki oblik zbrajanja sličnih članova.
Provjera množenja
Da biste provjerili množenje, možete umnožak podijeliti s faktorom. Ako je rezultat dijeljenja broj jednak množeniku, tada je množenje izvedeno ispravno.
Razmotrite izraz:
gdje je 4 množenik, 3 je množitelj, a 12 je umnožak. Izvedimo sada test množenja dijeljenjem umnoška s faktorom.
Objašnjavajući rječnik ruskog jezika. D.N. Ushakov
množenje
množenje, m.n. ne, usp.
radnja prema glag. umnožiti - umnožiti i navesti prema glag. umnožiti – umnožiti. Množenje tri sa dva. Umnožavanje prihoda.
Aritmetička operacija, ponavljanje zadanog broja kao izraza onoliko puta koliko ima jedinica u drugom zadanom broju (mat.). Tablica množenja. Množenje cijelih brojeva.
Objašnjavajući rječnik ruskog jezika. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.
množenje
Matematička operacija kojom se od dva broja (ili količine) dobiva novi broj (ili količina) koji (za cijele brojeve) sadrži kao zbroj prvi broj onoliko puta koliko ima jedinica u drugom. Tablica množenja. Problem na y.
Novi objašnjavajući i tvorbeni rječnik ruskog jezika, T. F. Efremova.
Enciklopedijski rječnik, 1998
množenje
aritmetička operacija. Označeno točkom "." ili "?" (u doslovnom izračunu znakovi množenja se izostavljaju). Množenje pozitivnih cijelih brojeva (prirodnih brojeva) radnja je koja omogućuje da se iz dva broja a (množenik) i b (množenik) pronađe treći broj ab (umnožak), jednak zbroju b članova, svaki od koji je jednak a; a i b nazivaju se i faktori. Množenje razlomačkih brojeva a/b i c/d određeno je jednakošću Množenjem dvaju racionalnih brojeva dobiva se broj, abs. čija je vrijednost jednaka umnošku apsolutnih vrijednosti faktora i koji ima predznak plus (+) ako oba faktora imaju iste predznake, odnosno znak minus (-) ako imaju različite predznake. Množenje iracionalnih brojeva određuje se pomoću njihovih racionalnih aproksimacija. Množenje kompleksnih brojeva danih u obrascu? = a+bi i? = c+di, određeno jednakošću ?? = ac - bd + (a + bc)i.
Množenje
operacija formiranja, od dva dana objekta a i b, koji se nazivaju faktori, trećeg objekta c, koji se naziva proizvod. U. se označava znakom X (uveo engleski matematičar W. Oughtred 163. god.
ili ∙ (uveo njemački znanstvenik G. Leibniz 1698.); u slovnoj oznaci ti se znakovi izostavljaju i umjesto a ` b ili a ∙ b pišu ab. U. ima različito specifično značenje i, sukladno tome, različite specifične definicije ovisno o specifičnoj vrsti čimbenika i proizvoda. Jednadžba cijelih brojeva je, po definiciji, radnja koja brojevima a i b pridružuje treći broj c, jednak zbroju b članova, od kojih je svaki jednak a, pa je ab = a + a +... + a (b pojmovi). Broj a naziva se množenik, a b množitelj. Vrijednost razlomačkih brojeva ═ i ═ određena je jednakošću ═ (vidi Razlomak). Jednadžba racionalnih brojeva daje broj čija je apsolutna vrijednost jednaka umnošku apsolutnih vrijednosti faktora, koji ima znak plus (+) ako su oba faktora istog predznaka, i znak minus (√) ako su različitih predznaka. Vrijednost iracionalnih brojeva određuje se pomoću vrijednosti njihovih racionalnih aproksimacija. Jednadžba za kompleksne brojeve dana u obliku a = a + bi i b = c + di određena je jednakošću ab = ac √ bd + (ad + bc) i. Za kompleksne brojeve zapisane u trigonometrijskom obliku:
a = r1 (cosj1 + isin j1),
b = r2 (cosj2 + isin j
njihovi moduli se množe, a njihovi argumenti se dodaju:
ab = r1r2(cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)).
Jednadžba brojeva je jedinstvena i ima sljedeća svojstva:
1) ab = ba (komutativnost, komutativni zakon);
2) a (bc) = (ab) c (asocijativnost, kombinacijski zakon);
a (b + c) = ab + ac (distributivnost, distributivni zakon). U ovom slučaju, a ×0 = 0; a×1 = a. Ova svojstva čine osnovu uobičajene tehnike za izračunavanje višeznamenkastih brojeva.
Daljnja generalizacija koncepta upravljanja povezana je s mogućnošću razmatranja brojeva kao operatora u skupu vektora na ravnini. Na primjer, kompleksni broj r (cosj + i sin j) odgovara operatoru rastezanja svih vektora za r puta i njihovog zakretanja za kut j oko ishodišta. U ovom slučaju kontrola kompleksnih brojeva odgovara kontroli odgovarajućih operatora, odnosno rezultat kontrole bit će operator dobiven sekvencijalnom primjenom dva zadana operatora. Ova se definicija linearnih operatora proširuje na druge vrste operatora koji se više ne mogu izraziti brojevima (na primjer, linearne transformacije). To dovodi do operacija kontrolnih matrica, kvaterniona, koji se smatraju operatorima rotacije i dilatacije u trodimenzionalnom prostoru, jezgri integralnih operatora itd. Takvim generalizacijama neka od navedenih svojstava algebre možda neće biti ispunjena, najčešće svojstvo komutativnosti (nekomutativna algebra). Proučavanje općih svojstava operacije U uključeno je u probleme opće algebre, posebice teorije grupa i prstenova.
Wikipedia
Množenje
Množenje- jedna od glavnih binarnih matematičkih operacija (aritmetičke operacije) dva argumenta. Na primjer, za prirodne brojeve: $c=a \cdot b = \underbrace( a+a+\cdots+a )_(b)= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = (\displaystyle\sum_(i=1) ^b a_i)$
U općem obliku možemo napisati: Π( a, b) = c. To jest, svaki par elemenata ( a, b) odgovara elementu c = a ⋅ b, pod nazivom proizvod a I b.
Pisano se obično označava pomoću jednog od „znakova za množenje” - „ ⋅ , × , * ”, na primjer: a ⋅ b = c. Množenje se također može definirati za racionalne, realne, kompleksne brojeve i druge matematičke, fizičke i apstraktne veličine.
Množenje ima nekoliko važnih svojstava:
Komutativnost: a ⋅ b = b ⋅ a; Asocijativnost: ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c); Distributivnost: x ⋅ (a + b) = (x ⋅ a) + (x ⋅ b), ∀a, b ∈ A; Množenje s nulom (nulti element) daje broj jednak nuli: x ⋅ 0 = 0; Množenje s jedan (neutralni element) daje broj jednak izvornom: x ⋅ 1 = x.
Slika prikazuje primjer brojanja jabuka pomoću operacije množenja, 3 grupe od po 5 jabuka, što rezultira 15 jabuka: 5 ⋅ 3 = 15.
Na skupu realnih brojeva raspon vrijednosti funkcije množenja grafički ima oblik plohe koja prolazi kroz ishodište koordinata i zakrivljena je s obje strane u obliku parabole.
Primjeri korištenja riječi množenje u literaturi.
Također uspoređuje njihov rad s kvašenjem, sa sijanjem sjemena i sa množenje sjemenke gorušice.
Zatim je bilo onih koji se uopće nisu usudili intervenirati, jer je njihova svijest istraživala događaje sekundarnih i tercijarnih učinaka dok su množenje i isprepletenost u svim smjerovima cijelog sustava.
množenje grijeha i snižavanje praga grijeha kao posljedica Antikrista koji je prodro u umove ljudi u obliku materijalističko-ateističkog učenja i lažnog proroka u osobi Komunističke partije Marxa-Lenjina.
Tijekom prošlog stoljeća to se ponovilo množenje grijehe i snižavanje praga grijeha kao rezultat infiltracije Antikrista u umove ljudi u obliku materijalističko-ateističkog učenja i lažnog proroka u osobi Komunističke partije Marx-Lenjina.
Ovo je kritika doktrine merkantilizma, koja je identificirala množenje količina novca u zemlji s rastom blagostanja stanovništva.
Prije opisa djelovanja trupa, kroz neočekivano množenje koji su iz, tako reći, razbojničke družine došli u konjičku stranku, ne bi bilo suvišno upoznati čitatelja s njezinim privatnim vođama.
Jednog sam dana na ulici čuo zamršenu pjesmu koja se rimovala na početku stola množenje: Jednog dana, stigao je gospodin.
Njegovi postupci i ludorije su besmisleni, oni ukazuju na raskol u Čičikovu, njegovom množenje u zrcalu 32 igra imitacija, u kojoj više nema originala, nego samo klauniranje kopija.
O tome je kasnije govorio najmanje tri puta, ostavljajući budućem prepričavaču slobodu montaže detalja: - Heisenbergovo pravilo množenje nisam mogao to izbaciti iz glave, i nakon intenzivnog razmišljanja, jednog sam jutra ugledao svjetlo: sjetio sam se algebarske teorije koju sam učio kao student.
Njezine studije pokazuju da je Zemlja postajala sve više i više heterogena množenje slojeva koji tvore njegovu koru, nadalje, da je postajao sve heterogeniji u odnosu na sastav tih slojeva, od kojih su potonji, formirani od fragmenata starih slojeva, postali izuzetno složeni miješanjem materijala sadržanih u njima i, konačno , da je ta heterogenost značajno pojačana djelovanjem još vruće jezgre Zemlje na njezinu površinu, zbog čega je došlo ne samo do ogromne raznolikosti plutonskih planina, već i do nagiba taloženih slojeva pod različitim kutovima, formiranja praznine, metalne vene i beskrajne neravnine i devijacije također kažu da se veličina uzvisina na površini Zemlje promijenila, da su najstariji planinski sustavi najmanje visoki, a da su Ande i Himalaje najnovije uzvisine, u međuvremenu, po svoj prilici su se odgovarajuće promjene dogodile na dnu oceana.
Ako je to teško učiniti množenje uz napetost pri podizanju klavira, kako je moguće svladati najtananije unutarnje osjećaje u složenoj ulozi uz suptilnu psihologiju Othella!
Specijalisti smo za istraživanje, analizu i mjerenje, mi smo čuvari i stalni provjerivači svih abeceda, tablica množenje i metode, mi smo markeri duhovnih mjera i utega.
Nije čitao knjige, naš kapetan Trotta, i potajno je sažalijevao svog sina koji je odrastao, koji se uskoro trebao suočiti s olovkom, daskom i spužvom, papirom, ravnalom i stolom. množenje a na koje su već čekali neizbježni udžbenici.
Novi upravitelj - snažan, slan tip - brzo je izveo Uzhika na čistu vodu, otkrio da nije ni savladao stolove množenje, te ga gromoglasno izbacio iz škole.
Ove operacije mogu uključivati zbrajanje, oduzimanje i množenje funkcije, usporedba funkcija, slične operacije nad funkcijom i brojem, nalaženje maksimuma funkcija, izračunavanje neodređenog integrala, izračunavanje određenog integrala derivacije dviju funkcija, pomicanje funkcije po apscisi itd.
Množenje jednog cijelog broja drugim znači ponavljanje jednog broja onoliko puta koliko drugi sadrži jedinica. Ponoviti broj znači više puta ga uzeti kao pribrojnik i odrediti zbroj.
Definicija množenja
Množenje cijelih brojeva je operacija u kojoj treba uzeti jedan broj kao pribrojnik onoliko puta koliko drugi broj sadrži jedinica, te pronaći zbroj tih pribrojnika.
Množenje 7 sa 3 znači uzeti broj 7 kao njegov pribrojnik tri puta i pronaći zbroj. Traženi iznos je 21.
Množenje je zbrajanje jednakih članova.
Podaci u množenju nazivaju se množenik i množitelj, i potrebno - raditi.
U predloženom primjeru podaci će biti množitelj 7, množitelj 3 i željeni umnožak 21.
Množenik. Množenik je broj koji se množi ili ponavlja pribrojnikom. Množenik izražava veličinu jednakih članova.
Faktor. Množitelj pokazuje koliko puta pribrojnik ponavlja množenik. Množitelj pokazuje broj jednakih članova.
Raditi. Umnožak je broj koji se dobije množenjem. To je zbroj jednakih članova.
Množenik i množitelj zajedno se nazivaju proizvođači.
Pri množenju cijelih brojeva jedan se broj povećava za onoliko puta koliko drugi broj sadrži jedinica.
Znak množenja. Radnja množenja označava se znakom × (neizravni križić) odn. (točka). Znak množenja stavlja se između množenika i množitelja.
Ponavljanje broja 7 tri puta kao zbrojka i pronalaženje zbroja znači 7 pomnoženo s 3. Umjesto pisanja
pisati znakom množenja ukratko:
7 × 3 ili 7 3
Množenje je skraćeno zbrajanje jednakih članova.
znak ( × ) uveo je Oughtred (1631), a znak. Kristijan Vuk (1752).
Odnos između podatka i željenog broja izražava se množenjem
u pisanom obliku:
7 × 3 = 21 ili 7 3 = 21
usmeno:
sedam pomnoženo s tri je 21.
Da biste napravili proizvod od 21, trebate ponoviti 7 tri puta
Da biste napravili faktor 3, morate ponoviti jedinicu tri puta
Odavde imamo druga definicija množenja: Množenje je radnja u kojoj je umnožak sastavljen od množenika na isti način kao što je faktor sastavljen od jedinice.
Glavno svojstvo djela
Proizvod se ne mijenja zbog promjene redoslijeda proizvođača.
Dokaz. Množenje 7 sa 3 znači ponavljanje 7 tri puta. Zamijenivši 7 sa zbrojem 7 jedinica i umetnuvši ih okomitim redoslijedom, imamo:
Dakle, kada množimo dva broja, bilo koji od dva proizvođača možemo smatrati množiteljem. Na temelju toga nazivaju se proizvođači čimbenici ili jednostavno množitelji.
Najčešća metoda množenja je zbrajanje jednakih članova; ali ako su proizvođači veliki, ova tehnika dovodi do dugih kalkulacija, pa je sama kalkulacija uređena drugačije.
Množenje jednoznamenkastih brojeva. Pitagorina tablica
Da biste pomnožili dva jednoznamenkasta broja, trebate ponoviti jedan broj kao pribrojnik onoliko puta koliko drugi sadrži jedinica i pronaći njihov zbroj. Budući da množenje cijelih brojeva dovodi do množenja jednoznamenkastih brojeva, izrađuju tablicu umnožaka svih jednoznamenkastih brojeva u parovima. Takva se tablica svih umnožaka jednoznamenkastih brojeva u parovima naziva tablica množenja.
Njegov izum pripisuje se grčkom filozofu Pitagori, po kojem je i nazvan Pitagorina tablica. (Pitagora je rođen oko 569. pr. Kr.).
Da biste kreirali ovu tablicu, morate napisati prvih 9 brojeva u vodoravni red:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Zatim ispod ovog retka trebate potpisati niz brojeva koji izražava umnožak tih brojeva s 2. Ovaj niz brojeva dobit ćemo kada u prvom retku svaki broj zbrojimo sam sa sobom. Od drugog retka brojeva prelazimo redom na 3, 4 itd. Svaki sljedeći redak dobivamo iz prethodnog tako da mu se dodaju brojevi prvog retka.
Nastavljajući to raditi do retka 9, dobivamo Pitagorinu tablicu u sljedećem obliku
Da biste pomoću ove tablice pronašli umnožak dvaju jednoznamenkastih brojeva, trebate pronaći jednog proizvođača u prvom vodoravnom retku, a drugog u prvom okomitom stupcu; tada će traženi umnožak biti na sjecištu odgovarajućeg stupca i retka. Dakle, umnožak 6 × 7 = 42 nalazi se na sjecištu 6. retka i 7. stupca. Umnožak nule i broja te broja i nule uvijek daje nulu.
Budući da množenje broja s 1 daje sam broj, a promjena redoslijeda faktora ne mijenja umnožak, svi različiti umnošci dvaju jednoznamenkastih brojeva na koje treba obratiti pozornost sadržani su u sljedećoj tablici:
Umnošci jednoznamenkastih brojeva koji nisu sadržani u ovoj tablici dobivaju se iz podataka ako se promijeni samo redoslijed faktora u njima; stoga je 9 × 4 = 4 × 9 = 36.
Množenje višeznamenkastog broja jednoznamenkastim brojem
Množenje broja 8094 s 3 označava se potpisom množitelja ispod množenika, stavljanjem znaka množenja s lijeve strane i povlačenjem crte za razdvajanje umnoška.
Množenje višeznamenkastog broja 8094 s 3 znači pronalaženje zbroja tri jednaka člana
dakle, za množenje morate tri puta ponoviti sve redove višeznamenkastog broja, odnosno pomnožiti s 3 jedinice, desetice, stotine itd. Zbrajanje počinje s jedinicom, dakle, množenje mora početi s jedinicom, a zatim premjestiti s desne ruke na lijevu prema jedinicama višeg reda.
U ovom slučaju, napredak izračuna izražava se verbalno:
Množenje počinjemo s jedinicama: 3 × 4 jednako je 12, potpisujemo 2 ispod jedinica, a jedinicu (1 desetica) primjenjujemo na umnožak sljedećeg reda s faktorom (ili ga zapamtimo u mislima).
Množenje desetica: 3 × 9 jednako je 27, ali 1 u vašoj glavi jednako je 28; U glavi potpisujemo desetice 8 i 2.
Množenje stotina: Nula pomnožena sa 3 daje nulu, ali 2 u glavi je jednako 2, mi potpisujemo 2 ispod stotica.
Množenje tisuća: 3 × 8 = 24, potpisujemo potpuno 24, jer nemamo sljedeće naloge.
Ova radnja bit će izražena u pisanom obliku:
Iz prethodnog primjera izvodimo sljedeće pravilo. Za množenje višeznamenkastog broja s jednoznamenkastim brojem potrebno je:
Ispod jedinica množenika potpišite množitelj, s lijeve strane stavite znak množenja i povucite crtu.
Započnite množenje s jednostavnim jedinicama, a zatim, krećući se s desne ruke na lijevu, uzastopno množite desetke, stotine, tisuće itd.
Ako se pri množenju umnožak izrazi kao jednoznamenkasti broj, tada se potpisuje ispod umnožene znamenke množenika.
Ako je umnožak izražen dvoznamenkastim brojem, tada se ispod istog stupca potpisuje znamenka jedinica, a umnošku sljedećeg reda faktorom dodaje znamenka desetica.
Množenje se nastavlja dok se ne dobije puni umnožak.
Množenje brojeva sa 10, 100, 1000...
Množenje brojeva s 10 znači pretvaranje jednostavnih jedinica u desetice, desetice u stotine itd., odnosno povećanje reda svih brojeva za jedan. To se postiže dodavanjem jedne nule s desne strane. Množenje sa 100 znači povećanje svih redova veličine onoga što se množi s dvije jedinice, odnosno pretvaranje jedinica u stotine, desetice u tisuće itd.
To se postiže dodavanjem dvije nule broju.
Odavde zaključujemo:
Da biste pomnožili cijeli broj s 10, 100, 1000 i općenito s 1 s nulama, trebate dodijeliti onoliko nula s desne strane koliko ih ima u faktoru.
Množenje broja 6035 sa 1000 može se pismeno izraziti:
Kada je množitelj broj koji završava nulama, ispod množitelja se potpisuju samo značajne znamenke, a nule množitelja dodaju se s desne strane.
Da biste pomnožili 2039 sa 300, trebate uzeti broj 2029 tako da ga dodate 300 puta. Uzeti 300 pojmova isto je kao uzeti tri puta 100 pojmova ili 100 puta tri pojma. Da biste to učinili, pomnožite broj s 3, a zatim sa 100 ili prvo pomnožite s 3, a zatim dodajte dvije nule s desne strane.
Tijek izračuna bit će izražen u pisanom obliku:
Pravilo. Da biste pomnožili jedan broj s drugim, predstavljenim znamenkom s nulama, morate najprije pomnožiti množenik s brojem izraženim značajnom znamenkom, a zatim dodati onoliko nula koliko ima u množitelju.
Množenje višeznamenkastog broja višeznamenkastim brojem
Da biste pomnožili višeznamenkasti broj 3029 s višeznamenkastim 429 ili pronašli umnožak 3029 * 429, trebate ponoviti pribrojnik 3029 429 puta i pronaći zbroj. Ponavljanje 3029 s članovima 429 puta znači ponavljanje s članovima prvo 9, zatim 20 i na kraju 400 puta. Dakle, da biste pomnožili 3029 sa 429, morate prvo pomnožiti 3029 sa 9, zatim sa 20 i na kraju sa 400 i pronaći zbroj ova tri umnoška.
Tri djela
se zovu privatni radovi.
Ukupni umnožak 3029 × 429 jednak je zbroju tri kvocijenta:
3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.
Nađimo vrijednosti ova tri djelomična proizvoda.
Množenjem 3029 sa 9, nalazimo:
3029 × 9 27261 prvi privatni rad
Množenjem 3029 sa 20, nalazimo:
3029 × 20 60580 drugo posebno djelo
Množenjem 3026 sa 400, nalazimo:
3029 × 400 1211600 treći djelomični rad
Dodavanjem ovih djelomičnih umnožaka dobivamo umnožak 3029 × 429:
Nije teško uočiti da su svi ovi parcijalni umnošci umnošci broja 3029 s jednoznamenkastim brojevima 9, 2, 4, a drugom umnošku, dobivenom množenjem s deseticama, dodaje se jedna nula, a umnošku s deseticama dvije nule. treći.
Nule dodijeljene djelomičnim umnošcima izostavljaju se tijekom množenja, a napredak izračuna izražava se u pisanom obliku:
U tom slučaju, kada množite s 2 (znamenka desetica množitelja), potpišite 8 ispod desetica ili se pomaknite ulijevo za jednu znamenku; kod množenja sa stoticom znamenka 4, znak 6 u trećem stupcu, ili pomaknite ulijevo za 2 znamenke. Općenito, svako pojedino djelo počinje se potpisivati s desne na lijevu ruku, prema redoslijedu kojemu pripada znamenka množitelja.
Tražeći proizvod 3247 sa 209, imamo:
Ovdje počinjemo potpisivati drugi kvocijentni umnožak ispod trećeg stupca, jer on izražava umnožak 3247 s 2, treću znamenku množitelja.
Ovdje smo izostavili samo dvije nule, koje su se trebale pojaviti u drugom djelomičnom umnošku, jer on izražava umnožak broja s 2 stotine ili s 200.
Iz svega rečenog proizlazi pravilo. Da biste pomnožili višeznamenkasti broj s višeznamenkastim brojem,
potrebno je ispod množenika potpisati množitelj tako da brojevi istih naloga budu u istom okomitom stupcu, lijevo staviti znak množenja i povući crtu.
Množenje počinje jednostavnim jedinicama, zatim se pomiče s desne strane na lijevu, množeći uzastopni množenik znamenkom desetica, stotina itd. i stvarajući onoliko djelomičnih proizvoda koliko ima značajnih znamenki u množitelju.
Jedinice svakog parcijalnog umnoška potpisane su ispod stupca kojemu pripada znamenka množitelja.
Svi tako pronađeni parcijalni produkti se zbrajaju i dobiva se ukupni produkt.
Da biste pomnožili višeznamenkasti broj s faktorom koji završava nulama, trebate odbaciti nule u faktoru, pomnožiti s preostalim brojem, a zatim umnošku dodati onoliko nula koliko ima u faktoru.
Primjer. Pronađite umnožak broja 342 sa 2700.
Ako i množitelj i množitelj završavaju nulama, tijekom množenja se odbacuju i tada se umnošku dodaje onoliko nula koliko ih ima u oba proizvođača.
Primjer. Računajući proizvod 2700 sa 35000, množimo 27 sa 35
Dodavanjem pet nula na 945 dobivamo željeni umnožak:
2700 × 35000 = 94500000.
Broj znamenki proizvoda. Broj znamenki umnoška 3728 × 496 može se odrediti na sljedeći način. Ovaj umnožak je veći od 3728 × 100, a manji od 3728 × 1000. Broj znamenki prvog umnoška 6 jednak je broju znamenki u množeniku 3728 iu faktoru 496 bez jedinice. Broj znamenaka drugog umnoška 7 jednak je broju znamenaka u množeniku i množitelju. Zadani umnožak veličine 3728 × 496 ne može imati znamenke manje od 6 (broj znamenki umnoška je 3728 × 100, a više od 7 (broj znamenki umnoška je 3728 × 1000).
Gdje zaključujemo: broj znamenki bilo kojeg umnoška jednak je broju znamenki u množeniku i faktoru ili je jednak ovom broju bez jedinice.
Naš proizvod može sadržavati 7 ili 6 znamenki.
Stupnjevi
Među različitim djelima posebnu pozornost zaslužuju ona u kojima su producenti ravnopravni. Na primjer:
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.
Trgovi. Umnožak dvaju jednakih faktora naziva se kvadrat broja.
U našim primjerima, 4 je kvadrat 2, 9 je kvadrat 3.
kocke. Umnožak tri jednaka faktora naziva se kub broja.
Dakle, u primjerima 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, broj 8 je kocka od 2, 27 je kocka od 3.
Uopće umnožak više jednakih faktora naziva semoć broja . Moći dobivaju nazive prema broju jednakih faktora.
Umnošci dva jednaka faktora odn kvadrati se zovu drugi stupnjevi.
Umnošci tri jednaka faktora odn kocke se zovu treći stupnjevi itd.
Množenje je označeno križićem, zvjezdicom ili točkom. Postovi
znače istu stvar. Znak množenja često se izostavlja osim ako ne izaziva zabunu. Na primjer, umjesto obično pišu .
Ako postoji mnogo faktora, onda se neki od njih mogu zamijeniti elipsama. Na primjer, umnožak cijelih brojeva od 1 do 100 može se napisati kao .
U abecednom zapisu također se koristi simbol proizvoda: . Na primjer, djelo se može ukratko napisati ovako: .
vidi također
Zaklada Wikimedia. 2010.
Sinonimi:antonimi:
Pogledajte što je "množenje" u drugim rječnicima:
Aritmetička operacija. Označeno točkom. ili poznato? (u doslovnom izračunu znakovi množenja se izostavljaju). Množenje pozitivnih cijelih brojeva (prirodnih brojeva) radnja je koja vam omogućuje da pronađete ... Veliki enciklopedijski rječnik
Množenje, umnožavanje, povećanje, nakupljanje, zagušenje, rast, rast, prirast, jačanje, skupljanje, uzdizanje, udvostručenje. Cm… Rječnik sinonima
MNOŽENJE, množenja, mn. ne, usp. 1. Radnja pod Ch. umnožiti umnožiti i navesti prema gl. umnožiti umnožiti. Množenje tri sa dva. Umnožavanje prihoda. 2. Aritmetička operacija, ponavljanje zadanog broja kao člana onoliko puta koliko... ... Ušakovljev objašnjavajući rječnik
MNOŽENJE, aritmetička operacija označena simbolom (u biti opetovano ZBIRANJE). Na primjer, a3b se može napisati drugačije kao a+a+...+a, gdje b pokazuje koliko se puta operacija zbrajanja ponavlja. U izrazu a3b ("a"... ... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik
MNOŽENJE, i, usp. 1. vidi umnožiti, xia. 2. Matematička operacija kojom se iz dva broja (ili veličine) dobiva novi broj (ili veličina), koji (za cijele brojeve) sadrži kao član prvi broj onoliko puta koliko jedinica ima u drugom. . Ozhegovov objašnjavajući rječnik
množenje- — [] Teme zaštita informacija EN množenje ... Vodič za tehničke prevoditelje
MNOŽENJE- osnovna računska operacija, pomoću koje se za dana dva broja (vidi) i (vidi) pronalazi treći broj (umnožak) koji se označava a∙b odn. axb. Znak množenja obično se ne stavlja između slova: umjesto a∙b pišu ab. Ako je množenik i... ... Velika politehnička enciklopedija
ja; oženiti se 1. za množenje množenje (2 znamenke) i množenje množenje. U. stanovništva. U. obiteljski prihod. U. izdanje proizvoda. 2. Matematička operacija kojom se od dva broja (ili količine) dobiva novi broj (ili količina) koji (za ... ... enciklopedijski rječnik
množenje- ▲ algebarska funkcija izravna korespondencija, od (čega), argument (funkcije) matematičko dijeljenje funkcija množenja, koja je u izravnoj korespondenciji od argumenata. pomnožiti. pomnožiti pomnožiti. pomnožiti... Ideografski rječnik ruskog jezika
množenje- daugyba statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. množenje vok. Množenje, f rus. množenje, n pranc. množenje, f … Automatikos terminų žodynas
knjige
- Množenje Množimo brojeve od 1 do 9, Bobkova A. (odgovorni urednik). Ova zbirka zadataka je razina 2 u individualnoj nastavi KUMON u dijelu "Matematika za školarce". U bilježnici će dijete morati rješavati matematičke primjere na...
