Za dobivanje kvantitativnih informacija o substrukturi nanokristalnih legura veliki potencijal ima metoda malokutnog raspršenja rendgenskih zraka (SAS). Ova metoda omogućuje određivanje veličine i oblika submikroskopskih čestica, veličine od 10 do 1000 Å. Prednosti SAXS metode su u tome što je u području malih kutova moguće zanemariti Comptonovo raspršenje, kao i raspršenje uslijed toplinskih vibracija i statičkih pomaka koji su zanemarivo mali upravo u području malih kutova. Treba napomenuti da u stvaranju difrakcijske slike sudjeluju samo elektroni (raspršenje na jezgrama je zanemarivo), pa se iz difrakcijske slike može suditi o prostornoj raspodjeli gustoće elektrona, te o višku i manjku elektrona u odnosu na prosječnu gustoću elektrona za uzorak djeluju ekvivalentno.
Prema klasičnoj teoriji, amplituda koju rasprši pojedinačna sferna čestica jednaka je
gdje je kut difrakcije, veličina vektora difrakcije jednaka je ; – funkcija raspodjele gustoće elektrona u čestici; – radijus čestice.
Intenzitet raspršen homogenom sfernom česticom polumjera koja ima gustoću elektrona može se najlakše izračunati.
je funkcija oblika čestice, a njen kvadrat je faktor raspršenja sferne čestice; je broj elektrona u čestici, je intenzitet raspršen elektronom (treba napomenuti da se u području nultog mjesta recipročne rešetke kutna ovisnost funkcije može zanemariti, tj. ).
Kao što je prikazano u , Guinier je predložio pojednostavljenu metodu za izračunavanje intenziteta, a to je da za malu veličinu čestice i za imamo . Stoga, kada se širimo nizom, možemo se ograničiti na prva dva člana:
Veličina se naziva elektronski radijus kružnog kretanja (radius gyration) čestice i predstavlja srednju kvadratnu veličinu čestice (nehomogenost). Lako je pokazati da je za homogenu kuglastu česticu polumjera s gustoćom elektrona , radijus kruženja izražen u smislu njezinog polumjera na sljedeći način: , a vrijednost je jednaka broju elektrona u čestici ili, točnije, razlika između broja elektrona u čestici i broja elektrona u jednakom volumenu medija koji okružuje česticu ( je volumen nehomogenosti, a su gustoće elektrona tvari nehomogenosti i matrice). Na temelju navedenog dobivamo:
U slučaju monodisperznog ispražnjenog sustava, kada se interferencija zraka raspršenih od različitih čestica može zanemariti, profil intenziteta raspršenja nultog mjesta recipročne rešetke sustavom koji sadrži čestice u ozračenom volumenu može se opisati sljedećom formulom :
Ovu je formulu (2.7) dobio Guinier i po njemu je nazvana.
Vrijednost se nalazi po formuli:
gdje je intenzitet primarnog snopa; i su naboj i masa elektrona; – brzina svjetlosti u vakuumu; – udaljenost od uzorka do točke promatranja.
Kao što je prikazano na sl. 4, ovisnosti intenziteta o kutu izračunate korištenjem formula (2.2) i (2.7) za sferno homogenu česticu radijusa dobro se podudaraju na .
| Riža. 4. Raspršenje sfernom česticom polumjera . |
Uzmimo logaritam Guinierove formule:
Dakle, iz izraza (2.8) slijedi da se u slučaju predstavljanja SAXS uzorka iz monodisperznog sustava čestica u dovoljno malim koordinatama dobiva linearna ovisnost od čijeg kuta nagiba radijus kruženja čestica može biti pronađen.
U slučaju polidisperznog sustava, kada čestice imaju različite veličine, ovisnost više neće biti linearna. Međutim, kako studije pokazuju, s dovoljnom monodisperznošću svake vrste čestica i odsutnošću interčestične interferencije u SAXS slici u koordinatama, može se razlikovati nekoliko linearnih područja. Dijeljenjem ovih područja možemo pronaći odgovarajuće radijuse kruženja čestica različitih vrsta (slika 5).
Unatoč gore navedenim prednostima u dobivanju strukturnih informacija, SAS metoda ima niz značajnih nedostataka.
Značajna distorzija u SAS sliku može biti uvedena dvostrukom Bragg refleksijom (DBR), koja se javlja kada X-zrake prolaze kroz kristalne materijale. Dijagram koji objašnjava pojavu RBS-a prikazan je na slici. 6. Neka primarni snop X-zraka padne na mozaični kristal koji se sastoji od blago pogrešno orijentiranih blokova. Ako se npr. blok 1 nalazi na s 0 pod Braggovim kutom υ , tada će se zraka od njega reflektirati s 1, koji na svom putu može sresti blok 2, koji se nalazi u odnosu na s 1 u reflektirajućem položaju, tako da će se zraka reflektirati od bloka 2 s 2. Ako normale n 1 I n 2 da se reflektirajuće ravnine obaju blokova nalaze u istoj ravnini (na primjer, u ravnini crtanja), tada greda s 2 udarit će kao greda s 1, do središnjeg mjesta P0 radiografije. Blok 2 također odražava kada se okreće s 1 pa to je normalno n 2 i dalje čini kut (π/2)- υ S s 1, ali više ne leži u istoj ravnini s n 1 . Tada će dva puta reflektirana zraka napustiti ravninu crtanja i kretati se duž generatrise stošca čija je os s 1. Kao rezultat toga, na fotografskom filmu u blizini središnje točke P0 pojavit će se kratka crta koja je prekrivanje tragova dvostruko reflektiranih zraka.
| Slika 6. Dijagram koji objašnjava pojavu dvostruke Braggove refleksije. |
DBO potezi su orijentirani okomito na liniju P 0 P povezujući središnje mjesto P0 s Braggovim maksimumom P; duljina im je to veća što je mozaični kut kristala veći.
Nije teško riješiti se DBO kada proučavate SAS s jednim kristalom: dovoljno je orijentirati potonji u odnosu na primarni snop tako da nijedan sustav ravnina ( hkl) nije bio u reflektirajućem položaju.
Pri proučavanju polikristala praktički je nemoguće isključiti DBR, jer će uvijek postojati kristaliti koji reflektiraju primarni snop. DBO će izostati samo kada se koristi zračenje valne duljine λ > d max (d max – najveća međuplanarna udaljenost za dati kristalit). Na primjer, kada proučavate bakar, treba koristiti Al K α– zračenje, koje predstavlja značajne eksperimentalne poteškoće.
Pri relativno velikim kutovima raspršenja ( ε > 10") MUR se ne može odvojiti od efekta DBO. Ali kada ε < 2" intenzitet SAXS-a je za red veličine veći od intenziteta DBO-a. Odvajanje pravog SAM-a od DBO-a u ovom se slučaju temelji na različitoj prirodi ovisnosti SAM-a i DBO-a o korištenoj valnoj duljini. U tu svrhu dobivaju se krivulje intenziteta I(ε/λ) na dva zračenja, npr. CrK α I CuKα. Ako se obje krivulje podudaraju, to znači da je svo raspršenje posljedica SAXS učinka. Ako krivulje divergiraju tako da u svakoj točki ε/λ ispada da je omjer intenziteta konstantan, tada je svo raspršenje posljedica RBR-a.
Kada su prisutna oba učinka, tada
I 1 = I 1 DBO + I 1 DBO; I 2 = I 2 RBS + I 2 RBS
B. Ya. Pines i dr. pokazali su da od kada ε 1 /λ 1 = ε 2 /λ 2
I 1 MUR / I 2 MUR = 1 I I 1 DBO /I 2 DBO = K,
I 2 DBO = (I 1 – I 2)ε 1 /λ 1 = ε 2 /λ 2 (K – 1),
gdje je konstanta DO izračunati teorijski za svaki konkretan slučaj.
Iz RBO efekta mogu se odrediti prosječni kutovi pogrešne orijentacije blokova unutar kristalita ili monokristala.
gdje su i eksperimentalni i korigirani SAXS intenzitet, je vektor difrakcije, je kut raspršenja, je valna duljina; – konstantni koeficijent; – integracijska varijabla. Također treba napomenuti da se Guinierova formula može opravdano primijeniti samo u slučajevima koji predviđaju odsutnost interferencije zraka raspršenih od raznih čestica, jednostavnost oblika i elektronsku homogenost raspršujućih čestica (lopta, elipsa, ploča na ), inače Ovisnost neće sadržavati linearna područja, a obrada slika MUR postaje znatno kompliciranija.
2.2. Analiza strukture nanokompozita rendgenskom difrakcijom pod velikim i malim kutom.
Među neizravnim metodama za određivanje veličine čestica glavno mjesto pripada metodi difrakcije. Istodobno, ova metoda je najjednostavnija i najpristupačnija, budući da je rendgensko ispitivanje strukture široko rasprostranjeno i dobro opremljeno odgovarajućom opremom. Difrakcijskom metodom, uz fazni sastav, parametre kristalne rešetke, statičke i dinamičke pomake atoma iz ravnotežnog položaja i mikronaprezanja u rešetki, može se odrediti veličina zrna (kristalita).
Određivanje veličine zrna, čestica (ili područja koherentnog raspršenja) difrakcijskom metodom temelji se na promjeni oblika profila refleksije ogiba kako se veličina zrna smanjuje. Kada govorimo o difrakciji, koherentno raspršenje odnosi se na raspršenje difrakcijskog zračenja, koje osigurava ispunjenje uvjeta interferencije. U općem slučaju, veličina pojedinačnog zrna ne mora odgovarati veličini koherentnog područja raspršenja.
U difrakcijskim eksperimentima, strukturni defekti proučavaju se širenjem difrakcijskih refleksija od polikristala ili praha. Međutim, u praktičnoj primjeni ove metode za određivanje veličine zrna, širina difrakcijskih refleksija od tvari s velikim zrnima (česticama) često se uspoređuje s onom od iste tvari u nanostanju. Ovo određivanje proširenja i kasnija procjena prosječne veličine čestica nije uvijek točna i može proizvesti vrlo veliku (nekoliko stotina posto) pogrešku. Stvar je u tome da se širenje treba odrediti u odnosu na difrakcijske refleksije od beskonačno velikog kristala. U stvarnosti to znači da izmjerenu širinu difrakcijskih refleksija treba usporediti s instrumentalnom širinom, tj. sa širinom funkcije rezolucije difraktometra, unaprijed određenom u posebnom difrakcijskom eksperimentu. Osim toga, točno određivanje širine difrakcijskih refleksija moguće je samo teoretskom rekonstrukcijom oblika eksperimentalne refleksije. Vrlo je značajno da mogu postojati i drugi fizički razlozi za širenje difrakcijskih refleksija, osim male veličine kristalita. Stoga je važno ne samo odrediti veličinu proširenja, već i istaknuti doprinos tome upravo zbog male veličine čestica.
Budući da je difrakcijska metoda za određivanje veličine čestica najčešća i pristupačna, razmotrimo značajke njezine primjene detaljnije.
Širina difrakcijske linije može ovisiti o više razloga. To uključuje male veličine kristala, prisutnost različitih vrsta defekata, kao i heterogenost uzoraka u kemijskom sastavu. Proširenje uzrokovano mikrodeformacijama i nasumično raspoređenim dislokacijama ovisi o redoslijedu refleksije i proporcionalno je tan υ. Veličina proširenja uzrokovana nehomogenošću Δ X; (ili Δu), proporcionalno (sin 2 υ)/cos υ. U slučaju nanokristalnih tvari, najzanimljivije širenje povezano je s malom veličinom D kristalita (D< 150 нм), причем в этом случае величина уширения пропорциональна seс υ. Рассмотрим вывод выражения, учитывающего уширение дифракционного отражения, обусловленное конечным размером частиц поликристаллического вещества.
Neka
Uvedimo u razmatranje vektor raspršenja s = 2sin υ / λ, gdje je λ valna duljina zračenja. Matematički, njegov diferencijal (ili nesigurnost s fizičke točke gledišta, budući da u konačnom kristalu valni vektor postaje loš kvantni broj) je
ds= ( 2.12)
U ovom izrazu, vrijednost d(2υ) je integralna širina difrakcijske refleksije (linije), izražena u kutovima od 2υ i mjerena u radijanima. Integralna širina definirana je kao intenzitet integralne linije podijeljen s njezinom visinom i ne ovisi o obliku ogibne linije. To omogućuje korištenje integralne širine za analizu pokusa difrakcije X-zraka, sinkrotronske ili neutronske difrakcije izvedenih na različitim instalacijama s različitim funkcijama rezolucije difraktometra i u različitim kutnim intervalima.
Nesigurnost vektora raspršenja ds obrnuto je proporcionalna volumenski prosječnoj visini stupca koherentnih ravnina raspršenja
Gdje d(2) - integralna širina difrakcijske linije. U praksi se često ne koristi integralna širina, već puna širina difrakcijske linije na polovici maksimalne FWHM (puna širina na polovici maksimuma). Odnos između integralne širine linije i FWHM ovisi o obliku eksperimentalne difrakcijske linije i mora se odrediti posebno u svakom konkretnom slučaju. Za liniju u obliku pravokutnika i trokuta, integralna širina linije je točno jednaka FWHM. Za Lorentzovu i Gaussovu funkciju odnos je opisan izrazima: d(2) L ≈ 1,6∙FWHM L (2) i d(2) G ≈ 1.1∙FWHM G (2), a za pseudo-Voigtovu funkciju, o kojoj će biti riječi u nastavku, ovaj odnos je složeniji i ovisi o omjeru Gaussovog i Lorentzovog doprinosa. Za difrakcijske linije pod malim kutovima, odnos između integralnog širenja i FWHM može se uzeti jednak d(2) ≈ 1,47 ∙ FWHM(2); Zamjenom ove relacije u (2.13) dobivamo Debyeovu formulu:
U općem slučaju, kada čestice tvari imaju proizvoljan oblik, prosječna veličina čestica može se pronaći pomoću Debye-Scherrerove formule:
gdje je Scherrerova konstanta čija vrijednost ovisi o obliku čestice (kristalit, domena) i indeksima ( hkl) difrakcijska refleksija.
U stvarnom eksperimentu, zbog konačne razlučivosti difraktometra, linija se širi i ne može biti manja od širine instrumentalne linije. Drugim riječima, u formuli (2.15) ne treba koristiti širinu FWHM(2υ) refleksije, već njezino proširenje β u odnosu na širinu alata. Stoga se u difrakcijskom pokusu prosječna veličina čestica određuje pomoću Warrenove metode:
gdje je širenje difrakcijske refleksije. Imajte na umu da .
Puna širina na pola maksimalne FWHM R ili instrumentalna širina difraktometra može se mjeriti na dobro žarenoj i potpuno homogenoj tvari (prahu) s česticama veličine 1-10 μm. Drugim riječima, standard refleksije bez ikakvog dodatnog proširenja osim instrumentalnog proširenja treba uzeti kao standard za usporedbu. Ako je funkcija rezolucije difraktometra opisana Gaussovom funkcijom, a υ R je njezin drugi moment, tada je FWHM R =2,355υ R .
Difrakcijske refleksije opisuju se Gaussovim funkcijama g(υ) i Lorenz l(υ):
, (2.17)
ili njihovu superpoziciju V l() + (1-c) g() - pseudo-Voigtova funkcija:
gdje je relativni doprinos Lorentzove funkcije ukupnom intenzitetu refleksije; parametri Lorentzove i Gaussove distribucije; A je faktor normalizacije.
Razmotrimo značajke Gaussove i Lorentzove distribucije, koje su potrebne dalje. Za Gaussovu distribuciju, parametar je drugi moment funkcije. Drugi moment, izražen u kutovima, povezan je s punom širinom na pola maksimuma, mjereno u kutovima 2, poznata relacija () = FWHM(2)/(2 2,355). Ovaj odnos se lako može dobiti izravno iz Gaussove distribucije. Na sl. Slika 6a prikazuje Gaussovu distribuciju opisanu funkcijom
gdje je drugi moment Gaussove funkcije, tj. vrijednost argumenta koja odgovara točki infleksije funkcije kada je . Nađimo vrijednost pri kojoj funkcija (2.20) poprima vrijednost jednaku polovici svoje visine. U ovom slučaju i odakle. Kao što se može vidjeti na slici 6 a, puna širina Gaussove funkcije na pola maksimuma jednaka je .
Za Lorentzovu distribuciju, parametar se podudara s poluširinom ove funkcije na polovici visine. Neka Lorentz funkcionira,
uzima vrijednost jednaku polovici visine, tj. (slika 6 b). Vrijednost argumenta koja odgovara ovoj vrijednosti funkcije može se pronaći iz jednadžbe
odakle i . Dakle, vrijedi za Lorentzovu funkciju . Drugi moment Lorentzove funkcije, tj. vrijednost argumenta koja odgovara točki infleksije funkcije, može se pronaći iz uvjeta. Izračun pokazuje da je drugi moment Lorentzove funkcije jednak .
Pseudo-Voigtova funkcija (2.19) daje najbolji opis eksperimentalne difrakcijske refleksije u usporedbi s Gaussovom i Lorentzovom funkcijom.
Uzimajući ovo u obzir, predstavljamo funkciju rezolucije difraktometra kao pseudo-Voigtovu funkciju; Da bismo pojednostavili zapis, pretpostavimo da je u (2.19) A = 1. Zatim
Budući da je funkcija rezolucije superpozicija Lorentzove i Gaussove funkcije, tada se u nultoj aproksimaciji njezina širina može aproksimirati izrazom
Ako, onda. Neka neka efektivna Gaussova funkcija, čije se područje podudara s područjem pseudo-Voigtove funkcije, ima širinu jednaku , tada je drugi moment takve funkcije . Stoga su pseudo-Voigtova funkcija rezolucije i efektivna Gaussova funkcija ekvivalentne u poluširini. To omogućuje, u nultoj aproksimaciji, zamjenu funkcije (2.22) s funkcijom
gdje pod uvjetom da .
Eksperimentalna funkcija , koja opisuje oblik proizvoljne difrakcijske refleksije, je konvolucija funkcije distribucije i funkcije rezolucije (2.24), tj.
Iz (2.25) jasno je da je drugi moment eksperimentalne funkcije . (2,26)
Proširenje refleksije difrakcije β izražava se u smislu pune širine refleksije na pola maksimuma kao hkl) jednaki
Kao što je već navedeno, proširenja uzrokovana malom veličinom zrna, deformacijom i nehomogenošću proporcionalna su sec, tg odnosno (sin) 2 /cos, stoga se, zbog različite kutne ovisnosti, mogu razlikovati tri različite vrste proširenja. Treba imati na umu da veličina područja koherentnog raspršenja, određena iz dimenzionalnog proširenja, može odgovarati veličini pojedinačnih čestica (kristalita), ali također može odražavati strukturu poddomena i karakterizirati prosječnu udaljenost između grešaka slaganja ili efektivne veličina mozaičkih blokova itd. Osim toga, mora se uzeti u obzir da oblik difrakcijske refleksije ne ovisi samo o veličini, već io obliku nanočestica. U nejednofaznim nanomaterijalima, zamjetna distorzija oblika opaženih difrakcijskih linija može biti posljedica superpozicije difrakcijskih refleksija nekoliko faza.
Razmotrimo kako možemo razdvojiti širenje uzrokovano nekoliko različitih čimbenika, koristeći primjer čvrstih otopina nanostrukturnog karbida Zr C – Nb C sustava Difraktogrami rendgenskih zraka uzoraka (ZrC) 0,46 (NbC) 0,54 jako su prošireni. Poznato je da ove krute otopine imaju tendenciju raspadanja u krutom stanju, međutim, prema rendgenskim podacima, uzorci su bili jednofazni. Kako bi se utvrdio razlog širenja refleksija (nehomogenost, mala veličina zrna ili deformacija), izvršena je kvantitativna analiza profila refleksije difrakcije pomoću pseudo-Voigtove funkcije (2.19). Analiza je pokazala da širina svih difrakcijskih refleksija značajno premašuje širinu funkcije rezolucije difraktometra.
U kubičnoj kristalnoj rešetki, kristaliti imaju veličine istog reda u tri okomita smjera. U ovom slučaju, za kristale s kubičnom simetrijom koeficijent refleksije s različitim kristalografskim Millerovim indeksima (hkl) kubične kristalne rešetke, može se izračunati pomoću formule
Deformacijske distorzije i rezultirajući nehomogeni pomaci atoma iz rešetkastih mjesta mogu nastati kada su dislokacije nasumično raspoređene u masi uzorka. U ovom slučaju, pomaci atoma određeni su superpozicijom pomaka iz svake dislokacije, što se može smatrati lokalnom promjenom međuplanarnih udaljenosti. Drugim riječima, udaljenost između ravnina kontinuirano se mijenja od (d 0 -Δd) do (d 0 +Δd) (d 0 I Δd- međuplošni razmak u idealnom kristalu i prosječna promjena razmaka između ravnina (hkl) u volumenu V kristala). U ovom slučaju vrijednost ε = Δd/d0 je mikrodeformacija rešetke, koja karakterizira vrijednost uniformne deformacije u prosjeku po kristalu. Difrakcijski maksimum od područja kristala s promijenjenom interplanarnom udaljenošću pojavljuje se pod kutom , malo drugačiji od kuta o za idealni kristal, pa se zbog toga refleksija širi. Formula za širenje linije povezana s mikrodeformacijom rešetke može se lako izvesti diferenciranjem Wulff-Braggove jednadžbe: ; .Proširenje pravca u jednom smjeru od maksimuma pravca koji odgovara međuravninskom razmaku d, kada se interplanarna udaljenost promijeni za + Δd jednaka je , a pri promjeni za - (slika 6 a), funkcije rezolucije rendgenskog difraktometra određene su posebnim pokusima na žarenim krupnozrnatim spojevima koji nemaju područje homogenosti (veličina zrna, odsutnost deformacijskih izobličenja i homogenost sastava uzoraka isključivali su širenje refleksija): monokristal heksagonalnog karbida silicija 6H-SiC i na stehiometrijskom volfram karbidu WC. Usporedba pronađenih vrijednosti; c - ovisnost eksperimentalnog proširenja difrakcijskih refleksija uzorka (ZrC) 0,46 (NbC) 0,54 o
Guinier A., Fournet G. Malokutno raspršenje rendgenskih zraka. New York-London: J. Wiley i sinovi. Chapman and Hall Ltd. 1955. godine.
Ignatenko P. I., Ivanitsyn N. P. X-zraka difrakcija pravih kristala. - Donjeck: DSU, 2000. – 328 str.
Rusakov, A. A. Radiografija metala - M.: Atomizdat, 1977. - 479 str.
Gusev A.I. Nanomaterijali, nanostrukture, nanotehnologije. – M.: FIZMATLIT, 2005. – 416 str.
Općinska obrazovna ustanova srednja škola br. 21
Sažetak o fizici
„RASIPANJE X-ZRAKA
O MOLEKULAMA FULERENA"
Završio posao
učenica 11. razreda
Likov Vladimir Andrejevič
Učitelj:
Haritonova Olga Aleksandrovna
3.5. Fraunhoferova difrakcija x-zraka na kristalnim atomima38
Ciljevi rada
1. Računalno modeliranje raspršenja rendgenskih zraka na molekulama fulerena i fragmentima kristala fulerita.
2. Proučavanje rotacijske pseudosimetrije kutne raspodjele intenziteta raspršenih X-zraka.
2. Teorijski dio
2.1. Oscilacije
2.1.1. Jednodimenzionalna oscilatorna gibanja
Razmotrimo jednodimenzionalno periodično gibanje materijalne točke. Periodičnost gibanja znači da je koordinata točke x periodična funkcija vremena t:
Drugim riječima, za bilo koji trenutak vremena jednakost
f(t + T) = f(t), (1.2)
pri čemu se konstantna vrijednost T naziva periodom titranja.
Važno je da koordinata može biti ne samo kartezijanska, već i kut itd.
Postoje mnoge vrste periodičkog gibanja. Na primjer, ovo je jednoliko gibanje materijalne točke u krugu.
površina tekućine).
sl.1.3. Lopta obješena na nit.
sl.1.4. Plutati na površini tekućine.
sl.1.5. Cijev u obliku slova U koja sadrži tekućinu.
sl.1.6. Električni krug koji sadrži kondenzator kapaciteta C i zavojnicu induktiviteta L.
U primjeru 1.3. Kut otklona se povremeno mijenja. Konačno, u primjeru 1.6. Naboj kondenzatora i struja u zavojnici se periodički mijenjaju. Međutim, svi ti fizikalni procesi opisuju se istim matematičkim funkcijama.
2.1.2. harmonijske vibracije
Najjednostavnije vrste oscilacija su harmonijske. Koordinata materijalne točke mijenja se tijekom vremena tijekom harmonijskih oscilacija prema zakonu
x(t) =Acos(wt + j0) (1.3)
gdje je A amplituda pomaka (najveći pomak točke od ravnotežnog položaja), w je frekvencija povezana s periodom relacijom
w = 2p / T. (1.4)
Ravnotežni položaj je položaj materijalne točke u kojem je zbroj sila koje na nju djeluju jednak nuli.
Argument kosinusa wt + j0 u funkciji (1.3) naziva se faza oscilacije. Vidi se da je faza bezdimenzionalna veličina i linearna funkcija vremena. Konstantna vrijednost j0 naziva se početna faza.
Oscilacije fizičkih sustava prikazanih na sl. 1.1. – 1.6. izvodio bi striktno harmonijske oscilacije pod sljedećim dodatnim uvjetima:
Sustav 1.1. – u nedostatku otpora zraka, sustav 1.2. – u nedostatku trna, sustav 1.3. – pod malim kutovima i bez otpora zraka, sustavi 1.4. i 1.5. – u nedostatku viskoznosti tekućine, sustav 1.6. – u nedostatku aktivnog otpora zavojnice i žica.
Radi jednostavnosti, prvo razmotrimo jednodimenzionalne harmonijske oscilacije, kada se materijalna točka kreće duž jedne ravne linije.
Izračunavanjem derivacije funkcije (1.3) po vremenu dobivamo brzinu materijalne točke:
v(t) = -wAsin(wt+j0) (1.5)
Vidi se da je brzina također periodična funkcija vremena.
Sada uzimamo derivaciju funkcije (1.5) po vremenu i dobivamo akceleraciju materijalne točke.
a(t) = -w2 Acos(wt+j0) (1.6)
Uspoređujući funkcije (1.3) i (1.6) nalazimo da su koordinata i akceleracija povezani sljedećim izrazom
a(t) = -w2 x(t),(1.7)
koji se izvršava u bilo kojem trenutku.
Drugim riječima, za bilo koje jednodimenzionalne harmonijske oscilacije, ubrzanje čestice je izravno proporcionalno njezinoj koordinati, a koeficijent proporcionalnosti je negativan.
sl.1.7. Vremenske ovisnosti koordinata (kružnice), brzine (kvadrati) i akceleracije (trokutići) čestice koja izvodi jednodimenzionalne harmonijske oscilacije. Amplitude A=2, period T=5, početna faza j0=0.
Kao što je poznato, ubrzanje čestice (prema osnovnom zakonu dinamike) izravno je proporcionalno sili koja djeluje na česticu. Prema tome, ako je sila izravno proporcionalna koordinati suprotnog predznaka, čestica će izvoditi harmonijsko titranje. Takve sile se nazivaju obnavljajuće.
Važan primjer povratne sile je Hookeova sila (elastična sila). Dakle, ako na materijalnu točku djeluje Hookeova sila, tada točka izvodi harmonijske oscilacije.
Budući da razmatramo jednodimenzionalne vibracije, za analizu problema dovoljno je projicirati vektor Hookeove sile na os paralelnu s tom silom. Ako je nula x koordinate odabrana u točki u kojoj je povratna sila nula, tada je projekcija sile
gdje se koeficijent k naziva krutost.
Uspoređujući jednadžbe (1.7) i (1.8) i koristeći 2. Newtonov zakon, dobivamo važan izraz za frekvenciju oscilacija:
To znači da je frekvencija titranja opisana parametrima fizičkog sustava, a ne ovisi o početnim uvjetima. Konkretno, izraz (1.9) određuje frekvenciju harmonijskih oscilacija sustava prikazanih na slici 1.1. i 1.2.
Kao poučan primjer, razmotrite jednodimenzionalna kretanja koja izvode utezi pričvršćeni na opruge (vidi sl. 1.8).
sl.1.8. Utezi na oprugama.
Neka su mase opruga zanemarive u usporedbi s masama tereta.
Opterećenja se smatraju materijalnim točkama.
Najprije razmotrimo sustav prikazan na slici 18. A. Pretpostavimo da je u početku teret pomaknut ulijevo i da se opruga istegla. U ovom slučaju na teret (materijalnu točku) djeluju 3 sile: sila teže mg, sila elastičnosti F i normalna sila reakcije oslonca N. U ovom zadatku zanemarujemo trenje (vidi sl. 1.9).
sl.1.9. Sile na teret koji se oslanja na glatku potporu kada je opruga rastegnuta.
Zapišimo drugi Newtonov zakon za tijelo prikazano na sl. 1.9.
ma = mg + F + N(1,10)
Elastična sila za male deformacije opruga opisuje se Hookeovim zakonom
F = – kd(1,11)
gdje je d vektor deformacije opruge, k je koeficijent krutosti opruge.
Imajte na umu da kada se teret pomiče, napetost opruge može se zamijeniti kompresijom. U tom će slučaju vektor deformacije d promijeniti smjer u suprotan, pa će se isto dogoditi i s Hookeovom silom (1.11). Iz ovoga, posebice, slijedi da će tijekom početnog stiskanja opruge vektorska jednadžba gibanja (1.10) imati isti oblik:
ma = mg – kd + N(1,12)
Odaberimo ishodište koordinata u točki gdje se nalazi teret s nedeformiranom oprugom. Usmjerimo os X vodoravno, os Y okomito, tj. okomito na oslonac (vidi sl. 1.9).
Budući da se teret kreće vodoravno duž nosača, projekcija ubrzanja na Y os je nula. Tada je sila gravitacije potpuno kompenzirana normalnom reakcijom oslonca
N + mg = 0 (1,13)
Projiciranje jednadžbe gibanja (1.12) na X os daje skalarnu jednadžbu:
ma = – kd, (1.14)
gdje je a horizontalna projekcija ubrzanja tereta, d je projekcija vektora deformacije opruge.
Drugim riječima, ubrzanje je usmjereno duž horizontalne X osi i jednako je
a = – (k/m) d(1,15)
Napomenimo još jednom da jednadžba (1.15) vrijedi i za napetost i za pritisak opruge.
Budući da je ishodište koordinata odabrano tako da se poklapa s krajem nedeformirane opruge, projekcija deformacije se poklapa s vrijednošću horizontalne koordinate opterećenja x:
a = – (k/m) x (1,16)
Prema definiciji, projekcija ubrzanja jednaka je drugoj derivaciji odgovarajuće koordinate u odnosu na vrijeme. Prema tome, jednodimenzionalna jednadžba gibanja (1.16) može se prepisati u obliku
Drugim riječima, projekcija ubrzanja izravno je proporcionalna koordinati, a koeficijent proporcionalnosti ima negativan predznak.
Jednadžba (1.17) je diferencijalna jednadžba drugog reda; opća teorija rješavanja takvih jednadžbi proučava se u tijeku matematičke analize. Međutim, lako je dokazati izravnom supstitucijom da funkcija harmonijskog titranja (1.3) zadovoljava jednadžbu (1.17). Kao što je već ranije dokazano, frekvencija osciliranja izražava se formulom (1.9).
Amplituda A i početna faza j0 oscilacija određuju se iz početnih uvjeta.
Neka je teret u početku pomaknut udesno od ravnotežnog položaja za udaljenost d0, a početna brzina tereta jednaka je nuli. Zatim pomoću funkcija (1.3) i (1.5) pišemo sljedeće jednadžbe za trenutak t=0:
d0 =Acos(j0) (1.18)
0 = -wAsin(j0) (1.19)
Rješenje sustava (1.18) – (1.19) su sljedeće vrijednosti A = d0 i j0= 0.
Za druge početne uvjete, veličine A i j0 prirodno će dobiti različite vrijednosti.
Sada razmotrite sustav prikazan na slici 1.8. b. U tom slučaju na teret djeluju samo dvije sile: sila teže mg i elastična sila F (vidi sl. 1.10). Jasno je da se u ravnotežnom položaju te sile međusobno kompenziraju, pa je opruga istegnuta.
Neka se teret lagano pomiče okomito. Tada će vektorska jednadžba gibanja imati oblik sličan jednadžbi (1.12)
ma = mg – kd(1,20)
a neovisno o smjeru vertikalnog pomaka (gore ili dolje).
Svi vektori u jednadžbi (1.20) usmjereni su okomito, pa je preporučljivo ovu jednadžbu projicirati na okomitu koordinatnu os. Usmjerimo os prema dolje i izaberimo ishodište koordinata u točki u kojoj je tijelo u stanju ravnoteže (vidi sl. 1.10).
sl.1.10. Sile koje djeluju na teret koji visi na opruzi.
Projiciranjem (1.18) na X os dobivamo:
a = g – (k/m) d(1,21)
gdje je a projekcija ubrzanja tijela, d projekcija deformacije opruge.
Za rješavanje jednadžbe (1.21) korisno je vratiti teret u ravnotežni položaj. Newtonova jednadžba za ovu poziciju je:
0 = g – (k/m) d0(1,22)
gdje je d0 deformacija opruge kada je teret u ravnoteži. Stoga je vektor d0 jednak
Vidi se da je u ravnotežnom položaju tijela opruga zapravo rastegnuta, jer je vektor d0 usmjeren paralelno s vektorom g, tj. dolje.
Postavimo sada ishodište koordinata u točku ravnoteže opterećenja opruge i tada će jednadžba (1.21) poprimiti oblik:
a = g – (k/m) (x+ d0) (1,24)
gdje je d0 modul vektora deformacije opruge d0.
Zamjenom vrijednosti d0 dobivene iz relacije (1.23) u jednadžbu (1.24), dobivamo:
a = g – (k/m) (x+ (m/k) g)
a = – (k/m) x (1,25)
Dobivena jednadžba u potpunosti se podudara s jednadžbom (1.16). Dakle, tijelo prikazano na sl. 1.8. b, također izvodi harmonično oscilatorno gibanje, opisano funkcijom (1.3), poput opterećenja u sustavu prikazanom na sl. 1.8. A. Frekvencija vibracija Jedina razlika je u smjeru vibracije (okomito umjesto vodoravno). No frekvencija osciliranja još uvijek je određena krutošću opruge i masom tereta prema formuli (1.9).
Karakteristično je da početna deformacija opruge u sustavu na sl. 1.8. b ne utječe na frekvenciju titranja.
2.1.3. Dodavanje vibracija
2.1.3.1. Zbrajanje dviju harmonijskih oscilacija s istim amplitudama i frekvencijama
Razmotrimo primjer zvučnih valova, kada dva izvora stvaraju valove s istim amplitudama A i frekvencijama ω. Ugradit ćemo osjetljivu membranu na udaljenosti od izvora. Kada val "preputuje" udaljenost od izvora do membrane, membrana će početi vibrirati. Učinak svakog vala na membranu može se opisati sljedećim odnosima pomoću oscilatornih funkcija:
x1(t) = A cos(ωt + φ1),
x2(t) = A cos(ωt + φ2).
x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1.27)
Izraz u zagradama može se napisati drugačije pomoću trigonometrijske funkcije zbroja kosinusa:
Radi pojednostavljenja funkcije (1.28) uvodimo nove veličine A0 i φ0 koje zadovoljavaju uvjet:
A0 = φ0 = (1.29)
Zamjenom izraza (1.29) u funkciju (1.28) dobivamo
Dakle, zbroj harmonijskih oscilacija s istim frekvencijama ω je harmonijski titraj iste frekvencije ω. U tom slučaju amplituda ukupnog titranja A0 i početna faza φ0 određene su relacijama (1.29).
2.1.3.2. Zbrajanje dviju harmonijskih oscilacija iste frekvencije, ali različite amplitude i početne faze
Sada razmotrite istu situaciju, mijenjajući amplitude oscilacija u funkciji (1.26). Za funkciju x1 (t) amplitudu A zamijenimo s A1, a za funkciju x2 (t) A s A2. Tada će funkcije (1.26) biti zapisane u sljedećem obliku
x1 (t) = A1 cos(ωt + φ1), x2 (t) = A2 cos (ωt + φ2); (1,31)
Nađimo zbroj harmonijskih funkcija (1.31)
x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(ωt + φ1) + A2 cos (ωt + φ2) (1.32)
Izraz (1.32) može se napisati drugačije, koristeći trigonometrijsku sumu kosinusnu funkciju:
x(t) = (A1cos(φ1) + A2cos(φ2)) cos(ωt) – (A1sin(φ1) + A2sin(φ2)) sin(ωt) (1.33)
Radi pojednostavljenja funkcije (1.33) uvodimo nove veličine A0 i φ0 koje zadovoljavaju uvjet:
Kvadriramo svaku jednadžbu sustava (1.34) i zbrojimo dobivene jednadžbe. Tada dobivamo sljedeću relaciju za broj A0:
Razmotrimo izraz (1.35). Dokažimo da količina pod korijenom ne može biti negativna. Budući da je cos(φ1 – φ2) ≥ –1, to znači da je to jedina veličina koja može utjecati na predznak broja ispod korijena (A12 > 0, A22 > 0 i 2A1A2 > 0 (iz definicije amplitude)) . Razmotrimo kritični slučaj (kosinus je jednak minus jedan). Pod korijenom je formula za kvadrat razlike, koja je uvijek pozitivna veličina. Ako počnemo postupno povećavati kosinus, tada će se i član koji sadrži kosinus početi povećavati, tada vrijednost ispod korijena neće promijeniti svoj predznak.
Izračunajmo sada odnos za vrijednost φ0 dijeljenjem druge jednadžbe sustava (1.34) s prvom i izračunavanjem arktangensa:
Sada zamijenimo vrijednosti iz sustava (1.34) u funkciju (1.33)
x = A0(cos(φ0) cosωt – sin(φ0) sinωt) (1.37)
Transformirajući izraz u zagradama pomoću formule zbroja kosinusa, dobivamo:
x(t) = A0 cos(ωt + φ0) (1.38)
I opet se pokazalo da je zbroj dviju harmonijskih funkcija oblika (1.31) također harmonijska funkcija iste vrste. Točnije, zbrajanje dvaju harmonijskih oscilacija s istim frekvencijama ω također predstavlja harmonijsko titranje s istom frekvencijom ω. U ovom slučaju amplituda rezultirajuće oscilacije određena je relacijom (1.35), a početna faza – relacijom (1.36).
2.2. Valovi
2.2.1. Širenje vibracija u materijalnom okruženju
Razmotrimo vibracije u materijalnom okruženju. Jedan primjer je njihanje plovka na površini vode. Ako je uloga promatrača ptica koja leti iznad plovka, tada će primijetiti da plovak oko sebe stvara krugove, kojima se, začudo, s vremenom povećava radijus kako se udaljava. Ali ako je uloga promatrača osoba koja stoji na obali, tada će vidjeti "grbe" i "udubine", koje se, naizmjenično, približavaju obali. Taj se fenomen naziva putujući val.
Da bismo razumjeli svojstva vala, zanemarimo otpor zraka i viskoznost vode i zraka, tj. disipativne sile. Tada se može pretpostaviti da je mehanička energija kapljica vode očuvana. U ovom slučaju, kretanje vala može se shematski prikazati kao što je prikazano na slici 1, zamjenjujući kapljice vode numeriranim kuglicama. Označimo kuglicu broj 1 kao plovak.
Riža. 2.1. Shematski prikaz transverzalnog vala.
Vidimo da je uzrok gibanja kuglica broj 1, tj. lebdjeti. Uz pomoć interakcije zahvaća loptu broj 2 u pokretu, lopta broj 2 zahvaća loptu broj 3 itd. Ali interakcija među česticama ne događa se trenutno, pa će kuglica br. 2 zaostajati u vremenu. Također možete primijetiti da kuglica #13 oscilira na isti način kao #1. Tada možemo zaključiti da će kuglica broj 2 zaostajati za kuglicom broj 1 1/12 perioda.
Dakle, valni period (T) možemo nazvati periodom titranja kuglice br. 1, amplituda vala (A) je maksimalno odstupanje kuglice od horizontalne osi, a valna duljina (λ) je minimalna udaljenost između maksimuma najbližih grbina ili minimuma najbližih dolina.
U prethodno razmatranom primjeru, val se širio okomito na oscilacije izvora, drugim riječima, razmatran je transverzalni val.
Longitudinalni valovi su valovi koji se šire paralelno s kretanjem izvora. Promatramo li longitudinalne valove shematski (slika 2.2), možemo vidjeti da tijekom vremena izvor oscilacija (kuglica br. 1) oscilira lijevo-desno i uključuje druge čestice u isto oscilatorno gibanje. Tada će za longitudinalni val gore opisana definicija valnog perioda ostati nepromijenjena, ali će definicije valne duljine i amplitude izgledati drugačije. Generalizirani koncepti izgledat će ovako: valna duljina - minimalna udaljenost između kuglica koje se kreću s istim fazama; amplituda vala – maksimalno odstupanje od ravnotežnog položaja.
2.2.2. Valna funkcija
Promotrimo izvor koji izvodi harmonijske oscilacije u materijalnom mediju s frekvencijom w. Tada je njegovo gibanje opisano funkcijom oblika . Neka je početna faza j0 nula. Tada je koordinata izvora sljedeća funkcija vremena.
x = Acos (wt) (2,1)
Uslijed međudjelovanja čestice okoline uključene su u kretanje, što će ujedno biti i harmonijske oscilacije. Ali međučestična interakcija ne događa se trenutno, pa će se oscilacije susjednih čestica dogoditi s vremenskim pomakom. Zbog konačne i konstantne brzine prijenosa međudjelovanja, ovaj vremenski pomak oscilacija izravno je proporcionalan udaljenosti sljedeće čestice od izvora.
Iz prethodnih primjera proizlazi da će se kao rezultat toga u mediju širiti poremećaji koji se nazivaju valovi. U slučaju površinskih valova, ovaj poremećaj predstavlja otklon čestica vode od površine u mirnom stanju. Kod zvučnih valova poremećaj je odstupanje gustoće zraka od prosječne gustoće zraka u mirovanju. Bez obzira na vrstu valova (longitudinalni ili transverzalni), taj se poremećaj mora opisati nekom funkcijom vremena i koordinata.
U izvorišnoj točki, poremećaj je funkcija vremena koja se podudara s (2.1)
y(0, t) = Acos(wt). (2.2)
Razmotrimo širenje harmonijskog poremećaja u smjeru određenom 0Z koordinatnom osi. Prema navedenom, čestice materijalnog okoliša koje se nalaze na udaljenosti z od izvora izvode harmonijske oscilacije s vremenskim kašnjenjem (zbog konačne brzine širenja međudjelovanja). Prema tome, poremećaj u točki z iu proizvoljnom trenutku t podudara se s poremećajem u točki z = 0 izvora u nekom prethodnom trenutku t¢
y(z, t) = y(0, t¢) (2.3)
Brzina širenja poremećaja u određenom mediju jasno je izražena brzinom kretanja grbe (ili depresije) u površinskim valovima ili brzinom kretanja zbijanja (ili razrijeđenja) u zvučnom valu. Ova brzina vf naziva se fazna brzina vala. Dakle, grba, udubina ili bilo koja druga vrsta poremećaja u mediju prijeđe udaljenost z u vremenu z/vf.
Fazna brzina nam omogućuje da povežemo trenutke vremena t¢ i t sljedećom relacijom
Koristeći relacije (2.2) – (2.4), dobivamo izraz za funkciju poremećaja u sljedećem obliku:
Rezultirajući izraz naziva se harmonijska valna funkcija ili, ukratko, harmonijski val.
U slučaju homogenih medija i malih poremećaja, fazna brzina je konstantna vrijednost.
Uvedimo novu veličinu, nazvanu valni broj, sa sljedećim odnosom:
k = ω / vf(2.6)
Koristeći valni broj, harmonijska valna funkcija (2.5) može se napisati kao:
y(z, t) = A cos(ωt – kz) (2.7)
Razmotrimo veličinu A. Ova veličina je amplituda vala. Kao što je već spomenuto, amplituda vala je maksimalno odstupanje čestice od njezina ravnotežnog položaja. Amplituda vala može se mijenjati tijekom vremena (zbog vanjskih sila).
Fazom vala nazivat ćemo veličinu pod predznakom trigonometrijske funkcije. Ovisno o početnim uvjetima, faza valne funkcije može sadržavati konstantan član j0 ¹ 0. Faza vala je funkcija dvaju argumenata, vremena i koordinata.
Primijetimo da funkcija (2.8) opisuje valni proces koji je beskonačan u prostoru i vremenu.
Razmotrimo fizikalni smisao veličine k. Izaberimo trenutak vremena t=0. Valna funkcija (2.8) će imati oblik:
Funkcija (2.9) se može interpretirati kao trenutna fotografija valnog procesa. Vidi se da je ova funkcija periodična u prostoru.
Prema definiciji perioda, sljedeća jednakost vrijedi za bilo koju vrijednost z koordinate
A Cos(k (z + l)) = A Cos(k z)
Veličina l naziva se valna duljina. Predstavlja minimalnu udaljenost između točaka s istom fazom (grbe, udubljenja itd.).
Ako su kosinusi jednaki, tada se argumenti razlikuju za 2π
k (z+l) = kz +2π (2,9)
Jednostavnim transformacijama dobivamo sljedeći izraz:
λ = 2π/k(2.10)
Slijedi da je vrijednost k obrnuto proporcionalna valnoj duljini λ.
Razmotrimo skup točaka u prostoru u kojima faza vala ostaje jednaka nuli.
wt – kz = 0(2,11)
Algebarska transformacija daje:
Omjer z/t gore lijevo definiran je kao fazna brzina. Prema (2.13) fazna brzina ravnog harmonijskog vala jednaka je
Iz relacije (2.15) također je jasno da je za harmonijski putujući val u fiksnom trenutku vremena, stopa povećanja faze po jedinici duljine vrijednost k (valni broj) jednaka
k = w/vF(2,14)
Gore je razmotren primjer harmoničnih valova. Ali u prirodi su takvi valovi vrlo rijetki. Češće postoje prigušeni valovi, tj. valovi u kojima brzina (zbog otpora zraka, trenja ili drugih disipativnih sila) s vremenom postaje nula. Funkcije koje smo ranije dobili ne vrijede za prigušene valove.
Gore smo razmotrili valove koji se šire duž sučelja između dva medija i valove koji se šire u volumenima materije. Na primjer, u zraku se mogu širiti samo uzdužni zvučni valovi, ali u metalu i uzdužni i poprečni.
Osim toga, valove je moguće razlikovati po obliku površine stalne faze. Važni posebni slučajevi su ravni i sferni valovi.
2.2.3. Elektromagnetski valovi
Poznato je da promjenjivo magnetsko polje stvara električno. Ako pretpostavimo da promjenjivo električno polje stvara magnetsko polje, tada možemo pretpostaviti, kao što je Maxwell učinio, da će to proizvesti elektromagnetski val. I tek tada, 1886., Hertz je eksperimentalno dokazao da je Maxwell bio u pravu. Hertz je u svojim pokusima smanjivanjem broja zavoja zavojnice i površine ploča kondenzatora, te njihovim razmicanjem izvršio prijelaz iz zatvorenog titrajnog kruga u otvoreni oscilatorni krug (Hertzov vibrator), koji se sastoji od od dvije šipke odvojene iskrištem. Ako je u zatvorenom oscilatornom krugu izmjenično električno polje koncentrirano unutar kondenzatora, tada u otvorenom krugu ispunjava prostor oko kruga, što značajno povećava intenzitet elektromagnetskog zračenja. Oscilacije u takvom sustavu održavaju se zahvaljujući npr. iz izvora spojenog na ploče kondenzatora, a iskrište se koristi za povećanje potencijalne razlike na koju su ploče inicijalno nabijene. Za pobuđivanje elektromagnetskih valova, Hertzov vibrator 8 bio je spojen na induktor. Kada je napon na iskrištu dosegao probojnu vrijednost, pojavila se iskra i u vibratoru su nastale slobodne prigušene oscilacije. Kad je iskra nestala, krug se otvorio i oscilacije su prestale. Zatim je induktor ponovno napunio kondenzator, pojavila se iskra i ponovno su se primijetile oscilacije u krugu itd. Za snimanje elektromagnetskih valova Hertz je koristio drugi vibrator, koji je imao istu frekvenciju vlastitih oscilacija kao i vibrator koji zrači, tj. ugođen u rezonanciji s vibratorom. Kada su elektromagnetski valovi doprli do rezonatora, električna iskra je skočila u njegov procjep.
Uz pomoć opisanog vibratora Hertz je dosegao frekvencije reda veličine 100 MHz i dobio valove čija je duljina bila približno 3 m.P.N. Lebedev je pomoću minijaturnog vibratora izrađenog od tankih platinskih šipki dobio milimetarske elektromagnetske valove valne duljine λ = 6-4 mm. Tako su eksperimentalno otkriveni elektromagnetski valovi. Hertz je također dokazao da je brzina elektromagnetskog vala jednaka brzini svjetlosti:
Tada je dokazano da su elektromagnetski valovi transverzalni. Izvor elektromagnetskih valova su oscilirajući naboji. U prostoru koji okružuje naboj nastaje sustav električnih i magnetskih polja. "Snimak" takvog sustava polja prikazan je na slici 2.3.
Kvalitativna karakteristika elektromagnetskih oscilacija može se dati u obliku frekvencije oscilacija, izražene u hercima, iu valnim duljinama. Što je viša frekvencija osciliranja, to je kraća valna duljina. Cijeli spektar ovih valova konvencionalno je podijeljen u sljedećih 16 raspona:
Valna duljina | Ime | Frekvencija |
| više od 100 km | Električne vibracije niske frekvencije | 0-3 kHz |
| 100 km - 1 mm | Radio valovi | 3 kHz - 3 THz |
| 100-10 km | mirijametar (vrlo niske frekvencije) | 3 - 3 kHz |
| 10 - 1 km | kilometar (niske frekvencije) | 30 - 300 kHz |
| 1 km - 100 m | hektometrijski (srednje frekvencije) | 300 kHz - 3 MHz |
| 100 - 10 m | dekametar (visoke frekvencije) | 3 - 30 MHz |
| 10 - 1 m | metar (vrlo visoke frekvencije) | 30 - 300MHz |
| 1 m - 10 cm | decimetar (ultravisok) | 300 MHz - 3 GHz |
| 10 - 1 cm | centimetar (ekstra visok) | 3 - 30 GHz |
| 1 cm - 1 mm | milimetar (izuzetno visok) | 30 - 300 GHz |
| 1 - 0,1 mm | decimilimetar (hipervisoki) | 300 GHz - 3 THz |
| 2 mm - 760 nm | Infracrveno zračenje | 150 GHz - 400 THz |
| 760 - 380 nm | Vidljivo zračenje (optički spektar) | 400 - 800 THz |
| 380 - 3 nm | Ultraljubičasto zračenje | 800 THz - 100 PHz |
| 10 nm - 1 poslijepodne | X-zračenje | 30 PHz - 300 EHz |
| <=10 пм | Gama zračenje | >=30 EHz |
Jedna od najčešćih vrsta elektromagnetskih valova su svjetlosni valovi. Ali u našem radu razmotrit ćemo drugu vrstu elektromagnetskih valova - x-zrake.
2.2.4. X-zrake
Jedan od najupečatljivijih primjera elektromagnetskih valova su X-zrake.
Godine 1895. V.K. Roentgen (1845. – 1923.) bavio se istraživanjem električne struje u vrlo razrijeđenim plinovima. Na elektrode, zalemljene u staklenu cijev, iz koje je prethodno ispumpan zrak do tlaka od ~10–3 mm Hg. Art., primijenjena je potencijalna razlika od nekoliko kilovolta. Ispostavilo se da u tom slučaju cijev postaje izvor zraka, koje je Roentgen nazvao "rendgenskim zrakama". Osnovna svojstva X-zraka proučavao je sam Roentgen kao rezultat trogodišnjeg rada, za što je 1901. godine dobio Nobelovu nagradu - prvi među fizičarima. Zrake koje je otkrio kasnije su s pravom nazvane X-zrakama.
sl.2.3. Dijagrami rendgenskih cijevi.
a) jedna od prvih rendgenskih cijevi, b) rendgenska cijev s kraja 20. stoljeća.
K – toplinska katoda, A – visokonaponska anoda, T – zagrijavanje termičke katode, E – snopovi ubrzanih elektrona (isprekidane linije), P – tokovi X-zraka (isprekidane linije), O – prozori u tijelu cijevi za izlaz X-zraka.
Prema suvremenim znanstvenim istraživanjima X-zrake su oku nevidljivo elektromagnetsko zračenje s valnom duljinom koja pripada približnom rasponu od 10–2 - 10 nanometara.
X-zrake se emitiraju kada su brzi elektroni u tvari usporeni (i tvore kontinuirani spektar) i kada elektroni prelaze iz vanjskih elektronskih ljuski atoma u unutarnje (i daju linijski spektar).
Najvažnija svojstva X-zraka su sljedeća:
Zrake prolaze kroz sve materijale, uključujući i one neprozirne za vidljivu svjetlost. Intenzitet propuštenih zraka I eksponencijalno opada s debljinom x sloja tvari
I(x) = I0 exp(–m/x),(2.16)
gdje je I0 intenzitet zraka koje padaju na sloj ozračenog materijala.
Koeficijent m karakterizira slabljenje toka X-zraka od tvari i ovisi o gustoći materijala r i njegovom kemijskom sastavu. Brojni pokusi pokazali su da, u prvoj aproksimaciji, postoji ovisnost
Struje X-zraka prolaze kroz debele ploče, limove, ljudsko tijelo itd. Značajna moć prodora X-zraka trenutno se naširoko koristi u otkrivanju grešaka i medicini.
X-zrake uzrokuju luminiscenciju određenih kemijskih spojeva. Na primjer, zaslon obložen BaPt(CN) 4 soli svijetli žuto-zeleno kada ga pogode X-zrake.
X-zrake koje pogađaju fotografske emulzije uzrokuju njihovo pocrnjenje.
X-zrake ioniziraju zrak i druge plinove, čineći ih električno vodljivima. Ovo se svojstvo koristi u detektorima koji otkrivaju nevidljive X-zrake i mjere njihov intenzitet.
X-zrake imaju snažan fiziološki učinak. Dugotrajno ozračivanje živih organizama intenzivnim fluksevima X-zraka dovodi do pojave specifičnih bolesti (tzv. "radijacijske bolesti"), pa čak i smrti.
Kao što je ranije spomenuto, X-zrake se emitiraju tijekom usporavanja brzih elektrona u tvari i tijekom prijelaza elektrona iz vanjskih elektronskih ljuski atoma u unutarnje (i daju linijski spektar). Detektori koji bilježe X-zrake temelje se na svojstvima X-zraka. Stoga su najčešće korišteni detektori: fotografske emulzije na filmu i pločama, fluorescentni zasloni, plinski i poluvodički detektori.
2.3. Difrakcija valova
2.3.1. Difrakcija i interferencija valova
Tipični valni efekti su pojave interferencije i difrakcije.
U početku je difrakcija bila odstupanje prostiranja svjetlosti od pravocrtnog smjera. Ovo je otkriće 1665. godine napravio opat Francesco Grimaldi i poslužilo je kao osnova za razvoj valne teorije svjetlosti. Difrakcija svjetlosti bila je savijanje svjetlosti oko kontura neprozirnih predmeta i, kao posljedica toga, prodiranje svjetlosti u područje geometrijske sjene.
Nakon stvaranja valne teorije pokazalo se da je difrakcija svjetlosti posljedica fenomena interferencije valova koje emitiraju koherentni izvori smješteni na različitim točkama u prostoru.
Za valove se kaže da su koherentni ako njihova fazna razlika ostaje konstantna tijekom vremena. Izvori koherentnih valova su koherentne oscilacije valnih izvora. Sinusni valovi, čije se frekvencije ne mijenjaju tijekom vremena, uvijek su koherentni.
Koherentni valovi koje emitiraju izvori smješteni na različitim točkama šire se u prostoru bez međudjelovanja i tvore ukupno valno polje. Strogo govoreći, sami valovi ne "dodaju". Ali ako se uređaj za snimanje nalazi u bilo kojoj točki prostora, tada će njegov osjetljivi element biti postavljen u oscilatorno gibanje pod djelovanjem valova. Svaki val djeluje neovisno o drugima, a kretanje osjetnog elementa zbroj je oscilacija. Drugim riječima, u ovom procesu nema
valovi, već vibracije uzrokovane koherentnim valovima.
Riža. 3.1. Dvostruki sustav izvora i detektora. L – udaljenost od prvog izvora do detektora, L’ – udaljenost od drugog izvora do detektora, d – udaljenost između izvora.
Kao osnovni primjer, razmotrite interferenciju valova koje emitiraju dva koherentna točkasta izvora (vidi sliku 3.1). Frekvencije i početne faze oscilacija izvora se podudaraju. Izvori se nalaze na određenoj udaljenosti d jedan od drugog. Detektor koji bilježi intenzitet generiranog valnog polja nalazi se na udaljenosti L od prvog izvora. Vrsta interferencijskog uzorka ovisi o geometrijskim parametrima izvora koherentnih valova, o dimenziji prostora u kojem se valovi šire itd.
Razmotrimo funkcije valova koji su posljedica oscilacija koje emitiraju dva točkasta koherentna izvora. Da bismo to učinili, postavimo os z kao što je prikazano na slici 3.1. Tada će valne funkcije izgledati ovako:
Uvedimo pojam razlike putanje vala. Da biste to učinili, razmotrite udaljenosti od izvora do detektora snimanja L i L’. Udaljenost između prvog izvora i detektora L razlikuje se od udaljenosti između drugog izvora i detektora L’ za iznos t. Da biste pronašli t, razmotrite pravokutni trokut koji sadrži vrijednosti t i d. Tada možete lako pronaći t pomoću funkcije sinusa:
Ova veličina će se zvati razlika putanje vala. Sada pomnožimo ovu vrijednost s valnim brojem k i dobijemo vrijednost koja se zove fazna razlika. Označimo ga kao ∆φ
Kada dva vala "dođu" do detektora, funkcije (3.1) poprimaju oblik:
Kako bismo pojednostavili zakon prema kojem će detektor oscilirati, vrijednost (–kL + j1) u funkciji x1(t) postavili smo na nulu. Zapišimo vrijednost L’ u funkciji x2(t) pomoću funkcije (3.4). Jednostavnim transformacijama dobivamo to
Može se uočiti da su relacije (3.3) i (3.6) iste. Prethodno je ova veličina definirana kao fazna razlika. Na temelju onoga što je ranije rečeno, odnos (3.6) može se prepisati na sljedeći način:
Dodajmo sada funkcije (3.5).
(3.8)
Metodom kompleksnih amplituda dobivamo relaciju za amplitudu ukupne oscilacije:
gdje je φ0 određen relacijom (3.3).
Nakon što se pronađe amplituda ukupne oscilacije, intenzitet ukupne oscilacije može se pronaći kao kvadrat amplitude:
(3.10)
Razmotrimo grafikon intenziteta ukupne oscilacije za različite parametre. Kut θ varira u intervalu (to se može vidjeti sa slike 3.1), valna duljina varira od 1 do 5.
Razmotrimo poseban slučaj kada je L>>d. Ovaj se slučaj obično događa u eksperimentima raspršenja X-zraka. U tim pokusima detektor raspršenog zračenja obično se nalazi na udaljenosti mnogo većoj od veličine uzorka koji se proučava. U tim slučajevima sekundarni valovi ulaze u detektor, za koji se može približno pretpostaviti da je ravan s dovoljnom točnošću. Pri tome su valni vektori pojedinih valova sekundarnih valova koje emitiraju različiti centri raspršenog zračenja paralelni. Vjeruje se da su u ovom slučaju zadovoljeni uvjeti Fraunhoferove difrakcije.
2.3.2. X-zraka difrakcija
Difrakcija rendgenskih zraka je proces koji se događa tijekom elastičnog raspršenja rendgenskog zračenja, a sastoji se od pojave skrenutih (difraktiranih) zraka koje se šire pod određenim kutovima u odnosu na primarni snop. Difrakciju X-zraka uzrokuje prostorna koherentnost sekundarnih valova koji nastaju kada se primarno zračenje rasprši elektronima koji čine atome. U nekim smjerovima, određenim odnosom između valne duljine zračenja i međuatomskih udaljenosti u tvari, sekundarni valovi se zbrajaju, budući da su u istoj fazi, što rezultira stvaranjem intenzivne difrakcijske zrake. Drugim riječima, pod utjecajem elektromagnetskog polja upadnog vala, nabijene čestice prisutne u svakom atomu postaju izvori sekundarnih (raspršenih) sfernih valova. Pojedinačni sekundarni valovi interferiraju jedni s drugima, tvoreći i pojačane i oslabljene zrake zračenja koje se šire u različitim smjerovima.
Možemo pretpostaviti da raspršenje nije popraćeno disperzijom, pa se stoga frekvencija raspršenih valova podudara s frekvencijom primarnog vala. Ako je raspršenje elastično, tada se modul valnog vektora također ne mijenja.
Razmotrimo rezultat interferencije sekundarnih valova u točki udaljenoj od svih centara raspršenja na udaljenosti mnogo većoj od međuatomskih udaljenosti u uzorku koji se proučava (ozračeni). Neka se na ovoj točki nalazi detektor i zbrajaju se oscilacije uzrokovane raspršenim valovima koji stižu na tu točku. Budući da udaljenost od raspršivača do detektora znatno premašuje valnu duljinu raspršenog zračenja, odsječci sekundarnih valova koji dolaze do detektora mogu se s dovoljnim stupnjem točnosti smatrati ravnima, a njihovi valni vektori paralelnim. Stoga se fizički obrazac raspršenja X-zraka, po analogiji s optikom, može nazvati Fraunhoferova difrakcija.
Ovisno o kutu raspršenja q (kut između valnog vektora primarnog vala i vektora koji povezuje kristal i detektor), amplituda ukupne oscilacije će doseći minimum ili maksimum. Intenzitet zračenja koji bilježi detektor proporcionalan je kvadratu ukupne amplitude. Prema tome, intenzitet ovisi o smjeru širenja raspršenih valova koji dolaze do detektora, o amplitudi i valnoj duljini primarnog zračenja, te o broju i koordinatama centara raspršenja. Osim toga, amplituda sekundarnog vala koju formira pojedinačni atom (a time i ukupni intenzitet) određena je atomskim faktorom - opadajućom funkcijom kuta raspršenja q, koji ovisi o gustoći elektrona atoma.
Razmotrimo distribuciju intenziteta zračenja koje stvara n koherentnih točkastih izvora monokromatskih valova. Geometrija sustava koji se sastoji od n koherentnih točkastih izvora monokromatskih valova i detektora koji se može kretati po ravnoj liniji prikazana je na slici 5.1.
sl.3.3. Geometrija sustava od n izvora.
Brojevi 1,2,3,4,…,n označavaju položaje točkastih izvora.
X os je usmjerena duž linije kretanja detektora. Gdje su Z1,Z2, Z3, Z4,…, Zn, udaljenosti od prvog, drugog, trećeg,…, n-tog izvora do prijemnika, duž osi X dodaju se intenziteti vibracija, L– udaljenost od osi X na liniju koja povezuje izvore.
Da bismo pronašli intenzitet n izvora, koristimo relaciju (3.10). Zbrojimo amplitude pomoću vektorske metode. Tada će za n izvora funkcija (3.10) imati oblik:
Ovo je jednadžba za izračunavanje intenziteta zračenja n izvora, gdje je
Ovdje se može izračunati na sljedeći način:
Zamjenom (3.12), (3.13) i (3.14) u (3.11) dobivamo:
2.3.4. Atomski faktor
Atomski faktor je veličina koja karakterizira sposobnost izoliranog atoma ili iona da koherentno raspršuje X-zrake, elektrone ili neutrone (prema tome se razlikuje atomski faktor X-zraka, elektron ili neutron). Atomski faktor određuje intenzitet zračenja koje atom raspršuje u određenom smjeru.
Razmotrimo interakciju vala X-zraka s jednim atomom. Električno polje vala stvara periodične sile koje djeluju na sve nabijene čestice koje čine atom - elektrone i jezgru. Ubrzanje koje dobiva čestica obrnuto je proporcionalno masi čestice. Svaka čestica postaje izvor sekundarnog (tj. raspršenog) vala. Intenzitet zračenja proporcionalan je kvadratu akceleracije, tako da raspršeno zračenje generiraju gotovo isključivo elektroni, stoga atomski faktor X-zraka ovisi o raspodjeli gustoće elektrona u atomu.
Elektroni su raspršeni unutar atoma, a veličina atoma je usporediva s valnom duljinom x-zraka. Stoga sekundarni valovi koje stvaraju pojedinačni elektroni atoma imaju faznu razliku. Ovaj fazni pomak Dφ ovisi o smjeru širenja raspršenog vala u odnosu na smjer valnog vektora primarnog vala. Prema tome, amplituda zračenja raspršenog na atomu ovisi o kutu raspršenja.
Atomski faktor f (ili atomska funkcija raspršenja) definiran je kao omjer amplitude vala raspršenog na jednom atomu i amplitude vala raspršenog na jednom slobodnom elektronu. Veličina atomskog faktora ovisi o kutu raspršenja q i valnoj duljini zračenja l. Vrijednost g = sin(q) / l koristi se kao argument za funkciju atomskog faktora u studijama difrakcije X-zraka.
Ako je polarni kut q = 0, tada je vrijednost atomskog faktora jednaka broju elektrona u atomu (drugim riječima, atomskom broju kemijskog elementa u periodnom sustavu). Kako se kut raspršenja q povećava, atomski faktor f(g) monotono opada na nulu. Tipičan oblik atomske funkcije raspršenja prikazan je na slici 3.4.
3.5. Fraunhoferova difrakcija x-zraka na kristalnim atomima
Neka je tok X-zraka određene valne duljine l usmjeren na kristalni uzorak. U fizičkim studijama (prilikom dešifriranja atomske strukture difrakcijom X-zraka, spektralnom elementarnom analizom X-zraka, itd.), obično se provodi geometrijski eksperimentalni dizajn sa sljedećim geometrijskim značajkama (vidi sliku 1).
sl.3.5. Geometrijski dijagram ozračivanja malog uzorka uskim snopom X-zraka.
1 – Generator X-zraka (na primjer, X-zraka), 2 – kolimator, 3 – uzorak koji se proučava. Isprekidane strelice predstavljaju tokove X-zraka.
Koristeći kolimator, formira se uski snop X-zraka. Ozračeni kristalni uzorak nalazi se od izlaza iz kolimatora na udaljenosti znatno većoj od veličine uzorka. U studijama difrakcije X-zraka, uzorci se pripremaju veličine manje od presjeka snopa. Kako kažu, uzorak je "okupan" snopom upadnih X-zraka (vidi oblačić na slici 3.5).
Tada možemo s dobrom točnošću pretpostaviti da ravni elektromagnetski val duljine l pada na uzorak koji se proučava. Drugim riječima, svi atomi uzorka izloženi su koherentnim ravnim valovima s paralelnim valnim vektorima k0.
X-zrake su elektromagnetski valovi koji su transverzalni. Ako je koordinatna os Z usmjerena duž valnog vektora k0, tada se komponente električnog i magnetskog polja ravnog elektromagnetskog vala mogu napisati u sljedećem obliku:
EX = EX0 cos(wt – k0 z + j0) EY = EY0 cos(wt – k0 z + j0)
BX = BX0 cos(wt – k0 z + j0) BY = BY0 cos(wt – k0 z + j0)
gdje je t vrijeme, w frekvencija elektromagnetskog zračenja, k0 valni broj, j0 početna faza. Valni broj je modul valnog vektora i obrnuto je proporcionalan valnoj duljini k0 = 2π/l. Brojčana vrijednost početne faze ovisi o izboru početnog vremena t0=0. Veličine EX0, EY0, BX0, BY0 su amplitude odgovarajućih komponenti (3.16) električnog i magnetskog polja vala.
Dakle, sve komponente (3.16) ravnog elektromagnetskog vala opisuju se elementarnim harmoničkim funkcijama oblika:
Y = A0 cos(wt – kz+ j0) (3.17)
Razmotrimo raspršenje ravnog monokromatskog X-zraka na skupu atoma uzorka koji se proučava (na molekuli, kristalu konačnih dimenzija itd.). Interakcija elektromagnetskog vala s elektronima atoma dovodi do stvaranja sekundarnih (raspršenih) elektromagnetskih valova. Prema klasičnoj elektrodinamici, raspršenje od pojedinačnog elektrona događa se pod čvrstim kutom od 4p i ima značajnu anizotropiju. Ako primarno rendgensko zračenje nije polarizirano, tada je gustoća toka raspršenog zračenja vala opisana sljedećom funkcijom
gdje je I0 gustoća toka primarnog zračenja, R je udaljenost od točke raspršenja do mjesta registracije raspršenog zračenja, q je polarni kut raspršenja, koji se mjeri iz smjera valnog vektora ravnog primarnog vala k0 ( vidi sliku 3.6). Parametar
» 2,818×10-6 nm(3,19)
povijesno nazvan klasični radijus elektrona.
sl.3.6. Polarni kut raspršenja q ravnog primarnog vala na malom Cr uzorku koji se proučava.
Određeni kut q određuje stožastu plohu u prostoru. Korelirano kretanje elektrona unutar atoma komplicira anizotropiju raspršenog zračenja. Amplituda vala X-zraka raspršenog na atomu izražava se pomoću funkcije valne duljine i polarnog kuta f(q, l), što se naziva atomska amplituda.
Dakle, kutna raspodjela intenziteta rendgenskog vala raspršenog na atomu izražava se formulom
i ima aksijalnu simetriju u odnosu na smjer valnog vektora primarnog vala k0. Kvadrat atomske amplitude f 2 obično se naziva atomski faktor.
U pravilu, u eksperimentalnim postrojenjima za difrakciju X-zraka i spektralna istraživanja X-zraka, detektor raspršenih X-zraka nalazi se na udaljenosti R znatno većoj od dimenzija uzorka za raspršivanje. U takvim slučajevima, ulazni prozor detektora izrezuje element s površine konstantne faze raspršenog vala, za koju se može pretpostaviti da je ravna s velikom točnošću.
sl.3.8. Geometrijski dijagram raspršenja X-zraka na atomima uzorka 1 pod uvjetima Fraunhoferove difrakcije.
2 – detektor X-zraka, k0 – valni vektor primarnog X-zraka, isprekidane strelice prikazuju tokove primarnih X-zraka, iscrtkane – tokove raspršenih X-zraka. Krugovi označavaju atome uzorka koji se proučava.
Osim toga, udaljenosti između susjednih atoma ozračenog uzorka su nekoliko redova veličine manje od promjera ulaznog prozora detektora.
Posljedično, u ovoj registracijskoj geometriji, detektor percipira tok ravnih valova raspršenih pojedinačnim atomima, a valni vektori svih raspršenih valova mogu se pretpostaviti da su paralelni s visokom točnošću.
Gore navedene značajke raspršenja X-zraka i njihova registracija povijesno su se nazivale Fraunhoferova difrakcija. Ovaj približan opis procesa raspršenja x-zraka na atomskim strukturama omogućuje izračunavanje difrakcijskog uzorka (kutna raspodjela intenziteta raspršenog zračenja) s visokom točnošću. Dokaz je da Fraunhoferova difrakcijska aproksimacija leži u osnovi metoda difrakcije X-zraka za proučavanje tvari, koje omogućuju određivanje parametara elementarnih ćelija kristala, izračunavanje koordinata atoma, utvrđivanje prisutnosti različitih faza u uzorku, određivanje karakteristike kristalnih defekata itd.
Razmotrimo mali kristalni uzorak koji sadrži konačan broj N atoma s određenim kemijskim brojem.
Uvedimo pravokutni koordinatni sustav. Njegovo podrijetlo je kompatibilno sa središtem jednog od atoma. Položaj svakog atomskog centra (centra raspršenja) određen je s tri koordinate. xj, yj, zj, gdje je j atomski broj.
Neka se ispitivani uzorak izloži ravnom primarnom rendgenskom valu s valnim vektorom k0 usmjerenim paralelno s osi Oz odabranog koordinatnog sustava. U ovom slučaju, primarni val je predstavljen funkcijom oblika (3.17).
Raspršenje X-zraka na atomima može biti neelastično ili elastično. Elastično raspršenje se događa bez promjene valne duljine rendgenskog zračenja. Pri neelastičnom raspršenju valna duljina zračenja raste, a sekundarni valovi su nekoherentni. U nastavku se razmatra samo elastično raspršenje X-zraka na atomima.
Označimo L kao udaljenost od ishodišta do detektora. Pretpostavimo da su zadovoljeni uvjeti Fraunhoferove difrakcije. To, konkretno, znači da je maksimalna udaljenost između atoma ozračenog uzorka za nekoliko redova veličine manja od udaljenosti L. U tom je slučaju osjetljivi element detektora izložen ravnim valovima s paralelnim valnim vektorima k. Moduli svih vektora jednaki su modulu valnog vektora k0 = 2π/l.
Svaki ravni val uzrokuje harmonijsko titranje s frekvencijom
Ako je primarni val zadovoljavajuće aproksimiran ravnim harmonijskim valom, tada su svi sekundarni (raspršeni na atomima) valovi koherentni. Fazna razlika raspršenih valova ovisi o razlici u putu tih valova.
Nacrtajmo pomoćnu os Ili od ishodišta koordinata do lokacije prozora za unos detektora. Tada se svaki sekundar koji se širi u smjeru ove osi može opisati funkcijom
y = A1 fcos(wt– kr+ j0) (3.22)
gdje amplituda A1 ovisi o amplitudi primarnog vala A0, a početna faza j0 ista je za sve sekundarne valove.
Sekundarni val koji emitira atom koji se nalazi u ishodištu koordinata stvorit će oscilaciju osjetljivog elementa detektora, opisanu funkcijom
A1 f(q) cos(wt – kL+ j0) (3.23)
Ostali sekundarni valovi stvarat će oscilacije s istom frekvencijom (3.21), ali će se razlikovati od funkcije (3.23) u faznom pomaku, koji pak ovisi o razlici u putu sekundarnih valova.
Za sustav ravnih koherentnih monokromatskih valova koji se kreću u određenom smjeru, relativni fazni pomak Dj izravno je proporcionalan razlici puta DL
Dj = k×DL(3,24)
gdje je k valni broj
k = 2π/l. (3,25)
Da bismo izračunali razliku u putanji sekundarnih valova (3.23), prvo pretpostavljamo da je ozračeni uzorak jednodimenzionalni lanac atoma koji se nalazi duž Ox koordinatne osi (vidi sliku 3.9). Koordinate atoma određene su brojevima xi, (j = 0, 1, …, N–1), gdje je x0 = 0. Površina konstantne faze primarnog ravnog vala paralelna je s lancem atoma, a na njega je okomit valni vektor k0.
Izračunat ćemo ravni difrakcijski uzorak, tj. kutna raspodjela intenziteta raspršenog zračenja u ravnini prikazanoj na sl. 3.9. U ovom slučaju, orijentacija lokacije detektora (drugim riječima, smjer pomoćne osi Or) određena je kutom raspršenja, koji se mjeri od osi Oz, tj. o smjeru valnog vektora k0 primarnog vala.
sl.3.9. Geometrijska shema Fraunhoferove difrakcije u zadanoj ravnini na pravocrtnom lancu atoma
Bez gubitka općenitosti zaključivanja, možemo pretpostaviti da su svi atomi smješteni na desnoj Ox poluosi. (osim atoma koji se nalazi u središtu koordinata).
Budući da su zadovoljeni uvjeti Fraunhoferove difrakcije, valni vektori svih valova raspršenih na atomima dolaze na ulazni prozor detektora s paralelnim valnim vektorima k.
Iz slike 3.9 proizlazi da val koji emitira atom s koordinatom xi prijeđe udaljenost do detektora L – xisin(q). Posljedično, oscilacija osjetljivog elementa detektora izazvana sekundarnim valom koji emitira atom s koordinatom xi opisuje se funkcijom
A1 f(q) cos(wt – k(L– xj sin(q)) + j0) (3.26)
Preostali raspršeni valovi koji ulaze u prozor detektora koji se nalazi na određenoj poziciji imaju sličan izgled.
Vrijednost početne faze j0 određena je, u biti, trenutkom kada se vrijeme počinje računati. Ništa vas ne sprječava da odaberete vrijednost j0 jednaku –kL. Tada će kretanje osjetljivog elementa detektora biti predstavljeno zbrojem
To znači da je razlika u stazama valova raspršenih na atomima s koordinatama xi i x0 –xisin(q), a odgovarajuća fazna razlika jednaka je kxisin(q).
Frekvencija w oscilacija elektromagnetskih valova u području X zraka vrlo je visoka. Za X-zrake valne duljine l = Å, frekvencija w po redu veličine je ~1019 sec-1. Suvremena oprema ne može mjeriti trenutne vrijednosti jakosti električnog i magnetskog polja (1) s tako brzim promjenama polja, stoga svi detektori X-zraka bilježe prosječnu vrijednost kvadrata amplitude elektromagnetskih oscilacija.
Zabilježeni intenzitet rendgenskih zraka raspršenih atomima ozračenog uzorka kvadrat je amplitude ukupne vibracije (11). Za izračun ove vrijednosti preporučljivo je koristiti metodu složene amplitude. Svaki član zbroja (11) zapisujemo u složenom obliku
A1 fexp (3,28)
gdje je i imaginarna jedinica, Djj je fazni pomak, jednak kxjsin(q) u fizičkoj slici koja se razmatra.
Izraz (12) prepisujemo u obliku
A1 feiwte–iDjj (3.29)
Vremenski ovisan faktor opisuje oscilacije elektromagnetskog polja s frekvencijom w. Modul ove veličine jednak je jedinici. Kao posljedica toga, kompleksna amplituda elektromagnetske oscilacije izražena funkcijom (12) ima oblik:
A1 fexp [–iDjj] (3,30)
Kompleksna amplituda ukupne oscilacije koju bilježi detektor jednaka je zbroju vrijednosti (3.30), a zbrajanje se provodi po svim centrima raspršenja - tj. nad svim atomima ozračenog uzorka. Kvadrat realnog dijela navedenog zbroja određuje zabilježeni intenzitet raspršenog X-zračenja
točno prema hardverskom koeficijentu (faktor određen karakteristikama opreme za snimanje).
Intenzitet (3.31) je funkcija polarnog kuta q i opisuje u xoz ravnini kutnu distribuciju X-zraka raspršenih lancem atoma smještenim duž osi ox.
Sada razmotrimo raspršenje X-zraka na konačnom skupu atoma smještenih u istoj ravnini. Neka na taj sustav atoma pada ravni rendgenski val s valnim vektorom k0 okomitim na ravninu atoma.
Povežimo kartezijeve koordinatne osi s ovim fizičkim sustavom. Os oz oz bit će usmjerena duž vektora k0, a osi ox i oY bit će smještene u atomskoj ravnini. Položaj svakog atoma određen je dvjema koordinatama xj i yj, gdje je j = 0, ... N – 1. Neka je početak koordinata spojen sa središtem jednog od atoma koji ima broj j = 0.
Promotrimo raspršenje X-zraka u poluprostoru z > 0. U tom slučaju možemo pretpostaviti da se detektor kreće duž hemisfere određenog radijusa R, koji je mnogo veći od veličine ozračenog uzorka. Smjer prema detektoru pod uvjetima Fraunhoferove difrakcije podudara se s valnim vektorima k raspršenih valova koji dolaze na ulazni prozor detektora. Ovaj pravac karakteriziraju dva kuta: polarni q, koji se mjeri od osi oz (kao na sl. 3.9 i 3.10), i azimut F, koji se mjeri od osi ox u ravnini xoY (vidi sl. 3.10). Drugim riječima, q je kut između valnih vektora primarnih k0 i raspršenih k valova. Azimut F je kut između osi OX i projekcije vektora k na ravninu XOY.
Kao i u prethodnom slučaju jednodimenzionalnog lanca atoma, amplituda ukupne vibracije koju bilježi detektor određena je relativnim faznim pomacima koherentnih valova raspršenih na pojedinačnim atomima. Fazni pomak raspršenih valova povezan je s razlikom puta relacijom (3.24), kao u gore razmatranom slučaju.
Nađimo razliku putanje između valova raspršenih atomima s koordinatama (x0=0, y0=0) i (x, y) u smjeru određenom valnim vektorom k (tj. određenim kutovima q i F). Nacrtajmo pomoćnu os OU duž projekcije vektora k na ravninu XOY (vidi sl. 3.10).
sl.3.10. Prema proračunu putanje razlike sekundarnih valova raspršenih na ravnom sustavu atoma pod uvjetima Fraunhoferove difrakcije.
Točka F na OU osi je projekcija središta j-tog atoma. Duljina segmenta OF jednaka je xcos(F) + ysin(F), što se može dobiti transformacijom koordinata ili geometrijskom konstrukcijom. Projekcija segmenta OF na smjer valnog vektora k daje željenu razliku puta - duljinu segmenta OG, jednaku
Dl = sin(q). (3,32)
Posljedično, fazni pomak sekundarnih valova raspršenih atomima s koordinatama (x0=0, y0=0) i (xj, yj) u smjeru određenom određenim kutovima q i F jednak je
Djj = k sin(q). (3,33)
Zabilježeni intenzitet raspršenog X-zračenja izražava se formulom sličnom (3.31):
Konačno, razmotrite Fraunhoferovu difrakciju X-zraka na trodimenzionalnom objektu. Upotrijebimo Kartezijev koordinatni sustav korišten u prethodnom problemu. Jedina razlika između fizičke slike i prethodne je u tome što središta nekih atoma imaju koordinate zj¹ 0.
Konstantna fazna površina primarnog ravnog monokromatskog vala doseže centre raspršenja s različitim koordinatama z¹ 0 u različitim vremenima. Kao posljedica toga, početna faza vala raspršenog na atomu s koordinatom z¹ 0 zaostat će za fazom vala raspršenog na atomu s koordinatom z = 0 za iznos wDt, gdje je Dt = z / v, v brzina širenja valova. Frekvencija i valna duljina su povezane prema
w = 2pv / l(3,35)
stoga je fazni pomak raspršenog vala jednak -2pz/l ili -kz.
S druge strane, ako je koordinata j-tog atoma zj¹ 0, razlika putanje u odnosu na “nulti” raspršeni val dodatno se povećava za vrijednost zcos(q). Kao rezultat toga, fazni pomak vala raspršenog atomom proizvoljnih koordinata (xj, yj, zj) u smjeru određenom kutovima q i F jednak je
Djj = k ( sin(q) + zjcos(q) -zj). (3,36)
Intenzitet raspršenih rendgenskih zraka koje je zabilježio detektor izražava se sljedećom formulom:
3. Praktični dio
3.1. Pseudosimetrija
3.1.1. Rotacijska pseudosimetrija difrakcijskih uzoraka
Simetrija je nepromjenjivost fizičkog ili geometrijskog sustava u odnosu na različite vrste transformacija.
Različite vrste simetrije određene su transformacijama u odnosu na koje je dani sustav invarijantan. Postoji translacijska simetrija, rotacijska simetrija, simetrija sličnosti itd.
Simetrija je jedno od temeljnih svojstava svemira. Čak su i osnovni zakoni fizike: očuvanje energije, količine gibanja i kutne količine gibanja povezani s određenim simetričnim transformacijama prostorno-vremenskog kontinuuma.
Specifična transformacija u odnosu na koju je dati sustav nepromjenjiv naziva se operacija simetrije. Skup točaka koje ostaju fiksne tijekom simetrične transformacije čine element simetrije. Na primjer, ako je operacija simetrije rotacija, tada će odgovarajući element simetrije biti os oko koje se rotacija izvodi.
Simetrija konačnih fizičkih sustava čiji se elementi simetrije sijeku barem u jednoj točki naziva se točkasta simetrija. Točkasta simetrija uključuje invarijantnost u odnosu na zakret za određeni kut (rotacijska simetrija), invarijantnost u odnosu na refleksiju u određenoj ravnini (zrcalna simetrija) i invarijantnost u odnosu na inverziju u određenoj točki (inverzijska simetrija).
Simetrija velike većine fizičkih objekata nije apsolutna. To znači da fizički ili geometrijski sustav nije potpuno nepromjenjiv prema dotičnoj transformaciji.
Za kvantitativno opisivanje odstupanja od točne simetrije koristi se funkcional koji se naziva stupanj invarijantnosti ili koeficijent pseudosimetrije.
Neka je bilo koja fizička karakteristika predmeta koji se proučava opisana funkcijom točke. Ova funkcija može biti gustoća mase, temperatura, električni potencijal, gustoća električnog naboja itd. Mi smo simetrija danog objekta u odnosu na transformaciju, koja je određena nekom operacijom. Tada se stupanj invarijantnosti određuje sljedećom formulom (4.1), gdje je V volumen objekta. Pod integralom u brojniku je umnožak funkcije i funkcije istog objekta koji je podvrgnut transformaciji. Brojnik se naziva konvolucija funkcije s obzirom na operaciju. Nazivnik sadrži određeni integral po volumenu objekta iz kvadrata funkcije.
Nazivnik formule (4.1) služi kao normalizacija, pa vrijednost funkcionala može varirati od 0 do 1. Ako je promatrani fizički sustav potpuno invarijantan u odnosu na operaciju, tada je koeficijent pseudosimetrije jednak jedinici. Vrijednost = 0 odgovara slučaju kada je simetrija sustava u odnosu na operaciju potpuno odsutna.
Koncept stupnja invarijantnosti može se proširiti na opisivanje simetrije kutne distribucije intenziteta raspršenih X-zraka. Prije svega, zanima nas invarijantnost difrakcijskih uzoraka s obzirom na rotaciju za određeni azimutni kut oko točke koja odgovara polarnom kutu q = 0. Drugim riječima, cilj istraživanja je rotacijska simetrija kuta raspodjela intenziteta raspršenih X-zraka, a rotacija se provodi oko valnog vektora k0 primarnog zračenja.
Za proučavanje značajki rotacijske simetrije difrakcijskih uzoraka može se prilagoditi opći funkcional (1). Funkcija koja se proučava u ovom slučaju je kutna raspodjela intenziteta raspršenih x-zraka I(q, F), a operacija simetrije je rotacija difrakcijskog uzorka za azimutalni kut a oko središnje točke uzorka s polarni kut q = 0. Dakle, kvantitativna karakteristika rotacijske simetrije difrakcijskog uzorka je sljedeća funkcionalnost:
Unutarnji integrali uzeti su u području azimutnog kuta FO, a vanjski integrali u području polarnog kuta qO.
Vrijedno je obratiti pozornost na neke važne značajke svih difrakcijskih uzoraka. Na slici 4.1. Vidljivo je da se u središtu polarnog dijagrama nalazi središnji maksimum intenziteta raspršenog zračenja. Ovaj maksimum ima visoku simetriju, blisku simetriji granične skupine C¥. U kutnoj raspodjeli raspršenog zračenja središnji maksimum zauzima određeni interval polarnih kutova qO. Poluširina središnjeg maksimuma značajno ovisi o valnoj duljini X zraka l i broju atoma koji se raspršuju.
Također je vrlo važno da intenzitet središnjeg maksimuma znatno premašuje intenzitet svih ostalih točaka u dvodimenzionalnoj kutnoj distribuciji raspršenog X-zračenja. Naprotiv, kako se polarni kut povećava, intenzitet raspršenog zračenja u prosjeku naglo opada. To znači da periferno područje difrakcijskog uzorka (područje polarnih kutova koji prelaze određenu vrijednost qM) praktički nema nikakvog utjecaja na vrijednost koeficijenta rotacijske pseudosimetrije (4.2).
Kao posljedica toga, glavni doprinos stupnju invarijantnosti (4.2) dolazi od središnjeg maksimuma. Drugim riječima, visoka simetrija središnjeg maksimuma potiskuje značajke simetrije svih ostalih karakterističnih značajki difrakcijskog uzorka.
Za detaljnu studiju rotacijske pseudosimetrije kutne distribucije raspršenog X-zračenja, preporučljivo je izračunati funkcionale sljedećeg oblika:
Vanjski integrali po polarnom kutu imaju granice koje može postaviti istraživač, što omogućuje proučavanje rotacijske pseudosimetrije u različitim intervalima polarnog kuta. Drugim riječima, veličine poput (4.3) daju kvantitativne procjene rotacijske pseudosimetrije difrakcijskog uzorka unutar prstena, specificirane parom polarnih kutova q1 i q2. (vidi sliku 4.1).
Prirodno je podijeliti raspon polarnih kutova u podpodručja određene širine dq = q2 -q1 i izračunati koeficijente pseudosimetrije za sva takva podpodručja.
sl.4.1. Prsten u polarnom dijagramu difrakcijskog uzorka koji ograničava raspon polarnih kutova.
Gore je naznačeno da je u računalnom modeliranju kutne distribucije intenziteta raspršenih X-zraka funkcija I(q, F) predstavljena dvodimenzionalnim skupom numeričkih vrijednosti I(ql, jm) za konačne diskretni skupovi kutova ql = lDq, l=1,…nq; Fm = mDF, m =1,…nF. Posljedično, kada se izračunavaju koeficijenti pseudosimetrije ha iz rezultata izračuna kutne raspodjele intenziteta raspršenih X-zraka, dvostruki integrali u izrazu (4.2) pretvaraju se u dvostruke zbrojeve
Ako nas zanima prosječna rotacijska pseudosimetrija cijelog difrakcijskog uzorka, tada se stupanj invarijantnosti daje sljedećom formulom:
Ako želimo proučavati rotacijsku pseudosimetriju u različitim podrasponima polarnog kuta (vidi sl. 4.1), tada je potrebno izračunati omjer zbrojeva za odgovarajuće intervale tipa (4.3). Tada će koeficijenti pseudosimetrije biti predstavljeni u obliku:
gdje indeksi l1 i l2 odgovaraju vrijednostima polarnih kutova q1 i q2
q1 = l1 Dq, q2 = l2 Dq. (4.6)
Određivanjem određenih vrijednosti kuta rotacije a, moguće je izračunati koeficijente pseudosimetrije ha difrakcijskih uzoraka za rotacije različitih redova. Ako nas zanima rotacijska pseudosimetrija n-tog reda, tada se kut rotacije a izražava relacijom.
an = 2p/n. (4.7)
3.1.2. Računalna simulacija raspršenja rendgenskih zraka na molekulama i fragmentima kristalnih struktura
U ovom smo radu izračunali karakteristike rendgenskog zračenja raspršenog na konačnom skupu atoma pod uvjetima Fraunhoferove difrakcije. Primarno rendgensko zračenje predstavljeno je ravnim monokromatskim valom s određenim valnim vektorom k0 i valnom duljinom l.
Kutna raspodjela intenziteta rendgenskih zraka raspršenih na konačnom skupu atoma predstavljena je funkcijom I(q, F), ovisno o dva kuta - polarnom q i azimutnom F. Kutovi q i F određuju smjer raspršenih zraka Detektor X-zraka, koji se pod uvjetima Fraunhoferove difrakcije podudara s valnim vektorom k raspršenog vala X-zraka.
Polarni kut q mjeri se iz smjera valnog vektora k0 primarnog rendgenskog vala. Azimutalni kut F nacrtan je u ravnini okomitoj na vektor k0. Azimut F je kut između projekcije valnog vektora k raspršenog vala na tu ravninu i proizvoljno odabrane azimutalne osi.
Skup vrijednosti funkcije I(q, F) za sve moguće vrijednosti argumenata q i F često se naziva difrakcijski uzorak.
Naš problem razmatra raspršenje X-zraka u "prednju" hemisferu. Stoga polarni kut q pripada rasponu ,. Azimutni kut F uzima vrijednosti u intervalu )
