იპოვნეთ წრფივი განტოლებათა არაჰომოგენური სისტემის ზოგადი ამონახსნი. როგორ იხსნება განტოლებათა სისტემა? განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდები

გამოსავალი. A= . ვიპოვოთ r(A). იმიტომ რომ მატრიცადა აქვს წესრიგი 3x4, მაშინ მცირეწლოვანთა უმაღლესი რიგი არის 3. უფრო მეტიც, ყველა მესამე რიგის მცირეწლოვანი უდრის ნულს (თქვენ თვითონ შეამოწმეთ). ნიშნავს, r(A)< 3. Возьмем главный ძირითადი მცირე = -5-4 = -9 ≠ 0. ამიტომ r(A) =2.

განვიხილოთ მატრიცა თან = .

მცირე მესამე შეკვეთა ≠ 0. ანუ r(C) = 3.

მას შემდეგ, რაც r(A) ≠ r(C) , მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია.

მაგალითი 2.განტოლებათა სისტემის თავსებადობის განსაზღვრა

გადაჭრით ეს სისტემა, თუ ის თანმიმდევრულია.

გამოსავალი.

A =, C = . აშკარაა, რომ r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. ვინაიდან detC = 0, მაშინ r(C)< 4. განვიხილოთ მცირეწლოვანი მესამე შეკვეთა, მდებარეობს A და C მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში: = -23 ≠ 0. ანუ r(A) = r(C) = 3.

ნომერი უცნობი სისტემაში n=3. ეს ნიშნავს, რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ამ შემთხვევაში, მეოთხე განტოლება წარმოადგენს პირველი სამის ჯამს და შეიძლება მისი იგნორირება.

კრამერის ფორმულების მიხედვითვიღებთ x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. მატრიცული მეთოდი. გაუსის მეთოდი

სისტემა ნწრფივი განტოლებებითან ნუცნობის ამოხსნა შესაძლებელია მატრიცული მეთოდიფორმულის მიხედვით X = A -1 B (at Δ ≠ 0), რომელიც მიიღება (2)-დან ორივე ნაწილის A -1-ზე გამრავლებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

მატრიცული მეთოდი (2.2 სექციაში ეს სისტემა ამოხსნილია კრამერის ფორმულების გამოყენებით)

გამოსავალი. Δ = 10 ≠ 0 A = - არადეგენერაციული მატრიცა.

= (ეს თავად შეამოწმეთ საჭირო გამოთვლებით).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x=.

უპასუხე: .

პრაქტიკული თვალსაზრისითმატრიცული მეთოდი და ფორმულები კრამერიასოცირდება დიდი რაოდენობით გამოთვლებთან, ამიტომ უპირატესობა ენიჭება გაუსის მეთოდი, რომელიც შედგება უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრაში. ამისათვის განტოლებათა სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ სისტემამდე სამკუთხა გაფართოებული მატრიცით (მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია). ამ მოქმედებებს წინსვლას უწოდებენ. შედეგად მიღებული სამკუთხა სისტემიდან, ცვლადები გვხვდება თანმიმდევრული ჩანაცვლების გამოყენებით (უკუ).

მაგალითი 2. ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით

(ზემოთ, ეს სისტემა გადაწყდა კრამერის ფორმულისა და მატრიცის მეთოდის გამოყენებით).

გამოსავალი.

პირდაპირი მოძრაობა. მოდით ჩამოვწეროთ გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით დავიყვანოთ იგი სამკუთხა ფორმამდე:

~ ~ ~ ~ .

ვიღებთ სისტემა

საპირისპირო მოძრაობა.ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით X 3 = -6 და ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

უპასუხე: .

2.5. წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა

მოდით, მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემა = ბ ი(მე=). ვთქვათ r(A) = r(C) = r, ე.ი. სისტემა თანამშრომლობითია. ნულის გარდა r რიგის ნებისმიერი უმნიშვნელო არის ძირითადი მცირე.ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ საბაზისო მინორი მდებარეობს A მატრიცის პირველ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) რიგებსა და სვეტებში. სისტემის ბოლო m-r განტოლებების გაუქმების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ შემცირებული სისტემა:

რომელიც ორიგინალის ტოლფასია. მოდით დავასახელოთ უცნობი x 1,….x rძირითადი და x r +1 ,…, x rგაათავისუფლეთ და გადაიტანეთ თავისუფალი უცნობის შემცველი ტერმინები შეკვეცილი სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ სისტემას ძირითად უცნობებთან მიმართებაში:

რომელიც თავისუფალი უცნობი მნიშვნელობების თითოეული ნაკრებისთვის x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rაქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),ნაპოვნია კრამერის წესით.

შესაბამისი გადაწყვეტაშემცირებულ და, შესაბამისად, თავდაპირველ სისტემას აქვს ფორმა:

X(C 1,…, C n-r) = - სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

თუ ზოგად ამონახსნით მივაკუთვნებთ რამდენიმე რიცხვით მნიშვნელობას თავისუფალ უცნობებს, ვიღებთ ამონახსანს ხაზოვანი სისტემისთვის, რომელსაც ეწოდება ნაწილობრივი ამონახსნები.

მაგალითი. დაამყარეთ თავსებადობა და იპოვნეთ სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა

გამოსავალი. A = , C = .

Ისე Როგორ r(A)= r(C) = 2 (იხილეთ ეს თქვენთვის), მაშინ თავდაპირველი სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა (რადგან r< 4).

მოდით გავაანალიზოთ განტოლებების სისტემების ამონახსნის ორი ტიპი:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემური განტოლებების ტერმინით ვადით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითთქვენ უნდა დაიცვას მარტივი ალგორითმი:
1. ექსპრესი. ნებისმიერი განტოლებიდან გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Გადაწყვეტა სისტემა ტერმინით შეკრების (გამოკლების) მეთოდითსაჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც ერთნაირ კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, რის შედეგადაც ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ამოხსენით მიღებული წრფივი განტოლება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის გამოსავალი არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, რაც ნიშნავს, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. მას შემდეგ რაც გამოვხატავთ, x ცვლადის ნაცვლად პირველ განტოლებაში ვცვლით 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (გახსენით ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლების სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ წერტილში სადაც გამოვხატეთ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

ჩვეულებრივ წერია ქულები, პირველ რიგში ვწერთ ცვლადს x, ხოლო მეორე ადგილზე ცვლადს y.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

მოდი ამოვხსნათ ვადით-გამოკლების მეთოდით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. ვირჩევთ ცვლადს, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას, რათა მოვიშოროთ x ცვლადი. ამოხსენით წრფივი განტოლება.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4.6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ სექტორში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისთვის. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამონახსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებათა სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობაში ან იმის დადგენა, რომ x და y შესაფერისი მნიშვნელობები არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური მეთოდი არ არსებობს; ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდები, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური ამოხსნის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის ზოგადი განათლების სასწავლო გეგმაში წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილია. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა მარტივია და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას, განტოლებები ემატება ტერმინით და მრავლდება სხვადასხვა რიცხვებით. მათემატიკური ოპერაციების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთ ცვლადში.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი 1-ის ტოლი უნდა გახდეს.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამოხსნის პოვნას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის; უცნობის რაოდენობა ასევე არ უნდა იყოს ორზე მეტი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება იხსნება შემოტანილი უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი მოიცავს სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების აგებას კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნას: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი; ყოველთვის აუცილებელია გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთ-ერთ დიაგონალის გასწვრივ და სხვა ნულოვანი ელემენტებით იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა გამრავლებისას, რომლითაც ორიგინალი გადაიქცევა ერთეულ მატრიცაში; ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად სწავლობენ გაუსის მეთოდს, ხოლო სისტემების ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება სისტემების ცვლადების მოსაძებნად წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ამონახსნებს ჩანაცვლებით და ალგებრული მიმატებით, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებისა და ჩანაცვლების საშუალებით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გვხვდება ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამებში ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებათა რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა ქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და საჭირო ალგებრული ოპერაციები გრძელდება შედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

სად x* - არაჰომოგენური სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალი (2) (მაგალითად (4)), (E−A+A)ქმნის მატრიცის ბირთვს (ნულის სივრცეს). ა.

მოდით გავაკეთოთ მატრიცის ჩონჩხის დაშლა (E−A+A):

E−A + A=Q·S

სად ქ n×n−r- რანგის მატრიცა (Q)=n−r, ს n−r×n- რანგის მატრიცა (S)=n−r.

შემდეგ (13) შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

x=x*+Q·k, ∀ კ ∈ რნ-რ.

სად k=Sz.

Ისე, ზოგადი გადაწყვეტის პოვნის პროცედურაწრფივი განტოლებების სისტემები ფსევდოინვერსიული მატრიცის გამოყენებით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:

1. ფსევდოინვერსიული მატრიცის გამოთვლა ა + .
2. ჩვენ გამოვთვლით კონკრეტულ ამონახსანს წრფივი განტოლებების არაერთგვაროვანი სისტემისთვის (2): x*=ა + ბ.
3. ჩვენ ვამოწმებთ სისტემის თავსებადობას. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ᲐᲐ. + ბ. თუ ᲐᲐ. + ბ≠ბ, მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვაგრძელებთ პროცედურას.
4. მოდი გავარკვიოთ E−A+A.
5. აკეთებს ჩონჩხის დაშლას E−A + A=Q·S.
6. გადაწყვეტის აგება

x=x*+Q·k, ∀ კ ∈ რნ-რ.

ონლაინ წრფივი განტოლებების სისტემის ამოხსნა

ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წრფივი განტოლებების სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა დეტალური განმარტებებით.

დღეს ჩვენ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის. თუ რას წარმოადგენს ეს სისტემები, შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა სტატიაში, რომელიც მიეძღვნა იგივე SLAE-ების ამოხსნას კრამერის მეთოდის გამოყენებით. გაუსის მეთოდი არ საჭიროებს რაიმე კონკრეტულ ცოდნას, საჭიროა მხოლოდ ყურადღება და თანმიმდევრულობა. მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკური თვალსაზრისით, სასკოლო სწავლება საკმარისია მის გამოსაყენებლად, მოსწავლეებს ხშირად უჭირთ ამ მეთოდის ათვისება. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით მათ არაფრამდე დავიყვანოთ!

გაუსის მეთოდი

მ გაუსის მეთოდი– ყველაზე უნივერსალური მეთოდი SLAE-ების გადასაჭრელად (ძალიან დიდი სისტემების გარდა). ადრე განხილულისგან განსხვავებით, ის შესაფერისია არა მხოლოდ სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ ერთი გადაწყვეტა, არამედ სისტემებისთვისაც, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. აქ სამი შესაძლო ვარიანტია.

1. სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი (სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი);
2. სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
3. არ არსებობს გადაწყვეტილებები, სისტემა შეუთავსებელია.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა (დაე, მას ჰქონდეს ერთი გამოსავალი) და ვაპირებთ მის ამოხსნას გაუსის მეთოდით. Როგორ მუშაობს?

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან - წინ და შებრუნებული.

გაუსის მეთოდის პირდაპირი დარტყმა

პირველ რიგში, მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა. ამისათვის დაამატეთ თავისუფალი წევრების სვეტი მთავარ მატრიცას.

გაუსის მეთოდის მთელი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნებით ამ მატრიცას საფეხურზე (ან, როგორც ამბობენ, სამკუთხა) ფორმამდე მივიყვანოთ. ამ ფორმით, მატრიცის მთავარი დიაგონალის ქვეშ (ან ზემოთ) უნდა იყოს მხოლოდ ნულები.

Რა შეგიძლია გააკეთო:

1. შეგიძლიათ გადააწყოთ მატრიცის რიგები;
2. თუ მატრიცაში არის თანაბარი (ან პროპორციული) რიგები, შეგიძლიათ ამოიღოთ ყველა, გარდა ერთისა;
3. შეგიძლიათ სტრიქონი გაამრავლოთ ან გაყოთ ნებისმიერ რიცხვზე (ნულის გარდა);
4. ნულოვანი რიგები ამოღებულია;
5. თქვენ შეგიძლიათ დაურთოთ სტრიქონი, რომელიც გამრავლებულია ნულის გარდა სხვა რიცხვზე.

საპირისპირო გაუსის მეთოდი

მას შემდეგ რაც სისტემას ამ გზით გარდაქმნით, ერთი უცნობია Xn ხდება ცნობილი და თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა დარჩენილი უცნობი საპირისპირო თანმიმდევრობით, ჩაანაცვლოთ უკვე ცნობილი x-ები სისტემის განტოლებებში, პირველამდე.

როდესაც ინტერნეტი ყოველთვის ხელთ არის, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით ონლაინ.თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ კოეფიციენტები ონლაინ კალკულატორში. მაგრამ უნდა აღიაროთ, რომ გაცილებით სასიამოვნოა იმის გაცნობიერება, რომ მაგალითი გადაჭრა არა კომპიუტერული პროგრამით, არამედ საკუთარი ტვინით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მაგალითი გაუსის მეთოდით

ახლა კი - მაგალითი, რომ ყველაფერი ნათელი და გასაგები გახდეს. მიეცით წრფივი განტოლებათა სისტემა და თქვენ უნდა ამოხსნათ იგი გაუსის მეთოდით:

ჯერ ვწერთ გაფართოებულ მატრიცას:

ახლა მოდით გავაკეთოთ ტრანსფორმაციები. ჩვენ გვახსოვს, რომ ჩვენ უნდა მივაღწიოთ მატრიცის სამკუთხა გარეგნობას. გავამრავლოთ 1-ლი სტრიქონი (3-ზე). გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (-1-ზე). დაამატეთ მე-2 სტრიქონი პირველს და მიიღეთ:

შემდეგ გავამრავლოთ მე-3 სტრიქონი (-1-ზე). დავუმატოთ მე-3 სტრიქონი მე-2ს:

გავამრავლოთ 1-ლი სტრიქონი (6-ზე). გავამრავლოთ მე-2 სტრიქონი (13-ზე). დავუმატოთ მე-2 სტრიქონი პირველს:

Voila - სისტემა მიყვანილია შესაბამის ფორმაში. რჩება უცნობის პოვნა:

ამ მაგალითში სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა. ცალკეულ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნას ამონახსნების უსასრულო რაოდენობით. შესაძლოა თავიდან არ იცოდეთ სად უნდა დაიწყოთ მატრიცის ტრანსფორმაცია, მაგრამ შესაბამისი ვარჯიშის შემდეგ თქვენ მიიღებთ მას და გაანადგურებთ SLAE-ებს გაუსის მეთოდით, როგორც თხილი. და თუ მოულოდნელად წააწყდებით SLA-ს, რომელიც აღმოჩნდება ძალიან ხისტი თხილის გასატეხად, დაუკავშირდით ჩვენს ავტორებს! შეგიძლიათ დატოვოთ მოთხოვნა კორესპონდენციის ოფისში. ჩვენ ერთად მოვაგვარებთ ნებისმიერ პრობლემას!