Будем говорить, что натуральное число а больше , чем натуральное число b (и обозначать а > b ), если существует такое натуральное k, что а = b + k.
Теорема 1 . Единица не больше никакого натурального числа.
Действительно, условие 1 > a влечёт за собой 1 = а + k, что невозможно: для k = 1 получим 1 = а / , что противоречит первой аксиоме натуральных чисел; для k ¹ 1 найдём для него предшествующий и вновь придем к тому же противоречию.
Данное отношение «больше» является антирефлексивным (не верно, что а > a) и транзитивным (а > b /\ b > c => a > c), то есть является отношением строгого порядка . Более того, данное отношение является отношением линейного порядка, то есть для множества натуральных чисел справедлива теорема о трихотомии:
Теорема о трихотомии: Для любых двух натуральных чисел справедливо одно и только одно из следующих трёх утверждений:
Доказательство : Вначале покажем, что никакие два из трёх условий не выполняются одновременно. Допустим, что выполнены условия 1 и 2. Тогда
a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,
что противоречит антирефлексивности отношения «больше». Аналогично устанавливается несовместность условий 2 и 3, условий 1 и 3.
Теперь докажем, что одно из трёх условий обязательно имеет место для любых чисел а и b. Используем математическую индукцию по b. При b = 1, в зависимости от а: либо а = 1 = b, либо для а имеется предшествующий, тогда
а = с / = с + 1 = 1 + с = b + c => a > b.
Таким образом, для b = 1 утверждение теоремы справедливо. Сделаем индукционное предположение о том, что теорема справедлива для некоторого х, а именно, что х сравним с числом а, то есть возможны три варианта: либо a > x, либо x > a, либо х = а. Тогда докажем, что и х / также сравним с а. В первом случае a > x, то есть а = х + k. В зависимости от того, будет данное k равно 1 или нет, получим
а) а = х + 1 = х / (теорема справедлива)
б) а = х + с / = х + с + 1 = х + 1 + с = х / + с => a > x / .
Во втором случае x > a, но тогда
х / = (а + m) +1 = a + (m + 1),
то есть x / > a. Аналогично при х = а, х / = х + 1 = а + 1, то есть снова x / > a. Теорема полностью доказана.
Теперь можно ввести понятия <, £, ³.
a < b ó b > a;
a £ b ó a < b \/ a = b
a ³ b ó a > b \/ a = b.
Свойства монотонности:
Для операции сложения:
1) а > b => a + c > b + c;
2) a + c > b + c => а > b;
3) а > b /\ c > d=> a + c > b + d.
<, £, ³.
Для операции умножения:
4) а > b => a×c > b×c;
5) Закон сокращения: ас = bc => a = b
6) ac > bc => а > b;
7) а > b /\ c > d=> ac > bd.
Те же свойства имеют место и для других знаков <, £, ³.
Приведём в качестве примера доказательства свойств 4 и 5. Так как а > b, по определению а = b + k, тогда а×с = (b + k)×c = b×c + k×c, что означает, что a×c > b×c, и свойство 4 доказано. Свойство 5 докажем методом от противного. Пусть ас = bc, но предположим, что а ≠ b, но тогда, по теореме о трихотомии, либо а > b, либо b > a, но это означает, согласно свойству 4, что либо ас > bс, либо bс > aс, что противоречит условию (ас = bc).
Теорема о дискретности. Между двумя соседними натуральными числами нельзя вставить натуральное число:
(" а, х Î N) не верно, что а < x < a /
Доказательство (методом от противного). Пусть а < x < a / . Тогда х = а + k,
a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.
Последнее равенство невозможно, так как противоречит теореме о том, что единица не больше никакого натурального числа.
Терема Архимеда. Для любых натуральных чисел а и b существует такое натуральное n, что a < bn.
Доказательство проведём индукцией по b. Для b = 1, n = a / . Сделаем индукционное предположение, что для b = k требуемое n существует, то есть a < kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.
Наименьшим элементом множества М будем называть такой элемент с Î М, что для любых элементов m Î M выполнено неравенство: с ≤ m.
Теорема о наименьшем элементе . Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.
Доказательство : Если М – подмножество N, содержащее в себе 1, то 1 как раз и будет искомым наименьшим элементом. Если же 1 не входит в множество М, то рассмотрим вспомогательное множество А, состоящее из всех натуральных чисел меньших, чем все натуральные числа из множества М:
А = {a Î N | (" m Î M) a < m}.
Из этого построения, в частности следует, что множества А и М не имеют общих элементов. Кроме того, А – не пусто, так как 1 Î А. В А есть также элемент b, что b / Ï А. Действительно, если бы такого элемента не было, то по аксиоме индукции можно было бы доказать, что А = N , но тогда М было бы пусто, что не соответствует условию теоремы. Элемент b / = с как раз и будет наименьшим элементом во множестве М. Действительно, с £ m для любого m ÎМ (если бы это было не так, то неравенство с > m выполнялось бы хотя бы при одном натуральном m, но b Î A, поэтому b < m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.
Заметим, что не всякое подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент, но если это подмножество конечно, то в нём имеется и наибольший элемент. Верно и обратное. Если подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент, то это подмножество конечно. Можно доказать даже более общее утверждение: непустое подмножество множества натуральных чисел ограничено сверху тогда и только тогда, когда оно конечно (имеет наибольший элемент).
Задания для самостоятельного решения
№ 1.8. Докажите антирефлексивность и транзитивность отношения «больше» на множестве натуральных чисел.
№ 1.9. Докажите свойства монотонности 1, 2, 3, 6, 7 из данного параграфа.
№ 1.10. Докажите неравенства для всех натуральных n
а) 5 n > 7n – 3;
б) 2 n +2 > 2n + 5;
Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.
Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.
Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вытекает, что если
а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.
Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.
Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».
Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.
Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».
Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.
Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.
Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.
Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.
Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.
Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.
Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.
Теорема 16.
а = b => а + с = b + с и а с = b с;
а < b => а + с < b + с и ас < bс;
а > b => а + с > b + с и ас > bс.
Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.
2) Если а < b,
то существует такое натуральное число k,
что а
+ k = b.
Тогда b
+ с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с
+ к)
= (а + с) + к.
Равенство b
+ с = (а + с) + к
означает, что а + с < b
+ с.
Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.
3) Доказывается аналогично.
Теорема 17 (обратная теореме 16).
1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь
2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:
3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.
Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.
Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.
Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует такое натуральное число n, что п b> а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравенства п > а и b > 1, получаем пb > а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.
1. Ни для одного натурального числа а
не существует такого натурального числа п,
что а < п < а +
1. Это свойство называется свойством
дискретности
множества натуральных чисел, а числа а
и а +
1 называют соседними.
2.
Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.
3. Если М
- непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b,
что для всех чисел х из М
выполняется не
равенство х < b,
то в множестве М
есть наибольшее число.
Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.
Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.
С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».
Упражнения
1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?
Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.
3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:
а) а < b Þ ас < bс;
б) а + с < b + сÞ > а < Ь.
4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:
а) 27 + 8 ... 27 + 18;
б) 27- 8 ... 27 -18.
5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:
А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.
Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).
В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.
Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.
Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.
Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.
Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.
Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.
Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.
а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.
б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).
в) Если а > c и b > с.
то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а
и c
существует, так как а > с.
Обозначим ее через х: а - с = х.
откуда а = с + х
. Если (а
+ b) - с = у.
то, по определению разности, а
+ b
= с
+ у
. Подставим в это равенство вместо а
выражение с + х
: (с + х) + b = с + у.
Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с
+ у
. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:
х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогично проводится доказательство и в случае б).
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.
Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.
Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.
В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?
2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?
3. Докажите, что:
а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );
б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.
4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:
а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.
5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.
Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.
8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.
а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.
Деление
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.
Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.
Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.
Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.
Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.
Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.
Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.
Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.
Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.
Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что
b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.
Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.
Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.
Упражнения
1. Докажите, что:
а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;
б) если числа а и b
делятся на с
и а > b,
то (а - b): с = а: с - b: с.
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850:170 =850:10:17.
Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.
3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:
можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;
б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;
Верны ли равенства:
а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:
а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .
Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.
5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:
а) (7× 63):7; в) (15× 18):(5× 6);
б) (3× 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;
6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.
Лекция 34.Свойства множества целых неотрицательных чисел
1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.
2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Упражнения
1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.
2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?
3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?
4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.
5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:
а) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; в) (8 379) 125?
6. Известно, что 37 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:
а) 37 18; 6) 185 12.
Все выполненные преобразования обоснуйте.
7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:
а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.
8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:
Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?
Верны ли равенства:
а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;
б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а) 70 32 + 9 32 ...79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?
Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел
1. Упорядоченность множества натуральных чисел.
2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел
3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.
Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.
Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.
Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вытекает, что если
а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.
Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.
Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».
Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.
Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».
Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.
Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.
Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.
Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.
Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.
Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.
Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.
Упорядоченные множества
Определение 1. Множество M называется упорядоченным , если между его элементами установлено некоторое отношение a b ("a предшествует b "), обладающее следующими свойствами: 1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b , a b, b a; 2) для любых трех элементов a , b и c из a b, b c следует a c.
Пустое множество считается упорядоченным.
Замечание. Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись a = b просто означает, что буквами a и b обозначен один и тот же элемент множества M . Поэтому из свойства 1) следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a b или b a.
Если a предшествует b , то говорят, что b следует за a и пишут: b > a .
Отношение a > b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение a b.
Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения, т. е. вместо a b писать a > b , и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M" , порядок которого называется обратным относительно порядка M . Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок:
Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества