Вычитание натуральных чисел столбиком: примеры, решения. Вычитание столбиком Сложение и вычитание шестизначных чисел примеры

Это нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому.

Исходная сумма называется уменьшаемым , известное слагаемое - вычитаемым , а результат (т.е. искомое слагаемое) называется разностью .

Свойства вычитания чисел

1. a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b ;

2. (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) ;

3. a - (b - c) = (a - b) + c .

Для наглядного изображения арифметических операций (как сложения так и вычитания) можно использовать числовую прямую - это прямая, которая состоит из точки начала координат (эта точка соответствует нулю) и двух распространяющихся от нее лучей, один из которых соответствует положительным числам, а другой отрицательным.

Пример вычитания на числовой прямой

На этой числовой прямой можно увидеть, что числа находящиеся слева от 0 имеют отрицательное значение. Вычитая из отрицательного числа (в данном случае -1) единицу три раза, мы получим число -1.

Вычитая из положительного числа 4, положительное число 3 (или отрицательное число -1 три раза), получим единицу

Пример

4 - 3 = 1 ;	3 - 4 = - 1 ;
-1 -3 = - 4 ;

Вычитание чисел столбиком

Сначала вычитаются единицы, затем десятки, сотни и т.д. Разность каждого столбца записывается под ним. При необходимости из соседнего левого столбца (т.е. из старшего разряда) занимается 1 .

Рассмотрим несколько примеров вычитания в столбик, приведенных ниже.

Пример вычитания двузначных чисел столбиком

Пример вычитания трехзначных чисел столбиком

Принцип вычитания трехзначных чисел похож на метод вычитания двузначных чисел, в данном случае числа уже не десятки, а сотни.

Пример вычитания четырехзначных чисел столбиком

Принцип вычитания четырехзначных чисел похож на метод вычитания трехзначных чисел, в данном случае числа уже не сотни, а тысячи.

Сегодня в большинстве случаев дети осваивают простейшие математические действия еще в дошкольном возрасте. Родители стараются самостоятельно обучить малышей основам математики, чтобы при поступлении в школу у них уже была сформирована небольшая, но основательная база знаний. Одним из навыков, которые можно легко изучить дома, является счет в столбик.

Подготовка к обучению

Прежде чем начать изучение счета в столбик, родителям необходимо удостовериться в готовности ребенка к занятиям. В первую очередь юный математик должен без проблем считать от 0 до 10 и легко различать все эти числа на письме. Если навык еще не закреплен или вообще не освоен, нужно обязательно заняться восполнением пробела. Наиболее эффективные методики представлены в статье « ».

Кроме того, ребенок уже должен понимать принципы простых математических действий, а именно сложения и вычитания. Тренироваться следует ежедневно, оттачивая навыки на находящихся рядом предметах — игрушках, конфетах, яблоках, счетных палочках и т. д. Как только ребенок будет достаточно уверенно складывать и вычитать однозначные числа, можно переходить к более сложным задачам.

Считаем в столбик

Понятно, что сложение и вычитание однозначных чисел в столбик бессмысленно — эти действия ребенок, как правило, выполняет в уме. Сложности же возникают при работе с двузначными числами — начинающему математику трудно сконцентрироваться и просчитать все без визуального представления. В этом случае на помощь ребенку приходит проверенная несколькими поколениями методика — счет в столбик.

Конечно, учителя математика знают, как научить ребенка считать столбиком, а вот родители чаще всего даже не представляют, с чего начать занятия. А начинать надо с базы — объяснения такого математического понятия, как разрядность. Ребенку важно понимать, каким образом составляются двузначные (а затем — и трехзначные) числа и как они записываются при счете столбиком. Сразу же можно выполнять очень простое, но эффективное упражнение — запись в столбик однозначных и двузначных чисел. Задача такого упражнения — научить ребенка правильно располагать числа с разной разрядностью друг под другом. Малыш должен понимать, что единицы пишутся под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями и т. д.

Освоив этот базовый навык, ребенок может переходить к следующему этапу — непосредственно счету. Необходимо объяснить малышу, что складывать и вычитать числа нужно по разрядам — единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. Причем счет нужно вести обязательно от единиц, т. е. справа налево.

Некоторые трудности возникают при сложении чисел, цифры которых в сумме дают больше «10», например, 24 + 18. Ребенку нужно рассказать, что в данном случае сумма единиц — «4» и «8» составляет «12». При этом под единицами в итоговой сумме записать нужно тоже только единицу, т. е. «2». А десятки — «1» — необходимо «оставить в уме». При сложении уже десятков — «2» и «1» в данном примере — нужно обязательно добавить и «оставленную в уме» десятку, т. е. «1». В итоге сложение десятков выглядит как 2 + 1 + 1 и дает в сумме «4». Конечная сумма составляет «42». Аналогичные действия необходимо совершать и при вычитании, когда цифры уменьшаемого меньше цифр вычитаемого. Например, 41 — 15. Только в этом случае нужно «оставленные в уме» цифры не добавлять, а отнимать.

Итак, сама по себе методика обучения ребенка счету в столбик достаточно понятна. Но помимо нее, родителям следует ознакомиться с общими советами, которые помогут сделать занятия с малышом более эффективными:

Будьте последовательными и терпеливыми . Многие взрослые считают, что определяются возрастом и скоростью освоения нового учебного материала. Однако заставлять детей заниматься по ускоренной программе не стоит. До счета в столбик нужно «дорасти», изучив сначала основы, о которых уже было сказано выше.

Повторение — мать учения. Успех занятий зависит от количества времени, посвященного практике. При каждом удобном случае обращайтесь к ребенку «за помощью» — просите его посчитать числа в столбик и обязательно благодарите, когда получите результат.

Используйте дополнительные материалы . Детские книжки по математике, рабочие тетради, схемы и картинки помогут детям быстрее усвоить материал, т.к., как правило, они лучше воспринимают информацию, представленную наглядно.

Переведите учебу в игру. Этот совет является универсальным для всех учебных занятий. Если у вас есть возможность включить в процесс обучения игровой элемент, ребенок будет более внимательным и увлеченным.

Важно понимать, что умение считать в столбик не определяет . Поэтому не стоит предъявлять к малышу высокие требования — он обязательно сможет самостоятельно выполнить математические действия столбиком, когда сам будет к этому готов.

Существует удобный метод нахождения разности двух натуральных чисел – вычитание в столбик, или вычитание столбиком. Этот способ берет свое название от метода записи уменьшаемого и разности друг под другом. Так можно провести и основные, и промежуточные вычисления в соответствии с нужными разрядами чисел.

Этим методом удобно пользоваться, поскольку это очень просто, быстро и наглядно. Все сложные на первый взгляд подсчеты можно свести к сложению и вычитанию простых чисел.

Ниже мы рассмотрим, как именно пользоваться этим методом. Наши рассуждения будут подкреплены примерами для большей наглядности.

Что нужно повторить перед изучением вычитания столбиком?

Метод основан на некоторых простых действиях, которые мы уже разбирали ранее. Необходимо повторить, как правильно вычитать с помощью таблицы сложения. Также желательно знать основное свойство вычитания равных натуральных чисел (в буквенном виде оно записывается как a − a = 0). Нам понадобятся следующие из него равенства a − 0 = a и 0 − 0 = 0 , где a – любое произвольно взятое натуральное число (если требуется, посмотрите основные свойства нахождения разности целых чисел).

Кроме того, важно знать, как определять разряд натуральных чисел.

Главное на первом этапе – правильно записать исходные данные. Для начала записываем первое число, из которого будем вычитать. Под ним располагаем вычитаемое. Цифры должны быть расположены строго одна под другой с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Далее ставим минус с левой стороны от столбика и подводим черту под обоими числами. Под ней будет записываться конечный результат.

Пример 1

Покажем на примере, какая запись подсчета является правильной:

С помощью первой мы можем найти, сколько будет 56 − 9 , с помощью второй – 3 004 − 1 670 , третьей – 203 604 500 − 56 777 .

Как видно, с помощью этого метода можно производить вычисления разной сложности.

Далее рассмотрим сам процесс нахождения разности. Для этого выполняем поочередное вычитание значений разрядов: сначала вычитаем единицы из единиц, потом десятки из десятков, потом сотни из сотен и т.д. Значения записываем под чертой, отделяющей исходные данные от результата. В итоге у нас должно получиться число, которое и будет верным ответом задачи, т.е. разностью исходных чисел.

Как именно выполняются подсчеты, можно увидеть на этой схеме:

С общей картиной записи и подсчета мы разобрались. Однако в методе есть и некоторые моменты, нуждающиеся в уточнении. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с простейших задач и будем постепенно наращивать сложность, пока наконец не разберем все нюансы.

Советуем внимательно прочитать все примеры, потому что каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все объяснения, то подсчет разности натуральных чисел в дальнейшем не будет вызывать у вас ни малейших затруднений.

Пример 2

Условие: найдем разность 74 805 - 24 003 с помощью вычитания столбиком.

Решение:

Запишем эти числа одно под другим, правильно расположив разряды друг под другом, и подчеркнем их:

Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5 - 3 = 2 (если нужно, повторите таблицы сложения натуральных чисел). Итог запишем под чертой там, где указаны единицы:

Вычитаем десятки. Оба значения в нашем столбике нулевые, а вычитание нуля из нуля всегда дает нуль (как вы помните, мы упоминали, что нам в дальнейшем потребуется это свойство вычитания). Результат записываем в нужное место:

Следующий шаг – нахождение значения разности тысяч: 4 − 4 = 0 . Получившийся нуль записываем на положенное ему место и получаем в итоге:

У нас получилось 50 802 , которое и будет верным ответом для указанного выше примера. На этом вычисления завершены.

Ответ: 50 802 .

Возьмем другой пример:

Пример 3

Условие : подсчитаем, сколько будет 5 777 - 5 751 с помощью метода нахождения разности столбиком.

Решение:

Шаги, которые нам нужно сделать, мы уже приводили выше. Выполняем их последовательно для новых чисел и получаем в итоге:

В начале результата стоит два нуля. Т.к. они стоят первыми, то можно смело их отбросить и получить в ответе 26 . Это число и будет правильным ответом нашего примера.

Ответ: 26 .

Если посмотреть на условия двух примеров, приведенных выше, легко заметить, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству знаков. Но метод столбика можно использовать и тогда, когда уменьшаемое включает в себя больше знаков, чем вычитаемое.

Пример 4

Условие: найдем разность 502 864 число 2 330 .

Решение

Запишем числа друг под другом, соблюдая нужную соотнесенность разрядов. Это будет выглядеть так:

Теперь поочередно вычисляем значения:

– единиц: 4 − 0 = 4 ;

– десятков: 6 − 3 = 3 ;

– сотен: 8 − 3 = 5 ;

– тысяч: 2 − 2 = 0 .

Запишем, что у нас получилось:

Вычитаемое имеет значения в месте десятков и сотен тысяч, а вот уменьшаемое нет. Что же делать? Вспомним, что пустота в математических примерах равнозначна нулю. Значит, нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает нуль, следовательно, все, что нам остается, – это переписать исходные значения разрядов в область ответа:

Наши подсчеты завершены. Мы получили итог: 502 864 - 2 330 = 500 534 .

Ответ: 500 534 .

В наших примерах значения разрядов вычитаемого всегда оказывались меньше, чем значения уменьшаемого, поэтому никаких трудностей при подсчете это не вызывало. Что делать, если из значения верхней строки нельзя вычесть значение нижней, не уйдя при этом в минус? Тогда нам нужно "взять взаймы" значения более старших разрядов. Возьмем конкретный пример.

Пример 5

Условие: найдите разность 534 - 71 .

Пишем уже привычный нам столбик и делаем первый шаг вычислений: 4 - 1 = 3 . Получаем:

Далее нам надо перейти к подсчету десятков. Для этого нам надо из 3 вычесть 7 . Это действие с натуральными числами выполнить нельзя, ведь оно имеет смысл только при таком уменьшаемом, которое больше вычитаемого. Поэтому в данном примере нам нужно "занять" единицу из старшего разряда и тем самым "разменять" его. То есть 100 мы как бы меняем на 10 десяток и берем одну из них. Чтобы не забыть об этом, отметим нужный разряд точкой, а в десятках запишем 10 другим цветом. У нас получилась запись следующего вида:

Получившийся результат пишем на нужном месте под чертой:

Нам осталось закончить подсчет, вычислив сотни. У нас стоит точка над числом 5: это значит, что мы отсюда брали десяток для предыдущего разряда. Тогда 5 − 1 = 4 . От четверки же ничего отнимать не нужно, поскольку вычитаемое в разряде сотен значений не имеет. Записываем 4 на место и получаем ответ:

Ответ : 463 .

Зачастую выполнять действие "размена" в рамках одного примера приходится несколько раз. Разберем такую задачу.

Пример 6

Условие: сколько будет 1 632 - 947 ?

Решение

В первом же этапе подсчета надо вычесть двойку из семерки, так что сразу "занимаем" десятку для размена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10 + 2 - 7 = 5 . Вот как выглядит наша запись с отметками:

Далее нам надо подсчитать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем в этом разряде число на единицу меньше: 3 − 1 = 2 . Из двойки нам придется вычитать четверку, так что "размениваем" сотни. У нас получается (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8 .

Движемся дальше к подсчету сотен. Из шестерки мы уже занимали единицу, так что 6 − 1 = 5 . Из пятерки вычитаем девятку, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и "размениваем" ее на 10 сотен. Таким образом, (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6 . Теперь наша запись с примечаниями выглядит так:

Нам осталось сделать подсчеты в тысячном разряде. Одну единицу отсюда мы уже занимали, так что 1 − 1 = 0 . Пишем результат под итоговую черту и смотрим, что получилось:

На этом вычисления закончены. Нуль в начале можно отбросить. Значит, 1 632 − 947 = 685 .

Ответ: 685 .

Возьмем еще более сложный пример.

Как вычитать столбиком

Вычитание многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом (уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу) так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Слева между числами ставится знак действия. Под вычитаемым проводят черту. Вычисление начинают с разряда единиц: из единиц вычитают единицы, затем из десятков - десятки и т. д. Результат вычитания записывают под чертой:

Рассмотрим пример, когда в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого:

От 2 мы не можем отнять 9, что нам делать в этом случае? В разряде единиц у нас нехватка, но в разряде десятков у уменьшаемого аж 7 десятков, поэтому мы можем один из этих десятков перекинуть в разряд единиц:

В разряде единиц у нас было 2, мы перекинули десяток, стало 12 единиц. Теперь мы легко можем от 12 отнять 9. Записываем под чертой в разряде единиц 3. В разряде десятков у нас было 7 единиц, одну из них мы перекинули в простые единицы, осталось 6 десятков. Записываем под чертой в разряде десятков 6. В результате мы получили число 63:

Вычитание столбиком обычно не записывают так подробно, вместо этого, над цифрой разряда, у которого будет занята единица, ставят точку, чтобы не запоминать, у какого разряда надо будет дополнительно вычесть единицу:

При этом говорят так: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем единицу, из 12 вычитаем 9 - получим 3, пишем 3, в разряде десятков у нас было 7 единиц, мы одну перекинули, осталось 6, пишем 6 .

Теперь рассмотрим вычитание столбиком из чисел, содержащих нули:

Начинаем вычитать. От 7 отнимаем 3, пишем 4. От нуля мы не можем отнять 5, поэтому мы вынуждены занять единицу в старшем разряде, но в старшем разряде у нас тоже 0, поэтому и для этого разряда мы вынуждены занять в более старшем разряде. Занимаем единицу из разряда тысяч, получаем 10 сотен:

Одну из единиц разряда сотен мы занимаем в младший разряд, получаем 10 десятков. Из 10 вычитаем 5, пишем 5:

В разряде сотен у нас осталось 9 единиц поэтому, от 9 отнимаем 6, пишем 3. В разряде тысяч у нас была единица, но мы её потратили на младшие разряды, поэтому здесь остаётся нуль (его записывать не надо). В результате мы получили число 354:

Такая подробная запись решения была приведена, чтобы было проще понять, как выполняется вычитание столбиком из чисел содержащих нули. Как уже упоминалось, на практике решение обычно записывается так:

А все упомянутые действия выполняются в уме. Чтобы было легче выполнять вычитание, запомните простое правило:

Если при вычитании столбиком над нулём стоит точка, нуль превращается в 9.