Системи от неравенства - Хипермаркет на знанието. Системата от неравенства е решението. Система от линейни неравенства P 13 решаване на системи от неравенства

Система от неравенства.
Пример 1. Намерете домейна на израз
Решение.Под знака за квадратен корен трябва да има неотрицателно число, което означава, че две неравенства трябва да бъдат изпълнени едновременно: В такива случаи те казват, че проблемът се свежда до решаване на система от неравенства

Но все още не сме срещали такъв математически модел (система от неравенства). Това означава, че все още не можем да завършим решението на примера.

Неравенствата, които образуват система, се комбинират с къдрава скоба (същото важи и за системите от уравнения). Например запис

означава, че неравенствата 2x - 1 > 3 и 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Понякога система от неравенства се записва под формата на двойно неравенство. Например система от неравенства

може да се запише като двойно неравенство 3<2х-1<11.

В курса по алгебра за 9. клас ще разглеждаме само системи от две неравенства.

Разгледайте системата от неравенства

Можете да изберете няколко от конкретните му решения, например x = 3, x = 4, x = 3,5. Всъщност при x = 3 първото неравенство приема формата 5 > 3, а второто приема формата 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

В същото време стойността x = 5 не е решение на системата от неравенства. При x = 5 първото неравенство е във вида 9 > 3 - правилно числово неравенство, а второто е във вида 13< 11- неверное числовое неравенство .
Да се ​​реши система от неравенства означава да се намерят всички нейни частни решения. Ясно е, че предположението, демонстрирано по-горе, не е метод за решаване на система от неравенства. В следващия пример ще покажем как хората обикновено разсъждават, когато решават система от неравенства.

Пример 3.Решете системата от неравенства:

Решение.

а)Решавайки първото неравенство от системата, намираме 2x > 4, x > 2; решавайки второто неравенство на системата, намираме 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
б)Решавайки първото неравенство на системата, намираме x > 2; решавайки второто неравенство на системата, намираме Нека отбележим тези интервали на една координатна линия, като използваме горна щриховка за първия интервал и долна щриховка за втория (фиг. 23). Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, където двете щриховки съвпадат. В разглеждания пример получаваме лъч

V)Решавайки първото неравенство на системата, намираме x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Нека обобщим разсъжденията, проведени в разглеждания пример. Да предположим, че трябва да решим системата от неравенства

Нека например интервалът (a, b) е решение на неравенството fx 2 > g(x), а интервалът (c, d) е решение на неравенството f 2 (x) > s 2 (x ). Нека отбележим тези интервали на една координатна линия, като използваме горна щриховка за първия интервал и долна щриховка за втория (фиг. 25). Решението на система от неравенства е пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, където двете щриховки съвпадат. На фиг. 25 е интервалът (c, b).

Сега можем лесно да решим системата от неравенства, която получихме по-горе в пример 1:

Решавайки първото неравенство на системата, намираме x > 2; решавайки второто неравенство на системата, намираме x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Разбира се, не е задължително системата от неравенства да се състои от линейни неравенства, както е било досега; Могат да възникнат всякакви рационални (и не само рационални) неравенства. Технически работата със система от рационални нелинейни неравенства, разбира се, е по-сложна, но тук няма нищо фундаментално ново (в сравнение със системите от линейни неравенства).

Пример 4.Решете системата от неравенства

Решение.

1) Решете неравенството, което имаме
Нека отбележим точки -3 и 3 на числовата ос (фиг. 27). Те разделят линията на три интервала, като на всеки интервал изразът p(x) = (x- 3)(x + 3) запазва постоянен знак - тези знаци са посочени на фиг. 27. Интересуваме се от интервалите, в които е в сила неравенството p(x) > 0 (те са защриховани на фиг. 27), и точките, в които е в сила равенството p(x) = 0, т.е. точки x = -3, x = 3 (те са маркирани на фиг. 2 7 с тъмни кръгове). Така на фиг. Фигура 27 представя геометричен модел за решаване на първото неравенство.

2) Решете неравенството, което имаме
Нека отбележим точки 0 и 5 на числовата ос (фиг. 28). Те разделят линията на три интервала и на всеки интервал израза<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (защрихована на фиг. 28) и точките, в които е изпълнено равенството g (x) - O, т.е. точки x = 0, x = 5 (те са отбелязани на фиг. 28 с тъмни кръгове). Така на фиг. Фигура 28 представя геометричен модел за решаване на второто неравенство на системата.

3) Нека отбележим намерените решения на първото и второто неравенство на системата на една и съща координатна права, като използваме горна щриховка за решенията на първото неравенство и долна щриховка за решенията на второто (фиг. 29). Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, където двете щриховки съвпадат. Такъв интервал е сегмент.

Пример 5.Решете системата от неравенства:

Решение:

а)От първото неравенство намираме x >2. Нека разгледаме второто неравенство. Квадратният трином x 2 + x + 2 няма реални корени и неговият водещ коефициент (коефициентът на x 2) е положителен. Това означава, че за всички x неравенството x 2 + x + 2>0 е в сила и следователно второто неравенство на системата няма решения. Какво означава това за системата от неравенства? Това означава, че системата няма решения.

б)От първото неравенство намираме x> 2, а второто неравенство е изпълнено за всякакви стойности на x. Какво означава това за системата от неравенства? Това означава, че решението му има вида x>2, т.е. съвпада с решението на първото неравенство.

Отговор:

а) няма решения; б)х >2.

Този пример е илюстрация на следното полезно

1. Ако в система от няколко неравенства с една променлива едно неравенство няма решения, то системата няма решения.

2. Ако в система от две неравенства с една променлива, едно неравенство е изпълнено за всякакви стойности на променливата, тогава решението на системата е решението на второто неравенство на системата.

Завършвайки този раздел, нека се върнем към задачата за планираното число, дадено в началото, и да го решим, както се казва, според всички правила.

Пример 2(вижте стр. 29). Предвидено е естествено число. Известно е, че ако добавите 13 към квадрата на предвиденото число, тогава сборът ще бъде по-голям от произведението на предвиденото число и числото 14. Ако добавите 45 към квадрата на предвиденото число, тогава сумата ще да е по-малко от произведението на предвиденото число и числото 18. Кое число е предвидено?

Решение.

Първи етап. Изготвяне на математически модел.
Желаното число x, както видяхме по-горе, трябва да удовлетворява системата от неравенства

Втора фаза. Работа с компилирания математически модел Нека преобразуваме първото неравенство на системата във вида
x2- 14x+ 13 > 0.

Нека намерим корените на тринома x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Използвайки параболата y = x 2 - 14x + 13 (фиг. 30), заключаваме, че неравенството, което ни интересува, е доволен от х< 1 или x > 13.

Нека преобразуваме второто неравенство на системата във вида x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

вижте също Графично решаване на задача за линейно програмиране, Канонична форма на задачи за линейно програмиране

Системата от ограничения за такъв проблем се състои от неравенства в две променливи:
а целевата функция има формата Е = ° С 1 х + ° С 2 гкоято трябва да се увеличи максимално.

Нека отговорим на въпроса: какви двойки числа ( х; г) са решения на системата от неравенства, т.е. удовлетворяват всяко от неравенствата едновременно? С други думи, какво означава да се реши система графично?
Първо трябва да разберете какво е решението на едно линейно неравенство с две неизвестни.
Решаването на линейно неравенство с две неизвестни означава определяне на всички двойки неизвестни стойности, за които неравенството е валидно.
Например неравенство 3 х – 5г≥ 42 удовлетворяващи двойки ( х , г) : (100, 2); (3, –10) и т.н. Задачата е да се намерят всички такива двойки.
Нека разгледаме две неравенства: брадва + от≤ ° С, брадва + от≥ ° С. Направо брадва + от = ° Сразделя равнината на две полуравнини, така че координатите на точките на една от тях да удовлетворяват неравенството брадва + от >° С, а другото неравенство брадва + +от <° С.
Наистина, нека вземем точка с координата х = х 0 ; тогава точка, лежаща на права и имаща абциса х 0, има ордината

Нека за сигурност а< 0, b>0, ° С>0. Всички точки с абсцисата х 0 лежи отгоре П(например точка М), имам y М>г 0 и всички точки под точката П, с абсцисата х 0, имам y N<г 0 . Тъй като х 0 е произволна точка, тогава винаги ще има точки от едната страна на линията, за които брадва+ от > ° С, образуваща полуравнина, а от другата страна - точки, за които брадва + от< ° С.

Снимка 1

Знакът за неравенство в полуравнината зависи от числата а, b , ° С.
Това предполага следния метод за графично решаване на системи от линейни неравенства на две променливи. За да разрешите системата, трябва:

1. За всяко неравенство напишете уравнението, съответстващо на това неравенство.
2. Конструирайте прави линии, които са графики на функции, определени от уравнения.
3. За всяка права определете полуравнината, която е дадена от неравенството. За да направите това, вземете произволна точка, която не лежи на права, и заменете нейните координати в неравенството. ако неравенството е вярно, тогава полуравнината, съдържаща избраната точка, е решението на първоначалното неравенство. Ако неравенството е невярно, тогава полуравнината от другата страна на правата е множеството от решения на това неравенство.
4. За да се реши система от неравенства, е необходимо да се намери зоната на пресичане на всички полуравнини, които са решението на всяко неравенство на системата.

Тази област може да се окаже празна, тогава системата от неравенства няма решения и е несъстоятелна. В противен случай се казва, че системата е последователна.
Може да има краен брой или безкраен брой решения. Областта може да бъде затворен многоъгълник или неограничена.

Нека разгледаме три подходящи примера.

Пример 1. Решете системата графично:
х + y – 1 ≤ 0;
–2х - 2г + 5 ≤ 0.

• разгледайте уравненията x+y–1=0 и –2x–2y+5=0, съответстващи на неравенствата;
• Нека построим прави линии, дадени от тези уравнения.

Фигура 2

Нека дефинираме полуравнините, определени от неравенствата. Нека вземем произволна точка, нека (0; 0). Нека помислим х+ y– 1 0, заменете точката (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Това означава, че в полуравнината, където се намира точката (0; 0), х + г – 1 ≤ 0, т.е. полуравнината, лежаща под правата, е решение на първото неравенство. Замествайки тази точка (0; 0) във втората, получаваме: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуравнината, където се намира точката (0; 0), –2 х – 2г+ 5≥ 0 и ни попитаха къде е –2 х – 2г+ 5 ≤ 0, следователно в другата полуравнина - в тази над правата.
Нека намерим пресечната точка на тези две полуравнини. Правите са успоредни, така че равнините не се пресичат никъде, което означава, че системата от тези неравенства няма решения и е несъвместима.

Пример 2. Намерете графично решения на системата от неравенства:

Фигура 3
1. Да напишем уравненията, съответстващи на неравенствата, и да построим прави линии.
х + 2г– 2 = 0

х	2	0
г	0	1

г – х – 1 = 0

х	0	2
г	1	3

г + 2 = 0;
г = –2.
2. След като избрахме точката (0; 0), определяме знаците на неравенствата в полуравнините:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. х + 2г– 2 ≤ 0 в полуравнината под правата;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. г –х– 1 ≤ 0 в полуравнината под правата;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. г+ 2 ≥ 0 в полуравнината над правата.
3. Пресечната точка на тези три полуравнини ще бъде област, която е триъгълник. Не е трудно да се намерят върховете на региона като пресечни точки на съответните линии


По този начин, А(–3; –2), IN(0; 1), СЪС(6; –2).

Нека разгледаме друг пример, в който получената област на решение на системата не е ограничена.

Тази статия предоставя първоначална информация за системи от неравенства. Ето дефиниция на система от неравенства и дефиниция на решение на система от неравенства. Изброени са и основните типове системи, с които най-често трябва да се работи в часовете по алгебра в училище, и са дадени примери.

Навигация в страницата.

Какво е система от неравенства?

Удобно е да се дефинират системи от неравенства по същия начин, както въведохме дефиницията на система от уравнения, тоест чрез вида на записа и значението, вложено в него.

Определение.

Система от неравенствае запис, който представлява определен брой неравенства, записани едно под друго, обединени отляво с фигурна скоба, и обозначава множеството от всички решения, които са едновременно решения на всяко неравенство от системата.

Нека дадем пример за система от неравенства. Да вземем две произволни, например 2 x−3>0 и 5−x≥4 x−11, да ги напишем една под друга
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
и се обединяват със системен знак - къдрава скоба, в резултат на което получаваме система от неравенства със следната форма:

Подобна идея се дава и за системите от неравенства в училищните учебници. Струва си да се отбележи, че техните определения са дадени по-тясно: за неравенства с една променлива или с две променливи.

Основни видове системи неравенства

Ясно е, че е възможно да се създадат безкрайно много различни системи от неравенства. За да не се изгубите в това разнообразие, препоръчително е да ги разгледате в групи, които имат свои собствени отличителни черти. Всички системи от неравенства могат да бъдат разделени на групи според следните критерии:

• по броя на неравенствата в системата;
• по броя на променливите, включени в записа;
• от вида на самите неравенства.

Въз основа на броя на неравенствата, включени в записа, се разграничават системи от две, три, четири и т.н. неравенства В предишния параграф дадохме пример за система, която е система от две неравенства. Нека да покажем друг пример за система от четири неравенства .

Отделно ще кажем, че няма смисъл да говорим само за система на неравенство, в този случай по същество говорим за самото неравенство, а не за системата.

Ако погледнете броя на променливите, тогава има системи от неравенства с едно, две, три и т.н. променливи (или, както се казва, неизвестни). Погледнете последната система от неравенства, написана два абзаца по-горе. Това е система с три променливи x, y и z. Моля, обърнете внимание, че нейните първи две неравенства не съдържат и трите променливи, а само една от тях. В контекста на тази система те трябва да се разбират като неравенства с три променливи от вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5, съответно. Имайте предвид, че училището се фокусира върху неравенствата с една променлива.

Остава да обсъдим какви видове неравенства са включени в системите за запис. В училище се разглеждат предимно системи от две неравенства (по-рядко - три, още по-рядко - четири или повече) с една или две променливи, а самите неравенства обикновено са цели неравенствапърва или втора степен (по-рядко - по-високи степени или частично рационални). Но не се изненадвайте, ако в подготвителните си материали за Единния държавен изпит срещнете системи от неравенства, съдържащи ирационални, логаритмични, експоненциални и други неравенства. Като пример даваме системата от неравенства , взето е от .

Какво е решението на система от неравенства?

Нека въведем още една дефиниция, свързана със системите от неравенства - дефиницията на решение на система от неравенства:

Определение.

Решаване на система от неравенства с една променливасе нарича такава стойност на променлива, която превръща всяко от неравенствата на системата в истина, с други думи, това е решение на всяко неравенство на системата.

Нека обясним с пример. Нека вземем система от две неравенства с една променлива. Нека вземем стойността на променливата x равна на 8, тя е решение на нашата система от неравенства по дефиниция, тъй като нейното заместване в неравенствата на системата дава две правилни числени неравенства 8>7 и 2−3·8≤0. Напротив, единицата не е решение на системата, тъй като когато се замести с нея променливата x, първото неравенство ще се превърне в неправилно числено неравенство 1>7.

По подобен начин можете да въведете дефиницията на решение на система от неравенства с две, три или повече променливи:

Определение.

Решаване на система от неравенства с две, три и т.н. променливинаречен чифт, тройка и т.н. стойности на тези променливи, което в същото време е решение на всяко неравенство на системата, тоест превръща всяко неравенство на системата в правилно числено неравенство.

Например, двойка стойности x=1, y=2 или в друга нотация (1, 2) е решение на система от неравенства с две променливи, тъй като 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системите от неравенства може да нямат решения, могат да имат краен брой решения или могат да имат безкраен брой решения. Хората често говорят за набор от решения на система от неравенства. Когато една система няма решения, тогава има празно множество от нейните решения. Когато има краен брой решения, тогава множеството от решения съдържа краен брой елементи, а когато има безкрайно много решения, тогава множеството от решения се състои от безкраен брой елементи.

Някои източници въвеждат дефиниции на конкретно и общо решение на система от неравенства, като например в учебниците на Мордкович. Под частно решение на системата от неравенстваразбере едно-единствено нейно решение. На свой ред общо решение на системата от неравенства- всичко това са нейни лични решения. Тези термини обаче имат смисъл само когато е необходимо специално да се подчертае за какъв вид решение говорим, но обикновено това вече е ясно от контекста, така че много по-често те просто казват „решение на система от неравенства“.

От дефинициите на система от неравенства и нейните решения, въведени в тази статия, следва, че решение на система от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на всички неравенства на тази система.

Библиография.

1. Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Единен държавен изпит-2013. Математика: стандартни изпитни варианти: 30 варианта / изд. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издателство „Народно образование”, 2012. – 192 с. – (ЮСЕ-2013. ФИПИ - училище).

В този урок ще започнем да изучаваме системи от неравенства. Първо, ще разгледаме системи от линейни неравенства. В началото на урока ще разгледаме къде и защо възникват системи от неравенства. След това ще проучим какво означава да се реши система и ще си спомним обединението и пресичането на множества. Накрая ще решим конкретни примери на системи от линейни неравенства.

Предмет: Диетавсички неравенства и техните системи

Урок:Основенпонятия, решаване на системи от линейни неравенства

Досега сме решавали отделни неравенства и сме прилагали метода на интервалите към тях, това може да бъде линейни неравенства, както квадратно, така и рационално. Сега да преминем към решаване на системи от неравенства - първо линейни системи. Нека да разгледаме един пример, откъдето идва необходимостта да се разглеждат системи от неравенства.

Намерете домейна на функция

Намерете домейна на функция

Функция съществува, когато съществуват и двата квадратни корена, т.е.

Как да се реши такава система? Необходимо е да се намерят всички x, които удовлетворяват както първото, така и второто неравенство.

Нека изобразим върху оста на вола множеството от решения на първото и второто неравенство.

Интервалът на пресичане на два лъча е нашето решение.

Този метод за изобразяване на решението на система от неравенства понякога се нарича покривен метод.

Решението на системата е пресечната точка на две множества.

Нека изобразим това графично. Имаме множество A с произволна природа и множество B с произволна природа, които се пресичат.

Определение: Пресечната точка на две множества A и B е третото множество, което се състои от всички елементи, включени в A и B.

Използвайки конкретни примери за решаване на линейни системи от неравенства, нека разгледаме как да намерим пресечни точки на набори от решения на отделни неравенства, включени в системата.

Решете системата от неравенства:

Отговор: (7; 10].

4. Решете системата

Откъде може да дойде второто неравенство на системата? Например от неравенството

Нека да обозначим графично решенията на всяко неравенство и да намерим интервала на тяхното пресичане.

По този начин, ако имаме система, в която едно от неравенствата удовлетворява произволна стойност на x, тогава то може да бъде елиминирано.

Отговор: системата е противоречива.

Разгледахме типични опорни проблеми, до които може да се сведе решението на всяка линейна система от неравенства.

Помислете за следната система.

7.

Понякога линейна система се дава от двойно неравенство; разгледайте този случай.

8.

Разгледахме системи от линейни неравенства, разбрахме откъде идват, разгледахме стандартните системи, до които всички линейни системи могат да бъдат сведени, и решихме някои от тях.

1. Мордкович А.Г. и др.Алгебра 9 клас: Учебник. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макаричев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: учебен. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-мо издание, рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-то изд., изтрито. - М.: 2010. - 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 клас. В 2 части Част 2. Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. — 12-то изд., рев. - М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал за природни науки ().

2. Електронен учебно-методически комплекс за подготовка на 10-11 клас за приемни изпити по информатика, математика, руски език ().

4. Образователен център „Технология на обучението” ().

5. Секция по математика на College.ru ().

1. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. No 53; 54; 56; 57.

е всеки набор от две или повече линейни неравенства, съдържащи една и съща неизвестна величина

Ето примери за такива системи:

Интервалът на пресичане на два лъча е нашето решение. Следователно решението на това неравенство е всичко хразположени между две и осем.

Отговор: х

Използването на този тип картографиране за решаване на система от неравенства понякога се нарича покривен метод.

определение:Пресечната точка на две множества АИ INсе нарича третото множество, което включва всички елементи, включени в Аи в IN. Това е смисълът на пресичането на множества от произволен характер. Сега разглеждаме числените множества подробно, следователно, когато намираме линейни неравенства, такива множества са лъчи - съпосочни, противопосочни и т.н.

Нека разберем реално примеринамиране на линейни системи от неравенства, как да се определят пресечните точки на множества от решения на отделни неравенства, включени в системата.

Нека изчислим система от неравенства:

Нека поставим две силови линии една под друга. Отгоре ще начертаем тези стойности Х,които удовлетворяват първото неравенство х>7 , а отдолу - които действат като решение на второто неравенство х>10 Нека сравним резултатите от числовите прави и да разберем, че и двете неравенства ще бъдат изпълнени, когато х>10.

Отговор: (10;+∞).

Правим го по аналогия с първата проба. На дадена числова ос нанасяме всички тези стойности хза които съществува първото система за неравенство, а на втората цифрова ос, разположена под първата, всички тези стойности х, за които е изпълнено второто неравенство на системата. Нека сравним тези два резултата и да определим, че и двете неравенства ще бъдат изпълнени едновременно за всички стойности хразположени между 7 и 10, като се вземат предвид знаците, получаваме 7<x≤10

Отговор: (7; 10].

Следните задачи се решават по подобен начин. системи от неравенства.