Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.
В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.
Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.
Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.
Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)
В лучших традициях сразу живые примеры: ряды 
и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей
. Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды 
поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.
А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:
Пример 1
Исследовать сходимость ряда
Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».
«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?
Примерные образцы оформления задач в конце урока.
Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:
Пример 6
Исследовать сходимость ряда
Решение
: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:
Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:
Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Знаменатель дроби меньше
знаменателя дроби , поэтому сама дробь
– больше
дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:
А значит, по признаку сравнения ряд 
расходится
вместе с гармоническим рядом.
Если немного видоизменить знаменатель: 
, то первая часть рассуждений будет аналогична: 
. Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.
Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).
Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:
Пример 7
Исследовать сходимость ряда
Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.
Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения
сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел
, где в качестве бесконечно малой величины
выступает :
сходится вместе с рядом .
Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:
Пример 8
Исследовать сходимость ряда
Образец в конце урока.
Пример 9
Исследовать сходимость ряда
Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.
Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью
, мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….
Оформляем решение:
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при 
.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:
Пример 11
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:
Пример 12
Исследовать сходимость ряда
Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:
И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:
Таким образом, исследуемый ряд сходится .
Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.
Пример 13
Исследовать сходимость ряда
Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.
Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:
Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:
Проанализируйте, в чём состоит отличие от и
Пример 14
Исследовать сходимость ряда
А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .
Образцы решений и ответы в конце урока.
Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:
Пример 15
Исследовать сходимость ряда
Решение
: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство 
неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь 
по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд 
непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?
Интегральный признак? Несобственный интеграл
навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд 
… тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:
1) Сначала исследуем сходимость ряда 
. Используем интегральный признак
:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, ряд 
расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом 
.
И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!
Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:
Пример 16
Исследовать сходимость ряда
Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:
Пример 17
Исследовать сходимость ряда
Решение
: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение
:
Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд 
, который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .
Записываем чистовое решение:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда
Примерный образец решения в конце урока
И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда
Решение
: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел
:
Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.
Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:
Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.
Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:
Признак Раабе
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел 
, то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.
В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий п°), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос,
как найти суммы этих рядов или - точнее - как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Эйлер (а также Лагранж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.
Допустим, что при некотором наборе коэффициентов ряды (С) и сходятся к функциям повсюду в промежутке исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной
На окружности единичного круга т. е. при этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки:
В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при т. е. внутри единичного круга, определяя там некоторую функцию комплексной переменной. Используя известные нам [см. § 5 главы XII] разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ним и функцию Тогда для имеем:
и по теореме Абеля , лишь только ряд (6) сходится, его сумма получается как предел
Обычно этот предел равен попросту что и позволяет вычислить в конечном виде функции
Пусть, например, предложены ряды
Доказанные в предыдущем п° утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый - исключая точки 0 и
служат рядами Фурье для определяемых ими функций Но что это за функции? Для ответа на этот вопрос составим ряд
По сходству с логарифмическим рядом легко устанавливается его сумма:
следовательно,
Теперь легкое вычисление дает:
так что модуль этого выражения есть , а аргумент .
и, таким образом, окончательно
Результаты эти нам знакомы и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений ; но в первом случае мы исходили из функций и , а во втором - из аналитической функции Здесь же впервые нам отправной точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читатель найдет в следующем п°.
Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходи и рядов (С) и чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7). Одно существование предела в правой части этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов. Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды
Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$, $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$, что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$.
Формула Дирихле.
Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — .
Используя формулы $(1)$ и $(2)$, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left (n+\frac{1}{2} \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t dt = 0 \quad (3)$$
Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $$ \lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0
Сходимость ряда Фурье в точке
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$.
Доказательство
Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$. Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$, получаем $$ \lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$
Из условия Гёльдера следует, что функция $$\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$$ абсолютно интегрируема на отрезке $$. В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$, где $\alpha \in (0,1]$.
В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $.$
В силу леммы Римана $$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$$
Из формулы $(5)$ теперь следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$$
[свернуть]
Следствие 1. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$.
Следствие 2. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Следствие 3. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $$\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$$
Признак Дини
Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$, если
- 1) существуют конечные левый и правый пределы $\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$$
тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Доказательство
Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$. И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Тогда имеем $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$$
Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty $ равные $0$. Рассмотрим первый интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$$
Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $$\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt
По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, где
$$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$. Используя оценку $\left | D_n(t) \right |
для всех $t \in (0, \delta)$.
Поэтому $$A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt
Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty $. Для этого введем функцию $$ \Phi (t)=\left\{\begin{matrix}
\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0
$$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t\,dt.$$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$, а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|
Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty $.
[свернуть]
Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$, то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end{matrix}\right.$
Исследовать сходимость полученного ряда.
Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$, график которой изображен на рисунке.
Так как функция $f(x)$ нечетна, то $$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$$
$$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$$
Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$
Так как ${f}"(x)$ существует при $x\neq k \pi$, то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb{Z}.$
В точках $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.
Полагая $x=\frac{\pi}{2}$, получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$.
[свернуть]
Найти ряд Фурье следующей $2\pi$-периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac{x}{2}|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, и исследовать на сходимость полученного ряда.
Так как ${f}"(x)$ существует при $ x \neq 2k \pi$, то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $ x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$. Имеем $$\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$$ откуда $a_0= \pi \ln 2$.
Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$. Имеем $$\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$$ $$= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix}
D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$$
Здесь $D_n(x)$- ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$. Таким образом, $$-\ln |
\sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$
[свернуть]
Литература
- Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
- Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Информация
Тест по материалу данной темы:
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1 .
Количество баллов: 1Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?
Задание 2 из 5
2 .
Количество баллов: 1Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$?
В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени T , называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin (x + ), гармоническое колебание, где есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида
Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим график этой функции
Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.
Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
Или 
(1).
Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.
Определение.
Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда называются: 
(2)
(3)
(4)
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция имеет период 2p и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х , причем в точках непрерывности функции его сумма S(x) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .
Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.
Пример 1 . Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1-x , имеющую период 2p и заданную на отрезке .
Решение . Построим график этой функции
Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда: .
Применим формулу интегрирования по частям и найдем и по формулам (3) и (4) соответственно:
Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем 
или .
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .
Приведем алгоритм разложения функции в ряд Фурье.
Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему.
Решение Навье пригодно только для расчета пластинок, шарнирно опертых по контуру. Более общим является решение Леви . Оно позволяет выполнить расчет пластинки, шарнирно опертой по двум параллельным сторонам, с произвольными граничными условиями на каждой из двух других сторон.
В прямоугольной пластинке, изображенной на рис. 5.11, (a), шарнирно опертыми являются края, параллельные оси y . Граничные условия на этих краях имеют вид
 |
Рис. 5.11
Очевидно, что каждый член бесконечного тригонометрического ряда
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; вторые частные производные функции прогибов
(5.45)
при x = 0 и x = a также равны нулю, поскольку содержат https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
Подстановка (5.46) в (5.18) дает
Умножая обе части полученного уравнения на , интегрируя в пределах от 0 до a и помня, что
,
получаем для определения функции Ym такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
. (5.48)
Если для сокращения записи обозначить
уравнение (5.48) примет вид
. (5.50)
Общее решение неоднородного уравнения (5.50), как известно из курса дифференциальных уравнений, имеет вид
Ym (y ) = j m (y ) + Fm (y ), (5.51)
где j m (y ) – частное решение неоднородного уравнения (5.50); его вид зависит от правой части уравнения (5.50), т. е., фактически, от вида нагрузки q (x , y );
Fm (y ) = Am sh a m y + Bm ch a m y + y (Cm sh a m y + Dm ch a m y ), (5.52)
общее решение однородного уравнения
Четыре произвольные постоянные Am , В m , C m и Dm должны быть определены из четырех условий закрепления краев пластинки, параллельных оси , приложенная к пластинке постоянна q (x , y ) = q правая часть уравнения (5.50) приобретает вид
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
Поскольку правая часть уравнения (5.55) постоянна, то постоянна и левая его часть; поэтому все производные j m (y ) равны нулю, и
, (5.56)
, (5.57)
где обозначено: .
Рассмотрим пластинку, защемленную вдоль краев, параллельных оси х (рис. 5.11, (в)).
Граничные условия по краям y = ± b /2
. (5.59)
Вследствие симметрии прогиба пластинки относительно оси О x , в общем решении (5.52) следует сохранить лишь члены, содержащие четные функции. Поскольку sha m y – функция нечетная, а сha m y – четная и, при принятом положении оси Ох , y sha m y – четно, в у cha m y – нечетно, то общий интеграл (5.51) в рассматриваемом случае можно представить так
. (5.60)
Поскольку в (5.44) не зависит от значения аргумента y , вторую пару граничных условий (5.58), (5.59) можно записать в виде:
Ym = 0, (5.61)
Y ¢ m = = 0. (5.62)
a m Bm sha m y + Cm (sha m y + y a m cha m y )
Из (5.60) – (5.63) следует
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
Домножив уравнение (5.64) на , а уравнение (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Подстановка (5.66) в уравнение (5.64) позволяет получить Bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
При таком выражении функции Y m . , формула (5.44) для определения функции прогибов приобретает вид
(5.69)
Ряд (5.69) быстро сходится. Например, для квадратной пластинки в её центре, т. е. при x = a /2, y = 0
(5.70)
Удержав в (5.70) только один член ряда, т. е. приняв 
, получим величину прогиба, завышенную менее чем на 2,47%. Учтя, что p
5 =
306,02, найдем Вариация" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариационный метод В..Ритца – базируется на сформулированном в п. 2 вариационном принципе Лагран-жа.
Рассмотрим этот метод применительно к задаче изгиба пластинок. Представим изогнутую поверхность пластинки в виде ряда
, (5.71)
где fi (x , y ) непрерывные координатные функции, каждая из которых должна удовлетворять кинематическим граничным условиям; Ci – неизвестные параметры, определяемые из уравнения Лагранжа. Это уравнение
(5.72)
приводит к системе из n алгебраических уравнений относительно параметров Ci .
В общем случае энергия деформации пластинки состоит из изгибной U и мембранной Um частей
, (5.73)
, (5.74)
где Мх. , М y . , М xy – изгибные усилия; N х. , Ny . , Nxy – мембранные усилия. Соответствующая поперечным силам часть энергии невелика и ею можно пренебречь.
Если u , v и w – составляющие действительного перемещения, px . , py и pz – составляющие интенсивности поверхностной нагрузки, Р i – сосредоточенная сила, Di соответствующее ей линейное перемещение, М j – сосредоточенный момент, q j – соответствующий ему угол поворота (рис. 5.12) то потенциальную энергию внешних сил можно представить так:
Если края пластинки допускают перемещения, то краевые силы vn . , mn . , mnt (рис. 5.12, (а)) увеличивают потенциал внешних сил
 |
|
 |
|
Рис. 5.12
Здесь n и t – нормаль и касательная к элементу края ds .
В декартовых координатах, с учетом известных выражений для усилий и кривизн
, (5.78)
полная потенциальная энергия Э прямоугольной пластинки размером a ´ b , при действии только вертикальной нагрузки pz
(5.79)
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку с отношением сторон 2a ´ 2b (рис. 5.13).
Пластинка защемлена по контуру и нагружена равномерной нагрузкой
pz = q = const . В этом случае выражение (5.79) для энергии Э упрощается
. (5.80)
Примем для w (x, y ) ряд
который удовлетворяет контурным условиям
 |  |
Рис. 5.13
Удержим только первый член ряда
.
Тогда согласно (5.80)
.
Минимизируя энергию Э согласно (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Прогиб центра квадратной пластинки размером 2а ´ 2а
,
что на 2,5% больше точного решения 0,0202 qa 4/D . Отметим, что прогиб центра пластинки, опертой по четырем сторонам, в 3,22 раза больше.
Этот пример иллюстрирует достоинства метода: простоту и возможность получения хорошего результата. Пластинка может иметь различные очертания, переменную толщину. Затруднения в этом методе, как, впрочем, и в других энергетических методах, возникают при выборе подходящих координатных функций.
5.8. Метод ортогонализации
Метод ортогонализации, предложенный и, основан на следующем свойстве ортогональных функций j i . , j j
. (5.82)
Примером ортогональных функций на интервале (– p , p ) могут служить тригонометрические функции cos nx и sin nx для которых
Если одна из функций, например функция j i (x ) тождественно равна нулю, то условие (5.82) выполняется для произвольной функции j j (x ).
Для решения задачи об изгибе пластинки уравнение –
можно представить так
, (5.83)
где F – площадь, ограниченная контуром пластинки; j ij – функции, задаваемые так, чтобы они удовлетворяли кинематическим и силовым граничным условиям задачи.
Представим приближенное решение уравнения изгиба пластинки (5.18) в виде ряда
. (5.84)
Если бы решение (5.84) было точным, то уравнение (5.83) выполнялось бы тождественно для любой системы координатных функций j ij . , поскольку в этом случае D Ñ2Ñ2 wn – q = 0. Потребуем, чтобы уравнение D Ñ2Ñ2 wn – q было ортогональным к семейству функций j ij , и требование это используем для определения коэффициентов Cij . . Подставляя (5.84) в (5.83) получим
. (5.85)
После выполнения некоторых преобразований получим следующую систему алгебраических уравнений для определения C ij
, (5.86)
причем h ij = h ji .
Методу Бубнова-Галеркина можно дать следующее толкование. Функция D Ñ2Ñ2 wn – q = 0 является по сути дела уравнением равновесия и представляет собой проекцию внешних и внутренних сил, действующих на малый элемент пластинки в направлении вертикальной оси z . Функция прогибов wn есть перемещение в направлении той же оси, а функции j ij можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнение (5.83) приближенно выражает равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях j ij . . Таким образом метод Бубнова-Галеркина по сути своей является вариационным.
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку, защемленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой. Размеры пластинки и расположение координатных осей такие же, как на рис. 5.6.
Граничные условия
при x = 0, x = а : w = 0, ,
при y = 0, y = b : w = 0, .
Приближенное выражение для функции прогибов выберем в виде ряда (5.84) где функция j ij
удовлетворяет граничным условиям; Cij – искомые коэффициенты. Ограничившись одним членом ряда
получим следующее уравнение
После интегрирования
Откуда вычислим коэффициент С 11
,
который полностью соответствует коэффициенту С 11., полученному методом
В. Ритца – .
В первом приближении функция прогибов такова
.
Максимальный прогиб в центре квадратной пластинки размером а ´ а
.
5.9. Применение метода конечных разностей
Рассмотрим применение метода конечных разностей для прямоугольных пластинок со сложными контурными условиями. Разностный оператор – аналог дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки (5.18), для квадратной сетки, при Dx = Dy = D принимает вид (3.54)
20 wi , j + 8 (wi , j + 1 + wi , j – 1 + wi – 1, j + wi + 1, j ) + 2 (wi – 1, j – 1 + wi – 1, j + 1 +
Рис. 5.14
С учетом наличия трех осей симметрии нагружения и деформаций пластинки, можно ограничиться рассмотрением её восьмушки и определять величины прогибов только в узлах 1...10 (рис. 5.14, (б)). На рис. 5.14, (б) представлены сетка и нумерация узлов (D = а /4).
Поскольку края пластинки защемлены, то записав контурные условия (5.25), (5.26) в конечных разностях
