Теория функций одной переменной. Математический анализ. Теория функций одной переменной Математический анализ лекции 1 курс

А.В. Гласко

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ»

Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана

§1. Логическая символика.

При записи математических выражений будем использовать следующие логические символы:

	Значение	Значение

		Для любого, для всякого, для всех (от

		Существует, найдется, имеется (exist)

		Влечет, следует (следовательно)

		Эквивалентно, тогда и только тогда,
		необходимо и достаточно
Так если А и В какие-либо высказывания, то

		Значение



		А или В (или А или В, или и А и В)






		Для любого x имеет место А

		Существует x , для которого имеет место А

		Из А следует В (если верно А, то верно В)
(импликация)
		А эквивалентно В, А имеет место тогда и только тогда, когда имеет место В,
		для В необходимо и достаточно А
	Замечание. “ A B ” означает, что для В достаточно А, а для А необходимо В.

Пример. (х=1) => (х2 -3х+2=0) => ((х=1) (x=2)).

Иногда мы будем использовать ещё один специальный символ: А =df В.

Он означает, что А = В по определению.

§2. Множества. Элементы и части множества.

Понятие множества – первичное понятие, не определяемое через более простые. Слова: совокупность, семейство, набор – его синонимы.

Примеры множеств: множество студентов в аудитории, множество преподавателей на кафедре, множество автомобилей на стоянке и пр.

Первичными понятиями также являются понятия элемента множества и отношения

между элементами множества.

Пример. N – множество натуральных чисел, его элементами являются числа 1,2,3,… Если х и у – элементы N, то они находятся в одном следующих отношений: х=у, ху.

Условимся обозначать множества заглавными буквами: A, B, C, X, Y, …, а их элементы – строчными: a, b, c, x, y, …

Отношения между элементами или множествами обозначаются символами, вставленными между буквами. Например. Пусть А – некоторое множество. Тогда отношение a А означает, что а – элемент множества А. Запись а А означает, что а не является элементом А.

Множество можно задать различными способами. 1. Перечислением его элементов.

Например, А={a, b, c, d}, B={1, 7, 10}

2. Указанием свойств элементов. Пусть A – множество элементов а, обладающих свойством р. Это можно записать в виде: A={ a:p } или A={ ap }.

Например, запись А= { x: (x R ) (x2 -1>0) } означает, что A – есть множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству x2 -1>0.

Введем несколько важных определений.

Опр. Множество называется конечным , если оно состоит из определённого конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным .

Например, множество студентов в аудитории конечно, а множество натуральных чисел или множество точек внутри отрезка бесконечно.

Опр. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается.

Опр. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же

Т.е. понятие множества не подразумевает того или иного порядка следования элементов. Опр. Множество Х называется подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х является элементом множества Y (при этом, вообще говоря, не любой

элемент множества Y является элементом множества X). При этом используется обозначение: X Y.

Например, множество апельсинов O является подмножеством множества фруктов F : O F , а множество натуральных чисел N является подмножеством множества вещественных чисел R : N R .

Cимволы “ ” и “ ” называются символами включения. Считают, что каждое множество является подмножеством самого себя. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Опр. Любое непустое подмножество В множества А, не равное А, называется

собственным подмножеством.

§ 3. Диаграммы Эйлера-Венна. Элементарные операции над множествами.

Множества удобно изобразить графически, в виде областей на плоскости. При этом подразумевается, что точки области соответствуют элементам множества. Такие графические представления множеств называются диаграммами Эйлера-Венна.

Пример. А – множество студентов МГТУ, В – множество студентов в аудитории. Рис. 1 наглядно демонстрирует, что A B .

Диаграммы Эйлера-Венна удобно использовать для наглядного изображения элементарных операций над множествами . К основным операциям относятся следующие.

Рис. 1. Пример диаграммы Эйлера-Венна.

1. Пересечением А В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам А и В:

С=А В =df { z: (z A) (z B) }

(на рис. 2 множество C представлено заштрихованной областью).

Рис. 2. Пересечение множеств.

2.Объединением А В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

C=А В =df { z: (z A) (z B) }

(на рис. 3 множество C представлено заштрихованной областью).

Рис. 3. Объединение множеств.

Рис. 4. Разность множеств.

3.Разностью А\В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В:

А \ В ={ z: (z A) (z B) }

(на рис. 4 множество C представлено закрашенной желтым цветом областью).

§4.Множество действительных чисел.

Построим множество вещественных (действительных) чисел R. Для этого рассмотрим, прежде всего, множество натуральных чисел , которое определим следующим образом. В качестве первого элемента возьмем число n=1. Каждый последующий элемент будем получать из предыдущего добавлением единицы:

N = {1, 1+1, (1+1)+1, …} = { 1, 2, 3, …, n, … }.

N = { -1, -2, -3, …, -n, … }.

Множество целых чисел Z определим как объединение трех множеств: N, -N и множества, состоящего из единственного элемента – нуля:

Множество рациональных чисел определим как множество всевозможных отношений целых чисел:

Q = { xx = m/n; m, n Z, n 0 }.

Очевидно, что N Z Q.

Известно, что каждое рациональное число может быть записано в виде конечной действительной или бесконечной периодической дроби. Достаточно ли рациональных чисел для измерения всех величин, с которыми мы можем встретиться при изучении окружающего нас мира? Уже в Древней Греции было показано, что нет: если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длинной единица, длину гипотенузы нельзя представить в виде рационального числа. Таким образом, мы не можем ограничиться множеством рациональных чисел. Необходимо расширить понятие числа. Это расширение достигается введением множества иррациональных чисел J, которое проще всего мыслить как множество всех непериодических бесконечных десятичных дробей.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется

множеством действительных (вещественных) чисел R: R =Q Y.

Иногда рассматривают еще расширенное множество действительных чисел R , понимая

Действительные числа удобно изображать точками на числовой оси.

Опр. Числовой осью называется прямая, на которой указано начало отсчета, масштаб и направление отсчета.

Между действительным числами и точками числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие: любому вещественному числу соответствует единственная точка числовой оси и наоборот.

Аксиома полноты (непрерывности) множества действительных чисел. Каковы бы ни были непустые множества А= { a } R и B= {b} R такие, что для любых a и b выполняется неравенство a ≤ b , найдется число c R такое, что a ≤ c ≤ b (рис. 5).

Рис.5. Иллюстрация аксиомы полноты множества вещественных чисел.

§5. Числовые множества. Окрестности.

Опр. Числовым множеством называется любое подмножество множества R. Важнейшие числовые множества: N, Z, Q, J, а также

отрезок: {x R |a x b },

интервал: (a ,b ) {x R |a x b }, (,)=R

полуинтервалы: { x R| a x b},

{x R | x b }.

Важнейшую роль в математическом анализе играет понятие окрестности точки числовой оси.

Опр. -окрестностью точки x 0 называют интервал длиной 2 с центром в точке x 0 (рис. 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Рис. 6. Окрестность точки.

Опр. Проколотой -окрестностью точки называется окрестность этой точки,

из которой исключена сама точка x 0 (рис. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\{x 0 } (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Рис. 7. Проколотая окрестность точки.

Опр. Правосторонней -окрестностью точки x0 называется полуинтервал

u (x 0 ) , область значений: E= [-π/2,π/2 ].

Рис. 11. График функции y arcsin x .

Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений ). Пусть даны три множества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новое отображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложной функцией (рис. 12).

Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Рис. 12. Иллюстрация к понятию сложной функции.

Функция f (x ) при этом называется внутренней функцией , а функция g (y )- внешней функцией .

1. Внутренняя функция f(x)= x², внешняя g (y ) sin y. Сложная функция z= g(f(x))=sin(x²)

2 . Теперь наоборот. Внутренняя функция f (x )= sinx , внешняя g (y ) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Будет также полезен школьникам, углублённо занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Элементы теории множеств и вещественные числа», «Теория числовых последовательностей», «Предел и непрерывность функции», «Дифференцируемость функции», «Приложения дифференцируемости». Мы познакомимся с понятием множества, дадим строгое определение вещественного числа и изучим свойства вещественных чисел. Затем поговорим о числовых последовательностях и их свойствах. Это позволит рассмотреть понятие числовой функции, хорошо знакомое школьникам, на новом, более строгом уровне. Мы введём понятие предела и непрерывности функции, обсудим свойства непрерывных функций и их применение для решения задач.

Во второй части курса мы дадим определение производной и дифференцируемости функции одной переменной и изучим свойства дифференцируемых функций. Это позволит научиться решать такие важные прикладные задачи, как приближённое вычисление значений функции и решение уравнений, вычисление пределов, исследование свойств функции и построение её графика.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная).
Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объёме средней школы (11 классов).

Программа курса

Лекция 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Понятие вещественного числа. Точные грани числовых множеств.
Лекция 3. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Лекция 4. Числовые последовательности и их свойства.
Лекция 5. Монотонные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Лекция 6. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Лекция 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Лекция 8. Монотонные функции. Обратная функция.
Лекция 9. Простейшие элементарные функции и их свойства: показательная, логарифмическая и степенная функции.
Лекция 10. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Равномерная непрерывность функции.
Лекция 11. Понятие производной и дифференциала. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Лекция 12. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции.
Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные параметрически заданных функций.
Лекция 14. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Лекция 15. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Лекция 16. Второе правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лекция 17. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в форме Лагранжа и Коши. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.
Лекция 18. Достаточные условия экстремума. Асимптоты графика функции. Выпуклость.
Лекция 19. Точки перегиба. Общая схема исследования функции. Примеры построения графиков.

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях математического анализа: множестве, числе, последовательности и функции, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.

Формат

Требования

Программа курса

Результаты обучения

Пусть переменная величина x n принимает бесконечную последовательность значений

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причем известен закон изменения переменной x n , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x n . Таким образом предполагается, что переменная x n является функцией от n :

x n = f(n)

Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x n , пробегающей последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x 1 , x 2 , ..., x n , ... . или пределом переменной x n , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N ), что все значения переменной x n , начиная с x N , отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:

| x n - a |< (2)

при всех n  N , или, что то же самое,

Определение предела по Коши . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ >

Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема о существовании точной верхней грани

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1)  aA am

2) >0 a  A, такое, что a  a-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, такое, что a E a+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.