Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны () (рис.28)
α – плоскость, в – перпендикулярная ей прямая, β – плоскость, проходящая через прямую в , и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β.
Следствие. Если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей
Задача 1 . Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
Доказательство:
По аксиоме I существует точка, не принадлежащая прямой а. По теореме 2.1через точку В и прямую а можно провести плоскость α. (рис.29) По теореме 2.3 через точку А в плоскости α можно провести прямую а. По аксиоме С 1 существует точка С , не принадлежащая α. По теореме 15.1 через точку С и прямую а можно провести плоскость β. В плоскости β по теореме 2.3 через точку а можно провести прямую с а. Прямые в и с по построению имеют только одну общую точку А и обе перпендикулярны
Задача 2. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние3, 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.
АС = 5,8м, ВD = 3,9 м, АВ - ? (рис.30)
АЕ = АС – СЕ = АС – ВD = 5,8 – 3,9 = 1,9 (м)
По теореме Пифагора из ∆ АЕВ получаем:
АВ 2 = АЕ 2 + ЕВ 2 = АЕ 2 + СD 2 = (1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (м 2)
АВ = = 3,9 (м)
Задачи
Цель . Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы .
1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
2. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если:
1) АВ = 3см, ВС = 7см, АD = 1,5 см;
2) ВД = 9 см, АD = 5cм, ВС = 16см;
3) АВ = в, ВС = а, АD =d;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. Точка А находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
4. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
5. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, полагая, что проволока не провисает.
6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найти проекции наклонных.
7. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.
8. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите
расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
10. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек а и В до плоскости равны: 1) 3, 2 см и 5, 3 см;7, 4 см и 6, 1 см; 3) a и в.
11. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
12. Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 0,5 м и 0, 3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость..
13. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость. Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.
14. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м; 3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, ВС = в, СD = с.
15.Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если АВ = 2 м, СА 1 = 3 м, СВ 1 = 7 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника
16. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если А 1 С = 4 м, АА 1 = 3 м, СВ 1 = 6 м, ВВ 1 = 2 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника.
Перпендикулярность плоскостей
Определение.
Две плоскости называются перпендикулярными,
если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями - прямой.
Признак перпендикулярности
плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство. Пусть a
и
?
- две пересекающиеся плоскости, с
- прямая
их пересечения и а
- прямая
перпендикулярная
плоскости
?
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых
a
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим
перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
. Прямая
а
перпендикулярна
плоскости ?
,
а значит она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, то есть прямые b
и
с
перпендикулярны.
Угол между прямыми а
и Ь -
линейный плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так
как прямая
а
перпендикулярна прямой
b
(подоказанному).Поопределениюплоскости
a
и
?
перпендикулярны.
Теорема 1 .
Еслииз точки,принадлежащейодной из двух перпендикулярных
плоскостей,провести
перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр
полностью лежит в первой плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
-
перпендикулярные плоскости и с -
прямая их пересечения, А - точка
лежащаявплоскостиa
и не принадлежащая прямой с.
Пустьперпендикуляр к плоскости ?
проведенный из точки А
, не лежит в плоскости a
,
тогда точка С – основание этого перпендикуляра лежит в
плоскости ?
и
не принадлежит прямой с.
Из точки А
опустим перпендикуляр АВ
напрямую с.
Прямая АВ перпендикулярна
плоскости (использую теорему 2).
Через прямую АВ и точку С
проведем плоскость ?
(прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). Мы видим, что в
плоскости
?
из одной точки А
на прямуюВС проведено два перпендикуляра, чего быть не
может, значит прямая АС
совпадает с
прямой АВ, а прямая АВ в
свою очередь полностью лежит в плоскости a
.
Теорема 2 .
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр
к их линии
пересечения, то этот
перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Доказательство. Пусть a
и ?
- две
перпендикулярные плоскости, с -
прямая их пересечения и а -
прямая
перпендикулярная прямой с
и лежащая в
плоскости
a
. А - точка пересечения прямых а
и с.
В
плоскости
?
из точки А
восстановим перпендикуляр,
и пусть это будет прямая
b
.
Угол
между прямыми
а
и
b
- линейный
угол при ребре двугранного угла между
плоскостями
a
и
?
и
равен он 90°, так как плоскости
a
и
?
перпендикулярны. Прямая
а
перпендикулярна
прямой
b
(по доказанному) и прямой с
по условию.
Значит
прямая
а
перпендикулярна плоскости?
(
Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»
Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.
При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).
α и β, 0°< 90 °
Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .
Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .
двугранный угол между плоскостями α и β,
90º
Введем определение перпендикулярных плоскостей:
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны
Т.к. =90°
Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.
Стена и потолок.
Боковая стенка и крышка стола.
Стена и потолок
Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:
ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Докажем этот признак.
По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,
Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.
Доказательство:
1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.
Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А
Доказать: αβ.
Доказательство:
1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
2) АТβ, A Т A Р.
ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.
Что и требовалось доказать
Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:
СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета
То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.
т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.
Аналогично γ β
Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:
Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.
Задача.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
Решение:
1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.
2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.
3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:
Из ΔВКС:
Ðассматривается отношение перпендикулярности плоскостей - одно из важнейших и наиболее используемых в геометрии пространства и ее приложениях.
Из всего разнообразия взаимного расположения
двух плоскостей особого внимания и изучения заслуживает то, при котором плоскости перпендикулярны друг другу (например, плоскости смежных стен комнаты,
забора и участка земли, двери и пола и т. п. (рис. 417, а–в).
Приведенные примеры позволяют увидеть одно из основных свойств отношения, которое мы будем изучать, - симметричность расположения каждой из плоскостей относительно другой. Симметрия обеспечивается тем, что плоскости вроде бы «сотканы» из перпендикуляров. Попробуем уточнить эти наблюдения.
Пусть имеем плоскость α и прямую с на ней (рис. 418, а). Проведем через каждую точку прямойс прямые, перпендикулярные плоскости α. Все эти прямые параллельны между собой (почему?) и составляют, на основании задачи 1 § 8, некоторую плоскость β (рис. 418, б). Естественно назвать плоскость βперпендикуляр ной плоскости α.
В свою очередь, все прямые, лежащие в плоскости α и перпен- дикулярные прямойс , образуют плоскость α и перпендикулярны плоскости β (рис. 418, в). Действительно, еслиа - произвольная такая прямая, то она пересекает прямуюс в некоторой точкеМ . Через точкуМ проходит в плоскости β перпендикулярная α пря- маяb , поэтомуb а . Следовательно,а с, а b , поэтомуа β. Таким образом, плоскость α перпендикулярна плоскости β, а пря- маяс является линией их пересечения.
Две плоскости называются перпендикулярными, если каждая из них образована прямыми, перпенди кулярными второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Перпендикулярностьплоскостейαиβобоз- начается привычным уже знаком: α β.
Одну из иллюстраций этого определения можно представить, если рассмотреть фраг- мент комнаты дачного домика (рис. 419). В нем пол и стена сложены из досок, перпен- дикулярных соотвественно стене и полу. По- этому они перпендикулярны. На практике
это означает, что пол горизонтален, а стена вертикальна.
Приведенное определение трудно использовать при фактичес- кой проверке перпендикулярности плоскостей. Но если внима- тельно проанализировать рассуждения, которые привели к этому определению, то видим, что перпендикулярность плоскостей α и β обеспечило наличие в плоскости β прямойb , перпендикулярной плоскости α (рис. 418, в). Мы пришли к признаку перпендику- лярности двух плоскостей, который чаще всего применяется на практике.
406 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей).
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Пусть плоскость β проходит через прямуюb , перпендику- лярную плоскости α ис - линия пересечения плоскостей α и β (рис. 420, а). Все прямые плоскости β, параллельные прямойb и пересекающие прямуюс , вместе с прямойb образуют плоскость β. По теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), все они вместе с прямойb перпендикулярны плоскости α. То есть плоскость β состоит из прямых, проходящих через линию пересечения плоскостей α и β и перпендикулярных плоскости α (рис. 420, б).
Теперь в плоскости α через точку А пересечения прямыхb ис проведем прямуюа , перпендикулярную прямойс (рис. 420, в). Прямаяа перпендикулярна плоскости β, по признаку перпен- дикулярности прямой и плоскости (а с , по построению,а b , так какb α). Повторив предыдущие рассуждения, получим, что плоскость α состоит из прямых, перпендикулярных плоскости β, проходящих через линию пересечения плоскостей. Согласно оп- ределению, плоскости α и β перпендикулярны.■
Приведенный признак дает возможность устанавливать пер- пендикулярность плоскостей или же обеспечивать ее.
П р и м е р 1 . Прикрепить щит к столбу так, чтобы он был распо- ложен вертикально.
Если столб стоит вертикально, то достаточно приложить произвольно щит к столбу и закрепить его (рис. 421, а). Согласно рассмотренному выше признаку, плоскость щита будет перпенди- кулярна поверхности земли. В этом случае задача имеет беско- нечное множество решений.
Перпендикулярность плоскостей | ||
Если же столб стоит наклонно к земле, то достаточно к столбу прикрепить вертикальную рейку (рис. 421, б), а затем щит при- крепить и к рейке, и к столбу. В этом случае положение щита бу- дет вполне определённым, поскольку столб и рейка определяют единственную плоскость.■
В предыдущем примере «техническое» задание свелось к мате- матической задаче о проведении через данную прямую плоскос- ти, перпендикулярной другой плоскости.
П р и м е р 2 . Из вершиныA квадратаABCD проведен перпен- дикулярный его плоскости отрезокAK, AB = AK = а.
1) Определить взаимное расположение плоскостей AKC иABD ,
AKD и ABK.
2) Построить плоскость, проходящую через прямую BD перпенди- кулярно плоскостиABC.
3) Провести через середину F отрезкаKC плоскость, перпендику- лярную плоскостиKAC .
4) Найти площадь треугольника BDF.
Построим рисунок, соответствующий условию примера (рис. 422).
1) Плоскости AKC иABD перпендикуляр- ны, по признаку перпендикулярности плос- костей (теорема 1):AK ABD , по условию. ПлоскостиAKD иABK также перпендику-
лярны, по признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямаяAB , через кото- рую проходит плоскостьABK , перпендикулярна плоскостиAKD , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18):AВ AD , как смежные стороны квадрата;AВ AK , так как
AK ABD.
2) По признаку перпендикулярности плоскостей, для искомого построениядостаточночерезнекоторуюточкупрямойBD провести
408 Перпендикулярность прямых и плоскостей
прямую, перпендикулярную плоскости ABC. А для этого достаточ- но через эту точку провести прямую, параллельную прямойAK.
Действительно, по условию, прямая AK перпендикулярна плос- костиABC и потому, согласно теореме о двух параллельных пря-
мых,однаизкоторыхперпендикулярнаплоскости(теорема1§19), |
|||||||||||||||||
построенная прямая будет перпендикулярна плоскости ABC. |
|||||||||||||||||
Построение. | Через точку | B проводим | |||||||||||||||
ВЕ, | параллельную | ||||||||||||||||
(рис. 423). Плоскость BDE - искомая. | |||||||||||||||||
3) Пусть F - середина отрезкаKC. Про- | |||||||||||||||||
ведем через точку | перпендику- | ||||||||||||||||
плоскости | Этой прямой бу- | ||||||||||||||||
дет прямая | FO , где | О - центр квадрата | |||||||||||||||
ABCD (рис. 424). Действительно,FO ||AK , | |||||||||||||||||
как средняя | линия треугольника | ||||||||||||||||
Поскольку | перпендикуляр- | ||||||||||||||||
на плоскости | прямая FO | бу- | |||||||||||||||
дет ей перпендикулярна, по теореме о | |||||||||||||||||
двух параллельных прямых, одна из кото- | |||||||||||||||||
рых перпендикулярна плоскости (теорема 1 | |||||||||||||||||
§ 19). Поэтому | FO DB. А поскольку AC DB,то DB AOF(или |
||||||||||||||||
KAC). Плоскость | BDF проходит через прямую, перпендикуляр- |
||||||||||||||||
ную плоскости KAC, то есть она является искомой. | |||||||||||||||||
4) В треугольнике | BDF отрезокFO | Высота, проведенная к |
|||||||||||||||
стороне BD (см. рис. 424). Имеем:BD = | 2 a , как диагональ квад- |
||||||||||||||||
рата; FO =1 | AK = | 1 a , по свойству средней линии треугольника. |
|||||||||||||||
Таким образом, S =2 BD FO = | 2 2 a | 2 a = | . ■ |
||||||||||||||
Ответ: 4) | a 2. | ||||||||||||||||
Исследование свойств отношения перпендикуляр- |
|||||||||||||||||
ности плоскостей и его применений начнем с прос- |
|||||||||||||||||
той, но очень полезной теоремы. | |||||||||||||||||
Теорема 2 (о перпендикуляре к линии пересечения перпенди- кулярных плоскостей).
Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, принадлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
Пусть перпендикулярные плоскости
α и β пересекаются по прямой с, а прямаяb в плоскости β перпендикулярна прямойс и пересекает ее в точкеВ (рис. 425). По опре-
делению перпендикулярности плоскостей, в плоскости β через точку В проходит прямая
b 1 ,перпендикулярная плоскости α. Понятно, что она перпендикулярна прямойс . Но че-
рез точку прямой в плоскости можно провес- ти лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому
прямые b иb 1 совпадают. А это означает, что прямая одной плоскос- ти, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. ■
Применим рассмотренную теорему к обоснованию еще одного признака перпендикулярности плоскостей, важного с точки зре- ния последующего изучения взаимного расположения двух плос- костей.
Пустьплоскостиαиβперпендикулярны, прямая с - линия их пересечения. Через произвольную точкуА прямойс проведем
в плоскостях α и β прямые а иb, перпен- дикулярные прямойс (рис. 426). По теоре-
ме 2, прямые а иb перпендикулярны соот- ветственно плоскостям β и α, поэтому они перпендикулярны между собой:а b . Пря-
мые а иb определяют некоторую плоскость γ. Линия пересеченияс плоскостей α и β
перпендикулярна плоскости γ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Если учесть произвольность выбора точкиА на прямойс и тот факт, что через точкуА прямойс проходит единственная плоскость, ей перпендикулярная, то можно сделать следующий вывод.
Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной линии пересече- ния перпендикулярных плоскостей).
Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, пересекает эти плоскости по перпендикулярным прямым.
Таким образом, установлено еще одно свойство перпендику- лярных плоскостей. Это свойство является характеристическим, то есть если оно справедливо для некоторых двух плоскостей, то плоскости перпендикулярны между собой. Имеем еще один при- знак перпендикулярности плоскостей.
Теорема 4 (второй признак перпендикулярности плоскос- тей).
Если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения, перпендикулярны, то данные плоскости тоже перпендикулярны.
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямойс , и плоскость γ, перпендикулярная прямойс , пересекает плоскости α и β соот-
ветственно по прямым а иb (рис. 427). По условию,а b . Поскольку γс , тоа с. А поэтому прямаяа перпендикулярна плос- кости β, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18). Отсю-
да вытекает, что плоскости α и β перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1).■
Заслуживают внимания и теоремы о связях перпендикуляр- ности двух плоскостей третьей плоскости с их взаимным распо- ложением.
Теорема 5 (о линии пересечения двух плоскостей, перпендику- лярных третьей плоскости).
Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости.
Пусть плоскости α и β, перпендикулярные плоскости γ, пере- секаются по прямойа (a || γ), иА - точка пересечения прямойа с
Перпендикулярность плоскостей | |
плоскостью γ (рис. 428). Точка А принадле- |
|
жит линиям пересечения плоскостей γ и α, γ |
|
и β, а, по условию, α γ и β γ. Поэтому, по |
|
определению перпендикулярности плоскос- |
|
тей, через точку А можно провести прямые, |
|
лежащие в плоскостях α | и β и перпендику- |
лярные плоскости γ. Поскольку через точку |
|
можно провести лишь одну прямую, пер- |
|
пендикулярную плоскости, то построенные |
|
прямые совпадают и совпадают с линией |
|
пересечения плоскостей α и β. Таким образом, прямая а - линия |
|
пересечения плоскостей α и β - перпендикулярна плоскости γ. ■ |
|
Рассмотрим теорему, описывающую связь между параллель- ностью и перпендикулярностью плоскостей. Соответствующий ре- зультат мы уже имели для прямых и плоскостей.
Теорема 6 (о параллельных плоскостях, перпендикулярных третьей плоскости).
Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна третьей, то и вторая плоскость перпендикулярна ей.
Пусть плоскости α и β парал- лельны, а плоскость γ перпендикуляр- на плоскости α. Поскольку плоскость γ
пересекает плоскость α, то она должна пересекать и параллельную ей плос- кость β. Возьмем в плоскости α про-
извольную прямую m , перпендику- лярную плоскости γ, и проведем через нее, а также через произвольную точ- ку плоскости β, плоскость δ (рис. 429).
Плоскости δ и β пересекаются по прямой п, а поскольку α║ β, тот ║ п (теорема 2 §18). Из теоремы 1 вытекает, чтоп γ, а потому перпендикулярной плоскости γ будет и плоскость β, проходящая через прямуюп. ■
Доказанная теорема дает еще один признак перпендикуляр- ности плоскостей.
Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную данной, можно с помощью признака перпендикулярности плоскос- тей (теорема 1). Достаточно через эту точку провести прямую, пер- пендикулярную данной плоскости (см. задачу 1 § 19). А затем через построеннуюпрямуюпровестиплоскость.Онабудетперпендикуляр- ной данной плоскости по указанному признаку. Понятно, что таких плоскостей можно провести бесконечное множество.
Более содержательной является задача о построении плоскос- ти, перпендикулярной данной, при условии, что она проходит че- рез данную прямую. Понятно, что если данная прямая перпенди- кулярна данной плоскости, то таких плоскостей можно построить бесконечное множество. Осталось рассмотреть случай, когда дан- ная прямая не перпендикулярна данной плоскости. Возможность такого построения обоснована на уровне физических моделей прямых и плоскостей в примере 1.
З а д а ч а 1 . Доказать, что через произвольную прямую, не пер- пендикулярную плоскости, можно провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости.
Пусть даны плоскость α и прямаяl , l B\ a. Возьмём на прямойl произвольную точкуМ и проведем через нее прямуют, перпен- дикулярную плоскости α (рис. 430, а). Поскольку, по условию,l не перпендикулярна α, то прямыеl ит пересекаются. Через эти прямые можно провести плоскость β (рис. 430, б), которая, соглас- но признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1), будет перпендикулярной плоскости α. ■
П р и м е р 3 . Через вершинуА правильной пирамидыSABC с основаниемABC провести прямую, перпендикулярную плоскости боковой граниSBC.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пер- пендикуляре к линии пересечения перпендикулярных плоскостей
(теорема 2). Пусть K - середина ребраBC (рис. 431). ПлоскостиAKS иBCS перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). Действительно,ВС SK иВС АK , как медианы, проведен- ные к основаниям в равнобедренных тре угольниках. Поэтому, по признаку перпенди- кулярности прямой и плоскости (теорема 1 §18), прямаяВС перпендикулярна плоскостиAKS. ПлоскостьBCS проходит через прямую, перпендикулярную плоскостиAKS.
Построение. Проведем в плоскостиAKS из точкиA прямуюAL , перпендикулярную прямойKS - линии пересечения плоскостейAKS иBCS (рис. 432). По теореме о перпен- дикуляре к линии пересечения перпендику- лярных плоскостей (теорема 2), прямаяAL перпендикулярна плоскостиBCS. ■
Контрольные вопросы | |||||
На рис. 433 изображен квадрат ABCD , |
|||||
прямая MD перпендикулярна плоскости |
|||||
ABCD. Какие из пар плоскостей не явля- |
|||||
ются перпендикулярными: |
|||||
MAD и MDC; | МВС и МАВ; |
||||
ABC и MDC; | MAD и МАВ ? |
||||
2. На рис. 434 изображена правиль - ная четырехугольная пирамида
SABCD, точки P, M, N -середи -
ны рёбер AB, BC, BS, O -центр основания ABCD.Какие из пар плос - костей перпендикулярны:
1) ACS и BDS;2) MOSи POS;
3) COS и MNP; 4) MNPи SOB;
5) CND и ABS?
Перпендикулярность прямых и плоскостей |
||
3. На рис. 435 | изображен прямоугольный |
|
треугольник | с прямым углом C и |
|
прямая BP , перпендикулярная плоскос- |
||
ти ABC . Какие из следующих пар плос- |
||
костей перпендикулярны: |
||
1) CBPи ABC; | 2) ABPи ABC; |
|
3) PACи PBC; 4) PACи PAB?
4. Две плоскости перпендикулярны. Можно ли через произвольную точку одной из них провести прямую в этой плоскости, второй плоскости?
5. В плоскости α нельзя провести прямую, плоскости β. Могут ли эти плоскости быть ми?
6. Через некоторую точку плоскости α проходит щая в этой плоскости и перпендикулярная плоскости ли, что плоскости α и β перпендикулярны?
Секция забора прикреплена к вертикальному столбу ли утверждать, что плоскость забора вертикальна?
Как к рейке, параллельной поверхности земли, прикрепить вертикально щит?
Почему поверхность дверей, независимо от того, закрыты они или открыты, располагается вертикально к полу?
Почему отвес плотно прилегает к вертикальной стене, а к на- клонной - не обязательно?
Можно ли к наклонному столбу прикрепить щит так, чтобы он был перпендикулярен поверхности земли?
Как на практике установить, перпендикулярна ли плоскость
стены плоскости пола? перпендикулярнуюперпендикулярнуюперпендикулярны - прямая, лежа - β. Верно 7. . Можно 8.9.10.11.12.
Графические упражнения
1. На рис. 436 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
1) Укажите плоскости, перпендикулярные плоскости ВDD 1 .
2) Как расположены плоскости и
A1 B1 CAB 1 C 1
Перпендикулярность плоскостей | |||||||
437 плоскости квадратов ABCD и |
|||||||
ABC1 D1 | перпендикулярны. Расстояние | СC1 | |||||
равно b . Найдите длину отрезка: | |||||||
АВ; | D1 C; | ||||||
D1 D; | C1 D. | дан- |
|||||
Постройте рисунок по приведенным |
|||||||
1) Плоскости равносторонних треугольников |
|||||||
АВС иАВK перпендикулярны. | |||||||
Плоскость АВС перпендикулярна плоскостямBDC иBEA. |
|||||||
Плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересе- |
|||||||
каются по прямой а, линиями их пересечения с плоскостью γ |
|||||||
являются прямые b ис. | |||||||
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос- |
|||||||
кости АВ 1 С 1 иВСА 1 перпендикулярны. | |||||||
421. ОтрезокOS проведен из центраО квадратаABCD перпен- дикулярно его плоскости.
1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и АВС.
2°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и BDS .
3) Постройте плоскость, проходящую через прямую OS пер- пендикулярно плоскостиABS.
4) Постройте плоскость, перпендикулярную плоскости АВС и проходящую через середины сторонAD иCD.
422. Из точки пересеченияO диагоналей ромбаABCD проведен перпендикулярный плоскости ромба отрезокOS ;AB = DB =
1°) Определите взаимное расположение плоскостей SDB и
ABC, SDBи ACS.
2°) Постройте плоскость, проходящую через прямую BC пер- пендикулярно плоскостиABD.
3) Проведите через середину F отрезкаCS плоскость, пер- пендикулярную плоскостиАВС.
4) Найдите площадь треугольника BDF.
423. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 .
1°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CDD1 .
2°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CD1 A1 .
3°) Постройте плоскость, проходящую через точку А перпен- дикулярно плоскостиBB 1 D 1 .
4) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через се- редины рёберА 1 D 1 иB 1 C 1 перпендикулярно плоскостиАВС. 5)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостиАА 1 В иплос- кости, проходящей через середины рёберА 1 В 1 , C 1 D 1 , CD.
6) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ВВ 1 и середину ребраA 1 D 1 (ВВ 1 = а ).
7) Постройте точку, симметричную точке А относительно плоскостиA 1 B 1 C.
424. В правильном тетраэдреАBCD с ребром 2 см точкаМ - се- рединаDВ , а точкаN - серединаАС.
1°) Докажите, что прямая DВ перпендикулярна плоскости
2°) Докажите, что плоскость ВDМ перпендикулярна плос- костиАМС.
3) Через точку О пересечения медиан треугольникаАDС проведите прямую, перпендикулярную плоскостиАМС.
4) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра. 5) В каком отношении плоскость АМС делит этот отрезок?
425. Два равносторонних треугольникаАВС иADC лежат в пер- пендикулярных плоскостях.
1°) Найдите длину отрезка BD, еслиAC = 1 см.
2) Докажите, что плоскость BKD (K лежит на прямойAC ) перпендикулярна плоскости каждого из треугольников тог- да и только тогда, когдаK является серединой стороныAC.
426. ПрямоугольникABCD, стороны которого 3 см и 4 см, пере- гнули по диагоналиAC так, что треугольникиABC иADC расположились в перпендикулярных плоскостях. Опреде- лите расстояние между точкамиB иD после того, как пере- гнули прямоугольникABCD.
427. Через данную точку проведите плоскость, перпендикуляр- ную каждой из двух данных плоскостей.
428°. Докажите, что плоскости смежных граней куба перпендику- лярны.
429. Плоскости α и β перпендикулярны между собой. Из точкиА плоскости α проведена перпендикулярная плоскости β пря- маяАВ. Докажите, что прямаяАВ лежит в плоскости α.
430. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.
431. Через точкиА иВ , лежащие на линии пересеченияр пер- пендикулярных между собой плоскостей α и β, проведены перпендикулярныер прямые:АА 1 в α, ВВ 1 в β. ТочкаX ле- жит на прямойАА 1 , а точкаY - наВB 1 . Докажите, что пря- маяВB 1 перпендикулярна прямойВХ , а прямаяАA 1 пер- пендикулярна прямойАY.
432*. Через середину каждой стороны треугольника проведена плоскость, перпендикулярная этой стороне. Докажите, что все три проведенные плоскости пересекаются по одной пря- мой, перпендикулярной плоскости треугольника.
Упражнения для повторения
433. В равностороннем треугольнике со стороной b определите: 1) высоту; 2) радиусы вписанной и описанной окружностей.
434. Из одной точки проведен к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3: 10.
435. Определите катеты прямоугольного треугольника, если бис - сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и
Основное определение
Две плоскости называ-
ются перпендикуляр ными, если каждая из них образована прямы - ми, перпендикулярны - ми второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Основные утверждения | ||||
Признак перпенди | Если одна | |||
кулярности | плоскостей | прохо- | ||
плоскостей | дит через | |||
перпендикулярную | ||||
второй плоскости, то | b α, b β α β |
|||
эти плоскости пер- |
||||
пендикулярны. | ||||
перпен- | две плоскости | ||||
дикуляре | перпендикулярны, то | ||||
пересеченияперпен | прямая, принадлежа- | ||||
дикулярных | плос- | щая одной плоскости | |||
и перпендикулярная | |||||
пересечения | |||||
этих плоскостей, пер- | α β, b β, c = α ∩β, |
||||
пендикулярна второй | b c b α |
||||
плоскости. | |||||
Понятие перпендикулярных плоскостей
При пересечении двух плоскостей у нас получается $4$ двугранных угла. Два угла равны $\varphi $, а два другие равны ${180}^0-\varphi $.
Определение 1
Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Определение 2
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен $90^\circ$ (рис. 1).
Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Теорема 1
Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам даны плоскости $\alpha $ и $\beta $, которые пересекаются по прямой $AC$. Пусть прямая $AB$, лежащая в плоскости $\alpha $ перпендикулярна плоскости $\beta $ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta $, то она перпендикулярна и прямой $AC$. Проведем дополнительно прямую $AD$ в плоскости $\beta $, перпендикулярно прямой $AC$.
Получаем, что угол $BAD$ - линейный угол двугранного угла, равный $90^\circ$. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен $90^\circ$, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует следующая теорема.
Теорема 2
Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.
Доказательство.
Пусть нам даны две плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$ (рис. 3)
Рисунок 3.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\alpha $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\alpha $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Так как прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta $ и плоскость $\gamma $ перпендикулярна прямой $c$, то, по теореме 1, плоскости $\beta $ и $\gamma $ перпендикулярны.
Теорема доказана.
Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).
Рисунок 4.
Решение.
По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ и $(BCC_1)$, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.
Пример 2
Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть нам даны перпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $, пересекающиеся по прямой $c$. Из точки $A$ плоскости $\beta $ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha $. Предположим, что $AC$ не лежит в плоскости $\beta $ (рис. 6).
Рисунок 5.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $ACB$. Следовательно, $\angle ABC\ne {90}^0$.
Но, с другой стороны, $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен $90^\circ$. Противоречие. Следовательно, $AC$ лежит в плоскости $\beta $.
