Множество предметов, которое мыслится в понятии, называется объемом понятия. Объем понятия «преступление» охватывает все преступления, поскольку они имеют общие существенные признаки.

Логика оперирует также понятиями «класс» («множество»), «подкласс» («подмножество») и «элемент класса».

Классом, или множеством , называется определенная совокупность предметов, имеющих некоторые общие признаки. Таковы, например, классы (множества) высших учебных заведений, студентов, юридических законов, преступлений и т.д. На основании изучения определенного класса предметов формируется понятие об этом классе. Так, на основе изучения класса (множества) юридических законов образуется понятие юридического закона.

Класс (множество) может включать в себя подкласс, или подмножество. Например, класс студентов включает в себя подкласс студентовюридических вузов, класс преступлений - подкласс экономических преступлений.

Отношение между классом (множеством) и подклассом (подмножеством) является отношением включения и выражается при помощи знака : А В . Это выражение читается: А является подклассом В . Так, если А - следователи, а В - юристы, то А будет подклассом классаВ .

Классы (множества) состоят из элементов. Элемент класса - это предмет, входящий в данный класс. Так, элементами множества высших учебных заведений будут Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Московская государственная юридическая академия и т.д.

Отношение элемента к классу выражается при помощи знака Є: А Є В (А является элементом класса В ).

Если, например, А - юрист Иванов, а В - юристы, то А будет элементом класса В .

Различают универсальный класс, единичный класс и нулевой, или пустой, класс.

Класс, состоящий из всех элементов исследуемой области, называется универсальным классом (например, класс планет Солнечной системы). Если класс состоит из одного элемента, то это будет единичный класс (например, планета Юпитер); наконец, класс, который не содержит ни одного элемента, называется нулевым (пустым) классом . Пустыми классами являются, например, вечный двигатель, круглый квадрат, русалка, леший и др. Число элементов пустого класса равно нулю.

Так, увеличивая содержание понятия «государство» путем прибавления нового признака - «современный», мы переходим к понятию «современное государство», имеющему меньший объем. Увеличивая объем понятия «учебник по теории государства и права», переходим к понятию «учебник», имеющему меньшее содержание, так как оно не включает в себя признаки, характеризующие учебник по теории государства и права.

Подобное же отношение между объемом и содержанием имеет место в понятиях «преступление» и «преступление против личности» (первое понятие шире по объему, но уже по содержанию), «генеральный прокурор» и «прокурор», где первое понятие уже по объему, но шире по содержанию.

Закон обратного отношения между объемом и содержанием понятия лежит в основе логических операций, которые будут рассмотрены в гл. III.

Понятия принято делить на следующие виды: 1) единичные и общие, 2) собирательные и несобирательные, 3) конкретные и абстрактные, 4) положительные и отрицательные, 5) безотносительные и соотносительные.

1.Понятия делятся на единичные и общие в зависимости от того, мыслится в них один элемент или множество элементов. Понятие, в котором мыслится один элемент, называется единичным (например, «Москва», «Л.Н. Толстой», «Российская Федерация»). Понятие, в котором мыслится множество элементов, называется общим (например, «столица», «писатель», «федерация»).

Общие понятия могут быть регистрирующими и нерегистрирующими. Регистрирующими называются понятия, в которых множество мыслимых в нем элементов поддается учету, регистрируется (во всяком случае в принципе). Например, «участник Великой Отечественной войны 1941-1945 гг.», «родственники потерпевшего Шилова», «планета Солнечной системы». Регистрирующие понятия имеют конечный объем.

Общее понятие, относящееся к неопределенному числу элементов, называется нерегистрирующим. Так, в понятиях «человек», «следователь», «указ» множество мыслимых в них элементов не поддается учету: в них мыслятся все люди, следователи, указы прошедшего, настоящего и будущего. Нерегистрирующие понятия имеют бесконечный объем.

2.Понятия делятся на собирательные и несобирательные. Понятия, в которых мыслятся признаки некоторой совокупности элементов, составляющих единое целое, называются собирательными. Например, «коллектив», «полк», «созвездие». Эти понятия отражают множество элементов (членов коллектива, солдат и командиров полка, звезд), однако это множество мыслится как единое целое. Содержание собирательного понятия нельзя отнести к каждому отдельному элементу, входящему в его объем, оно относится ко всей совокупности элементов. Например, существенные признаки коллектива (группа лиц, объединенных общей работой, общими интересами) неприложимы к каждому отдельному члену коллектива. Собирательные понятия могут быть общими («коллектив», «полк», «созвездие») и единичными («коллектив нашего института», «86-й стрелковый полк», «созвездие Большой Медведицы»).

Понятие, в котором мыслятся признаки, относящиеся к каждому его элементу, называется несобирательным. Таковы, например, понятия «звезда», «командир полка», «государство».

В процессе рассуждения общие понятия могут употребляться в разделительном и собирательном смысле.

Если высказывание относится к каждому элементу класса, то такое употребление понятия будет разделительным; если же высказывание относится ко всем элементам, взятым в единстве, и неприложимо к каждому элементу в отдельности, то такое употребление понятия называется собирательным. Например, высказывая мысль «Студенты 1-го курса изучают логику», мы употребляем понятие «студенты 1-го курса» в разделительном смысле, так как данное утверждение относится к каждому студенту 1-го курса. В высказывании «Студенты 1-го курса провели теоретическую конференцию» утверждение относится ко всем студентам 1-го курса в целом. Здесь понятие «студенты 1-го курса» употребляется в собирательном смысле. Слово «каждый» к данному суждению неприложимо.

3. Понятия делятся на конкретные и абстрактные в зависимости от того, что они отражают: предмет (класс предметов) или его признак (отношение между предметами).

Понятие, в котором мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее, называется конкретным; понятие, в котором мыслится признак предмета или отношение между предметами, называется абстрактным. Так, понятия «книга», «свидетель», «государство» являются конкретными; понятия «белизна», «смелость», «ответственность» - абстрактными.

Различие между конкретными и абстрактными понятиями основано на различии между предметом, который мыслится как целое, и свойством предмета, отвлеченным от последнего и отдельно от него не существующим. Абстрактные понятия образуются в результате отвлечения, абстрагирования определенного признака предмета; эти признаки мыслятся как самостоятельные объекты мысли. Так, понятия «смелость», «инвалидность», «невменяемость» отражают признаки, не существующие сами по себе, в отрыве от лиц, обладающих этими признаками. Понятия «дружба», «посредничество», «психологическая несовместимость» отражают определенные отношения. Это абстрактные понятия.

Не следует смешивать конкретные понятия с единичными, а абстрактные с общими. Общие понятия могут быть и конкретными, и абстрактными (например, понятие «посредник» - общее, конкретное; понятие «посредничество» - общее, абстрактное). Как конкретным, так и абстрактным может быть единичное понятие (например, понятие «Организация Объединенных Наций» - единичное, конкретное; понятие «мужество капитана Гастелло» - единичное, абстрактное).

4.Понятия делятся на положительные и отрицательные в зависимости от того, составляют ли их содержание свойства, присущие предмету, или свойства, отсутствующие у него.

В русском языке отрицательные понятия выражаются обычно словами с отрицательными приставками «не» и «без»: «неуловимый», «невиновный», «бездействие»; в словах иностранного происхождения - чаще всего словами с отрицательной приставкой «а»: «аморальный», «анонимный», «асимметрия» и т.д. Однако на отсутствие некоторых свойств предмета могут указывать слова без отрицательной приставки. Например: «темнота» (отсутствие света), «трезвый» (непьяный), «молчаливый» (неразговорчивый). С другой стороны, понятия «безделушка» (вещица для украшения), «невинный» (чистосердечный, простодушный), «негодование» (возмущение, крайнее недовольство) относятся к положительным; они не содержат отрицания каких-либо свойств, хотя выражающие их слова могут быть ошибочно восприняты как слова с отрицательными приставками.

5.Понятия делятся на безотносительные и соотносительные в зависимости от того, мыслятся ли в них предметы, существующие раздельно или в отношении с другими предметами.

Понятия, отражающие предметы, существующие раздельно и мыслящиеся вне их отношения к другим предметам, называются безотносительными. Таковы понятия «студент», «государство», «место преступления» и др. Соотносительные понятия содержат

признаки, указывающие на отношение одного понятия к другому понятию. Например: «родители» (по отношению к понятию «дети») или «дети» (по отношению к понятию «родители»), «начальник» («подчиненный»), «получение взятки» («дача взятки»). Соотносительными являются также понятия «часть», «причина», «брат», «сосед» и др. В этих понятиях отражены предметы, существование одного из которых не мыслится вне его отношения к другому.

Определить, к какому виду относится то или иное понятие, - значит дать ему логическую характеристику. Так, давая логическую характеристику понятию «Российская Федерация», нужно указать, что это понятие единичное, собирательное, конкретное, положительное, безотносительное. При характеристике понятия «невменяемость» должно быть указано, что оно является общим (нерегистрирующим), несобирательным, абстрактным, отрицательным, безотносительным.

Логическая характеристика понятий помогает уточнить их содержание и объем, вырабатывает навыки более точного употребления понятий в процессе рассуждения.

Виды понятий представлены схемой (рис. 1).

Что такое содержание и объем понятия?

Первая и наиболее простая форма мышления -- это понятие. В качестве составной части оно входит в другие, более сложные формы мышления -- суждение и умозаключение. Понятием называется форма мышления, которая обозначает собой какой-либо объект или его свойство. В окружающем нас мире существует бесконечное множество различных объектов и свойств, а в нашем сознании они отражаются в виде понятий. Так, например, мы называем один предмет «горой», другой -- «небесным телом», третий -- «растением»; одно свойство или признак мы называем «мужеством», другое -- «хитростью» и т.д. и т.п. Поэтому можно сказать, что понятия -- это мысленные названия объектов или, говоря условно, «имена вещей».

Любое понятие выражается в слове или словосочетании, например: «дом», «осенний лист», «первый президент Америки» и т.п. Каждое понятие имеет содержание и объем. Содержание понятия -- это наиболее важный признак (или признаки) того объекта, который обозначен (выражен) этим понятием. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков предмета, которая мыслится в данном понятии. Например, содержанием понятия «преступление» является совокупность существенных признаков преступления: общественно опасный характер деяния, противоправность, виновность, наказуемость. Еще пример: чтобы установить содержание понятия «человек», надо указать такой признак, который является наиболее важным, главным, основным для человека, признак, который отличает его от всех других существ, объектов, предметов и вещей. Таким признаком является наличие у человека разума. Следовательно, в содержание понятия «человек» входит только один важный признак -- наличие разума. А в содержание понятия «мужчина» входит уже два важных признака:

• 1) наличие разума (этот признак мы автоматически повторяем, потому что любой мужчина -- это человек);
• 2) принадлежность к определенному полу или -- к одному из полов (к одной из половин человечества, слово «пол» происходит как раз от слова «половина»).

А если нужно установить содержание понятия «русский мужчина», то следует указать три важных признака:

• 1) наличие разума;
• 2) принадлежность к определенному полу;
• 3) принадлежность к определенной национальности.

Таким образом, содержание понятия может включать в себя как один признак какого-либо объекта (или объектов), так и два, и множество признаков, причем их количество, как мы увидели, зависит от того объекта, который выражается или обозначается данным понятием. Но почему в одном случае содержание понятия состоит из единственного признака, а в другом -- из множества признаков? На этот вопрос ответить несложно, если знать, что такое объем понятия.

Объем понятия -- это количество объектов, охватываемых этим понятием. Объём понятия «преступление» охватывает все преступления (должностные, воинские, хозяйственные), поскольку они имеют общие существенные признаки. Объем понятия «человек» гораздо шире, чем объем понятия «мужчина», потому что людей существует больше, чем мужчин. А объем понятия «русский мужчина» гораздо меньше, чем объем понятия «мужчина», потому что русских мужчин на свете намного меньше, чем вообще всех мужчин. И, наконец, объем понятия «первый президент России» равен единице, потому что включает в себя только одного человека. Точно так же объем понятия «город» является очень широким в силу того, что это понятие охватывает собой все множество городов, какие только существуют на свете, а объем понятия «столица» меньше объема понятия «город», так как это понятие охватывает собой только столицы (которых намного меньше, чем городов). Объем же понятия «столица России» равен единице, потому что включает в себя один единственный город.

Вернемся к содержанию и объему понятия и вспомним приведенные выше примеры. Какое понятие -- «человек» или «мужчина» -- больше или шире (будьте внимательны!) по содержанию? Конечно же, понятие «мужчина», потому что его содержание включает в себя два признака (наличие разума и принадлежность к определенному полу), а в содержание понятия «человек» входит только один признак (наличие разума). А теперь ответим на вопрос: какое понятие -- «человек» или «мужчина» -- больше или шире по объему? Конечно же, понятие «человек», потому что оно охватывает собой гораздо больше объектов, чем понятие «мужчина». Таким образом, между объемом и содержанием понятия существует обратное отношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем, и наоборот.

Таким образом, различие между объёмом понятия и содержанием понятия сводится к следующему: объём понятия означает ту совокупность предметов, к которым должно прилагаться данное понятие, а содержание обозначает те признаки, которые приписываются тому или другому понятию.

Для более ясного представления объёма понятий и отношения объёмов принято изображать отношения между понятиями с помощью круговых схем Эйлера (известный математик XVIII в.): одно понятие, а вернее его объем, изображается одним кругом, а второе, т.е. его объем -- другим. Взаимное расположение этих кругов на схеме (они могут полностью совпадать или пересекаться, или не соприкасаться, или один круг располагается внутри другого) и показывает то или иное отношение между понятиями.

Например, отношение равнозначности между понятиями «квадрат» и «равносторонний прямоугольник» изображается схемой, на которой два круга, обозначающие два равных объема, полностью совпадают (см. рис.1).

рис. 1

Понятия находятся в отношении пересечения тогда, когда их объемы совпадают только частично. Например, пересекающимися будут понятия «школьник» и «спортсмен»: есть такие школьники, которые являются спортсменами, и есть такие спортсмены, которые являются школьниками; но в то же время (см. рис. 2)

В отношении подчинения находятся понятия «карась» и «рыба», т.к. все караси -- это обязательно рыбы, но рыбами являются не только караси, есть и другие виды рыб. Таким образом, объем понятия «карась» является меньшим по отношению к объему понятия «рыба» и полностью в него включается (подчиняется ему). В отношении подчинения понятия с меньшим объемом называются видовыми, а с большим -- родовыми. На схеме Эйлера отношение подчинения изображается двумя кругами, один из которых располагается внутри другого (см. рис.3)

рис. 3

Понятия «сосна» и «береза» являются соподчиненными: ни одна сосна не может быть березой, и наоборот, но и множество всех сосен, и множество всех берез включается в более широкий объем понятия «дерево» (см. рис. 4).

Понятия находятся в отношении противоположности в том случае, если они обозначают какие-то взаимоисключающие признаки, крайние состояния чего-либо, между которыми, однако, всегда есть некий средний, переходный вариант. Например, противоположными являются понятия «высокий человек» и «низкий человек» (третьим или переходным вариантом между ними будет понятие «человек среднего роста»). На схеме Эйлера отношение противоположности изображается двумя несоприкасающимся кругами, которые находятся как бы на разных «полюсах» (см. рис. 5).

рис. 5

Понятия находятся в отношении противоречия, если одно из них представляет собой отрицание другого, причем в отличие от противоположных понятий, между противоречащими понятиями никак не может быть третьего или среднего варианта. В том случае, когда одно понятие является отрицанием другого, третий вариант автоматически исключается: и «низкий человек», и «человек среднего роста» -- это «невысокий человек». На схеме Эйлера отношение противоречия изображается одним кругом, поделенным на две части, которые обозначают противоречащие понятия (см. рис.6).

Глава III

Признаки понятий. Понятия в психологии получаются из сравнений сходных представлений. Представления в свою оче­редь складываются из отдельных элементов. Составные элемен­ты представления или понятия принято называтьпризнаками. Признаки есть то, чем одно представление или понятие отли­чается от другого. Например, признаками золота мы считаем «металл», «драгоценный», «имеющий определённый удельный вес» и т. п. Это всё то, чем золото отличается от других вещей, от не-металлов, от недрагоценных металлов и т. п.

Не все признаки нужно считать равноценными. Каждое по­нятие имеет множество различных признаков, но при мышле­нии о нём мы прежде всего по преимуществу мыс­лим только известные признаки. Эти признаки явля­ются как бы основными, около которых группируются другие признаки. Первые признаки называются сущственными, илиосновными, а остальные -второстепенными. Основные приз­наки - это такие признаки, без которых мы не можем мыслить известного понятия и которые излагают природу предмета. На­пример, для ромба существенным является тот признак, что он есть четырёхугольник с параллельными и равными сторонами и т. п.; несущественным для понятия ромба является тот при­знак, что он имеет ту или другую величину сторон, ту или другую величину углов.

Признаки понятийсо времени Аристотеля принято делить на следующие 5 классов:

1. Родовой признак. Если мы скажем, что химия есть наука,то наука будет родовым признаком для понятия «химия»; в числе других признаков, присущих понятию «химия»,есть и признак «наука»; этот признак отличает химиюот всего, что не есть наука.Род (genus )или родовой признак есть понятие класса, в который мы вводим другое рассматриваемое нами понятие.

2. Видовое различие. Если мы скажем,что химия есть наука, занимающаяся изучением строения вещества,то прибавление признака - «занимающаяся изучением строения вещества» будет служить для обозначения того, чем эта наука отличается от дру­гих наук.Такой признак, который служит для того, чтобы выде­лять понятие из ряда ему подобных понятий, называется видо­вым различием (differentiaspecifica ). Возьмём понятия «моряк русский», «моряк французский», «моряк английский». В этом случае «русский», «французский», «английский» есть видовое различие; оно служит длятого, чтобы выделить моряка одной нацииот моряков всех прочих наций.

3. Вид (species ). Если к родовому признаку присоединить видо­вое различие, то получится вид. Например, «здание для склада оружия» == арсенал; «здание для склада хлеба» = амбар. В этом случае «здание» есть род, «для хранения оружия» есть видовое различие; присоединение к роду видового различия даёт вид «арсе­нал». Присоединение к понятию «здание» видового признака «служащее для хранения хлеба» даёт вид «амбар». Вид может быть Признаком, потому что его можно приписать понято. На­пример, «эта наука есть химия».

4. Собственный признак (proprium ).Собственный признак - это такой признак, который присущ всем вещам данного класса,кото­рый не содержится в числе существенных признаков, но кото­рый может быть выведен из них. Например, существенным призна­ком человека является его «разумность». Из этого свойства выте­кает его способность владеть речью. Этот последний признак есть собственный признак. Основной признак треугольника - это прямолинейная плоская фигура с тремя сторонами. Что же ка­сается того признака треугольника, что сумма углов его рав­няется двум прямым, то это есть его собственный признак, потому что вытекает или выводится из основных при­знаков.» Мы этого признака не мыслим, когда думаем о треуголь­нике, поэтому он является выводным.

5. Несобственный признак (accidens ).Несобственный при­гнан - это такой признак, который не может быть выведен из существенного признака, хотя и может быть присущ всем вещам данного класса. Например, чёрный цвет ворона есть accidens . Если бы чёрный цвет ворона был выводим из основных свойств то, то он мог бы быть назван proprium , но он не выводим, так как бы не знаем, по какой причине вороны имеют чёрный цвет юрьев. Он есть, следовательно, accidens.

Несобственные признаки делятся на две группы: на неотделимые несобственные признаки (accidensinsepara ­ ble ) и отделимые несобственные признаки (accidensseparabile ). Последние суть те признаки, которые присущи только некоторым вещам того или другого класса, но не всем, а первые присущи всем вещам данного класса. Например, чёрный цвет ворона есть accidensinseparabile . Чёрный цвет волос для человека есть accidens separabile , потому что есть люди, которые не имеют чёрного цвета волос. По отношению к отдель­ным индивидуумам несобственный признак также может быть отделимым и неотделимым. Отделимые - это такие признаки, которые одно время имеются налицо, а в другое время не име­ются. Например, Бальфур-первый министр Англии. Через не­которое время он может не быть первым министром. Это есть признак отделимый. «Лев Толстой родился в Ясной Поляне». В этом предложении признак «родился в Ясной Поляне» есть неотделимый признак.

Содержание понятия-это то, что мыслится в понятии. Например, в понятии «сахар» мыслятся признаки: сладкий, белый, шероховатый, имеющий тяжесть и т. д.; эти признаки в совокупности и составляют содержание понятия «сахар». Содержа­ние понятия, другими словами, есть сумма призна­ков его; поэтому каждое понятие можно разложить на ряд присущих ему признаков. Содержание понятия может быть весьма изменчивым в зависимости от принятой точки зрения, от размера знания и т. п. Например, в понятии «сахар» химик мыслит одно содержание, а нехимик- другое.

Объём понятия есть то, что мыслится посредством понятия, т. е. объём понятия есть сумма тех классов, групп, родов, видов и т.п., к которым данное понятие может быть приложено. Например, объём понятия «животное»: птица, рыба, насекомое, человек и т. д.; объем поня­тия «элемент»: кислород, водород, углерод, азот и т. д.; объём по­нятия «четырёхугольник»: квадрат, прямоугольник, ромб, тра­пеция;

Таким образом, различие между объёмом понятия и содержанием понятия сводится к следующему:объём понятия означает тусовокупность предметов, к которым должно прилагаться данное понятие, а содержание обозначает те признаки, которые приписываются тому или другомупонятию.

Для более ясного представления объёма понятий и отношения объёмов существует особый приём, называемый «логической сим­воликой».

На рис. 1 большой круг символизирует собой понятие «элемент», а меньшие круги, в нём находящиеся, символизируют понятия, входящие в его объём. Если мы изображаем какой-нибудь круг внутри другого круга, то мы этим символизируем, что объём одного понятия входит в объём другого. Из рис. 2 видно, что по­нятие «дерево» содержит в своём объёме понятия «дуб», «ель» и т. п. Отдельные точки в круге «ель» символизируют индивидуаль­ные, или единичные, ели.

Понятие с большим объёмом называется родом по отношению к тому понятию с меньшим объёмом, которое входит в его объём. Понятие с меньшим объёмом в этом" случае называется видом. Понятия с большим объёмом можно назвать также понятиями более широкими или более общими.

Любой вид может сделаться родом. Например, понятие «пальма» относится к понятию «дерево», как вид к роду, но в свою очередь оно относится уже как род к своим видам - «паль­ма кокосовая», «пальма фиговая» и т. д. Вообще более общее понятие есть род для менее об­щего понятия; более общее по­нятие представляет собой родо­вое понятие для менее общего, менее общее само становится родом для ещё менее общего и т. д., пока мы не придём к та­кому понятию, которое уже не может в своём объёме содер­жать какие-либо другие виды, а может подразделяться только на отдельные индивидуумы.

Рис. 3.

Рис. 3 а.

Следует упомянуть о попыт­ке греческого философаПорфирия (233-304) при помощи схемы облегчить понимание от--ношения между охватывающи­ми друг друга понятиями, т. е. понятиями, из которых одно входит в объём другого. Эта схема называется «деревом Порфирия». В понятие «бытия» (т. е. того, что вообще суще­ствует) входит понятие «телес­ного бытия» и «бестелесного бытия». Тело содержит в своём объёме одушевлённое тело, или организм, и неодушевлённое тело. Понятие «организм» со­держит в своём объёме чув­ствующие и нечувствующие организмы (растения). Чувствующие организмы содержат в своём объёме разумные и неразум­ные существа и т. д. (рис. 3).

Бытие есть высший род, который уже не может быть видом для другого рода. Такой род называется summumgenus ; чело­век - это низший вид. В его объём уже не входят понятия с мень­шим объёмом, а входят только отдельные индивидуумы. Такое понятие называется infimaspecies (самый низший вид). Ближай­ший высший класс (или род) того или другого вида называется proximumgenus (ближайший род). Отношение между более широ­кими и узкими понятиями можно изобразить и иначе, именно, поместив круги, служащие для обозначения понятий с меньшим объёмом, внутри кругов, служащих для обозначения понятий с большим объёмом (рис. За).

Ограничение и обобщение. Процесс образования менее общих понятий из более общих называетсяограничением (determlnatio ). Для образования менее общего понятия мы должны к более об­щему прибавить несколько признаков, благодаря чему по­нятие уясняется (determinatur ). Например, чтобы из понятия «дерево» получить менее общее понятие «пальма», надо к при­знакам дерева прибавить специальные признаки пальмы: вид её листьев, прямизну ствола и т. д. Обратный процесс образования более общего понятия из менее общего, при котором, наоборот, некоторое количество признаков от данного понятия отни­мается, называетсяобобщением (generalisatio ).

Род образуется из видов при помощи процесса обобщения, и, наоборот, виды образуются из родов при помощи процесса ограничения. Эти процессы мы можем изобразить при помощи следующей схемы:

Предположим, что у нас есть понятиеА (наука). Из него при помощи видового различияа мы можем образовать видАа (ма­тематика); прибавив к понятиюАа видовое различие B (опреде­ление пространственных отношений), получим геометриюАаЬ. Прибавив к этому виду признак с (определение пространствен­ных отношений на плоскости), получим планиметриюАаЬс.

Обратный процесс - получение более общих понятий путём отбрасывания отдельных признаков - будет называться обобщением. И тот и другой процесс можно изобразить при помощи следующей схемы, в которой стрелки показывают или нисхождение от более общих понятий к менее общим или, наобо­рот, восхождение от менее общих к более общим понятиям.

Отношение между объёмом и содержанием понятия. Для того чтобы ответить на вопрос, какое существует отношение между объёмом и содержанием понятия, возьмём какой-нибудь пример. Объём понятия «человек» обширнее, чем, например, объём понятия «негр». Употребляя понятие «человек», мы думаем обо всех людях, мы думаем о людях, живущих во всех пяти частях света, между прочим и в Африке. Употребляя понятие «негр», мы думаем только о тех людях, которые живут в Африке. Но о содержании этих двух понятий следует сказать как раз наобо­рот: содержание понятия «негр» будет обширнее содержания по­нятия «человек». Когда мы говорим о негре, то мы можем найти в нём все признаки понятия «человек» плюс ещё некоторые осо­бенные признаки, как-то: чёрный цвет кожи, курчавые волосы, приплюснутый нос, толстые губы и т. п.

Итак, по мере увеличения содержания понятия уменьшается его объём, и наоборот.

Вопросы для повторения

Что такое признаки понятий? Какие признаки понятий мы отли­чаем? Что такое родовой признак? Что такое видовое различие? Что такое вид? Что такое собственный признак? Что такое несобственный признак? Что такое содержание понятия? Что такое объём понятия?. Что такое summumgenus ? Что такое infimaspecies ? Что такое обоб­щение? Что такое ограничение? Какое существует отношение между объемом и содержанием понятия?

Любое понятие имеет содержание и объем.

Объем понятия составляет совокупность или множество предметов, которое мыслится в понятии.

Любое понятие может быть полно охарактеризовано при помощи определения его содержания (иными словами – смысла) и установления предметов, с которыми данное понятие имеет определенные связи.

Независимо от сознания человека в окружающем мире существуют различные предметы. Эти предметы характеризуются множеством. Множество может быть конечным или бесконечным. Если количество предметов, входящих в множество, поддается исчислению, множество считается конечным. Если такие предметы не поддаются исчислению, множество называют бесконечным. Необходимо упомянуть об отношениях включения, принадлежности и тождества.

Отношение включения – это отношение вида и рода. Множество А является частью или подмножеством множества В, если каждый элемент А есть элемент В. Отражается в виде формулы А є В (множество А входит в множество В). В отношении принадлежности класса принадлежит классу А и записывается как а є А. Отношение тождества подразумевает, что множества А и В совпадают. Это закрепляется как А є В.

Интенсиональность понятий. Чаще всего в процессе толкования термина «содержание понятия» его определяют в качестве понятия как такового. В этом случае подразумевается, что содержание понятия есть система признаков, при посредстве которых предметы, содержащиеся в понятии, обобщаются и выделяются из массы других.

Из сказанного выше видно, что содержанием понятия является некая информация, содержащая сведения о предметах, явлениях, процессах, входящих в данное понятие.

Например, слова «книга» – «книжонка»; «бабка» – «бабушка» – «бабуля» вполне иллюстрируют коннотацию.

Экстенсиональность понятий. Любое понятие отражает какой-либо предмет, содержит признаки, характеризующие и отделяющие его от других предметов. Этот предмет всегда связан с другими предметами, которые не входят в содержание данного понятия, однако имеют признаки, частично повторяющие признаки предмета, отраженного в понятии. Эти предметы составляют особую группу. Такую группу можно определить как совокупность объектов, характеризующихся наличием общих признаков, закрепленных хотя бы одним понятием.

• 
  Содержание и объем понятий . Любое понятие имеет содержание и объем . Содержанием понятия является совокупность характеризующих его предмет существенных признаков, подразумевающихся в данном понятии .


• 
  Содержание и объем понятия . Содержание понятии Объем пон.- это совок.


• 
  Содержание и объем понятия . Содержание пон.- совокупность существенных признаков предмета, кот. мыслится в данном понятии Объем . Виды понятий .


• 
  Любое понятие имеет содержание и объем . Содержанием понятия является совокупность. Логические приемы образования понятий . Для человека, занимающегося научными изысканиями, постоянно необходимо получать новую информацию.


• 
  Так, особенности действия содержания и объема понятия друг на друга отражены в законе обратного отношения содержания и объема понятий . Этот закон основан на логической природе понятий .


• 
  Содержание и объем понятия .
  Понятие . Это форма мыш. Отражающая предметы в их существенных признаках Признак-это, то в чем преметы сходны или чем они различаются.


• 
  Содержание и объем понятий . Любое понятие имеет содержание и объем . Содержанием понятия является совокупность характеризующих ег... подробнее ».

2. Объем и содержание понятия. Определение понятия.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.

Существенное свойство - свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство - свойство, отсутствие которого не влияет на суще­ствование объекта.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.

Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляет объем понятия.

Итак, любое понятие характеризуется:

Термином (название);

Объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем "больше" объем понятия, тем "меньше" его содержание, и наоборот. Объем понятия "треугольник" "больше", чем объем понятия "прямоугольный треугольник", так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия "треугольник" "меньше", чем содержание понятия "прямоугольный треугольник", так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого тре­угольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая, раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия "прямоугольный треугольник" позволяет отличить его от других треугольников.

Различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое - определяющим.

Например: "Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны". Здесь определяемое понятие - "квадрат", а определяющее - " прямоугольник, у которого все стороны равны".

Самый распространенный вид явных определений - это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение квадрата относится к таким определениям. Действительно, понятие "прямоугольник", содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию "квадрат", а свойство "иметь все равные стороны" позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов - квадраты.

Основные правила явного определения.

1) Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

Если это правило нарушается, в определении возникают логические ошибки.

Например, несоразмерно следующее определение: "Параллельные прямые - прямые, не имеющие общих точек или совпадающие", так как в объем определяющей входят и скрещивающиеся прямые.

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Круг возникает либо тогда, когда определяемое понятие характе­ризуется через него же, используются лишь иные слова, либо когда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое.

Неявные определения не имеют формы равенства двух понятий. Часто в таких определениях вместо определяющего содержится контекст (отрывок текста). Определения такого вида называют контекстуальными. К неявным относятся еще остенсивные определения, когда называют и показывают тот объект, термин для которого вводят.

3. Умозаключения и их виды.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося Оно представляет собой переход от нескольких высказываний А, А 2 , А п (п > 1) к новому высказыванию В.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3+ 2 < 3 2 (А!)

4+ 3 < 4 3 (А 2)

7 + 5 < 7 5 (Аз).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у то х меньше у (А). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А 2). Следовательно 7 < 8 (В).

В умозаключении различают посылки - высказывания представляющие исходное знанием и заключение - высказыванием к которому приходят в результате умозаключения.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключением но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь различают правильные (дедуктивные) и неправильные (недедуктивные) умозаключения.

Дедуктивным умозаключением называется умозаключением в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.

Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать их помогают правила логики:

Ошибки в рассуждениях неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и Формулы приводят к ложному заключению. Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать помогает усваивать многие математические факты.

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Приором таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция - это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают опреде­ленным свойством делается вывод что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.

Рассмотрим пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5 делится на 5. В данном случае заключение истинно - нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать. Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать обобщать делать выводы.

Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки способствует развитию математической интуиции.

4. Понятия множества. Способы задания множеств.

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА

В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: цифры: 0,1,2,3,4.5,6,7,8,9. натуральные числа: 1, 2, 3, 4,... треугольники и т.д.

Все эти различные совокупности называют множествами . Множество - одно из основ- ных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце 19 века как обобщение понятий: класс группа, набор и т.п.

В быту множеством называют большое количество элементов. В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объектами не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А.В.С Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 Например, пустым является множество решений уравнения 5: х = 0.

Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,

R - множество действительных чисел.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с,..., .

Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество букв русского алфавита - конечное, а множество точек на прямой - бесконечное множество.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Так как понятие множества не имеет явного определения необходимо научиться узнавать является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит.

Способы задания множеств:

- перечисляют все его элементы : А = { 3,4,5,6,7 },

(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).

Указывают характеристическое свойство элементов:

В - множество двузначных чисел,

К - множество цветов спектра,

(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).

Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.