Как двигается тело под действием притяжения земли. Земное притяжение. Гравитационное поле Земли. Основные и вспомогательные понятия динамики

Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.

В 1862 году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке 1 . 10 . 1 . Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.

Рисунок 1 . 10 . 1 . Гравитационные силы притяжения между телами. F 1 → = - F 2 → .

Определение 1

При известных направлениях движений планет Ньютон пытался выяснить, какие силы действуют на них. Этот процесс получил название обратной задачи механики .

Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.

Определение 2

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Значение G определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле G = 6 , 67 · 10 - 11 Н · м 2 / к г 2 (С И) .

Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.

Определение 3

Проявлении силы тяготения характеризуется наличием силы тяжести . Так называется сила притяжения тел к Земле и вблизи ее поверхности.

Когда М обозначается как масса Земли, R З – радиус, m – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:

F = G M R З 2 m = m g .

Где g – ускорение свободного падения, равняющееся g = G M R З 2 .

Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется 9 , 81 м / с 2 . При известном G и радиусе R 3 = 6 , 38 · 10 6 м производятся вычисления массы Земли М по формуле:

M = g R 3 2 G = 5 , 98 · 10 24 к г.

Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния r к центру. Рисунок 1 . 10 . 2 показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что F притягивания его к Земле равняется 700 Н.

Рисунок 1 . 10 . 2 . Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Пример 1

Земля-Луна подходит в качестве примера взаимодействия системы двух тел.

Расстояние до Луны – r Л = 3 , 84 · 10 6 м. Оно в 60 раз больше радиуса Земли R З. Значит, при наличии земного притяжения, ускорение свободного падения α Л орбиты Луны составит α Л = g R З r Л 2 = 9 , 81 м / с 2 60 2 = 0 , 0027 м / с 2 .

Оно направлено к центру Земли и получило название центростремительного. Расчет производится по формуле a Л = υ 2 r Л = 4 π 2 r Л T 2 = 0 , 0027 м / с 2 , где Т = 27 , 3 суток – период обращения Луны вокруг Земли. Результаты и расчеты, выполненные разными способами, говорят о том, что Ньютон был прав в своем предположении единой природы силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Луна имеет собственное гравитационное поле, которое определяет ускорение свободного падения g Л на поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус в 3 , 7 раза. Отсюда видно, что ускорение g Л следует определять из выражения:

g Л = G M Л R Л 2 = G M З 3 , 7 2 T 3 2 = 0 , 17 g = 1 , 66 м / с 2 .

Такая слабая гравитация характерна для космонавтов, находящихся на Луне. Поэтому можно совершать огромные прыжки и шаги. Прыжок вверх на метр на Земле соответствует семиметровому на Луне.

Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли. Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости. Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу R З. Они летают на высотах 200 - 300 к м.

Определение 4

Отсюда следует, что центростремительное ускорение спутника, которое сообщается силами тяготения, равняется ускорению свободного падения g . Скорость спутника примет обозначение υ 1 . Ее называют первой космической скоростью .

Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем

a n = υ 1 2 R З = g , υ 1 = g R З = 7 , 91 · 10 3 м / с.

При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 м и н 12 с.

Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.

Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:

υ 2 к = g R 3 2 r 2 , υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r .

Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR з υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. Т возрастает с размерами радиуса орбиты. Если r имеет значение 6 , 6 R 3 то Т спутника равняется 24 часам. При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи. Орбиту, имеющую радиус r = 6 , 6 R З, называют геостационарной.

Рисунок 1 . 10 . 3 . Модель движения спутников.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

Задание	Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.
Решение	Ускорение свободного падения у поверхности Земли: откуда масса Земли: В системе Си радиус Земли м. Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:
Ответ	Масса Земли кг.

ПРИМЕР 2

Задание

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Решение

По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется: Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна: где и массы спутника и Земли соответственно. Так как спутник находится на некоторой высоте над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли: где радиус Земли.

(термины гравитация и тяготение равнозначны).

Ускорение, к-рое испытывает тело m 2 , находящееся на расстоянии r от данного тела m 1 , равно:
.
Эта величина не зависит от природы (состава) и массы тела, получающего ускорение. В этом соотношении выражается экспериментальный факт, известный еще Галилаю, согласно к-рому все тела падают в гравитац. поле Земли с одинаковым ускорением.

Ньютон установил, что ускорение и сила обратно пропорциональны , сопоставив ускорение тел, падающих вблизи поверхности Земли, с ускорением, с к-рым движется Луна по своей орбите. (Радиус Земли приблизительное расстояние до Луны были к тому времени известны.) Далее было показано, что из закона всемирного тяготения следуют законы Кеплера, к-рые были найдены И. Кеплером путем обработки многочисленных наблюдений за движениями планет. Так возникла небесная механика. Блестящим подтверждением ньютоновской теории Т. было предсказание существования планеты за Ураном (англ. астроном Дж. Адамс, франц. астроном У. Леверье, 1843-45 гг.) и открытие этой планеты, к-рую назвали Нептун (нем. астроном И. Галле, 1846 г.).

В ф-лы, описывающие движение планет, входит произведение G и массы Солнца , оно известно с большой точностью. Для определения же константы G требуются лабораторные опыты по измерению силы гравитац. взаимодействия двух тел с известной массой. Первый такой опыт был поставлен англ. ученым Г. Кавендишем (1798 г.). Зная G , удается определить абс. значение массы Солнца, Земли и др.небесных тел.

Закон тяготения в форме (1) непосредственно применим к точечным телам. Можно показать, что он справедлив и дял протяженных тел со сферически-симметричным распределением массы, причем r есть расстояние между центрами симмтерии тел. Для сферич. тел, расположенных достаточно далеко друг от друга, закон (1) справедлив приближенно.

В ходе развития теории Т. представление о непосредственном силовом взаимодействии тел постепенно уступило место представлению о поле. Гравитац. поле в теории Ньютона характеризуется потенциалом , где x,y,z - координаты, t - время, а также напряженностью поля , т.е.
.
Потенциал гравитац. поля, создаваемого совокупностью покоящихся масс, не зависит от времени. Гравитац. потенциалы неск. тел удовлетворяют принципы суперпозиции, т.е. потенциал к.-л. точке их общего поля равен сумме потенциалов рассматриваемых тел.

Предполагается, что гравитац. поле описывается в инерциальной системе координат, т.е. в системе координат, относительно к-рой тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют никакие силы. В гравитац. поле сила, действующая на частицу вещества, равна произведению ее массы на напряженность поля в месте нахождения частицы: F =mg . Ускорение частицы относительно инерциальной системы координат (т.н. абс. ускорение) есть, очевидно, g .

Точечное тело с массой dm создает гравитац. потенциал
.
Сплошная среда, распределенная в пространстве с плотностью ( может зависеть и от времени), создает гравитац. потенциал, равный сумме потенциалов всех элементов среды. В этом случае напряженность поля выражается как векторная сумма напряженностей, создаваемых всеми частицами.

Гравитац. потенциал подчиняется ур-нию Пуассона:
. (2)

Ясно, что потенциал изолированного сферически-симметричного тела зависит только от r . Вне такого тела потенциал совпадает с потенциалом точечного тела, расположенного в центре симметрии и имеющего ту же массу m . Если при r>R , то при r>R . Тем самым обосновывается приближение материальных точек в небесной механике, где обычно имеют дело с почти сферич. телами, находящимися, к тому же, достаточно далеко друг от друга. Точное ур-ние Пуассноа с учетом реального, несимметричного распределения масс используется, напр., при изучении строения Земли методами гравиметрии. Закон Т. в форме ур-ния Пуассона применяется при теоретич. исследовании строения звезд. В звездах сила Т., изменяющаяся от точки к точке, уравновешивается градиентом давления; во вращающихся звездах к градиенту давления добавляется центробежная сила.

Отметим нек-рые принципиальные особенности классич. теории Т.
1) В ур-нии движения материального тела - второй закон механики Ньютона, m a =F (где F - действующая сила, a - приобретаемое телом ускорение), и в закон тяготения Ньютона входит одна и та же характеристика тела - его масса. Тем самым подразумевается, что инертная масса тела и его гравитац. масса равны (подробнее см. в разделе 3).

2) Мгновенное значение гравитац. потенциала полностью определяется мгновенным распределением масс во всем пространстве и предельными условиями для потенциала на бесконечности. Для ограниченных рапределений вещества принимают условие обращения в ноль на бесконечности (при ). Добавление к потенциалу постоянного слагаемого нарушает условие на бесконечности, но не изменяет напряженность поля g и не изменяет ур-ния движения материальных тел в данном поле.

3) Переход в соответствии с преобразованиями Галилея (x"=x-vt, t"=t ) от одной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью v , не изменяет ур-ние Пуассона и не изменяет ур-ния движения материальных тел. Другими словами, механика, включая ньютоновскую теорию Т., инвариантна относительно преобразований Галилея.

4) Переход от инерциальной системы координат к ускорению движущейся с ускорением a (t) (без вращения) не изменяет ур-ние Пуассона, но приводит к появлению дополнительного, не зависящего от координат члена m a в ур-ниях движения. Точно такой же челн в ур-ниях движения возникает, если в инерциальной системе координат к гравитац. потенциалу добавить слагаемое, линейно зависящее от координат, , т.е. добавить однородное поле Т. Т.о., однородное поле Т. может быть скомпенсировано в условиях ускоренного движения.

2. Движение тел под действием сил тяготения

Важнейшей задачей ньютоновской небесной механики явл. задача движения двух точечных материальных тел, взаимодействующих гравитационно. Для ее решения, используя закон тяготения Ньютона, составляют ур-ния движения тел. Св-ва решений этих ур-ний известны с исчерпывающей полнотой. По известному решению можно установить, что нек-рые величины, характеризующие систему, остаются постоянными во времени. Их называют интегралами движения. Осн. интегралами движения (сохраняющимися величинами) явл. энергия, импульс, момент импульса системы. Для системы двух тел полная механич. энергия E , равная сумме кинетич. энергии (T ) и потенциальной энергии (U ), сохраняется:
E=T+U =const ,
где кинетич. энергия двух тел .

В классич. небесной механике потенциальная энергия обусловлена гравитац. взаимодействием тел. Для пары тел гравитационная (потенциальная) энергия равна:
,
где - гравитац. потенциал, создаваемый массой m 2 в точке нахождения массы m 1 , а - потенциал, создаваемый массой m 1 в точке нахождения массы m 2 . Нулевым значением U обладают тела, разнесенные на бесконечно большое расстояние. Поскольку при сближении тел их кинетич. энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается, то, следовательно, знак U отрицательный.

Для стационарных гравитирующих систем ср. значение абс. величины гравитац. энергии в два раза больше ср. значения кинетич. энергии частиц, составляющих систему (см. ). Так, напр., для малой массы m , вращающейся по круговой орбите вокруг центрального тела , условие равенства центробежной силы mv 2 /r силе тяготения приводит к , т.е. кинетич. энергия , тогда как . Следовательно, U =-2T и E=U+T=-T= const

В ньютоновской теории Т. изменение положения частицы мгновенно приводит к изменению поля во всем пространстве (гравитац. взаимодействие осуществляется с бесконечной скоростью). Другими словами, в классич. теории Т. поле служит целям описания мгновенного взаимодействия на расстоянии, оно не обладает собст. степенями свободы, не может распространяться и излучаться. Ясно, что такое представление о гравитац. поле справеливо лишь приближенно при достаточно медленных движениях источников. Учет конечной скорости распространения гравитац. взаимодействия производится в релятисвистской теории Т. (см. ниже).

В нерелятивистской теории Т. полная механическая энергия системы тел (включающая энергию гравитац. взаимодействия) должна оставаться неизменной бесконечно долго. Теория Ньютона допускает систематич. уменьшение этой энергии только при наличии диссипации, связанной с превращением части энергии в теплоту, напр. при неупругих столкновениях тел. Если тела вязкие, то их деформации и колебания при движении в гравитац. поле также уменьшают энергию системы тел за счет превращения энергии в теплоту.

3. Ускорение и тяготение

Инертной массой тела (m i ) называют величину, характеризующую его способность приобретать то или иное ускорение под действием заданной силы. Инертная масса входит во второй закон механики Ньютона. Гравитац. масса (m g ) характеризует способность тела создавать то или иное поле Т. Гравитаци. масса входит в закон Т.

Из опытов Галилея с той точностью, с к-рой они были поставлены, следовало, что все тела падают с одинаковым ускорением, вне зависимости от их природы и инертной массы. Это означает, что сила, с к-рой действует Земля на эти тела, зависит только от их инертной массы, причем сила пропорциональна инертной массе рассматриваемого тела. Но по третьему закону Ньютона изучаемое тело действует на Землю точно с такой же силой, с какой Земля действует на тело. Следовательно, создаваемая падающим телом сила зависит только от одной из его характеристик - инертной массы - и пропорциональна ей. В то же время падающее тело действует на Землю с силой, определяемой гравитац. массой тела. Т.о., для всех тел гравитац. масса пропорциональна инертной. Считая m i и m g просто совпадающими, находят из экспериментов конкретное численное значение постоянной G .

Пропорциональность инертной и гравитац. масс у тел различной природы была предметом исследования в опытах венг. физика Р. Этвеша (1922 г.), амер. физика Р. Дикке (1964 г.) и советского физика В.Б. Брагинского (1971 г.). Она проверена в лаборатории с высокой точностью (с погрешностью

Высокая точность этих экспериментов позволяет оценить влияние на массу различных видов энергии связи между частицами тела (см. ). Пропорциональность инертной и гравитац. масс означает, что физ. взаимодействия внутри тела одинаковым образом участвуют в создании его инертной и гравитац. масс.

Относительно системы координат, движущейся с ускорением a , все свободные тела приобретают одинаковое ускорение -a . Из-за равенства инертной и гравитац. массвсе они приобретают такое же ускорение относительно инерциальной системы координат под воздействием гравитац. поля с напряженностью g =-a . Именно поэтому можно сказать, что с точки зрения законов механики однородное гравитац. поле неотличимо от поля ускорений. В неоднородном гравитац. поле компенсация напряженности поля ускорением сразу во всемпространстве невозможна. Однако напрженность поля может быть скомпенсирована ускорением специально подобранной системы координат вдоль всей траектории тела, свободно движущегося под действием сил Т. Такая система координат наз. свободно падающей. В ней имеет место явление невесомости.

Движение космич. корабля (ИСЗ) в поле Т. Земли можно рассматривать как движение падающей системы координат. Ускорение космонавтов и всех предметов на корабле относительно Земли одинаково и равно ускорению свободного падения, а относительно друг друга практически равно нулю, поэтому они находятся в невесомости.

При свободном падении в неоднородном гравитац. полекомпенсация напряженности поля ускорением не может быть повсеместной, поскольку ускорение соседних свободно падающих частиц не совсем одинаково, т.е. частицы обладают относительным ускорением. В космич. корабле относительные ускорения практически незаметны, поскольку по порядку величины они составляют см/с 2 , где r - расстояние от корабля до центра Земли, - масса Земли, x - размер корабля. Этими ускорениями можно пренебречь и ситать гравитац. поле Земли на расстоянии r от ее центра однородным в объеме с характерным размером x . В любом заданном объеме пространства неоднородность гравитац. поля может быть установлена наблюдениями достаточно высокой точности, но при любой заданной точности наблюдений можно указать объем пространства, в к-ром поле будет выглядеть однородным.

Относительные ускорения проявляют себя, напр., на Земле в виде океанских приливов. Сила, с к-рой Луна притягивает Землю, различна в разных точках Земли. Ближайшие к Луне части водной поверхности притягиваются сильнее, чем центр тяжести Земли, а он, в свою очередь, - сильнее, чем наиболее удаленные части мирового океана. Вдоль линии, соединяющей Луну и Землю, относительные ускорения направлены от центра Земли, а в ортогональных направлениях - к центру. В результате водная оболочка Земли деформируется так, что она вытягивается в виде эллипсоида вдоль линии Земля-Луна. Из-за вращения Земли приливные горбы дважды в сутки прокатываются по поверхности океана. Аналогичная, но меньшая приливная деформация вызывается неоднородностью гравитац. поля Солнца.

А. Эйнштейн, исходя из эквивалентности однородных полей Т. и ускоренных систем координат в механике, предположил, что такая эквивалентность распространяется вообще на все без исключения физ. явления. Этот постулат называют принципом эквивалентности: все физические процессы протекают совершенно одинаково (при одинаковых условиях) в инерциальной системе отсчета, находящейся в однородном гравитационном поле, и в системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением при отсутствии гравитац. поля. Принцип эквивалентности сыграл важную роль при построении эйнштейновской теории Т.

4. Релятивистская механика и теория поля

Изучение эл.-магн. явлений М. Фарадеем и Д. Максвеллом во второй половине 19 в. привело к созданию теории эл.-магн. поля. Выводы этой теории были подтверждены экспериментально. Ур-ния Максвелла неинвариантны относительно преобразований Галилея, но инвариантны относительно преобразований Лоренца, т.е. законы электромагнетизма одинако формулируются во всех инерциальных системах координат, связанных преобразованиями Лоренца.

Если инерциальная система координат x", y", z", t" движется относительно инерциальной системы координат x, y, z, t с постоянной скоростью v в направлении оси x , то преобразования Лоренца имеют вид:
y"=y, z"=z , .
При малых скоростях () и в пренебрежении членами (v/c ) 2 и vx/c 2 эти преобразования переходят в преобразования Галилея.

Логич. анализ противоречий, возникавших при сопоставлении выводов теории эл.-магн. явлений с классич. представлениями о пространстве и времени, привел к построению частной (специальной) теории относительности. Решающий шаг был сделан А. Эйнштейном (1905 г.), огромную роль в ее построении сыграли труды нидерландского физика Г. Лоренца и франц. математика А. Пуанкаре. Частная теория относительности требует пересмотра классических представлений о пространстве и времени. В классич. физике промежуток времени между двумя событиями (напр., между двумя вспышками света), а также понятие одновременности событий имеют абсолютный смысл. Они не зависят от движения наблюдателя. В частной теории относительности это не так: суждения об интервалах времени между событиями и об отрезках длины зависят от движения наблюдателя (связанной с ним системы координат). Эти величины оказываются относительными примерно в том же смысле, в каком относительными, зависящими от расположения наблюдателей, явл. их суждения об угле, под к-рым они видят одну и ту же пару предметов. Инвариантным, абсолютным, не зависящим от системы координат, явл. только 4-мерный интервал ds между событиями, включающий как промежуток времени dt , так и элемент расстояния между ними:
ds 2 =c 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2 . (3)
Переход от одной инерциальной системы к другой, сохраняющий ds 2 неизменным, осуществляется как раз в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Инвариантность ds 2 означает, что пространство и время объединяются в единый 4-мерный мир - пространство-время. Выражение (3) можно записать также в виде:
, (4)
где индексы и пробегают значения 0, 1, 2, 3 и по ним производится суммирование, x 0 =ct , x 1 =x , x 2 =y , x 3 =z , , остальные величины равны нулю. Набор величин называют метрическим тензором плоского пространства-времени или мира Минковского [в общей теории относительности (ОТО) было показано, что пространство-время обладает кривизной, см. ниже].

В термине "метрич тензор" слово "метрический" указывает на роль этих величин при определении расстояний и промежутков времени. В общем случае метрич. тензор представляет собой совокупность десяти функций, зависящих от x 0 , x 1 , x 2 , x 3 в выбранной системе координат. Метрич. тензор (или просто метрика) позволяет определить расстояние и промежуток времени между событиями, отстоящими на .

Спец. теория относительности устанавливает предельную скорость движения материальных тел и вообще распространения взаимодействий. Эта скорость совпадает со скоростью света в вакууме. Вместе с изменением представлений о пространстве и времени спец. теория относительности уточнила понятие массы, импульса, силы. В релятивистской механике, т.е. в механике, инвариантной относительно преобразований Лоренца, инертная масса тела зависит от скорости: , где m 0 - тела. Энергия тела и его импульс объединяются в 4-компонентный вектор энергии-импульса. Для сплошной среды можно ввести плотность энергии, плотность импульса и плотность потока импульса. Эти величины объединяются в 10-компонентную величину - тензор энергии-импульса . Все компоненты подвергаются совместному преобразованию при переходе от одной системы координат к другой. Релятивистская теория эл.-магн. поля (электродинамика) значительно богаче электростатики, справедливой лишь в пределе медленных движений зарядов. В электродинамике происходит объединение электрич. и магнитного полей. Учет конечной скорости распространения изменений поля и запаздывания в передаче взаимодействия приводит к понятию эл.-магн. волн, к-рые уносят энергию из излучаещей системы.

Аналогично релятивистская теория Т. оказалась сложнее ньютоновской. Гравитац. поле движущегося тела обладает рядом св-в, подобных св-вам эл.-магн. поля движущегося заряженного тела в электродинамике. Гравитац. поле на большом расстоянии от тел зависит от положения и движения тел в прошлом, поскольку гравитац. поле распространяется с конечной скоростью. Становится возможным излучение и распространение гравитац. волн (см. ). Релятивистская теория Т., как и можно было предполагать, оказалась нелинейной.

5. Кривизна пространства-времени в ОТО

Согласно принципу эквивалентности, никакими наблюдениями, используя любые законы природы, нельзя отличить ускорение, создаваемого однородным полем Т., от ускорения движущейся системы координат. В однородном гравитац. поле можно добиться равенства нулю ускорения всех частиц, помещенных в данную область пространства, если рассматривать их в системе координат, свободно падающей вместе с частицами. Такую систему координат представляют мысленно в виде лаборатории с жесткими стенками и находящимися в ней часами. Иначе обстоит дело в неоднородном гравитац. поле, в к-ром соседние свободные частицы обладают относительными ускорениями. Они будут двигаться с ускорением, пусть и небольшим, относительно центра лаборатории (системы координат), и такую систему координат следует признать лишь локально инерциальной. Считать систему координат инерциальной можно только в той области, где допустимо пренебречь относительными ускорениями частиц. Следовательно, в неоднородном гравитац. поле лишь в малой области пространства-времени и с ограниченной точностью можно рассматривать пространство-время как плоское и пользоваться ф-лой (3) для определения интервала между событиями.

Невозможность ввести инерциальную систему координат в неоднородном гравитац. поле делает все мыслимые системы координат более или менее равноправными. Ур-ния гравитац. поля должны быть записаны так, чтобы они были справедливы во всех координатных системах, не отдавая предпочтения к.-л. из них. Отсюда и название для релятивистской теории Т. - общая теория относительности.

Гравитац. поля, содаваемые реальными телами, такими, как Солнце или Земля, всегда неоднородны. Их называют истинными или неустранимыми полями. В таком гравитац. поле никакая локально-инерциальная система координат не может быть распространена на все пространство-время. Это означает, что интервал ds 2 не может быть приведен к виду (3) во всем пространственно-временном континууме, т.е. пространство-время не может быть плоским. Эйнштейн пришел к радикальной идее отождествить неоднородные гравитац. поля с кривизной пространства-времени. С этих позиций гравитац. поле любого тела можно рассматривать как искажение этим телом геометрии пространства-времени.

Основы математич. аппарата геометрии пространства, обладающего кривизной (неевклидовой геометрии), были заложены в трудах Н.И. Лобачевского, венг. математика Я. Бойаи, нем. математиков К. Гаусса и Г. Римана. В неевклидовой геометрии искривленное пространство-время характеризуется метрич. тензором , входящим в выражение для инвариантного интервала:
, (5)
частным случаем этого выражения явл. ф-ла (4). Имея набор ф-ций , можно постановить вопрос о существовании таких координатных преобразований, к-рые перевели бы (5) в (3), т.е. позволили бы проверить, не является ли пространство-время плоским. Искомые преобразвоания осуществимы тогда, и только тогда, когда нек-рый тензор, составленный из ф-ций , квадратов их первых производных и вторых производных, равен нулю. Этот тензор называют тензором кривизны . В общем случае он, естественно, не равен нулю.

Набор величин используют для инвариантного, не зависящего от выбора системы координат, описания геометрич. св-в искривленного пространства-времени. С физ. точки зрения тензор кривизны, выражаясь через вторые производные от гравитац. потенциалов , описывает приливные ускорения в неоднородном гравитац. поле.

Тензор кривизны - величина размерная, его размерность - квадрат обратной длины. Кривизне в каждой точке пространства-времени соответствуют характерные длины - радиусы кривизны . В малой пространственно-временной области, окружающей данную точку, искривленное пространство-время неотличимо от плоского сточностью до малых членов , где l - характерный размер области. В этом смысле кривизна мира обладает теми же св-вами, что, скажем, и кривизна земного шара: в малых областях она несущественна. Тензор кривизны в данной точке нельзя "уничтожить" никакими преобразованиями координат. Однако в определенной системе координат и с заранее известной точностью поле Т. в малой области пространства-времени можно считать отсутствующим. В этой области все законы физики приобретают ту форму, к-рая согласуется со спец. теорией относительности. Так проявляет себя принцип эквивалентности, положенный в основу теории Т. при ее построении.

Метрич. тензор пространства-времени,и в частности кривизна мира, доступны экспериментальному определению. Чтобы доказать кривизну земного шара, надо располагать маленьким "идеальным" масштабом и с его помощью измерить расстояние между достаточно удаленными точками поверхности. Сопоставление измеренных расстояний укажет на отличие реальной геометрии от евклидовой. Подобным же образом геометрия пространства-времени может быть установлена путем измерений, выполняемых с помощью "идеальных" линеек и часов. Естественно предположить, вслед за Эйнштейном, что св-ва маленького "идеального" атома не зависят от того, в какую точку мира он помещен. Поэтому, произведя, напр., измерение сдвига частоты света (определив гравитац. красное смещение), можно в принципе определить метрич. тензор пространства-времени и его кривизну.

6. Уравнения Эйштейна

Путем суммирования тензора кривизны с метрич. тензором можно образовать симметричный тензор , имеющий столько же компонентов, сколько и тензор энергии импульса материи, к-рая служит источником гравитац. поля.

Эйнштейн предположил, что ур-ния гравитации должны устанавливать связь между и . Кроме того, он учел, что в гравитац. поле должны выполняться ур-ния непрерывности для материи аналогично тому, как выполняется ур-ние непрерывности тока в электродинамике. Такие ур-ния выполняются автоматически, если ур-ния гравитац. поля написать так:
. (6)
Это и есть ур-ния Эйнштейна, полученные им в 1916 г. Эти ур-ния вытекают также из вариац. принципа, что независимо показал нем. математик Д. Гильберт.

Ур-ния Эйнштейна выражают связь между распределением и движением материи, с одной стороны, и геометрич. св-вами пространства-времени - с другой.

В ур-ниях (6) в левой части стоят компоненты тензора , описывающего геометрию пространства-времени, а в правой - компоненты тензора энергии-импульса , описывающего физ. св-ва вещества и полей (источников гравитац. поля). Величины - не просто ф-ции, описывающие гравитационное поле, но вместе с тем - компоненты метрического тензора пространства-времени.

Эйнштейн писал, что б"ольшая часть его работ (спец. теория относительности, квантовая природа света) шла в русле актуальных проблем своего времени. Они были бы сделаны др. учеными с опозданием не более 2-3 лет, если бы эти работы не сделал он сам. Для ОТО Эйнштейн делал исключение и писал, что релятивистская теория Т., возможно, задержалась бы на 50 лет. Этот прогноз, по существу, оправдался, т.к. именно в 60-х гг. 20 в. появились новые общие методы теории поля и возник др. подход к нелинейной теории Т., исходящий из понятия поля, заданного в плоском пространстве-времени. Было показано, что такой путь приводит к тем же ур-ниям, к к-рым пришел Эйнштейн на основе геометрич. интерпретации Т.

Слеудет подчеркнуть, что именно в астрономии и космологии встречаются вопросы, в к-рых геометрич. подход явл. предпочтительным. В качестве примера можно указать космологич. теорию пространственно-замкнутой Вселенной, а также теорию . Поэтому теория Эйнштейна, опирающаяся на геометрич. понятия, полностью сохраняет свое значение.

В геометрич. интерпретации движение материальной точки в гравитац. поле представляет собой движение по 4-мерной траектории - геодезич. линии пространства-времени. В мире, обладающем кривизной, геодезич. линия обобщает понятие прямой линии в евклидовой геометрии. Ур-ния движения вещества, содержащиеся в ур-ниях Эйнштейна, сводятся к ур-ниям геодезич. линий для точечных тел. Тела (частицы), к-рые нельзя считать точечными, отклоняются в своем движении от геодезич. линий и испытывают действие приливных сил.

7. Слабые гравитационные поля и наблюдаемые эффекты

Поле Т. большинства астрономич. объектов явл. слабым. Примером может служить гравитац. поле Земли. Чтобы тело навсегда покинуло Землю, ему надо придать у поверхности Земли скорость 11,2 км/с, т.е. скорость, малую по сравнению со скоростью света. Другими словами, гравитац. потенциал Земли мал по сравнению с квадратом скорости света, что и явл. критерием слабости гравитац. поля.

В приближении слабого поля из ур-ний ОТО вытекают законы ньютоновской теории тяготения и механики. Эффекты ОТО в таких условиях представляют собой лишь незначительные поправки.

Простейшим эффектом, хотя и трудным для наблюдений, явл. замедление течения времени в гравитац. поле, или, в более распространенной формулировке, эффект сдвигачастоты света. Если световой сигнал счастотой испущен в точке со значением гравитац. потенциала и принят с частотой в точке со значением потенциала (где есть точно такой же изулчатель для сравнения частоты), то должно выполняться равенство . Эффект гравитац. смещения частоты света был предсказан Эйнштейном еще в 1911 г. на основании закона сохранения энергии фотона в гравитац. поле. Он надежно установлен в спектрах звезд, измерен с точностью до 1% в лаборатории и с точностью до в условиях космич. полета. В наиболее точном эксперименте использовался водородно-мазерный стандарт частоты, к-рый бвл установлен на космич. ракете, поднявшейся до высоты 10 тыс. км. Другой такой же стандарт был установлен на Земле. Сравнение их частот производилось на разных высотах. Результаты подтвердили предсказываемое изменение частоты.

При прохождении вблизи тяготеющего тела эл.-магн. сигнал испытывает релятивистскую задержку во времени распространения. По своей физ. природе этот эффект подобен предыдущему. По радионаблюдениям планет и особенно межпланетных космич. кораблей, эффект задержки совпадает с расчетным значением в пределах 0,1% (см. ).

Наиболее важным с точки зрения проверки ОТО явл. поворот орбиты тела, обращающегося вокруг тяготеющего центра (его называют также эффектом сдвига перигелия). Этот эффект позволяет выявить нелинейный характер релятивистского граивтац. поля. Согласно ньютоновской небесной механике, движение планет вокруг Солнца описывается ур-нием эллипса: , где p=a (1-e 2) - параметр орбиты, a - большая полуось, e - эксцентриситет (см. ). С учетом релятивистских поправок траектория имеет вид:
.
За каждый оборот планеты вокруг Солнца большая ось ее эллиптич. орбиты поворачивается в направлении движения на угол . Для Меркурия релятивистский угол поворота составляет в столетие. Тот факт, что угол поворота накапливается с течением времени, облегчает возможность наблюдения этого эффекта. За один оборот угол поворота большой оси орбиты столь незначителен ~ 0,1", что его обнаружение существенно усложняется искривлением лучей света в пределах Солнечной системы. Тем не менее совр. радиолокационные данные подтверждают релятивистский эффект сдвига перигелия Меркурия с точностью 1%.

Перечисленные эффекты наз. классическими. Возможна проверка и других предсказаний ОТО (напр., прецессии оси гироскопа) в слабом гравитац. поле Солнечной системы. Релятивистские эффекты используются не только для проверки теории, но и для уточнения астрофизических параметров, напр., для определения массы компонентов двойных звезд. Так, в двойной системе, включающей пульсар PSR 1913+16, наблюдается эффект сдвига перигелия, что позволило определить суммарную массу компонентов системы с точностью 1%.

8. Тяготение и квантовая физика

Уравнения Эйнштейна включают классическое гравитац. поле, характеризуемое компонентами метрич. тензора , и ензор энергии-импульса материи . Для описания движения тяготеющих тел квантовая природа материи, как правило, не важна. Это происходит потому, что обычно имеют дело с гравитац. взаимодействием макроскопич. тел, состоящих огромного числа атомов и молекул. Квантовомеханическое описание движения таких тел практически неотличимо от классическог. Наука пока еще не обладает экспериментальными данными о гравитац. взаимодействии в условиях, когда становятся существенными квантовые св-ва частиц, взаимодействующих с гравитац. полем, и квантовые св-ва самого гравитац. поля.

Квантовые процессы с участием гравитац. поля ьезусловно важны в космосе (см. , ) и, возможно, станут доступными изучению также в лабораторных условиях. Объединение теории Т. с квантовой теорией - одна из важнейших задач физики, к решению к-рой уже приступили.

В обычных условиях влияние гравитац. поля на квантовые системы чрезвычайно мало. Чтобы возбудить атом внеш. гравитац. полем, относительное ускорение, создаваемое гравитац. полем на расстоянии "радиуса атома водорода" см и равное , должно было бы быть сравнимо с ускорением, с к-рым движется электрон в атоме, . (Здесь - радиус кривизны гравитац. поля Земли, равный: см.) В гравитац. поле Земли с запасом в 10 19 это соотношение не выполняется, следовательно атомы в земных условиях под действием гравитации не возбуждаются и не испытывают сдвигов энергетич. уровней.

Тем не менее в нек-рых условиях вероятность переходов в квантовой системе под действием гравитац. поля может быть заметной. Именно на этом принципе основаны нек-рые совр. предположения по детектированию гравитац. волн.

В специально созданных (макроскопических) квантовых системах переход между соседними квантовыми уровнями может произойти даже под воздействием весьма слабого переменного поля гравитац. волны. Примером такой системы может служить эл.-магн. поле в полости с хорошо отражающими стенками. Если первоначально в системе было N квантов поля (фотонов) (), то под воздействием гравитац. волны их число с заметной вероятностью может измениться и стать равным N +2 или N -2. Другими словами, возможны переходы сэнергетич. уровня , и они в принципе доступны обнаружению.

Особенно важна роль интенсивных гравитац. полей. Такие поля, вероятно, существовали в начале расширения Вселенной, вблизи космологич. сингулярности и могут возникать на позних стадиях гравитац. коллапса. Высокая интенсивность этих полей проявляется в том, что они способны проводить к наблюдаемым эффектам (рождению пар частиц) даже в отсутствие атомов, реальных частиц или фотонов. Эти поля оказывают эффективное воздействие на физ. вакуум - физ. поля в низшем энергетическом состоянии. В вакууме, благодаря флуктуациям квантованных полей, постоянно возникают и исчезают т.н. виртуальные, реально ненаблюдаемые частицы. Если интенсивность внеш. гравитац. поля столь велика, что на расстояниях, характерных для квантовых полей и частиц, оно способно производить работу, превосходящую энергию пары частиц, то в результате может произойти рождение пары частиц - превращение их из виртуальной пары в реальную. Необходимым условием этого процесса должна быть сравнимость характерного радиуса кривизны , описывающего интенсивность гравитац. поля, с комптоновской длиной волны , сопоставляемой частицам с массой покоя m . Аналогичное условие должно выполняться для безмассовых частиц с тем, чтобы был возможен процесс рождения пары квантов с энергией . В упомянутом выше примере полости, содержащей эл.-магн. поле, этот процесс аналогичен переходу с вероятностью, сравнимой с единицей, из вакуумного состояния N =0 в состояние, описывающее два кванта, N=2 . В обычных гравитац. полях вероятность таких процессов ничтожно мала. Однако в космосе они могли приводить к рождению частиц в очень ранней Вселенной, а также к т.н. квантовому "испарению" черных дыр малой массы (согласно) работам англ. ученого С. Хокинга).

Интенсивные гравитац. поля, способные существенно влиять на нулевый флуктуации др. физ. полей, должны столь же эффективно воздействовать и на собственные нулевые флуктуации. Если возможен процесс рождения квантов физ. полей, то с той же вероятностью (а в нек-рых случаях с еще большей вероятностью) должен быть возможен процесс рождения квантов самого гравитац. поля - гравионов. Строгое и исчерпывающее рассмотрение таких процессов возможно лишь на основе квантовой теории Т. Такая теория еще не создана. Применение к гравитац. полю тех же идей и методов, к-рые привели к успешному построению квантовой электродинамики, наталкивается на серьезные трудности. Сейчас еще не ясно, какими путями пойдет развитие квантовой теории Т. Несомненно одно - важнейшим способом проверки таких теорий будет поиск предсказываемых теорией явлений в космосе.

Почему выпущенный из рук камень падает на Землю? Потому что его притягивает Земля, скажет каждый из вас. В самом деле, камень падает на Землю с ускорением свободного падения. Следовательно, на камень со стороны Земли действует сила, направленная к Земле.

Согласно третьему закону Ньютона и камень действует на Землю с такой же по модулю силой, направленной к камню. Иными словами, между Землей и камнем действуют силы взаимного притяжения.

Догадка Ньютона

Ньютон был первым, кто сначала догадался, а потом и строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила тяготения, действующая между любыми телами Вселенной. Вот ход его рассуждений, приведенных в главном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии»: «Брошенный горизонтально камень отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадет дальше» (рис. 3.2). Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы с определенной скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался вокруг нее «подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты».

Рис. 3.2

Сейчас нам стало настолько привычным движение спутников вокруг Земли, что разъяснять мысль Ньютона подробнее нет необходимости.

Итак, по мнению Ньютона, движение Луны вокруг Земли или планет вокруг Солнца - это тоже свободное падение, но только падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной такого «падения» (идет ли речь действительно о падении обычного камня на Землю или о движении планет по их орбитам) является сила всемирного тяготения. От чего же эта сила зависит?

Зависимость силы тяготения от массы тел

В § 1.23 говорилось о свободном падении тел. Упоминались опыты Галилея, доказавшие, что Земля сообщает всем телам в данном месте одно и то же ускорение независимо от их массы. Это возможно лишь в том случае, если сила притяжения к Земле прямо пропорциональна массе тела. Именно в этом случае ускорение свободного падения, равное отношению силы земного притяжения к массе тела, является постоянной величиной.

Действительно, в этом случае увеличение массы m, например, вдвое приведет к увеличению модуля силы тоже вдвое, а ускорение, которое равно отношению , останется неизменным.

Обобщая этот вывод для сил тяготения между любыми телами, заключаем, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массе тела, на которое эта сила действует. Но во взаимном притяжении участвуют по меньшей мере два тела. На каждое из них, согласно третьему закону Ньютона, действуют одинаковые по модулю силы тяготения. Поэтому каждая из этих сил должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе другого тела.

Поэтому сила всемирного тяготения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс :

От чего еще зависит сила тяготения, действующая на данное тело со стороны другого тела?

Зависимость силы тяготения от расстояния между телами

Можно предположить, что сила тяготения должна зависеть от расстояния между телами. Чтобы проверить правильность этого предположения и найти зависимость силы тяготения от расстояния между телами, Ньютон обратился к движению спутника Земли - Луны. Ее движение было в те времена изучено гораздо точнее, чем движение планет.

Обращение Луны вокруг Земли происходит под действием силы тяготения между ними. Приближенно орбиту Луны можно считать окружностью. Следовательно, Земля сообщает Луне центростремительное ускорение. Оно вычисляется по формуле

где R - радиус лунной орбиты, равный примерно 60 радиусам Земли, Т = 27 сут 7 ч 43 мин = 2,4 10 6 с - период обращения Луны вокруг Земли. Учитывая, что радиус Земли R 3 = 6,4 10 6 м, получим, что центростремительное ускорение Луны равно:

Найденное значение ускорения меньше ускорения свободного падения тел у поверхности Земли (9,8 м/с 2) приблизительно в 3600 = 60 2 раз.

Таким образом, увеличение расстояния между телом и Землей в 60 раз привело к уменьшению ускорения, сообщаемого земным притяжением, а следовательно, и самой силы притяжения в 60 2 раз(1).

Отсюда вытекает важный вывод: ускорение, которое сообщает телам сила притяжения к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли :

где C 1 - постоянный коэффициент, одинаковый для всех тел.

Законы Кеплера

Исследование движения планет показало, что это движение вызвано силой притяжения к Солнцу. Используя тщательные многолетние наблюдения датского астронома Тихо Браге, немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII в. установил кинематические законы движения планет - так называемые законы Кеплера.

Первый закон Кеплера

Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Эллипсом (рис. 3.3) называется плоская замкнутая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Эта сумма расстояний равна длине большой оси АВ эллипса, т. е.

где F 1 и F 2 - фокусы эллипса, а b = - его большая полуось; О - центр эллипса. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая далекая от него точка - афелием. Если Солнце находится в фокусе F 1 (см. рис. 3.3), то точка А - перигелий, а точка В - афелий.

Рис. 3.3

Второй закон Кеплера

Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади . Так, если заштрихованные секторы (рис. 3.4) имеют одинаковые площади, то пути s 1 , s 2 , s 3 будут пройдены планетой за равные промежутки времени. Из рисунка видно, что s 1 > s 2 . Следовательно, линейная скорость движения планеты в различных точках ее орбиты неодинакова. В перигелии скорость планеты наибольшая, в афелии - наименьшая.

Рис. 3.4

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит . Обозначив большую полуось орбиты и период обращения одной из планет через b 1 и T 1 а другой - через b 2 и Т 2 , третий закон Кеплера можно записать так:

На основании законов Кеплера можно сделать определенные выводы об ускорениях, сообщаемых планетам Солнцем. Мы для простоты будем считать орбиты не эллиптическими, а круговыми. Для планет Солнечной системы эта замена не является слишком грубым приближением.

Тогда сила притяжения со стороны Солнца в этом приближении должна быть направлена для всех планет к центру Солнца.

Если через Т обозначить периоды обращения планет, а через R - радиусы их орбит, то, согласно третьему закону Кеплера, для двух планет можно записать

Нормальное ускорение при движении по окружности а = ω 2 R. Поэтому отношение ускорений планет

Используя уравнение (3.2.4), получим

Так как третий закон Кеплера справедлив для всех планет, то ускорение каждой планеты обратно пропорционально квадрату расстояния ее до Солнца:

Постоянная С 2 одинакова для всех планет, но не совпадает с постоянной С 1 в формуле для ускорения, сообщаемого телам земным шаром.

Выражения (3.2.2) и (3.2.6) показывают, что сила тяготения в обоих случаях (притяжение к Земле и притяжение к Солнцу) сообщает всем телам ускорение, не зависящее от их массы и убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

Закон всемирного тяготения

Существование зависимостей (3.2.1) и (3.2.7) означает, что сила всемирного тяготения

В 1667 г. Ньютон окончательно сформулировал закон всемирного тяготения:

Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними . Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной(2) постоянной.

Взаимодействие точечных и протяженных тел

Закон всемирного тяготения (3.2.8) справедлив только для таких тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Иначе говоря, он справедлив только для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 3.5). Подобного рода силы называются центральными.

Рис. 3.5

Для нахождения силы тяготения, действующей на данное тело со стороны другого, в случае, когда размерами тел пренебречь нельзя, поступают следующим образом. Оба тела мысленно разделяют на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая силы тяготения, действующие на каждый элемент данного тела со стороны всех элементов другого тела, получают силу, действующую на этот элемент (рис. 3.6). Проделав такую операцию для каждого элемента данного тела и сложив полученные силы, находят полную силу тяготения, действующую на это тело. Задача эта сложная.

Рис. 3.6

Есть, однако, один практически важный случай, когда формула (3.2.8) применима к протяженным телам. Можно доказать, что сферические тела, плотность которых зависит только от расстояний до их центров, при расстояниях между ними, больших суммы их радиусов, притягиваются с силами, модули которых определяются формулой (3.2.8). В этом случае R - это расстояние между центрами шаров.

И наконец, так как размеры падающих на Землю тел много меньше размеров Земли, то эти тела можно рассматривать как точечные. Тогда под R в формуле (3.2.8) следует понимать расстояние от данного тела до центра Земли.

Вопросы для самопроверки

1. Расстояние от Марса до Солнца на 52% больше расстояния от Земли до Солнца. Какова продолжительность года на Марсе?
2. Как изменится сила притяжения между шарами, если алюминиевые шары (рис. 3.7) заменить стальными шарами той же массы? того же объема?

Рис. 3.7

(1) Интересно, что, будучи студентом, Ньютон понял, что Луна движется под влиянием притяжения к Земле. Но в то время радиус Земли был известен неточно, и расчеты не привели к правильному результату . Лишь спустя 16 лет появились новые, исправленные данные, и закон всемирного тяготения был опубликован.

(2) От латинского слова gravitas - тяжесть.

Гравитация, она же притяжение или тяготение, - это универсальное свойство материи, которым обладают все предметы и тела во Вселенной. Суть гравитации залучается в том, что все материальные тела притягивают к себе все другие тела, находящиеся вокруг.

Земное притяжение

Если гравитация - это общее понятие и качество, которым обладают все предметы во Вселенной, то земное притяжение - это частный случай этого всеобъемлющего явления. Земля притягивает к себе все материальные объекты, находящиеся на ней. Благодаря этому люди и животные могут спокойно перемещаться по земле, реки, моря и океаны - оставаться в пределах своих берегов, а воздух - не летать по бескрайним просторам Космоса, а образовывать атмосферу нашей планеты.

Возникает справедливый вопрос: если все предметы обладают гравитацией, почему Земля притягивает к себе людей и животных, а не наоборот? Во-первых, мы тоже притягиваем к себе Землю, просто, по сравнению с ее силой притяжения наша гравитация ничтожно мала. Во-вторых, сила гравитации прямо пропорционально зависит от массы тела: чем меньше масса тела, тем ниже его гравитационные силы.

Второй показатель, от которого зависит сила притяжения - это расстояние между предметами: чем больше расстояние, тем меньше действие гравитации. В том числе благодаря этому, планеты движутся на своих орбитах, а не падают друг на друга.

Примечательно, что своей сферической формой Земля, Луна, Солнце и другие планеты обязаны именно силе тяготения. Она действует в направлении центра, подтягивая к нему вещество, составляющее «тело» планеты.

Гравитационное поле Земли

Гравитационное поле Земли - это силовое энергетическое поле, которое образуется вокруг нашей планеты благодаря действию двух сил:

• гравитации;
• центробежной силе, которая своим появление обязана вращению Земли вокруг своей оси (суточное вращение).

Поскольку и гравитация, и центробежная сила действуют постоянно, то и гравитационное поле является постоянным явлением.

Незначительное воздействие на поле оказывают силы тяготения Солнца, Луны и некоторых других небесных тел, а также атмосферных масс Земли.

Закон всемирного тяготения и сэр Исаак Ньютон

Английский физик, сэр Исаак Ньютон, согласно известной легенде, однажды гуляя по саду днем, увидел на небе Луну. В это же время с ветки упало яблоко. Ньютон тогда занимался изучением закона движения и знал, что яблоко падает под воздействием гравитационного поля, а Луна вращается по орбите вокруг Земли.

И тут в голову гениальному ученому, озаренную инсайтом, пришла мысль, что, возможно, яблоко падает на землю, подчиняясь той же силе, благодаря которой Луна находится на своей орбите, а не носится беспорядочно по всей галактике. Так был открыт закон всемирного тяготения, он же Третий закон Ньютона.

На языке математических формул этот закон выглядит так:

F = GMm/D 2 ,

где F - сила взаимного тяготения между двумя телами;

M - масса первого тела;

m - масса второго тела;

D 2 - расстояние между двумя телами;

G - гравитационная постоянная, равная 6,67х10 -11 .