Svojstva i grafovi trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta. Graf i svojstva funkcije y = sin x Funkcije numeričkog argumenta

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije:

1. Razvijanje vještina i sposobnosti korištenja trigonometrijskih formula za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.
2. Primjena načela aktivnog pristupa u poučavanju učenika, razvijanje komunikacijskih vještina i tolerancije učenika, sposobnosti slušanja i slušanja drugih i izražavanja mišljenja.
3. Povećanje interesa učenika za matematiku.

Vrsta lekcije: trening.

Vrsta lekcije: lekcija o vještinama i sposobnostima.

Oblik studija: skupina

Vrsta grupa: grupa koja sjedi zajedno. Studenti različitih razina obuke, svijest o datom predmetu, kompatibilni studenti, što im omogućuje međusobno nadopunjavanje i obogaćivanje.

Oprema: odbor; kreda; tablica "Trigonometar"; rutni listovi; kartice sa slovima (A, B, C.) za ispunjavanje testa; pločice s imenima posade; bodovni listovi; tablice s nazivima etapa putovanja; magneti, multimedijski kompleks.

Tijekom nastave

Učenici sjede u grupama: 4 grupe po 5-6 osoba. Svaka grupa je posada automobila s imenima koja odgovaraju nazivima trigonometrijskih funkcija, predvođena volanom. Svaka posada dobiva rutni list i određuje se cilj: proći zadanu rutu uspješno, bez grešaka. Lekcija je popraćena prezentacijom.

I. Organizacijski trenutak.

Učitelj priopćava temu sata, svrhu sata, tijek sata, plan rada grupa, ulogu kormilara.

Uvodna riječ nastavnika:

– momci! Zapišite broj i temu lekcije: “Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta.”

Danas ćemo u nastavi naučiti:

1. Izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija;
2. Pojednostavite trigonometrijske izraze.

Da biste to učinili, morate znati:

1. Definicije trigonometrijskih funkcija
2. Trigonometrijske relacije (formule).

Odavno je poznato da je jedna glava dobra, a dvije su bolje, pa se danas radi u grupama. Zna se i da onaj koji hoda svladat će cestu. Ali živimo u dobu brzine i vrijeme je dragocjeno, što znači da možemo reći ovo: "Cestom će svladati oni koji voze", tako da će naš današnji sat biti održan u obliku igre "Matematički reli". Svaka grupa je posada vozila, predvođena upravljačem.

Svrha igre:

• uspješno završiti rutu za svaku posadu;
• identificirati prvake relija.

Nazivi posada odgovaraju marki automobila koji vozite.

Predstavljaju se posade i njihovi kormilari:

• Posada - "sine"
• Posada - "kosinus"
• Posada - "tangenta"
• Posada – “kotangens”

Moto utrke: “Požuri polako!”

Morate trčati kroz "matematički teren" s mnogo prepreka.

Rutni listovi su izdani svakoj posadi. Posade koje poznaju definicije i trigonometrijske formule moći će svladati prepreke.

Tijekom vožnje, svaki kormilar vodi posadu, pomaže i procjenjuje doprinos svakog člana posade u svladavanju rute u obliku "za" i "protiv" na listi za bodovanje. Za svaki točan odgovor grupa dobiva “+”, a netočan odgovor “-”.

Morate prevladati sljedeće faze putovanja:

Stadij I. SDA (prometna pravila).
Stadij II. Tehnički pregled.
Stadij III. Kros utrka.
Faza IV. Naglo zaustavljanje je nesreća.
V stadij. Zaustaviti.
Stadij VI. Završi.
VII stadij. Rezultati.

I tako krećemo!

Stadij I. SDA (prometna pravila).

1) U svakoj posadi, kormilari dijele karte s teorijskim pitanjima svakom članu posade:

1. Objasnite definiciju sinusa od t i njegove predznake po četvrtinama.
2. Objasnite definiciju kosinusa broja t i njegove predznake po četvrtinama.
3. Navedite najmanju i najveću vrijednost sin t i cos t.
4. Objasnite definiciju tangensa broja t i njegove predznake po četvrtinama.
5. Objasnite definiciju kotangensa broja t i njegove predznake po četvrtinama.
6. Recite nam kako pronaći vrijednost sin t funkcije iz poznatog broja t.

2) Prikupite "razbacane" formule. Na tajnoj ploči nalazi se stol (vidi dolje). Posade moraju uskladiti formule. Svaki tim zapisuje odgovor na ploču u obliku reda odgovarajućih slova (u paru).

Odgovor: ab, vg, de, jež, zi, yk.

Stadij II. Tehnički pregled.

Usmeni rad: test.

Na tajnoj ploči je napisano: zadatak: pojednostaviti izraz.

Uz njih su ispisane mogućnosti odgovora. Ekipe određuju točne odgovore za 1 minutu. i pokupite odgovarajući skup slova.

Odgovor: C V A.

Stadij III. Kros utrka.

Posade imaju 3 minute za sastanak na kojem se odlučuje o zadatku, a zatim predstavnici posada zapisuju odluku na ploču. Kada predstavnici posade završe sa zapisivanjem rješenja prvog zadatka, svi učenici (zajedno s nastavnikom) provjeravaju točnost i racionalnost rješenja i zapisuju ih u bilježnicu. Kormilari ocjenjuju doprinos svakog člana posade pomoću znakova “+” i “–” na ocjenskim listićima.

Zadaci iz udžbenika:

• Posada – “sine”: br. 118 g;
• Posada – “kosinus”: br. 122 a;
• Posada – “tangenta”: br. 123 g;
• Posada – “kotangens”: br.125

Faza IV. Naglo zaustavljanje je nesreća.

– Auto ti se pokvario. Vaš auto treba popraviti.

Izjave su date za svaku posadu, ali u njima ima grešaka. Pronađite te pogreške i objasnite zašto su nastale. Izjave se koriste trigonometrijske funkcije, što odgovara markama vaših automobila.

V stadij. Zaustaviti.

Umorni ste i morate se odmoriti. Dok se posada odmara, kormilari zbrajaju preliminarne rezultate: broje "za" i "protiv" članova posade i posade u cjelini.

Za studente:

3 ili više “+” – ocjena “5”;
2 “+” – ocjena “4”;
1 “+” – ocjena “3”.

Za posade:“+” i “-” se međusobno poništavaju. Broje se samo preostali znakovi.

Pogodi šaradu.

Iz brojeva uzimaš moj prvi slog,
Drugi je od riječi "ponosan".
I tjerat ćeš treće konje,
Četvrti će biti blejanje ovce.
Moj peti slog je isti kao prvi
Posljednje slovo u abecedi je šesto,
I ako sve dobro pogodite,
Tada ćete u matematici dobiti ovakav odjeljak.
(Trigonometrija)

Riječ "trigonometrija" (od grčkih riječi "trigonon" - trokut i "metreo" - mjera) znači "mjerenje trokuta". Pojava trigonometrije povezana je s razvojem geografije i astronomije - znanosti o kretanju nebeskih tijela, građi i razvoju Svemira.

Kao rezultat provedenih astronomskih promatranja pojavila se potreba za određivanjem položaja svjetiljki, izračunavanjem udaljenosti i kutova. Budući da se neke udaljenosti, na primjer, od Zemlje do drugih planeta, ne mogu izravno izmjeriti, znanstvenici su počeli razvijati tehnike za pronalaženje odnosa između stranica i kutova trokuta, u kojem se dva vrha nalaze na zemlji, a treći je planet ili zvijezda. Takvi se odnosi mogu izvesti proučavanjem različitih trokuta i njihovih svojstava. Zbog toga su astronomski proračuni doveli do rješenja (tj. pronalaska elemenata) trokuta. To je ono što trigonometrija radi.

Počeci trigonometrije otkriveni su u starom Babilonu. Babilonski su znanstvenici mogli predvidjeti pomrčine Sunca i Mjeseca. Neki podaci trigonometrijske prirode nalaze se u drevnim spomenicima drugih starih naroda.

Stadij VI. Završi.

Da biste uspješno prošli kroz cilj, dovoljno je napregnuti se i napraviti “sprint”. U trigonometriji je vrlo važno moći brzo odrediti vrijednosti sin t, cost, tgt, ctg t, gdje je 0 ≤ t ≤ . Zatvori udžbenike.

Posade naizmjenično imenuju vrijednosti funkcija sin t, cost, tgt, ctg t ako:

VII stadij. Rezultati.

Rezultati igre.

Kormilari predaju ocjenjivačke listiće. Određuje se posada koja je postala prvak “Matematičkog mitinga” i karakterizira rad preostalih skupina. Slijede imena onih koji su dobili ocjene “5” i “4”.

Sažetak lekcije.

- Dečki! Što ste danas naučili na satu? (pojednostaviti trigonometrijske izraze; pronaći vrijednosti trigonometrijskih funkcija). Što trebate znati za ovo?

• definicije i svojstva sin t, cos t, tg t, ctg t;
• relacije koje povezuju vrijednosti različitih trigonometrijskih funkcija;
• predznaci trigonometrijskih funkcija na četvrtinama brojevne kružnice.
• vrijednosti trigonometrijskih funkcija prve četvrtine brojevnog kruga.

– Mislim da shvaćate da morate dobro poznavati formule kako biste ih pravilno primijenili. Također ste shvatili da je trigonometrija vrlo važan dio matematike, jer se koristi u drugim znanostima: astronomiji, geografiji, fizici itd.

Domaća zadaća:

• za studente koji su dobili “5” i “4”: §6, br. 128a, 130a, 134a.
• za ostale učenike: §6, br. 119g, br. 120g, br. 121g.

Definicija 1: Numerička funkcija dana formulom y=sin x naziva se sinus.

Ova krivulja se zove - sinusni val.

Svojstva funkcije y=sin x

2. Raspon vrijednosti funkcije: E(y)=[-1; 1]

3. Funkcija pariteta:

y=sin x – neparan,.

4. Periodičnost: sin(x+2πn)=sin x, gdje je n cijeli broj.

Ova funkcija poprima iste vrijednosti nakon određenog razdoblja. Ovo svojstvo funkcije naziva se frekvencija. Interval je period funkcije.

Za funkciju y=sin x period je 2π.

Funkcija y=sin x je periodična, s periodom T=2πn, n je cijeli broj.

Najmanji pozitivni period je T=2π.

Matematički, ovo se može napisati na sljedeći način: sin(x+2πn)=sin x, gdje je n cijeli broj.

Definicija 2: Numerička funkcija dana formulom y=cosx naziva se kosinus.

Svojstva funkcije y=cos x

1. Funkcijska domena: D(y)=R

2. Područje vrijednosti funkcije: E(y)=[-1;1]

3. Funkcija pariteta:

y=cos x – paran.

4. Periodičnost: cos(x+2πn)=cos x, gdje je n cijeli broj.

Funkcija y=cos x je periodična, s periodom T=2π.

Definicija 3: Numerička funkcija dana formulom y=tan x naziva se tangens.

Svojstva funkcije y=tg x

1. Domena funkcije: D(y) - svi realni brojevi osim π/2+πk, k – cijeli broj. Budući da u tim točkama tangenta nije definirana.

3. Funkcija pariteta:

y=tg x – nepar.

4. Periodičnost: tg(x+πk)=tg x, gdje je k cijeli broj.

Funkcija y=tg x je periodična s periodom π.

Definicija 4: Numerička funkcija dana formulom y=ctg x naziva se kotangens.

Svojstva funkcije y=ctg x

1. Područje definiranja funkcije: D(y) - svi realni brojevi osim πk, k je cijeli broj. Budući da u tim točkama kotangens nije definiran.

2. Raspon funkcije: E(y)=R.

Glavni trigonometrijski identitet u ruskim udžbenicima matematike je relacija sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Pogledali smo najosnovnije trigonometrijske funkcije (ne dajte se zavarati, osim sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, postoje mnoge druge funkcije, ali o njima kasnije), ali za sada pogledajmo neka osnovna svojstva već proučavane funkcije.

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta

Koji god realni broj t uzet, može se pridružiti jedinstveno definiranom broju sin(t) . Istina, pravilo sparivanja prilično je složeno i sastoji se od sljedećeg.

Da biste pronašli vrijednost sin(t) iz broja t, trebate:

1. brojevnu kružnicu postaviti na koordinatnu ravninu tako da se središte kružnice poklapa s ishodištem koordinata, a početna točka A kružnice pada u točku (1; 0);
2. pronaći točku na kružnici koja odgovara broju t;
3. nađi ordinatu ove točke.
4. ova ordinata je željeni sin(t) .

Zapravo, govorimo o funkciji s = sin(t) , gdje je t bilo koji realni broj. Možemo izračunati neke vrijednosti ove funkcije (na primjer, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) itd.), poznata su nam neka njegova svojstva.

Na isti način, možemo smatrati da smo već dobili neke ideje o još tri funkcije: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Sve ove funkcije nazivamo trigonometrijskim funkcijama numeričkog argumenta t .

Odnos trigonometrijskih funkcija

Kao što, nadam se, možete pogoditi, sve su trigonometrijske funkcije međusobno povezane i čak i bez poznavanja značenja jedne, može se pronaći pomoću druge.

Na primjer, najvažnija formula u cijeloj trigonometriji je osnovni trigonometrijski identitet:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Kao što vidite, znajući vrijednost sinusa, možete pronaći vrijednost kosinusa, ali i obrnuto. Također vrlo uobičajene formule koje povezuju sinus i kosinus s tangensom i kotangensom:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Iz posljednje dvije formule može se izvesti još jedan trigometrijski identitet, ovaj put povezujući tangens i kotangens:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Sada da vidimo kako ove formule rade u praksi.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Najprije napišimo tangentu zadržavajući kvadrat:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Sada stavimo sve pod zajednički nazivnik i dobivamo:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

I konačno, kao što vidimo, brojnik se može svesti na jedan pomoću glavnog trigonometrijskog identiteta, kao rezultat dobivamo: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) S kotangensom izvodimo sve iste radnje, samo nazivnik više neće biti kosinus, već sinus, a odgovor će biti ovakav:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nakon što smo obavili ovaj zadatak, izveli smo još dvije vrlo važne formule koje povezuju naše funkcije, a koje također moramo znati kao svoj džep:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Morate znati sve predstavljene formule napamet, inače je daljnje proučavanje trigonometrije bez njih jednostavno nemoguće. U budućnosti će biti još formula i bit će ih puno i uvjeravam vas da ćete ih se svih sigurno dugo sjećati, ili ih se možda nećete sjećati, ali ovih šest stvari SVATKO bi trebao znati!