SAŽETAK 20

20.1 ODRICANJE OD ODGOVORNOSTI NESIGURNOSTI

Primjer 1

Riješite granicu Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomku: U tom slučaju se dobiva tzv.

Opće pravilo: ako postoje polinomi u brojniku i nazivniku, a postoji nesigurnost oblika, tada za njegovo otkrivanje rastaviti na faktore brojnik i nazivnik.

Da biste to učinili, najčešće morate riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) koristiti skraćene formule množenja.

Rastavimo brojnik na faktore.

Primjer 2

Izračunajte ograničenje

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore.

Nazivnik brojnika: ,

Metoda množenja brojnika i nazivnika pridruženim izrazom

Nastavljamo razmatrati nesigurnost oblika

Sljedeća vrsta ograničenja slična je prethodnoj vrsti. Jedino ćemo, osim polinoma, dodati korijene.

Primjer 3

Pronađite granicu

Pomnožite brojnik i nazivnik pridruženim izrazom.

20.2 ODRICANJE OD ODGOVORNOSTI NESIGURNOSTI

Sada ćemo razmotriti skupinu limita, kada je , a funkcija je razlomak u čijem su brojniku i nazivniku polinomi

Primjer 4

Izračunajte ograničenje

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo tzv. neodređenost forme. Moglo bi se tako pomisliti i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije tako i mora se primijeniti neko rješenje koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ove vrste?

Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu: Najveća potencija u brojniku je dvojka.

Sada gledamo nazivnik i također pronalazimo najveći stupanj: Najveća potencija nazivnika je dva.

Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je: razotkriti neizvjesnostpodijeliti brojnik i nazivnik sau višem stupnju.

Podijelite brojnik i nazivnik s

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je bitno u donošenju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, poželjno je prekinuti rješenje za srednja objašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi međuobjašnjenja.

Treće, u granici je poželjno označiti čemu i kamo teži. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti ovako: Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne možete učiniti ništa od ovoga, ali tada će, možda, učitelj primijetiti nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. A treba li ti?

Primjer 5

Pronađite granicu Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju: Najveći stupanj u brojniku: 3 Najveći stupanj u nazivniku: 4 Odaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri. Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik sa. Kompletan zadatak može izgledati ovako:

Primjer 6

Pronađite granicu Maksimalni stupanj "x" u brojniku: 2 Maksimalni stupanj "x" u nazivniku: 1 (može se napisati kao) Da bi se riješila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i nazivnik sa. Čisto rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Zapis ne znači dijeljenje s nulom (nemoguće je dijeliti s nulom), već dijeljenje s beskonačno malim brojem.

Tako pri otkrivanju neodređenosti oblika možemo dobiti konačan broj, nula ili beskonačnost.

RADIONICA 20

ZADATAK BR. 1

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 7, kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika tada

ZADATAK BR. 2Tema: Otkrivanje nesigurnosti od nula do nule

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 0 kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika tada

ZADATAK BR. 3Tema: Otkrivanje nesigurnosti od nula do nule

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 6, kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika tada

ZADATAK 4

Riješenje: Jer I

ZADATAK BR. 5Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

Riješenje: Jer I tada postoji nesigurnost oblika.Za njegovo otkrivanje potrebno je svaki član brojnika i nazivnika podijeliti sa. Zatim, znajući da dobivamo:

SAMOSTALNI RAD 20

ZADATAK BR. 1Tema: Otkrivanje nesigurnosti od nula do nule

ZADATAK BR. 2Tema: Otkrivanje nesigurnosti od nula do nule

ZADATAK BR. 3Tema: Otkrivanje nesigurnosti od nula do nule

ZADATAK 4Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

ZADATAK BR. 5Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno" Ograničenje funkcije jednako...

ZADATAK 6Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

Ova neizvjesnost se "servira" druga divna granica, au drugom dijelu te lekcije vrlo smo detaljno pogledali standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika s izlagačima biti zaokružena, osim toga završni zadaci lekcije bit će posvećeni granicama-"trikovima" u kojima se čini da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dviju radnih formula 2. značajne granice je da argument mora težiti "plus beskonačnosti" ili nuli. Ali što ako argument teži drugom broju?

U pomoć dolazi univerzalna formula (koja je zapravo posljedica drugog izvanrednog ograničenja):

Nesigurnost se može eliminirati formulom:

Negdje kao da sam već objasnio što znače uglate zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasno isticanje matematičkog zapisa.

Istaknimo bitne točke formule:

1) Radi se o samo o izvjesnosti i ni o čemu drugom.

2) Argument "x" može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili ), posebno na "minus beskonačno" ili na bilo tko konačni broj.

Pomoću ove formule možete riješiti sve primjere lekcije Izvanredna ograničenja, koji spadaju u 2. divnu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , a prema formuli :

Istina, ne savjetujem vam da to učinite, u tradiciji i dalje koristite "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. Međutim pomoću formule vrlo je zgodno provjeriti"klasične" primjere do 2. divne granice.

Sve je ovo dobro, zar ne, ali sada ima još znatiželjnih kadrova u kadru:

Primjer 18

Izračunajte ograničenje

U prvom koraku, neću se umoriti ponavljati, zamijenimo vrijednost "x" u izrazu ispod znaka granice. Što ako uopće nema neizvjesnosti? Događa se! Ali ne u ovom trenutku. Zamjenom "trojke" dolazimo do zaključka da postoji neizvjesnost

Koristimo formulu

Kako ne biste nosili slovo "e" sa sobom i kako se ne bi smanjili, indikator prikladnije je izračunati odvojeno:

U ovom slučaju:

Tako:

Sa stajališta računalne tehnike, sve je rutina: prvo prvi član dovedemo na zajednički nazivnik, zatim izbacimo konstante i izvršimo redukcije, oslobađajući se nesigurnosti 0:0.

Kao rezultat:

Obećani dar s razlikom logaritama i neizvjesnošću:

Primjer 19

Izračunajte ograničenje

Prvo potpuno rješenje, a zatim komentari:

(1)-(2) U prva dva koraka koristimo formule . Na složene izvedenice mi "rastavljamo" logaritme, ali ovdje ih, naprotiv, treba "sakupiti".

(3) Pomaknite ikonu granice ispod logaritma. To se može učiniti jer je zadani logaritam stalan do minus beskonačnosti. Osim toga, granica se odnosi na "punjenje" logaritma.

(4)-(5) Standardna tehnika o kojoj se raspravljalo u osnovnoj lekciji o divne granice, pretvaramo neizvjesnost u oblik .

(6) Koristimo formulu .

(7) Eksponencijalna i logaritamska funkcija su međusobno inverzne funkcije, tako da se i "e" i logaritam mogu ukloniti. Doista, prema svojstvu logaritma: . Nazivniku dodajemo minus prije razlomka:

(8) Bez komentara =)

Razmatrani tip ograničenja nije tako rijedak, kod kuće sam našao 30-40 primjeraka.

Primjer 20

Izračunajte ograničenje

Ovo je primjer "uradi sam". Osim pomoću formule, limit se može prikazati u obliku a supstitucijom svesti rješenje na slučaj .

Zaključno, razmotrimo "lažna" ograničenja.

Vratimo se na neizvjesnost. Ova neizvjesnost ne uvijek može se svesti na neizvjesnost i koristiti 2. izvanrednu granicu ili formulu-korolar. Transformacija je moguća ako brojnik i nazivnik osnovnog stupnja - ekvivalent beskonačne funkcije. Na primjer: .

Odstupimo od indikatora i izračunajmo granicu baze:

U primljenom limitu jedinica, dakle brojnik i nazivnik ne samo istog reda rasta, već i ekvivalenta. Na lekciji Izvanredna ograničenja. Primjeri rješenja bez problema smo ovaj primjer sveli na neizvjesnost i dobili odgovor.

Postoji mnogo sličnih ograničenja:
itd.

Razlomci ovih primjera ujedinjeni su gornjom značajkom: . U drugim slučajevima, s neizvjesnošću 2. prekrasno ograničenje nije primjenjivo.

Primjer 21

Pronađite granice

Koliko god se trudili, neizvjesnost ne možete pretvoriti u neizvjesnost.

Ovdje su brojnici i nazivnici baza isti red rasta, ali ne ekvivalentan: .

Dakle, druga izvanredna granica i, posebno, formula NE PRIMJENJIVATI.

! Bilješka: nemojte brkati s primjerom #18, u kojem brojnik i nazivnik baze nisu ekvivalentni. Postoji spremna neizvjesnost, ali ovdje govorimo o neizvjesnosti.

Metoda za rješavanje limita-"lažnjaka" je jednostavna i predznak: potrebni su vam brojnik i nazivnik osnove podijelite s "x" do najvišeg stupnja (bez obzira na indikator):

Ako su brojnik i nazivnik baze različitog reda rasta, tada je rješenje potpuno isto:

Primjer 22

Pronađite granice

Ovo su kratki primjeri za samostalno učenje

Ponekad neizvjesnost možda uopće ne postoji:

Takve trikove posebno vole sastavljači zbirke Kuznetsov. Zato je jako važno UVIJEK izvršiti zamjenu "x" u izrazu ispod znaka granice na prvom koraku!

Primjer 2

Najveća snaga brojnika: 2; najveći stupanj nazivnika: 3.
:

Primjer 4

Podijelite brojnik i nazivnik s :


Bilješka : posljednja radnja pomnožila je brojnik i nazivnik sa da se oslobodimo iracionalnosti u nazivniku.

Primjer 6

Podijelite brojnik i nazivnik s :

Primjer 8

Podijelite brojnik i nazivnik s :

Bilješka : termin teže nuli sporije nego , Zato je "vodeća" nula nazivnika. .

Primjer 22


Bilješka : infinitezimalna funkcija teži nuli sporije od , pa "veća" nula nazivnika igra odlučujuću ulogu:

Derivacija funkcije ne pada daleko, au slučaju L'Hopitalovih pravila, pada točno tamo gdje pada izvorna funkcija. Ova okolnost pomaže u otkrivanju nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞ i nekih drugih nesigurnosti koje se javljaju u izračunu ograničiti omjer dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija. Izračun je uvelike pojednostavljen ovim pravilom (zapravo dva pravila i napomene uz njih):

Kao što gornja formula pokazuje, kada se računa granica omjera dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija, granica omjera dviju funkcija može se zamijeniti granicom omjera njihovih izvedenice i tako dobiti određeni rezultat.

Prijeđimo na preciznije formulacije L'Hopitalovih pravila.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj granice dviju beskonačno malih vrijednosti. Neka funkcije f(x) I g(x a. I to na samom mjestu a a izvod funkcije g(x) nije jednako nuli ( g"(x a su međusobno jednaki i jednaki nuli:

.

L'Hôpitalovo pravilo za slučaj limita dviju beskonačno velikih količina. Neka funkcije f(x) I g(x) imaju derivacije (tj. diferencijabilne su) u nekoj okolini točke a. I to na samom mjestu a mogu i ne moraju imati izvedenice. Štoviše, u blizini točke a izvod funkcije g(x) nije jednako nuli ( g"(x)≠0 ) i granice tih funkcija dok x teži vrijednosti funkcije u točki a međusobno jednaki i beskonačno jednaki:

.

Tada je granica omjera ovih funkcija jednaka granici omjera njihovih izvodnica:

Drugim riječima, za nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dviju funkcija jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonja postoji (konačna, tj. jednaka određeni broj, ili beskonačan, odnosno jednak beskonačnosti).

Opaske.

1. Pravila L'Hopitala također se primjenjuju kada funkcionira f(x) I g(x) nisu definirani na x = a.

2. Ako se pri računanju granice omjera derivacija funkcija f(x) I g(x) ponovno dolazimo do nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, tada L'Hopitalova pravila treba primjenjivati ​​više puta (najmanje dva puta).

3. L'Hopitalova pravila također se mogu primijeniti kada argument funkcije (x) teži nekonačnom broju a, i do beskonačnosti ( x → ∞).

Nesigurnosti drugih vrsta također se mogu svesti na nesigurnosti tipa 0/0 i ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula podijeljeno s nulom" i "beskonačno podijeljeno s beskonačnim"

Primjer 1

x=2 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Dakle, izvod svake funkcije i dobivamo

U brojniku je izračunata derivacija polinoma, au nazivniku - izvod složene logaritamske funkcije. Prije posljednjeg znaka jednakosti, uobičajeno ograničiti, zamjenjujući dvojku umjesto x.

Primjer 2 Izračunajte granicu omjera dviju funkcija koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Riješenje. Supstitucija u zadanu funkciju vrijednosti x

Primjer 3 Izračunajte granicu omjera dviju funkcija koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Riješenje. Supstitucija u zadanu funkciju vrijednosti x=0 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Stoga izračunavamo derivacije funkcija u brojniku i nazivniku i dobivamo:

Primjer 4 Izračunati

Riješenje. Zamjenom vrijednosti x jednake plus beskonačno u zadanu funkciju dolazi do neodređenosti oblika ∞/∞. Stoga primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo:

Komentar. Prijeđimo na primjere u kojima L'Hopitalovo pravilo treba primijeniti dva puta, odnosno doći do granice omjera drugih derivacija, jer je granica omjera prvih derivacija nesigurnost oblika 0/0 ili ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti oblika "nula pomnožena s beskonačnošću"

Primjer 12. Izračunati

.

Riješenje. Dobivamo

Ovaj primjer koristi trigonometrijski identitet.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula na nulti potenciju", "beskonačno na nulti potenciju" i "jedan na beskonačnu potenciju"

Nesigurnosti oblika ili se obično svode na oblik 0/0 ili ∞/∞ pomoću logaritma funkcije oblika

Za izračunavanje limita izraza treba koristiti logaritamski identitet, čiji je poseban slučaj svojstvo logaritma .

Korištenjem logaritamske identičnosti i svojstva kontinuiteta funkcije (da ide preko predznaka granice), granicu treba izračunati na sljedeći način:

Posebno treba pronaći granicu izraza u eksponentu i graditi e do pronađenog stupnja.

Primjer 13

Riješenje. Dobivamo

.

.

Primjer 14 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Riješenje. Dobivamo

Izračunajte granicu izraza u eksponentu

.

.

Primjer 15 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

U prethodnom smo članku govorili o tome kako pravilno izračunati granice elementarnih funkcija. Ako uzmemo složenije funkcije, tada ćemo u našim izračunima imati izraze s neodređenom vrijednošću. Zovu se neizvjesnosti.

Postoje sljedeće glavne vrste neizvjesnosti:

1. Podijelite 0 s 0 0 0 ;
2. Dijeljenje jedne beskonačnosti drugom ∞ ∞ ;

0 podignuto na potenciju 0 0 ;

3. beskonačnost podignuta na nultu potenciju ∞ 0 .

Naveli smo sve glavne neizvjesnosti. Drugi izrazi mogu poprimiti konačne ili beskonačne vrijednosti pod različitim uvjetima, tako da se ne mogu smatrati nesigurnostima.

Otkrivanje nesigurnosti

Neizvjesnost se može otkriti:

1. Pojednostavljivanjem tipa funkcije (upotrebom skraćenih formula za množenje, trigonometrijskih formula, dodatnog množenja konjugiranim izrazima i naknadnom redukcijom itd.);

S prekrasnim granicama;

Uz pomoć L'Hopitalovog pravila;

Zamjenom jednog infinitezimalnog izraza njegovim ekvivalentnim izrazom (u pravilu se ova radnja izvodi pomoću tablice infinitezimalnih izraza).

Sve gore navedene informacije mogu se vizualizirati u obliku tablice. S lijeve strane prikazuje vrstu nesigurnosti, s desne strane - prikladnu metodu za njezino otkrivanje (pronalaženje granice). Ova je tablica vrlo praktična za korištenje u izračunima koji se odnose na pronalaženje granica.

Nesigurnost	Metoda otkrivanja nesigurnosti
1. Podijelite 0 sa 0	Transformacija i naknadno pojednostavljenje izraza. Ako izraz ima oblik sin (k x) k x ili k x sin (k x), tada trebate upotrijebiti prvu divnu granicu. Ako takvo rješenje nije prikladno, koristimo se L'Hopitalovim pravilom ili tablicom ekvivalentnih infinitezimalnih izraza
2. Podjela beskonačnosti beskonačnosti	Transformacija i pojednostavljenje izraza ili uporaba L'Hospitalova pravila
3. Množenje nule s beskonačnošću ili pronalaženje razlike između dvije beskonačnosti	Transformacija u 0 0 ili ∞ ∞ praćena primjenom L'Hospitalovog pravila
4. Jedan na snagu beskonačnosti	Koristeći drugu divnu granicu
5. Dizanje nule ili beskonačnosti na nulti potenciju	Logaritam izraza koji koristi jednakost lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Pogledajmo nekoliko problema. Ovi primjeri su prilično jednostavni: u njima se odgovor dobiva odmah nakon zamjene vrijednosti i nesigurnost se ne pojavljuje.

Primjer 1

Izračunajte granicu lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Riješenje

Izvodimo zamjenu vrijednosti i dobivamo odgovor.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Odgovor: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Primjer 2

Izračunajte granicu lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Riješenje

Imamo eksponencijalnu potencijsku funkciju u čiju osnovu trebamo zamijeniti x = 0 .

(x 2 + 2, 5) x \u003d 0 \u003d 0 2 + 2, 5 \u003d 2, 5

Dakle, granicu možemo transformirati u sljedeći izraz:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

Sada se pozabavimo eksponentom - funkcijom snage 1 x 2 \u003d x - 2. Pogledajmo tablicu limita za funkcije snage s eksponentom manjim od nule i dobijemo sljedeće: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ i lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Dakle, možemo napisati da je lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

Sada uzimamo tablicu granica eksponencijalnih funkcija s bazama većim od 0 i dobivamo:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

Odgovor: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Primjer 3

Izračunajte granicu lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Riješenje

Vršimo zamjenu vrijednosti.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Kao rezultat toga, imamo neizvjesnost. Koristite gornju tablicu za odabir metode rješenja. Kaže da trebate pojednostaviti izraz.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) (x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) x - 1 = = 1 + 1 1 - 1 = 2 0 = 0

Kao što vidimo, pojednostavljenje je dovelo do otkrivanja neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Primjer 4

Izračunajte granicu lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Riješenje

Zamjenjujemo vrijednost i dobivamo zapis sljedećeg oblika.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Došli smo do potrebe da nulu podijelimo s nulom, što je neizvjesnost. Pogledajmo željenu metodu rješenja u tablici - ovo je pojednostavljenje i transformacija izraza. Izvršimo dodatno množenje brojnika i nazivnika izrazom konjugiranim nazivniku 12 - x + 6 + x:

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Množenje nazivnika se izvodi tako da kasnije možete koristiti formulu skraćenog množenja (razlika kvadrata) i izvršiti redukciju.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Kao što vidimo, kao rezultat ovih akcija, uspjeli smo se osloboditi neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Važno je napomenuti da se pri rješavanju ovakvih zadataka vrlo često koristi pristup množenja, pa vam savjetujemo da zapamtite kako se to točno radi.

Primjer 5

Izračunajte granicu lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Riješenje

Izvodimo zamjenu.

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

Kao rezultat toga, imamo neizvjesnost. Preporučeni način rješavanja problema u ovom slučaju je pojednostavljenje izraza. Budući da se pri vrijednosti x jednakoj jedan, brojnik i nazivnik pretvaraju u 0, tada ih možemo faktorizirati i zatim smanjiti za x - 1, i tada će nesigurnost nestati.

Provodimo rastavljanje brojnika na faktore:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2x - 3 = x + 3x - 1

Sada činimo isto s nazivnikom:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Imamo sljedeće ograničenje:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Kao što vidimo, tijekom transformacije uspjeli smo se osloboditi neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

Zatim, trebamo razmotriti slučajeve granica u beskonačnosti izraza snage. Ako su eksponenti ovih izraza veći od 0, tada će granica u beskonačnosti također biti beskonačna. U ovom slučaju najveći stupanj je od primarne važnosti, a ostatak se može zanemariti.

Na primjer, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ ili lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

Ako imamo razlomak s potencijskim izrazima u brojniku i nazivniku ispod graničnog znaka, tada pri x → ∞ imamo nesigurnost oblika ∞ ∞ . Da bismo se riješili ove nesigurnosti, trebamo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka s x m a x (m , n) . Navedimo primjer rješavanja takvog problema.

Primjer 6

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Riješenje

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Potencije brojnika i nazivnika su 7 . Podijelimo ih sa x 7 i dobijemo:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Odgovor: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Primjer 7

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Riješenje

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Brojnik ima snagu 8 3, a nazivnik 2 . Podijelimo brojnik i nazivnik s x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Odgovor: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Primjer 8

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Riješenje

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Imamo brojnik na potenciju 3 i nazivnik na potenciju 10 3 . Dakle, trebamo podijeliti brojnik i nazivnik s x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Odgovor: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

zaključke

U slučaju ograničenja odnosa, postoje tri glavne mogućnosti:

Ako je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, tada će granica biti jednaka omjeru koeficijenata na višim potencijama.

Ako je stupanj brojnika veći od stupnja nazivnika, tada će granica biti jednaka beskonačnosti.

Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, tada će granica biti nula.

O ostalim metodama otkrivanja nesigurnosti raspravljat ćemo u posebnim člancima.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Metode rješavanja granica. Neizvjesnosti.
Redoslijed rasta funkcije. Metoda zamjene

Primjer 4

Pronađite granicu

Ovo je jednostavniji primjer rješenja "uradi sam". U predloženom primjeru, opet, nesigurnost (višeg reda rasta od korijena).

Ako "x" teži "minus beskonačno"

U ovom članku odavno lebdi duh "minus beskonačnosti". Razmotrimo granice s polinomima u kojima . Principi i metode rješenja bit će potpuno isti kao u prvom dijelu lekcije, s izuzetkom niza nijansi.

Razmotrite 4 čipa koji će biti potrebni za rješavanje praktičnih zadataka:

1) Izračunajte granicu

Vrijednost limita ovisi samo o terminu jer on ima najviši red rasta. Ako tada beskonačno veliki modulo negativan broj na PARNU potenciju, u ovom slučaju - u četvrtom, jednako je "plus beskonačno": . Konstanta ("dva") pozitivan, Zato:

2) Izračunajte granicu

Evo opet visoke diplome čak, Zato: . Ali postoji "minus" ispred ( negativan konstanta –1), dakle:

3) Izračunajte granicu

Vrijednost granice ovisi samo o . Kao što se sjećate iz škole, "minus" "iskače" ispod neparnog stupnja, dakle beskonačno veliki modulo negativan broj na neparnu potenciju jednako "minus beskonačno", u ovom slučaju: .
Konstanta ("četiri") pozitivan, Sredstva:

4) Izračunajte granicu

Opet ima prvi momak u selu neparan stupanj, štoviše, u njedrima negativan konstanta, što znači: Dakle:
.

Primjer 5

Pronađite granicu

Koristeći gore navedene točke, zaključujemo da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik i nazivnik su istog reda rasta, što znači da će se u limitu dobiti konačan broj. Odgovor saznajemo odbacivanjem svega prženog mesa:

Rješenje je trivijalno:

Primjer 6

Pronađite granicu

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

A sada, možda najsuptilniji od slučajeva:

Primjer 7

Pronađite granicu

S obzirom na seniorske uvjete dolazimo do zaključka da tu postoji neizvjesnost. Brojnik je višeg reda rasta od nazivnika, pa odmah možemo reći da je granica beskonačnost. Ali kakva beskonačnost, "plus" ili "minus"? Prijem je isti - u brojniku i nazivniku ćemo se riješiti sitnica:

Mi odlučujemo:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Primjer 15

Pronađite granicu

Ovo je primjer "uradi sam". Približan uzorak završetka na kraju lekcije.

Još par zanimljivih primjera na temu zamjene varijabli:

Primjer 16

Pronađite granicu

Zamjena jednog u granicu rezultira nesigurnošću. Zamjena varijable je već sugerirana, ali prvo pretvaramo tangentu pomoću formule. Doista, zašto nam je potrebna tangenta?

Imajte na umu da, dakle. Ako nije sasvim jasno, pogledajte sinusne vrijednosti u trigonometrijska tablica. Tako se odmah oslobađamo faktora , osim toga, dobivamo poznatiju neizvjesnost 0:0. Bilo bi lijepo kada bi i naš limit težio nuli.

Zamijenimo:

Ako tada

Pod kosinusom imamo "x", koji također treba izraziti kroz "te".
Iz zamjene izražavamo: .

Dovršavamo rješenje:

(1) Izvođenje zamjene

(2) Raširite zagrade ispod kosinusa.

(4) Organizirati prva divna granica, umjetno pomnožite brojnik s i recipročnu vrijednost od .

Zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 17

Pronađite granicu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

To su bili jednostavni zadaci u njihovom razredu, u praksi je sve gore, a osim toga redukcijske formule, treba koristiti različite trigonometrijske formule, kao i druge trikove. U članku Složene granice analizirao sam nekoliko stvarnih primjera =)

Uoči blagdana konačno ćemo razjasniti situaciju s još jednom uobičajenom neizvjesnošću:

Uklanjanje neizvjesnosti "jedan na potenciju beskonačnosti"

Ova neizvjesnost se "servira" druga divna granica, au drugom dijelu te lekcije vrlo smo detaljno pogledali standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika s izlagačima biti zaokružena, osim toga završni zadaci lekcije bit će posvećeni granicama-"trikovima" u kojima se čini da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dviju radnih formula 2. značajne granice je da argument mora težiti "plus beskonačnosti" ili nuli. Ali što ako argument teži drugom broju?

U pomoć dolazi univerzalna formula (koja je zapravo posljedica drugog izvanrednog ograničenja):

Nesigurnost se može eliminirati formulom:

Negdje kao da sam već objasnio što znače uglate zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasno isticanje matematičkog zapisa.

Istaknimo bitne točke formule:

1) Radi se o samo o neizvjesnosti i ni o čemu drugom.

2) Argument "x" može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili ), posebno na "minus beskonačno" ili na bilo tko konačni broj.

Pomoću ove formule možete riješiti sve primjere lekcije Izvanredna ograničenja, koji spadaju u 2. divnu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , a prema formuli :

Istina, ne savjetujem vam da to učinite, u tradiciji i dalje koristite "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. Međutim pomoću formule vrlo je zgodno provjeriti"klasične" primjere do 2. divne granice.