Ostrogradsky–Gaussov teorem. Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak) Primjena Ostrogradsky-Gaussovog teorema za izračun električnih polja generiranih ravninama, sferom i cilindrom

Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak)[

Za polje u dielektričnom mediju, Gaussov elektrostatički teorem može se napisati i na drugi način (alternativno) - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teorema je sljedeća: protok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju unutar te površine:

U diferencijalnom obliku:

Gaussov teorem za magnetsku indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli:

ili u diferencijalnom obliku

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje "magnetski naboji" (monopoli) koji bi stvarali magnetsko polje, kao električni naboji stvoriti električno polje. Drugim riječima, Gaussov teorem za magnetsku indukciju pokazuje da je magnetsko polje (u potpunosti) vrtložni.

Gaussov teorem za Newtonovu gravitaciju

Za jakost polja Newtonove gravitacije (ubrzanje slobodnog pada) Gaussov se teorem praktički poklapa s onim u elektrostatici, osim konstanti (no još uvijek ovise o proizvoljnom izboru sustava jedinica) i, što je najvažnije, predznaka :

Gdje g- intenzitet gravitacionog polja, M- gravitacijski naboj (tj. masa) unutar površine S, ρ - gustoća mase, G je Newtonova konstanta.

vodiči u električnom polju. Polje unutar vodiča i na njegovoj površini.

Vodiči su tijela kroz koja električni naboji mogu prelaziti s nabijenog tijela na nenabijeno. Sposobnost vodiča da kroz njih prolaze električni naboji objašnjava se prisutnošću slobodnih nositelja naboja u njima. Vodiči – metalna tijela u čvrstom i tekuće stanje, tekuće otopine elektrolita. Slobodni naboji vodiča uvedenog u električno polje počinju se gibati pod njegovim djelovanjem. Preraspodjela naboja uzrokuje promjenu električnog polja. Kada jakost električnog polja u vodiču postane nula, elektroni se prestaju kretati. Pojava razdvajanja suprotnih naboja u vodiču koji se nalazi u električnom polju naziva se elektrostatička indukcija. Unutar vodiča nema električnog polja. Služi za elektrostatičku zaštitu - zaštitu metalnim vodičima od električnog polja. Površina vodljivog tijela bilo kojeg oblika u električnom polju je ekvipotencijalna površina.

Kondenzatori

Za dobivanje uređaja koji bi pri malom potencijalu u odnosu na medij na sebi akumulirali (kondenzirali) naboje zamjetne veličine, koriste se činjenicom da se električni kapacitet vodiča povećava kada mu se približavaju druga tijela. Doista, pod djelovanjem polja koje stvaraju nabijeni vodiči, na tijelu dovedenom do njega nastaju inducirani (na vodiču) ili vezani (na dielektriku) naboji (sl. 15.5). Naboji suprotnog predznaka od naboja vodiča q nalaze se bliže vodiču od onih koji su istog imena s q, pa stoga imaju veliki utjecaj na njegov potencijal.

Stoga, kada se tijelo dovede do nabijenog vodiča, jakost polja se smanjuje, a posljedično i potencijal vodiča. Prema jednadžbi to znači povećanje kapacitivnosti vodiča.

Kondenzator se sastoji od dva vodiča (ploče) (slika 15.6), odvojena dielektričnim slojem. Kada se na vodič dovede određena razlika potencijala, njegove ploče se naelektrišu jednakim nabojima suprotnog predznaka. Električni kapacitet kondenzatora shvaća se kao fizikalna veličina proporcionalna naboju q i obrnuto proporcionalna razlici potencijala između ploča.

Odredimo kapacitet ravnog kondenzatora.

Ako je površina ploče S, a naboj na njoj q, tada je jakost polja između ploča

S druge strane, razlika potencijala između ploča odakle

Energija sustava točkastih naboja, nabijenog vodiča i kondenzatora.

Svaki sustav naboja ima neku potencijalnu energiju interakcije, koja je jednaka radu utrošenom na stvaranje tog sustava. Energija sustava točkastih naboja q 1 , q 2 , q 3 ,… q N definira se na sljedeći način:

Gdje φ 1 - potencijal električnog polja stvorenog svim nabojima osim q 1 na mjestu gdje je naboj q 1 itd. Ako se promijeni konfiguracija sustava naboja, mijenja se i energija sustava. Za promjenu konfiguracije sustava mora se raditi.

Potencijalna energija sustava točkastih naboja može se izračunati i na drugi način. Potencijalna energija dva točkasta naboja q 1 , q 2 na međusobnoj udaljenosti je jednak. Ako postoji više naboja, tada se potencijalna energija ovog sustava naboja može definirati kao zbroj potencijalnih energija svih parova naboja koji se mogu sastaviti za ovaj sustav. Dakle, za sustav od tri pozitivna naboja, energija sustava je jednaka

Energija nabijenog usamljenog vodiča i kondenzatora

Ako usamljeni vodič ima naboj q, tada oko njega postoji električno polje čiji je potencijal na površini vodiča , a kapacitet C. Povećajmo naboj za dq. Pri prijenosu naboja dq iz beskonačnosti rad jednak . Ali potencijal elektrostatskog polja danog vodiča u beskonačnosti jednak je nuli. Zatim

Pri prijenosu naboja dq s vodiča u beskonačnost isti rad izvrše i sile elektrostatskog polja. Posljedično, s povećanjem naboja vodiča za dq, povećava se potencijalna energija polja, tj.

Integrirajući ovaj izraz, nalazimo potencijalnu energiju elektrostatskog polja nabijenog vodiča dok njegov naboj raste od nule do q:

Primjenom relacije mogu se dobiti sljedeći izrazi za potencijalnu energiju W:

Za nabijeni kondenzator potencijalna razlika (napon) je dakle omjer za puna energija njegovo elektrostatičko polje ima oblik

Uvedimo pojam toka vektora električne indukcije. Razmotrimo beskonačno malo područje. U većini slučajeva potrebno je znati ne samo veličinu mjesta, već i njegovu orijentaciju u prostoru. Uvedimo pojam vektorske površine. Dogovorimo se da pod vektorom površine razumijemo vektor usmjeren okomito na površinu i brojčano jednak veličini površine.

Slika 1 - Do definicije vektora - mjesto

Nazovimo tok vektora putem stranice
točkasti umnožak vektora I
. Tako,

Vektorski tok kroz proizvoljnu površinu nalazi se integracijom svih elementarnih tokova

(4)

Ako je polje jednolično i površina ravna koji se nalazi okomito na polje, tada:

. (5)

Gornji izraz određuje broj linija polja koje prodiru u područje po jedinici vremena.

Ostrogradsky-Gaussov teorem. Divergencija jakosti električnog polja

Tok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednaki algebarski zbroj besplatni električni naboji prekriven ovom površinom

(6)

Izraz (6) je O-G teorem u integralnom obliku. Teorem 0-G radi s integralnim (ukupnim) učinkom, tj. Ako
tada se ne zna znači li to odsutnost naboja u svim točkama proučavanog dijela prostora ili je zbroj pozitivnih i negativnih naboja koji se nalaze na različitim točkama ovog prostora jednak nuli.

Da bi se pronašli locirani naboji i njihova veličina u danom polju, potrebno je imati relaciju koja povezuje vektor električne indukcije u datoj točki s nabojem u istoj točki.

Pretpostavimo da trebamo odrediti prisutnost naboja u točki A(sl.2)

Slika 2 - Izračun divergencije vektora

Primjenjujemo O-G teorem. Tok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu plohu koja ograničava volumen u kojem se točka nalazi A, jednako je

Algebarski zbroj naboja u volumenu može se napisati kao volumenski integral

(7)

Gdje - naknada po jedinici volumena ;

- element volumena.

Da bi se dobila veza između polja i naboja u točki A smanjit ćemo volumen skupljanjem površine do točke A. U ovom slučaju, oba dijela naše jednakosti dijelimo s vrijednošću . Prelazeći na granicu, dobivamo:

.

Desna strana dobivenog izraza je, po definiciji, volumetrijska gustoća naboja u razmatranoj točki u prostoru. Lijeva strana predstavlja granicu omjera toka vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu i volumena omeđenog ovom površinom kada volumen teži nuli. Ova skalarna veličina je važna karakteristika električnog polja i naziva se vektorska divergencija .

Tako:

,

stoga

, (8)

Gdje je nasipna gustoća naboja.

Pomoću ove relacije jednostavno se rješava inverzni problem elektrostatike, tj. pronalaženje raspodijeljenih naboja u poznatom polju.

Ako vektor je zadan, pa su njegove projekcije poznate
,
,
na koordinatnim osima kao funkciji koordinata, a za izračunavanje raspodijeljene gustoće naboja koji su stvorili određeno polje, ispada da je dovoljno pronaći zbroj tri parcijalne derivacije tih projekcija s obzirom na odgovarajuće varijable. Na onim točkama za koje
nema naplata. Na mjestima gdje
pozitivan, postoji pozitivan naboj s nasipnom gustoćom jednakom
, i na onim točkama gdje
će imati negativnu vrijednost, nalazi se negativan naboj, čija je gustoća također određena vrijednošću divergencije.

Izraz (8) predstavlja teorem 0-G u diferencijalnom obliku. U ovom obliku, teorem pokazuje da su izvori električnog polja slobodni električni naboji; linije sile vektora električne indukcije počinju, odnosno završavaju na pozitivnim i negativnim nabojima.

Kada ima mnogo naboja, javljaju se poteškoće u izračunavanju polja.

Gaussov teorem pomaže u njihovom prevladavanju. suština Gaussovi teoremi svodi na sljedeće: ako je proizvoljan broj naboja mentalno okružen zatvorenom površinom S, tada se tok jakosti električnog polja kroz elementarno područje dS može napisati kao dF = Esosα۰dS gdje je α kut između normale na ravninu i vektor intenziteta . (sl.12.7)

Ukupni protok kroz cijelu površinu bit će jednak zbroju protoka svih naboja proizvoljno raspoređenih unutar nje i proporcionalan vrijednosti tog naboja

(12.9)

Odredimo tok vektora napetosti kroz sfernu plohu polumjera r, u čijem se središtu nalazi točkasti naboj +q (sl. 12.8). Linije napetosti su okomite na površinu kugle, α = 0, stoga je sosα = 1. Tada je

Ako je polje formirano sustavom naboja, tada

Gaussov teorem: protok vektora jakosti elektrostatskog polja u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja zatvorenih unutar te površine, podijeljenom s električnom konstantom.

(12.10)

Ako unutar sfere nema naboja, tada je F = 0.

Gaussov teorem olakšava izračunavanje električna polja sa simetrično raspoređenim nabojima.

Uvedimo pojam gustoće raspodijeljenih naboja.

Linearna gustoća označava se τ i karakterizira naboj q po jedinici duljine ℓ. U opći pogled može se izračunati pomoću formule

(12.11)

Kod jednolike raspodjele naboja linearna gustoća je jednaka

Površinska gustoća označava se σ i karakterizira naboj q po jedinici površine S. Općenito, određuje se formulom

(12.12)

Kod jednolike raspodjele naboja po površini površinska gustoća je jednaka

Nasipna gustoća, označena ρ, karakterizira naboj q po jedinici volumena V. Općenito, određuje se formulom

(12.13)

Kod jednolike raspodjele naboja jednak je
.

Kako je naboj q ravnomjerno raspoređen na kugli, tada

σ = konst. Primijenimo Gaussov teorem. Nacrtajmo sferu polumjera kroz točku A. Tok vektora intenziteta na sl. 12.9 kroz sfernu površinu polumjera je cosα = 1, jer je α = 0. Prema Gaussovom teoremu,
.

ili

(12.14)

Iz izraza (12.14) slijedi da je jakost polja izvan nabijene kugle jednaka jakosti polja točkastog naboja smještenog u središtu kugle. Na površini kugle, tj. r 1 \u003d r 0, napetost
.

Unutar sfere r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Cilindar radijusa r 0 jednoliko je nabijen površinskom gustoćom σ (sl. 12.10). Odredimo jakost polja u proizvoljno odabranoj točki A. Povucimo kroz točku A zamišljenu cilindričnu plohu polumjera R i duljine ℓ. Zbog simetrije tok će izlaziti samo kroz bočne površine cilindra, jer su naboji na cilindru polumjera r 0 jednoliko raspoređeni po njegovoj površini, tj. linije napetosti bit će radijalne ravne linije okomite na bočne površine obaju cilindara. Budući da je protok kroz bazu cilindara jednak nuli (cos α = 0), i bočna površina cilindar je okomit na silnice (cos α = 1), tada

ili

(12.15)

Vrijednost E izražavamo kroz σ - površinsku gustoću. A-priorat,

stoga,

Zamijenite vrijednost q u formulu (12.15)

(12.16)

Prema definiciji gustoće linija,
, gdje
; zamijenimo ovaj izraz u formulu (12.16):

(12.17)

oni. jakost polja koju stvara beskonačno dugi nabijeni cilindar proporcionalna je linearnoj gustoći naboja i obrnuto proporcionalna udaljenosti.

Intenzitet polja koje stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravnina

Odredimo jakost polja koju stvara beskonačna jednoliko nabijena ravnina u točki A. Neka površinska gustoća naboja ravnine bude σ. Kao zatvorenu plohu zgodno je izabrati valjak čija je os okomita na ravninu, a desna baza sadrži točku A. Ravnina dijeli valjak na pola. Očito je da su silnice okomite na ravninu i paralelne s bočnom površinom cilindra, pa sav tok prolazi samo kroz baze cilindra. Na obje baze je jakost polja ista, jer. točke A i B su simetrične u odnosu na ravninu. Tada je strujanje kroz baze cilindra

Prema Gaussovom teoremu,

Jer
, To
, gdje

(12.18)

Dakle, jakost polja beskonačno nabijene ravnine proporcionalna je gustoći površinskog naboja i ne ovisi o udaljenosti do ravnine. Stoga je polje ravnine homogeno.

Intenzitet polja koje stvaraju dvije suprotno jednoliko nabijene paralelne ravnine

Rezultirajuće polje koje stvaraju dvije ravnine određeno je načelom superpozicije polja:
(sl.12.12). Polje koje stvara svaka ravnina je homogeno, jakosti tih polja jednake su u apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog smjera:
. Prema principu superpozicije, jakost ukupnog polja izvan ravnine je nula:

Između ravnina jakosti polja imaju iste smjerove, pa je rezultirajuća jakost jednaka

Dakle, polje između dvije suprotno ravnomjerno nabijene ravnine je homogeno i njegov intenzitet je dva puta veći od jakosti polja koju stvara jedna ravnina. Lijevo i desno od ravnina nema polja. Polje konačnih ravnina ima isti oblik, distorzija se pojavljuje samo u blizini njihovih granica. Pomoću dobivene formule možete izračunati polje između ploča ravnog kondenzatora.

Svrha lekcije: Ostrogradski–Gaussov teorem postavio je ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku nekog općeg matematičkog teorema i njemački matematičar Carl Friedrich Gauss. Ovaj se teorem može koristiti u studiju fizike na razini profila, budući da omogućuje racionalnije izračune električnih polja.

Za izvođenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i tok ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatsko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da smo odredili napetost u točki koja leži na granici između dva medija: zraka (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, pri prelasku iz zraka u vodu, jakost električnog polja prema formuli smanjit će se za 81 puta. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se za isti faktor smanjiti broj linija sile. Pri rješavanju različitih problema za izračunavanje polja stvaraju se određene neugodnosti zbog diskontinuiteta vektora jakosti na granici između medija i dielektrika. Da bi ih se izbjeglo, uvodi se novi vektor koji se naziva vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je umnošku vektora i električne konstante i permitivnosti medija u danoj točki.

Očito je da se pri prolasku kroz granicu dvaju dielektrika broj linija električne indukcije ne mijenja za polje točkastog naboja (1).

U SI sustavu vektor električne indukcije mjeri se u kulonima po kvadratnom metru (C / m 2). Izraz (1) pokazuje da brojčana vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje se grafički prikazuje slično kao i polje napetosti (npr. za točkasti naboj vidi sl. 1). Za vektorsko polje vrijedi princip superpozicije:

Tok električne indukcije

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj točki prostora. Može se uvesti još jedna veličina, ovisno o vrijednostima vektora ne u jednoj točki, već u svim točkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da bismo to učinili, razmotrimo ravni zatvoreni vodič (strujni krug) s površinom S, smješten u jednolično električno polje. Normala na ravninu vodiča zaklapa kut sa smjerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S naziva se vrijednost jednaka umnošku modula vektora indukcije i površine S i kosinusa kuta između vektora i normale:

Ovaj teorem omogućuje pronalaženje toka vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se najprije jedan točkasti naboj q nalazi u središtu kugle proizvoljnog radijusa r 1 (slika 3). Zatim ; . Izračunajmo ukupni tok indukcije koji prolazi cijelom površinom ove kugle: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , tada je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne obuhvaća naboj q, tada je ukupni protok F \u003d 0 (budući da će svaka linija ući u površinu, a drugi put će je napustiti).

Dakle, F = q ako se naboj nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naboj nalazi izvan zatvorene površine. Tok F ne ovisi o obliku površine. Također ne ovisi o rasporedu naboja unutar površine. To znači da dobiveni rezultat vrijedi ne samo za jedan naboj, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako pod q podrazumijevamo samo algebarski zbroj svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju svih naboja unutar površine: .

Iz formule je vidljivo da je dimenzija električnog toka jednaka dimenziji električnog naboja. Stoga je jedinica toka električne indukcije privjesak (C).

Napomena: ako je polje nehomogeno i površina kroz koju se određuje protok nije ravnina, tada se ta površina može podijeliti na infinitezimalne elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u njegovoj blizini homogenim. Stoga, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbroj svih naboja okruženih zatvorenom površinom S. Zadnju jednadžbu izražavamo preko jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih temeljnih jednadžbi za elektromagnetsko polje, zapisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor stalnog električnog polja u vremenu nepomični električni naboji.

Odredimo sada, koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem, jakost polja za nekoliko slučajeva.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Kugla polumjera R. Neka je naboj +q jednoliko raspoređen po sfernoj površini polumjera R. Raspodjela naboja po površini karakterizirana je gustoćom površinskog naboja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jakost polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmimo točku A, koja je udaljena r>R od središta nabijene sferne površine. Nacrtajmo mentalno kroz nju sfernu plohu S radijusa r, koja ima zajedničko središte s nabijenom sfernom plohom. Iz razmatranja simetrije očito je da su linije sile radijalne ravne crte okomite na površinu S i jednoliko prodiru kroz ovu površinu, tj. napetost u svim točkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S radijusa r. Dakle, ukupni protok kroz sferu je N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačiti: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednoliko nabijena kuglasta površina izvan nje jednaka je kao da je cijeli naboj u njezinu središtu (sl. 5).

b) Odredimo jakost polja u točkama koje leže unutar nabijene sferne površine. Uzmimo točku B koja je udaljena od središta sfere . Tada je E = 0 za r

2. Jakost polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravnina nabijena konstantnom gustoćom u svim točkama ravnine. Zbog simetrije možemo pretpostaviti da su linije napetosti okomite na ravninu i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberemo točku A koja leži desno od ravnine i izračunamo u toj točki koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem. Kao zatvorenu plohu odaberemo valjkastu plohu tako da je bočna ploha valjka paralelna sa silnicama, a njegove osnovice i paralelne s ravninom, a baza prolazi točkom A (sl. 7). Izračunajmo tok napetosti kroz razmatranu cilindričnu plohu. Protok kroz bočnu površinu je 0, jer linije napetosti su paralelne s bočnom površinom. Tada je ukupni protok zbroj protoka i koji prolaze kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

- presjek ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naboj unutar ove površine je q.

Zatim ; - može se uzeti kao točkasti naboj) s točkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski zbrojiti sva polja koja stvara svaki element: ; .

Tok vektora jakosti električnog polja. Neka malo igralište DS(Sl. 1.2) križaju linije sile električnog polja, čiji je smjer s normalom n kutu za ovu stranicu a. Uz pretpostavku da vektor napetosti E ne mijenja unutar stranice DS, definirati protok vektora napetosti putem stranice DS Kako

DFE =E DS cos a.(1.3)

Budući da je gustoća linija polja jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj linija sile koje prelaze područjeDS, bit će brojčano jednaka vrijednosti tokaDFEkroz površinuDS. Desnu stranu izraza (1.3) prikazujemo kao skalarni produkt vektora E IDS= nDS, Gdje nje jedinični normalni vektor na površinuDS. Za osnovno područje d S izraz (1.3) ima oblik

dFE = E d S

preko stranice S tok vektora intenziteta izračunava se kao integral po površini

Strujanje vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja

dFD = D d S

Postoji određena dvosmislenost u definicijama protoka, zbog činjenice da za svaku površinu možete navesti dvije normale u suprotnom smjeru. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.

Gaussov teorem. Smatrati točka pozitivna električno punjenje q, koji se nalazi unutar proizvoljne zatvorene površine S(Slika 1.3). Tok vektora indukcije kroz površinski element d S jednaki
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u smjeru vektora indukcijeDsmatrati elementom sferne površine radijusa r, u čijem se središtu nalazi nabojq.

S obzirom da d S D/ r 2 jednako elementarno tjelesno kut dw, pod kojim od točke gdje je nabojqpovršinski element d vidljiv S, transformiramo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle nakon integracije po cijelom prostoru oko naboja, tj. unutar prostornog kuta od 0 do 4str, dobivamo

FD = q.

Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju unutar te površine..

Ako proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q(Sl. 1.4), zatim, izgradivši konusnu površinu s vrhom na mjestu gdje se nalazi naboj, dijelimo površinu S na dva dijela: S 1 i S 2. Vektorski tok D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbroj tokova kroz površine S 1 i S 2:

.

Obje površine od točke gdje se nalazi naboj q vidljiv iz jednog čvrstog kuta w. Dakle, tokovi su jednaki

Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo vanjska normala na površinu, lako je vidjeti da tok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupni protok F D= 0. To znači da protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan ove površine.

Ako je električno polje stvoreno sustavom točkastih naboja q 1 , q 2 ,¼ , q n, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu s načelom superpozicije, tok vektora indukcije kroz tu površinu definira kao zbroj tokova koje stvara svaki od naboja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbroju naboja koje ta površina pokriva.:

Treba napomenuti da optužbe q i ne moraju nužno biti točkasti, nužan uvjet je da nabijeno područje mora biti potpuno prekriveno površinom. Ako u prostoru omeđenom zatvorenom plohom S, električni naboj distribuira kontinuirano, tada treba smatrati da je svaki elementarni volumen d V ima naboj. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarsko zbrajanje naboja zamijenjeno je integracijom po volumenu unutar zatvorene površine S:

(1.6)

Izraz (1.6) je najopćenitija formulacija Gaussovi teoremi: tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u volumenu koji pokriva ova površina i ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan razmatrane površine. Gaussov teorem također se može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:

.

Važno svojstvo električnog polja proizlazi iz Gaussovog teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Još jednom naglašavamo da, unatoč činjenici da jakost električnog polja E i električna indukcija D ovise o položaju svih naboja u prostoru, tokovi tih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S determiniran samo oni naboji koji se nalaze unutar površine S.

Diferencijalni oblik Gaussovog teorema. Imajte na umu da integralni oblik Gaussov teorem karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (jakosti ili indukcije) u volumenu V proizvoljan, ali dovoljan za formiranje integralnih odnosa, vrijednost. Dijeljenjem volumena V za male količine Vi, dobivamo izraz

vrijedi i općenito i za svaki pojam. Transformiramo dobiveni izraz na sljedeći način:

(1.7)

i razmotrite granicu kojoj teži izraz s desne strane jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, s neograničenom podjelom volumena V. U matematici se ta granica naziva divergencija vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):

Vektorska divergencija D u kartezijevim koordinatama:

Tako se izraz (1.7) transformira u oblik:

.

Uzimajući u obzir da kod neograničenog dijeljenja zbroj na lijevoj strani posljednjeg izraza ide u volumenski integral, dobivamo

Rezultirajuća relacija mora vrijediti za bilo koji proizvoljno odabrani volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integranda u svakoj točki prostora iste. Prema tome, divergencija vektora D povezana je s gustoćom naboja u istoj točki jednakošću

ili za vektor jakosti elektrostatičkog polja

Ove jednakosti izražavaju Gaussov teorem u diferencijalni oblik.

Imajte na umu da se u procesu prelaska na diferencijalni oblik Gaussovog teorema dobiva relacija koja ima opći karakter:

.

Izraz se naziva formula Gauss-Ostrogradskog i povezuje volumenski integral divergencije vektora s protokom tog vektora kroz zatvorenu plohu koja ograničava volumen.

Pitanja

1) Koje je fizikalno značenje Gaussovog teorema za elektrostatsko polje u vakuumu

2) U središtu kocke nalazi se točkasti nabojq. Koliki je tok vektora E:

a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od ploha kocke.

Hoće li se odgovori promijeniti ako:

a) naboj nije u središtu kocke, već unutar nje ; b) naboj je izvan kocke.

3) Što je linearna, površinska, volumna gustoća naboja.

4) Navedite odnos između volumena i površinske gustoće naboja.

5) Može li polje izvan suprotno i jednoliko nabijenih paralelnih beskonačnih ravnina biti različito od nule

6) Električni dipol smješten je unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu