Analizirat ćemo dvije vrste rješavanja sustava jednadžbi:

1. Rješenje sustava metodom supstitucije.
2. Rješenje sustava počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) jednadžbi sustava.

Kako bismo riješili sustav jednadžbi metoda supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izražavamo. Iz bilo koje jednadžbe izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Zamjenjujemo u drugu jednadžbu umjesto izražene varijable, dobivenu vrijednost.
3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom. Nalazimo rješenje za sustav.

Riješiti sustav počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) potreba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Zbrajamo ili oduzimamo jednadžbe, kao rezultat dobivamo jednadžbu s jednom varijablom.
3. Rješavamo dobivenu linearnu jednadžbu. Nalazimo rješenje za sustav.

Rješenje sustava su sjecišta grafova funkcije.

Razmotrimo detaljno rješenje sustava koristeći primjere.

Primjer #1:

Rješavajmo metodom zamjene

Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Izraziti
Vidi se da u drugoj jednadžbi postoji varijabla x s koeficijentom 1, stoga ispada da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednadžbe.
x=3+10y

2. Nakon izražavanja, zamijenimo 3 + 10y u prvoj jednadžbi umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rješenje sustava jednadžbi su sjecišne točke grafova, stoga trebamo pronaći x i y, jer se sjecišna točka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom paragrafu gdje smo izrazili zamijenimo y tamo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da na prvo mjesto pišemo bodove, pišemo varijablu x, a na drugo mjesto varijablu y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rješavajmo počlanim zbrajanjem (oduzimanjem).

Rješavanje sustava jednadžbi metodom zbrajanja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istima, za to imamo pravo pomnožiti jednadžbe ili podijeliti bilo kojim brojem. Prvu jednadžbu pomnožimo s 2, a drugu s 3 i dobijemo ukupni koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prve jednadžbe oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednadžbu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Pronađite x. Pronađeni y zamijenimo u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednadžbi.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Točka presjeka će biti x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li besplatno pripremati ispite? Učitelj online je besplatan. Bez šale.

Jednadžba je jednakost u kojoj postoji jedna ili više varijabli.
Razmotrit ćemo slučaj kada u jednadžbi postoji jedna varijabla, odnosno jedan nepoznati broj. U biti, jednadžba je vrsta matematičkog modela. Stoga su nam prije svega potrebne jednadžbe za rješavanje problema.

Prisjetimo se kako se sastavlja matematički model za rješavanje problema.
Na primjer, u novom akademska godina Broj učenika u školi broj 5 se udvostručio. Nakon što je 20 učenika prešlo u drugu školu, u školu broj 5 krenulo je ukupno 720 učenika. Koliko je učenika bilo prošle godine?

Ono što je rečeno u uvjetu moramo izraziti matematičkim jezikom. Neka je broj učenika prošle godine X. Tada, prema uvjetu zadatka,
2X - 20 = 720. Imamo matematički model, koji je jedna varijabilna jednadžba. Točnije, ovo je jednadžba prvog stupnja s jednom varijablom. Ostaje pronaći njegov korijen.

Koji je korijen jednadžbe?

Vrijednost varijable pri kojoj se naša jednadžba pretvara u istinska jednakost, naziva se korijen jednadžbe. Postoje jednadžbe koje imaju mnogo korijena. Na primjer, u jednadžbi 2*X = (5-3)*X bilo koja vrijednost od X je korijen. A jednadžba X \u003d X + 5 uopće nema korijena, jer bez obzira što zamijenimo vrijednost X, nećemo dobiti ispravnu jednakost. Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje svih njezinih korijena ili utvrđivanje da nema korijena. Da bismo odgovorili na naše pitanje, moramo riješiti jednadžbu 2X - 20 = 720.

Kako riješiti jednadžbe s jednom varijablom?

Prvo, napišimo neke osnovne definicije. Svaka jednadžba ima desnu i lijevu stranu. U našem slučaju, (2X - 20) je lijeva strana jednadžbe (lijevo je od znaka jednakosti), a 720 je desna strana jednadžbe. Članovi desne i lijeve strane jednadžbe nazivaju se članovima jednadžbe. Naši članovi u jednadžbi su 2X, -20 i 720.

Recimo odmah o 2 svojstva jednadžbi:

Bilo koji član jednadžbe može se prenijeti s desne strane jednadžbe na lijevu i obrnuto. U ovom slučaju potrebno je promijeniti predznak ovog člana jednadžbe u suprotan. To jest, unosi poput 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X su ekvivalentni.
Obje strane jednadžbe mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem. Ovaj broj ne smije biti nula. To jest, unosi poput 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 također su ekvivalentni.

Iskoristimo ova svojstva za rješavanje naše jednadžbe.

Pomaknimo se -20 na desnu stranu sa suprotnim predznakom. Dobivamo:

2X = 720 + 20. Zbrojimo ono što imamo na desnoj strani. Dobijamo da je 2X = 740.

Sada podijelite lijevu i desnu stranu jednadžbe s 2.

2X:2 = 740:2 ili X = 370. Pronašli smo korijen naše jednadžbe i ujedno pronašli odgovor na naš problem. Prošle godine školu broj 5 pohađalo je 370 učenika.

Provjerimo pretvara li naš korijen stvarno jednadžbu u pravu jednakost. Zamijenimo X brojem 370 u jednadžbi 2X - 20 = 720.

2*370-20 = 720.

U redu.

Dakle, da bismo riješili jednadžbu s jednom varijablom, ona se mora svesti na takozvanu linearnu jednadžbu oblika ax \u003d b, gdje su a i b neki brojevi. Zatim lijevi i desni dio podijelite brojem a. Dobijamo da je x = b:a.

Što znači dovesti jednadžbu do linearne jednadžbe?

Razmotrimo ovu jednadžbu:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X.

Ovo je također jednadžba s jednom nepoznatom varijablom X. Naš zadatak je ovu jednadžbu dovesti u oblik ax = b.

Da bismo to učinili, prvo skupljamo sve članove koji imaju X kao faktor na lijevoj strani jednadžbe, a preostale članove na desnoj strani. Pojmovi koji imaju isto slovo kao faktor nazivaju se slični pojmovi.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Prema svojstvu distributivnosti množenja, isti faktor možemo izvaditi iz zagrada i dodati koeficijente (množitelje za varijablu x). Ovaj proces se također naziva redukcija sličnih članova.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Jednadžbu smo sveli na oblik ax = b, gdje je a = 7, b = 49.

I kao što smo gore napisali, korijen jednadžbe oblika ax \u003d b bit će x \u003d b: a.

To je X = 49:7 = 7.

Algoritam za pronalaženje korijena jednadžbe s jednom varijablom.

Sakupite slične članove na lijevoj strani jednadžbe, a preostale članove na desnoj strani jednadžbe.
Donesite slične uvjete.
Jednadžbu dovedite u oblik ax = b.
Pronađite korijene pomoću formule x = b:a.

Bilješka. U ovom članku nismo razmatrali slučajeve u kojima je varijabla podignuta na bilo koju potenciju. Drugim riječima, razmatrali smo jednadžbe prvog stupnja s jednom varijablom.

Jednadžbe

Kako riješiti jednadžbe?

U ovom odjeljku prisjetit ćemo se (ili proučavati - kako tko voli) najelementarnijih jednadžbi. Dakle, što je jednadžba? Ljudski govoreći, to je neka vrsta matematičkog izraza, gdje postoji znak jednakosti i nepoznata. Što se obično označava slovom "X". riješiti jednadžbu je pronaći takve x-vrijednosti koje, prilikom zamjene u početni izraz, dat će nam ispravan identitet. Podsjećam da je identitet izraz koji ne izaziva sumnju čak ni za osobu koja nije apsolutno opterećena matematičkim znanjem. Kao 2=2, 0=0, ab=ab itd. Dakle, kako rješavate jednadžbe? Hajdemo shvatiti.

Ima svakakvih jednadžbi (iznenadio sam se, zar ne?). Ali sva njihova beskonačna raznolikost može se podijeliti u samo četiri vrste.

4. ostalo.)

Sve ostalo, naravno, najviše od svega, da ...) Ovo uključuje kubične, i eksponencijalne, i logaritamske, i trigonometrijske, i sve vrste drugih. Blisko ćemo surađivati s njima u relevantnim odjeljcima.

Moram odmah reći da su ponekad jednadžbe prve tri vrste toliko namotane da ih ne prepoznajete ... Ništa. Naučit ćemo kako ih odmotati.

I zašto su nam potrebne ove četiri vrste? I što onda linearne jednadžbe riješen na jedan način kvadrat drugi frakcijski racionalni - treći, a odmor uopće nije riješeno! Pa, nije da oni uopće ne odlučuju, uzalud sam uvrijedio matematiku.) Samo što oni imaju svoje posebne tehnike i metode.

Ali za bilo koji (ponavljam - za bilo koji!) jednadžbi je pouzdana i jednostavna osnova za rješavanje. Radi svugdje i uvijek. Ova baza - Zvuči zastrašujuće, ali stvar je vrlo jednostavna. I jako (vrlo!) važno.

Zapravo, rješenje jednadžbe sastoji se od istih transformacija. Na 99%. Odgovor na pitanje: " Kako riješiti jednadžbe?" leži, samo u ovim transformacijama. Je li nagovještaj jasan?)

Transformacije identiteta jednadžbi.

NA bilo koje jednadžbe da bismo pronašli nepoznato, potrebno je transformirati i pojednostaviti izvorni primjer. Štoviše, tako da prilikom mijenjanja izgled bit jednadžbe se nije promijenila. Takve se transformacije nazivaju identičan ili ekvivalent.

Imajte na umu da su ove transformacije samo za jednadžbe. U matematici još uvijek postoje identične transformacije izrazi. Ovo je druga tema.

Sada ćemo ponoviti sve-sve-sve osnovno identične transformacije jednadžbi.

Osnovni jer se mogu primijeniti na bilo koji jednadžbe - linearne, kvadratne, frakcijske, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske, itd. itd.

Prva identična transformacija: obje strane bilo koje jednadžbe mogu se dodati (oduzeti) bilo koji(ali isto!) broj ili izraz (uključujući izraz s nepoznatom!). Suština jednadžbe se ne mijenja.

Usput, stalno si koristio ovu transformaciju, samo si mislio da neke članove prenosiš iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka. Tip:

Stvar je poznata, pomaknemo dvojku udesno i dobijemo:

zapravo ti oduzeta s obje strane jednadžbe dvojka. Rezultat je isti:

x+2 - 2 = 3 - 2

Prijenos članova lijevo-desno s promjenom predznaka jednostavno je skraćena verzija prve identične transformacije. I zašto nam je potrebno tako duboko znanje? - pitaš. Ništa u jednadžbama. Miči se, zaboga. Samo ne zaboravite promijeniti znak. Ali u nejednakostima navika prijenosa može dovesti do slijepe ulice...

Druga transformacija identiteta: obje strane jednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istim različit od nule broj ili izraz. Ovdje se već pojavljuje razumljivo ograničenje: glupo je množiti s nulom, ali je uopće nemoguće dijeliti. Ovo je transformacija koju koristite kada odlučite nešto poput cool

Razumljivo, x= 2. Ali kako ste ga pronašli? Izbor? Ili samo upalio? Kako ne biste pokupili i čekali uvid, morate shvatiti da ste pravedni podijeli obje strane jednadžbe za 5. Dijeljenjem lijeve strane (5x), petica je smanjena, ostavljajući čisti X. Što nam je i trebalo. A kada se desna strana od (10) podijeli s pet, ispala je, naravno, dvojka.

To je sve.

Smiješno je, ali ove dvije (samo dvije!) identične transformacije su temelj rješenja sve jednadžbe matematike. Kako! Ima smisla pogledati primjere što i kako, zar ne?)

Primjeri identičnih transformacija jednadžbi. Glavni problemi.

Počnimo s prvi identična transformacija. Pomicanje lijevo-desno.

Primjer za najmlađe.)

Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednadžbu:

3-2x=5-3x

Prisjetimo se čarolije: "sa X - lijevo, bez X - desno!" Ova čarolija je uputa za primjenu prve transformacije identiteta.) Što je izraz s x na desnoj strani? 3x? Odgovor je pogrešan! S naše desne strane - 3x! Minus tri x! Stoga će se pri pomaku ulijevo znak promijeniti u plus. Dobiti:

3-2x+3x=5

Dakle, X-ovi su spojeni. Idemo računati. Tri s lijeve strane. Kakav znak? Odgovor "ni s jednom" se ne prihvaća!) Ispred trojke doista ništa nije nacrtano. A to znači da je ispred trostruke plus. Tako su se matematičari složili. Ništa nije napisano, dakle plus. Stoga će trojka biti prebačena na desnu stranu s minusom. Dobivamo:

-2x+3x=5-3

Ostalo je praznih mjesta. S lijeve strane - dajte slične, s desne strane - brojite. Odgovor je odmah:

U ovom primjeru bila je dovoljna jedna identična transformacija. Drugi nije bio potreban. Pa dobro.)

Primjer za starije.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

U prethodnim lekcijama smo se upoznali s izrazima, a naučili smo ih pojednostaviti i izračunati. Sada prelazimo na teže i zanimljivije, naime na jednadžbe.

Jednadžba i njezini korijeni

Jednakost koja sadrži varijablu(e) naziva se jednadžbe. riješiti jednadžbu , znači pronaći vrijednost varijable za koju će jednakost biti istinita. Vrijednost varijable se zove korijen jednadžbe .

Jednadžbe mogu imati jedan korijen, nekoliko ili nijedan.

Pri rješavanju jednadžbi koriste se sljedeća svojstva:

ako u jednadžbi prenesemo član iz jednog dijela jednadžbe u drugi, a predznak promijenimo na suprotan, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.
Ako obje strane jednadžbe pomnožimo ili podijelimo s istim brojem, tada će se dobiti jednadžba ekvivalentna danoj.

Primjer #1Koji od brojeva: -2, -1, 0, 2, 3 su korijeni jednadžbe:

Da biste riješili ovaj zadatak, samo trebate naizmjenično zamijeniti svaki od brojeva umjesto varijable x i odabrati one brojeve za koje se smatra da je jednakost istinita.

S "x \u003d -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\ (4 \u003d 4 \) - jednakost je istinita, što znači da je (-2) korijen naše jednadžbe

S "x \u003d -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - jednakost je pogrešna, stoga (-1) nije korijen jednadžbe

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - jednakost je pogrešna, pa 0 nije korijen jednadžbe

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\ (4 \u003d 4 \) - jednakost je istinita, što znači da je 2 korijen naše jednadžbe

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - jednakost je pogrešna, pa 3 nije korijen jednadžbe

Odgovor: iz prikazanih brojeva korijeni jednadžbe \(x^2=10-3x \) su brojevi -2 i 2.

Linearna jednadžba s jednom varijablom su jednadžbe oblika ax = b, gdje je x varijabla, a a i b neki brojevi.

Postoji velik broj vrsta jednadžbi, no rješavanje mnogih od njih svodi se na rješavanje linearne jednadžbe, pa je poznavanje ove teme obavezno za daljnje učenje!

Primjer #2 Riješite jednadžbu: 4(x+7) = 3-x

Da biste riješili ovu jednadžbu, prvo se morate riješiti zagrade, a za to pomnožimo svaki od članova u zagradi s 4, dobivamo:

4x + 28 = 3 - x

Sada trebate prenijeti sve vrijednosti iz "x" na jednu stranu, a sve ostalo na drugu stranu (ne zaboravite promijeniti predznak u suprotan), dobivamo:

4x + x = 3 - 28

Sada oduzmite vrijednost s lijeve i desne strane:

Da biste pronašli nepoznati faktor (x), trebate umnožak (25) podijeliti s poznatim faktorom (5):

Odgovor x = -5

Ako niste sigurni oko odgovora, možete provjeriti zamjenom dobivene vrijednosti u našoj jednadžbi umjesto x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - jednadžba je točno riješena!

Sada da riješimo nešto teže:

Primjer #3 Pronađite korijene jednadžbe: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Prije svega, također se riješite zagrada:

S lijeve strane odmah vidimo y i -y, što znači da ih je moguće jednostavno precrtati, a dobivene brojeve jednostavno zbrojiti i izraz zapisati:

Sada možete pomicati vrijednosti s "y" ulijevo, a vrijednosti s brojevima udesno. Ali to nije potrebno, jer nije bitno na kojoj su strani varijable, glavno je da budu bez brojeva, što znači da nećemo ništa prenijeti. Ali za one koji ne razumiju, učinit ćemo kako kaže pravilo i podijelit ćemo oba dijela s (-1), kao što svojstvo kaže:

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Odgovor: y = \(1\frac(1)(3) \)

Možete i provjeriti odgovor, ali učinite to sami.

Primjer #4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Sada ću ja samo riješiti, bez objašnjenja, a vi pogledajte tijek rješavanja i točan zapis rješenja jednadžbi:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Odgovor: x = -1,5

Ako nešto usput nije jasno, napišite u komentarima

Rješavanje zadataka s jednadžbama

Znajući što su jednadžbe i naučite kako ih izračunati, također otvarate pristup rješavanju mnogih problema u kojima se jednadžbe koriste za rješavanje.

Neću ulaziti u teoriju, bolje je pokazati sve odjednom s primjerima

Primjer #5 U košari je bilo 2 puta manje jabuka nego u kutiji. Nakon što je 10 jabuka prebačeno iz košare u kutiju, u kutiji je bilo 5 puta više jabuka nego u košari. Koliko je jabuka bilo u košari, a koliko u kutiji?

Prije svega treba odrediti što ćemo uzeti za "x", u ovom zadatku možemo prihvatiti i kutije i košare, ali ja ću uzeti jabuke u košari.

Dakle, neka u košari bude x jabuka, budući da je u kutiji bilo dvostruko više jabuka, onda ovo uzimamo za 2x. Nakon što su jabuke iz košare prebačene u kutiju, košarica jabuka je postala: x - 10, što znači da je u kutiji bilo - (2x + 10) jabuka.

Sada možete napraviti jednadžbu:

5(x-10) - u kutiji ima 5 puta više jabuka nego u košari.

Izjednačite prvu i drugu vrijednost:

2x+10 = 5(x-10) i riješite:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x \u003d -60 / -3 \u003d 20 (jabuke) - u košarici

Sada, znajući koliko je jabuka bilo u košari, saznat ćemo koliko je jabuka bilo u kutiji - budući da ih je bilo dvostruko više, rezultat jednostavno pomnožimo s 2:

2*20 = 40 (jabuka) - u kutiji

Odgovor: U kutiji je 40 jabuka, au košari 20 jabuka.

Razumijem da mnogi od vas možda nisu u potpunosti razumjeli kako riješiti probleme, ali uvjeravam vas da ćemo se više puta vratiti na ovu temu u našim lekcijama, ali za sada, ako još uvijek imate pitanja, postavite ih u komentarima.

Na kraju još nekoliko primjera za rješavanje jednadžbi

Primjer #6\(2x - 0,7x = 0 \)

Primjer #7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Primjer #8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - nema korijena, jer Ne možete dijeliti s nulom!

Hvala svima na pažnji. Ako vam nešto nije jasno, pitajte u komentarima.

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

NA školski tečaj matematičari proučavaju formule korijena kvadratnih jednadžbi, s kojima možete riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu. Međutim, postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koji vam omogućuju vrlo brzo i racionalno rješavanje mnogih jednadžbi. Postoji deset načina rješavanja kvadratnih jednadžbi. U svom radu detaljno sam analizirao svaku od njih.

1. METODA : Faktorizacija lijeve strane jednadžbe.

Riješimo jednadžbu

x 2 + 10x - 24 = 0.

Rastavimo lijevu stranu na faktore:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Stoga se jednadžba može prepisati kao:

(x + 12) (x - 2) = 0

Budući da je umnožak nula, onda je barem jedan od njegovih faktora nula. Stoga lijeva strana jednadžbe nestaje na x = 2, kao i kod x = - 12. To znači da broj 2 i - 12 su korijeni jednadžbe x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODA : Metoda odabira punog kvadrata.

Riješimo jednadžbu x 2 + 6x - 7 = 0.

Odaberimo puni kvadrat s lijeve strane.

Da bismo to učinili, upisujemo izraz x 2 + 6x sljedeći obrazac:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

U dobivenom izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki umnožak x i 3. Stoga, da biste dobili puni kvadrat, trebate dodati 3 2, jer

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Sada transformiramo lijevu stranu jednadžbe

x 2 + 6x - 7 = 0,

dodajući mu i oduzimajući 3 2 . Imamo:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Stoga se ova jednadžba može napisati na sljedeći način:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Posljedično, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 ili x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODA :Rješavanje kvadratnih jednadžbi formulom.

Pomnožite obje strane jednadžbe

ah 2+bx + c = 0, a ≠ 0

na 4a i sukcesivno imamo:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2x) 2 + 2xb + b 2 ) - b 2 + 4 ak = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Primjeri.

a) Riješimo jednadžbu: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ak = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva različita korijena;

Dakle, u slučaju pozitivne diskriminante, tj. na

b 2 - 4 ak >0 , jednadžba ah 2+bx + c = 0 ima dva različita korijena.

b) Riješimo jednadžbu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ak = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b 2 - 4 ak = 0 , zatim jednadžba

ah 2+bx + c = 0 ima jedan korijen

u) Riješimo jednadžbu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ak = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Ova jednadžba nema korijena.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b 2 - 4 ak < 0 ,

jednadžba ah 2+bx + c = 0 nema korijena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe ah 2+bx + c = 0 omogućuje pronalaženje korijena bilo koji kvadratna jednadžba (ako postoji), uključujući smanjenu i nepotpunu. Formula (1) izražava se verbalno na sljedeći način: korijeni kvadratne jednadžbe jednaki su razlomku čiji je brojnik jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, plus minus kvadratni korijen kvadrata ovog koeficijenta bez četverostrukog umnoška prvog koeficijenta sa slobodnim članom, a nazivnik je dvostruko veći od prvog koeficijenta.

4. METODA: Rješenje jednadžbi pomoću Vietaovog teorema.

Kao što je poznato, dat kvadratna jednadžba ima oblik

x 2+px + c = 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju Vieta teorem, koji, kada a =1 ima oblik

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Iz ovoga možemo izvući sljedeće zaključke (predznake korijena možemo predvidjeti iz koeficijenata p i q).

a) Ako sumarni pojam q reducirane jednadžbe (1) je pozitivan ( q > 0 ), onda jednadžba ima dva korijena istog predznaka i to je zavist drugog koeficijenta str. Ako a R< 0 , tada su oba korijena negativna if R< 0 , tada su oba korijena pozitivna.

Na primjer,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 i x 2 = 1, jer q = 2 > 0 i str = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 i x 2 = - 1, jer q = 7 > 0 i str= 8 > 0.

b) Ako je slobodan član q reducirane jednadžbe (1) je negativan ( q < 0 ), onda jednadžba ima dva korijena različitog predznaka, a veći korijen u apsolutnoj vrijednosti će biti pozitivan ako str < 0 , ili negativno ako str > 0 .

Na primjer,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 i x 2 = 1, jer q= - 5 < 0 i str = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 i x 2 = - 1, jer q = - 9 < 0 i str = - 8 < 0.

5. METODA: Rješavanje jednadžbi metodom "transfera".

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu

ah 2+bx + c = 0, gdje a ≠ 0.

Množenjem oba njegova dijela s a dobivamo jednadžbu

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka ah = y, gdje x = y/a; onda dolazimo do jednadžbe

y 2+po+ ac = 0,

ekvivalentan ovom. svoje korijene 1 i na 2 može se pronaći pomoću Vietinog teorema.

Napokon dobivamo

x 1 \u003d y 1 / a i x 1 \u003d y 2 / a.

Ovom metodom koeficijent a pomnožen je slobodnim izrazom, kao da mu je "bačen", stoga se i zove način prijenosa. Ova se metoda koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Primjer.

Riješimo jednadžbu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Riješenje."Prebacimo" koeficijent 2 na slobodni izraz, kao rezultat dobivamo jednadžbu

y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinom teoremu

y 1 = 5 x 1 = 5/2x 1 = 2,5

y 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odgovor: 2,5; 3.

6. METODA: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

ALI. Neka je kvadratna jednadžba

ah 2+bx + c = 0, gdje a ≠ 0.

1) Ako je a+b+ c \u003d 0 (tj. zbroj koeficijenata je nula), zatim x 1 \u003d 1,