Решу огэ неполные квадратные уравнения. Уравнения. Подготовка к ОГЭ. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

Домножим левую и правую часть на:

Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!

Пример 3.

Домножим все на:

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4.

Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

Ответы:

квадратное;
квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
квадратное;
не квадратное;
квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:
Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают типов:

, в этом уравнении коэффициент равен.
, в этом уравнении свободный член равен.
, в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.

А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 7:

Решите уравнение

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Таким образом,

У этого уравнения два корня.

Ответ:

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.

Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение

Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.

Пример 12:

Решите уравнение

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно:

Составим и решим систему:

и. Сумма равна;
и. Сумма равна;
и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Ответ: ; .

Пример 13:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 14:

Решите уравнение

Уравнение приведенное, а значит:

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое квадратное уравнение?

Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .

Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.

При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.

Можно выделить типа таких уравнений:

I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

II. , в этом уравнении коэффициент равен.

III. , в этом уравнении свободный член равен.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если, то уравнение не имеет решений;

если, имеем учаем два корня

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.

Ответ:

Итак, это уравнение имеет два корня: и.

Ответ:

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ:

Методы решения полных квадратных уравнений:

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

Если, то уравнение имеет корня:
Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Ответ: .

Ответ:

А значит, решений нет.

Ответ: .

2. Теорема Виета

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение.

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .

Сумма корней уравнения равна:

А произведение равно:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:

и. Сумма равна;
и. Сумма равна;
и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Таким образом, и - корни нашего уравнения.

Ответ: ; .

Пример №2:

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:

и: в сумме дают.

и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.

Ответ:

Пример №3:

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:

и: их разность равна - не подходит;

и: - не подходит;

и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:

Ответ:

Пример №4:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:

Ответ:

Пример №5:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:

Очевидно, что корнями являются числа и.

Ответ:

Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Не подходит, так как сумма;

: сумма - то что надо.

Ответ: ; .

Задание 2.

И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.

Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).

Ответ: ; .

Задание 3.

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

Сумма корней равна, произведение.

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:

Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.

Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).

Ответ: ; .

Задание 4.

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.

Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.

Ответ: ; .

Задание 5.

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:

Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: ; .

Подведу итог:

Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.

Например:

Пример 1:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример 2:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Отсюда следует: .

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.

Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:

если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
если свободный член, уравнение имеет вид: ,
если и, уравнение имеет вид: .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Выразим неизвестное: ,

2) Проверяем знак выражения:

если, то уравнение не имеет решений,
если, то уравнение имеет два корня.

1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Вынесем общим множитель за скобки: ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:

1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,

2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
если, то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.

2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида имеет корни, то его можно записать в виде: .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Тойлонов Аргымай и Тойлонов Эркей

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы: «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ:

«УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Тойлонов Эркей

Обучающиеся 8 класса

руководитель: Тойлонова Надежда Владимировна, учитель математики.

Сроки реализации проекта:

с 13.12.2017 по 13.02. 2018 г.

Введение ………………………………………………………………..
Историческая справка …………………………………………………
Глава 1 Решение уравнений …………………………………………...
1.1 Решение линейных уравнений ……………………………………
1.2 Квадратные уравнения ……………………………………………
1.2.1 Неполные квадратные уравнения ………………………………	9-11
1.2.2 Полные квадратные уравнения …………………………………	11-14
1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений …………….	14-15
1.3 Рациональные уравнения ………………………………………….	15-17
Глава 2 Сложные уравнения ………………………………………….	18-24
Выводы …………………………………………………………………
Список использованной литературы …………………………………
Приложение 1 «Линейные уравнения» ……………………………….	26-27
Приложение 2 «Неполные квадратные уравнения» …………………	28-30
Приложение 3 «Полные квадратные уравнения» ……………………	31-33
Приложение 4 «Рациональные уравнения» ………………………….	34-35
Приложение 5 «Сложные уравнения» ………………………………..	36-40

ВВЕДЕНИЕ

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

План работы над проектом:

Формулирование темы проекта.
Подбор материала из официальных источников по заданной теме.
Обработка и систематизация информации.
Реализация проекта.
Оформление проекта.
Защита проекта.

Проблема : углубить представления об уравнениях. Показать основные методы решения уравнений, представленных в заданиях ОГЭ в первой и второй части.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены: линейные уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением, все виды квадратных уравнений и методы решения рациональных уравнений.

Математика... выявляет порядок, симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Итак, что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой « х ». Значение « х », удовлетворяющее данным условиям, называют корнем уравнения.

Уравнения бывают разных видов :

ax + b = 0. - Линейное уравнение.
ax 2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Биквадратное уравнение.

– Рациональное уравнение.

– Иррациональное уравнение.
Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Глава 1 Решение уравнений

1.1 Решение линейных уравнений .

Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений. Вспомним, что уравнение вида называется линейным уравнением или уравнением первой степени так как при переменной « х » старшая степень находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1. Решите уравнение 3 x +3=5 x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в правую часть от знака равенства:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1,5

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Ответ: 1,5.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2. Решите уравнения:

а) 6 x +1=− 4 x ; б) 8+7 x =9 x +4; в) 4(x −8)=− 5.

Решение.

а) Методом переноса решаем

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Проверка:

Ответ: –0,1

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

Ответ: 2.

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Ответ: 6,75.

1.2 Квадратные уравнения

Уравнение вида называют квадратным уравнением, где a – старший коэффициент, b – средний коэффициент, с – свободный член.

В зависимости от коэффициентов а, b и с – уравнение может быть, полным или не полным, приведенным или не приведенным.

1.2.1 Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим способы решения неполных квадратных уравнений:

1) Начнем разобраться с решением первого вида неполных квадратных уравнений при c=0 . Неполные квадратные уравнения вида a·x 2 +b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители . В частности метод вынесения за скобки.

Очевидно, мы можем, находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x . Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0 .

А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0 , последнее из которых является линейным и имеет корень x=− .

a·x 2 +b·x=0 имеет два корня

x=0 и x=− .

2) Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0 , то есть, уравнения вида a·x 2 +c=0 . Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x 2 +c=0 :

перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x 2 =−c ,
и разделить обе его части на a , получаем.

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число – отрицательное, то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же – положительное число, то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, нужно вспомнить, что корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство.

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x 2 +c=0 равносильно уравнению , которое

3) Решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x 2 =0 . Уравнению a·x 2 =0 следует x 2 =0 , которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a . Очевидно, корнем уравнения x 2 =0 является нуль, так как 0 2 =0 . Других корней это уравнение не имеет.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 =0 имеет единственный корень x=0 .

Пример 3. Решите уравнения: а) x 2 =5x, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них ;

б) , если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них ;

в) x 2 −9=0, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение.

Получили неполное квадратное уравнение к котором отсутствует свободный член. Решаем методом вынесения за скобки.

У равнение умеет два корня, меньшее из которых является 0.

Ответ: 0.

б) . Аналогично предыдущему примеру применяем метод вынесения за скобки

В ответе необходимо указать больший из корней. Таковым является число 2.

Ответ: 2.

в) . Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, у которого отсутствует средний коэффициент.

Меньшим из данных корней является число – 3.

Ответ: –3.

1.2.2 Полные квадратные уравнения.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово:

1) D=b 2 −4·a·c – так называемый .

а) если D

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения . Чтобы решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 , надо:

по формуле дискриминанта D=b 2 −4·a·c вычислить его значение;
заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
вычислить единственный корень уравнения по формуле, если D=0 ;
найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней, если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при :

1) D’=k 2 −a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения .

а) если D’ не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’ не имеет два корня:

Пример 4. Решите уравнение 2x 2 −3x+1=0.. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=2 , b=-3 и c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Так как 1>0

У нас получилось два корня больший из которых является число 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решите уравнение x 2 −21=4x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. По аналогии с предыдущим примером перенесем 4ч в левую сторону от знака равенства и получим:

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1 , k=-2 и c=−21 . Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Число 25>0 , то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней

Ответ: 7.

1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений.

1) Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известной и применимой формулой называемой Теоремой Виета.

Теорема: Пусть - корни приведенного квадратного уравнения . Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пример 6. а) Решите уравнение x 2

б) Решите уравнение x 2

в) Решите уравнение x 2

Решение.

а) Решите уравнение x 2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Выбираем меньший из корней

Ответ: 1

б) Решите уравнение x 2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем больший из корней

Ответ: ─2.

в) Решите уравнение x 2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: ─2.

1.3 Рациональные уравнения

Если вам дано уравнение с дробями вида с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением. Рациональное уравнение – это любое уравнение, которое включает в себя не менее одного рационального выражения. Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения. Тем не менее, есть 2 метода решения рациональных уравнений.

1) Умножение крест-накрест. При необходимости перепишите данное вам уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае вы сможете воспользоваться методом умножения крест-накрест.

Умножьте числитель левой дроби на знаменатель правой. Повторите это с числителем правой дроби и знаменателем левой.

Умножение крест-накрест основано на основных алгебраических принципах. В рациональных выражениях и других дробях можно избавиться от числителя, соответственно перемножив числители и знаменатели двух дробей.
Приравняйте полученные выражения и упростите их.
Решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Если «х» находится с обеих сторон уравнения, обособьте его на одной стороне уравнения.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби.
Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

Пример 7. Решите уравнения: а) ; б) в) .

Решение.

а) . Применяем метод умножения крест накрест.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

получили линейное уравнение с одной неизвестной

Ответ: ─10.

б) , аналогично предыдущему примеру применяем метод умножения крест на крест.

Ответ: ─1,9.

в) , применяем метод наименьшего общего знаменателя (НОЗ).

В данном примере общий знаменатель будет 12.

Ответ: 5.

Глава 2 Сложные уравнения

Уравнения, относящиеся к категории сложных уравнений, могут сочетать в себе различные методы и приемы решения. Но, так или иначе, все уравнения методом логических рассуждений и равносильных действий приводят к уравнениям, которые ранее были изучены.

Пример 7. Решите уравнение(x +3) 2 =(x +8) 2 .

Решение. По формулам сокращенного умножения раскроем скобки:

Переносим все члены за знак равентсва и приводим подобные,

Ответ: 5,5.

Пример 8. Решите уравнения: а)(− 5 x +3)(− x +6)=0, б) (x +2)(− x +6)=0.

Решение.

а)(− 5 x +3)(− x +6)=0; раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

получили полное квадратное уравнение, которое будем решать через первую формулу дискриминанта

уравнение имеет два корня

Ответ: 0,6 и 6.

б) (x +2)(− x +6)=0, для данного уравнения сделаем логические рассуждения (произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю). Значит

Ответ: ─2 и 6.

Пример 9. Решите уравнения: , б) .

Решение. Найдем наименьший общий знаменатель

Запишем в порядке убывания степеней переменной

; получили полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

Уравнение имеет два действительных корня

Ответ: .

б) . Рассуждения аналогичны а). Находим НОЗ

Раскрываем скобки приводим подобные слагаемые

решаем полное квадратное уравнение через общую формулу

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнения:

Решение.

а) , Замечаем, что в левой части выражение внутри скобок представляет собой формулу сокращенного умножения, точнее квадрат суммы двух выражений. Преобразуем его

; перенесем члены данного уравнения в одну сторону

вынесем за скобки

Произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю. Значит,

Ответ: ─2, ─1 и 1.

б) Рассуждаем так же как и для примера а)

, по теореме Виета

Ответ:

Пример 11. Решите уравнения а)

Решение.

а) ; [в левой и правой части уравнения можно применить метод вынесения за скобки, причем в левой части вынесем , а в правой части вынесем число 16.]

[перенесем все в одну сторону и еще раз применим метод вынесения за скобки. Выносить будем общий множитель ]

[произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.]

Ответ:

б) . [Данное уравнение подобно уравнению а). Поэтому в данном случае применим метод группировки]

Ответ:

Пример 12. Решите уравнение =0.

Решение.

0 [биквадратное уравнение. Решается методом замены переменной ].

0; [Применяя теорему Виета получаем корни]

. [возвращаемся к предыдущим переменным]

Ответ:

Пример 13. Решите уравнение

Решение. [биквадратное уравнение, избавляемся от четной степени, применяя знаки модуля.]

[получили два квадратных уравнения, которые решаем через основную формулу корней квадратного уравнения]

действительных корней нет уравнение имеет два корня

Ответ:

Пример 14. Решите уравнение

Решение.

ОДЗ:

[переносим все члены уравнения левую сторону и приведем подобные слагаемые]

[получили приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета]

Число – 1 не удовлетворяет ОДЗ заданного уравнения, поэтому он не может быть корнем данного уравнения. Значит, корнем является только число 7.

Ответ: 7.

Пример 15. Решите уравнение

Решение.

Сумма квадратов двух выражений может быть равна нулю только в том случае, когда выражения равны нулю одновременно. А именно

[Решаем каждое уравнение по отдельности]

По теореме Виета

Совпадение корней равных –5 и будет являться корнем уравнения.

Ответ: – 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проделанной работы можно сделать вывод: уравнения играют огромную роль в развитии математики. Мы систематизировали полученные знания, обобщили пройденный материал. Эти знания могут подготовиться нам к предстоящим экзаменам.

Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

по окончании проекта мы систематизировали и обобщили изученные ранее способы решения уравнений;
познакомились с новыми способами решения уравнений и свойствами уравнений;

рассмотрели все виды уравнений, которые есть в заданиях ОГЭ как в первой части, так и во второй части.
Создали методический сборник «Уравнения в заданиях ОГЭ».

Считаем, что цель поставленную перед нами – рассмотреть все виды уравнений в заданиях основного государственного экзамена по математике мы достигли.

Список использованной литературы:

1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение» 1980 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г.

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Приложение 1

Линейные уравнения

1. Найдите корень уравнения

2. Найдите корень уравнения

3. Найдите корень уравнения

Приложение 2

Неполные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x 2 =5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

2. Решите уравнение 2x 2 =8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

3. Решите уравнение 3x 2 =9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение 4x 2 =20x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение 5x 2 =35x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

6. Решите уравнение 6x 2 =36x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

7. Решите уравнение 7x 2 =42x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение 8x 2 =72x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

9. Решите уравнение 9x 2 =54x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

10. Решите уравнение 10x 2 =80x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

11. Решите уравнение 5x 2 −10x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

12. Решите уравнение 3x 2 −9x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение 4x 2 −16x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение 5x 2 +15x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение 3x 2 +18x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение 6x 2 +24x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение 4x 2 −20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение 5x 2 +20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

19. Решите уравнение 7x 2 −14x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение 3x 2 +12x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение x 2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение x 2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение x 2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение x 2 −25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение x 2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение x 2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение x 2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение x 2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение x 2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

30. Решите уравнение x 2 −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

31. Решите уравнение x 2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

32. Решите уравнение x 2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

33. Решите уравнение x 2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

34. Решите уравнение x 2 −25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

35. Решите уравнение x 2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

36. Решите уравнение x 2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x 2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x 2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x 2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x 2 −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 3

Полные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x 2 +3x=10. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

2. Решите уравнение x 2 +7x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

3. Решите уравнение x 2 +2x=15. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение x 2 −6x=16. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение x 2 −3x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

6. Решите уравнение x 2 −18=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

7. Решите уравнение x 2 +4x=21. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение x 2 −21=4x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

9. Решите уравнение x 2 −15=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

10. Решите уравнение x 2 −5x=14. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

11. Решите уравнение x 2 +6=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение x 2 +4=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение x 2 −x=12. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение x 2 +4x=5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение x 2 −7x=8. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

16. Решите уравнение x 2 +7=8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение x 2 +18=9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

18. Решите уравнение x 2 +10=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

19. Решите уравнение x 2 −20=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение x 2 −35=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение 2x 2 −3x+1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение 5x 2 +4x−1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

23. Решите уравнение 2x 2 +5x−7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение 5x 2 −12x+7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

25. Решите уравнение 5x 2 −9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение 8x 2 −12x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение 8x 2 −10x+2=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение 6x 2 −9x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение 5x 2 +9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение 5x 2 +8x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

31. Решите уравнение x 2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

32. Решите уравнение x 2 −7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

33. Решите уравнение x 2 −9x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

34. Решите уравнение x 2 −10x+24=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

35. Решите уравнение x 2 −11x+30=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

36. Решите уравнение x 2 −8x+12=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x 2 −10x+21=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x 2 −9x+8=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x 2 −11x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x 2 −12x+20=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 4.

Рациональные уравнения.

1. Найдите корень уравнения

2. Найдите корень уравнения

3. Найдите корень уравнения

4. Найдите корень уравнения

5. Найдите корень уравнения

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения

8. Найдите корень уравнения

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения

11. Найдите корень уравнения .

12. Найдите корень уравнения

13. Найдите корень уравнения

14. Найдите корень уравнения

15. Найдите корень уравнения

16. Найдите корень уравнения

17. Найдите корень уравнения

18. Найдите корень уравнения

19. Найдите корень уравнения

20. Найдите корень уравнения

21. Найдите корень уравнения

22. Найдите корень уравнения

23. Найдите корень уравнения

Приложение 5

Сложные уравнения.

1. Найдите корень уравнения (x+3) 2 =(x+8) 2 .

2. Найдите корень уравнения (x−5) 2 =(x+10) 2 .

3. Найдите корень уравнения (x+9) 2 =(x+6) 2 .

4. Найдите корень уравнения (x+10) 2 =(x−9) 2 .

5. Найдите корень уравнения (x−5) 2 =(x−8) 2 .

6. Найдите корень уравнения .

7.Найдите корень уравнения .

8. Найдите корень уравнения .

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения .

11. Решите уравнение (x+2)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение (x+3)(− x−2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

13. Решите уравнение (x−11)(− x+9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

14. Решите уравнение (x−1)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение (x−2)(− x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение (x+20)(− x+10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

17. Решите уравнение (x−2)(− x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение (x−7)(− x+2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

19. Решите уравнение (x−5)(− x−10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение (x+10)(− x−8)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

21. Решите уравнение (− 5x+3)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение (− x−4)(3x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

24. Решите уравнение (x−6)(4x−6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение (− 5x−3)(2x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение (x−2)(− 2x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение (5x+2)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

28. Решите уравнение (x−6)(− 5x−9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение (6x−3)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение (5x−2)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

31. Решите уравнение

32. Решите уравнение

33. Решите уравнение

34. Решите уравнение

35. Решите уравнение

36. Решите уравнение

37. Решите уравнение

38. Решите уравнение

39. Решите уравнение

40 Решите уравнение

41. Решите уравнение x(x 2 +2x+1)=2(x+1).

42. Решите уравнение (x−1)(x 2 +4x+4)=4(x+2).

43. Решите уравнение x(x 2 +6x+9)=4(x+3).

44. Решите уравнение (x−1)(x 2 +8x+16)=6(x+4).

45. Решите уравнение x(x 2 +2x+1)=6(x+1).

46. Решите уравнение (x−1)(x 2 +6x+9)=5(x+3).

47. Решите уравнение (x−2)(x 2 +8x+16)=7(x+4).

48. Решите уравнение x(x 2 +4x+4)=3(x+2).

49. Решите уравнение (x−2)(x 2 +2x+1)=4(x+1).

50. Решите уравнение (x−2)(x 2 +6x+9)=6(x+3).

51. Решите уравнение (x+2) 4 −4(x+2) 2 −5=0.

52. Решите уравнение (x+1) 4 +(x+1) 2 −6=0.

53. Решите уравнение (x+3) 4 +2(x+3) 2 −8=0.

54. Решите уравнение (x−1) 4 −2(x−1) 2 −3=0.

55. Решите уравнение (x−2) 4 −(x−2) 2 −6=0.

56. Решите уравнение (x−3) 4 −3(x−3) 2 −10=0.

57. Решите уравнение (x+4) 4 −6(x+4) 2 −7=0.
58. Решите уравнение (x−4) 4 −4(x−4) 2 −21=0.

59. Решите уравнение (x+2) 4 +(x+2) 2 −12=0.

60. Решите уравнение (x−2) 4 +3(x−2) 2 −10=0.

61. Решите уравнение x 3 +3x 2 =16x+48.

62. Решите уравнение x 3 +4x 2 =4x+16.

63. Решите уравнение x 3 +6x 2 =4x+24.

64. Решите уравнение x 3 +6x 2 =9x+54.

65. Решите уравнение x 3 +3x 2 =4x+12.

66. Решите уравнение x 3 +2x 2 =9x+18.

67. Решите уравнение x 3 +7x 2 =4x+28.

68. Решите уравнение x 3 +4x 2 =9x+36.

69. Решите уравнение x 3 +5x 2 =4x+20.

70. Решите уравнение x 3 +5x 2 =9x+45.

71. Решите уравнение x 3 +3x 2 −x−3=0.

72. Решите уравнение x 3 +4x 2 −4x−16=0.

73. Решите уравнение x 3 +5x 2 −x−5=0.

74. Решите уравнение x 3 +2x 2 −x−2=0.

75. Решите уравнение x 3 +3x 2 −4x−12=0.

76. Решите уравнение x 3 +2x 2 −9x−18=0.

77. Решите уравнение x 3 +4x 2 −x−4=0.

78. Решите уравнение x 3 +4x 2 −9x−36=0.

79. Решите уравнение x 3 +5x 2 −4x−20=0.
80. Решите уравнение x 3 +5x 2 −9x−45=0.

81. Решите уравнение x 4 =(x−20) 2 .

82. Решите уравнение x 4 =(2x−15) 2 .

83. Решите уравнение x 4 =(3x−10) 2 .

84. Решите уравнение x 4 =(4x−5) 2 .

85. Решите уравнение x 4 =(x−12) 2 .

86. Решите уравнение x 4 =(2x−8) 2 .

87. Решите уравнение x 4 =(3x−4) 2 .

88. Решите уравнение x 4 =(x−6) 2 .

89. Решите уравнение x 4 =(2x−3) 2 .

90. Решите уравнение x 4 =(x−2) 2 .

91. Решите уравнение

92. Решите уравнение

93. Решите уравнение

94. Решите уравнение

95. Решите уравнение

96. Решите уравнение

97. Решите уравнение

98. Решите уравнение

99. Решите уравнение

100. Решите уравнение

101. Решите уравнение .

102. Решите уравнение

103. Решите уравнение

104. Решите уравнение

105. Решите уравнение

106. Решите уравнение

107. Решите уравнение

108. Решите уравнение

109. Решите уравнение

110. Решите уравнение

Учитель : Юргенсон Вероника Александровна

Класс: 9

Предмет: Алгебра

Тема урока: Урок-подготовка к ОГЭ в 9 классе «Квадратные уравнения».

Этап обучения по данной теме : подготовка к ОГЭ.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цель:

Деятельностная: Формирование у учащихся умений реализовывать регулятивные способы действия.

Содержательная: - отработка способов решения квадратных уравнений;

Выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Развивающая: формировать ключевые компетенции учащихся: информационную (умение анализировать информацию, сравнивать, делать выводы), проблемную (умение ставить проблемы и с помощью имеющихся знаний находить выход из ситуации); коммуникативную (умение работать в группах, умение слушать и слышать других, принимать мнение других)

Задачи для учителя:

Способствовать актуализации знаний учащихся о решении квадратных уравнений;

Организовать учебную деятельность для отработки способов решения квадратных уравнений;

Создать условия для формирования навыков для выработки умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Создать условия для формирования регулятивных УУД: целепологания, самооценки и самоконтроля, планирования.

Технология: Разноуровневого обучения

Методы обучения: Наглядный, словесный, метод взаимной проверки, метод совместного нахождения оптимального решения, временная работа в группах, создание проблемной ситуации, репродуктивные(инструктаж, иллюстрирование, объяснение, практическая тренировка). Методы самоконтроля.

Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся:

Коллективная форма работы (фронтальный опрос, устная работа), групповая, индивидуальная работа (самостоятельная работа).работа в парах(взаимоопрос).

Оборудование и основные источники информации:

Компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, по теме «Способы решения квадратных уравнений».

Лист результативности для контроля и самоконтроля.

Карточки-задания для разноуровневых самостоятельных работ

Технологическая карта урока:

Деятельность

ученика

Организацион-ный

Приветствие учеников

Приветствие учителя

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

На итоговой аттестации часто встречаются задания, где необходимо уметь решать квадратные уравнения.

Сообщение цели урока :

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения квадратных уравнений.

По итогам своей работы, то есть по количеству набранных баллов каждый получит оценки.

Девиз урока: «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу»

(Слайд 2 ).

Слушают учителя.

Актуализация знаний.

Ребята, обычно мы начинаем урок с проверки домашнего задания.

Кто скажет, что нужно было повторить про квадратные уравнения?

Что такое квадратные уравнения?

Какие они бывают?

Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете?

Отвечают на вопросы учителя проводят самооценку своих знаний.

Обобщение и систематизация знаний

1.Взаимоконт-роль.

Вот уравнения (слайд 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3y + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

У вас на столе карточка с вопросами, на которые вам надо ответить (приложение 1).

(слайд 4 ) Проверяем результаты, поменяйтесь карточками с соседом.

Отвечают на вопросы

2. Фронтальная работа с классом.

На (слайде 5) записаны формулы с пропущенными элементами. Задача класса узнать, что это за формула и чего не хватает в записи этой формулы.

D = b ² – * a * .

D > 0 , значит * корня.

D * 0 , значит 1 корень.

D * 0 , значит * корней.

Отвечают на вопросы,

корректируют знания.

Решите уравнения с карточки. Один из членов группы покажет решение на доске.

Сравните ваши ответы с правильными, за каждый правильный ответ – 1 балл

Решают уравнения,

Объясняют решение.

Фронтальная работа с классом

Скажите, а могли бы вы сразу, не производя вычислений, ответить на мой вопрос: «Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения?» (Один человек у доски записывает формулы теоремы Виета).

(слайд6)

Следующее задание: устно найти сумму и разность корней уравнения по теореме:

(ответы: 5 и 6; 9 и 20; -3 и 2) Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида a х 2 + b х + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим эти свойства (слайд7)

1) a + b +с = 0 х 1 = 1, х 2 = с/а.

5х 2 + 4х – 9 = 0; х 1 =1, х 2 = - 9/2.

2) а - b + с = 0 х 1 = - 1, х 2 = - с/а.

Например: 4х 2 + 11х + 7 = 0; х 1 = - 1, х 2 = - 7/4.

(слайд8)

3) а  в +с  0

Устно решить уравнение: х 2 + b х + ас = 0

Его корни разделить на а.

а) 2х 2 – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х 2 – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10. Делим на 2.

Тогда х 1 = , х 2 = 5.

Ответ: ; 5.

(слайд9)

в) 6х 2 –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х 2 –7х – 18 = 0. Его корни -2 и 9. Делим на 6.

Тогда х 1 = - , х 2 = .

Ответ: -; .

Отвечают на вопросы. Заполняют пробелы в знаниях

Работа в разноуровневых группах

Прием «Соответствие»

Прием «Лови ошибку»

Решите уравнения, используя эти свойства (слайд 10)

I группа.

1)найдите сумму корней уравнения

2х 2 – 3х + 1 = 0

2) Найдите произведение корней уравнения

х 2 +9х +20 = 0

3)решите уравнение

10х 2 – 8х - 2= 0

II группа.

1)найдите сумму и произведение корней уравнения

3х 2 – 8х + 5 = 0

Решите уравнения

2)х 2 + 2х -24 = 0

3)2 х 2 -7х +5 = 0

III группа

Решите уранения:

1)х 2 +5х-6=0

2)5х 2 -7х+2=0

3)100х 2 -99х-199=0

Решают уравнения

Проверяют решение.

Проводят коррекцию знаний.

2.Соотнесите квадратные уравнения и способы их решения:

(слайд 11)

2х 2 – 3х + 11 = 0

7 х 2 = 8х

х 2 – 10х + 100 = 0

х 2 –5х –6 = 0

– 2х 2 + х +14= 0

-разложение на множители

- общая формула корней

-теорема Виета

3.Найдите ошибки в решении уравнений =

Ребята, выполнившие работу быстро, могут решить дополнительно задание (слайд 14), написанное на доске.

После выполнения проводится быстрая проверка. (слайд15)

А теперь посчитайте итоговое количество баллов и выставите себе оценку. (слайд16)

30- 24баллов –оценка 5;

23-18балла –оценка4;

12-17 балла –. оценка4

А ещё каждому выставляется оценка учителем, за активность, смелость, упорство. Ну, а если кому – то, сегодня не удалось набрать баллы на положительную оценку, то успех у вас ещё впереди, и он обязательно будет с вами в следующий раз.

Решают уравнения,

проводят самооценку.

Рефлексия.

Кто скажет, что сегодня мы повторили на уроке?

Вам понравилось, как мы это делали?

Продолжи фразы:

Теперь я точно знаю …

Я понял …

Я научился …

Моё мнение …

У каждого на столе цветные карточки.

Если ты доволен и удовлетворен уроком, поднимаешь – зеленую карточку.

Если урок интересный, и ты активно работал, поднимаешь – жёлтую карточку.

проводят самооценку.

Домашнее задание

(слайд 17) Решить уравнения из сборника заданий

Государственная итоговая аттестация

выпускников 9 класса.

А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко

по уровням

Выбирают задания по своему уровню

Разбор задания №4 на тему: "Решение уравнений различного типа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"

Задание №4 требует умение решать уравнения различного типа. Ребята, вы должны хорошо усвоить методы правильного решения квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений, обычных линейных уравнений. Также вы должны хорошо уметь производить действия с многочленами: умножение и деление многочлена на многочлен. Вам понадобиться умение выбирать корни уравнения, которые входят в область решения и определять, какие корни надо выбросить и не учитывать?

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

1.Основные определения и примеры решений линейных функций.
2. Понятие и стандартный вид одночлена.
3. Многочлен, стандартный вид, приведение, преобразование.
4. Примеры на числовые выражения. Алгебраические выражения с переменными и действия с ними.
5. Уравнения, примеры решения уравнений.
6. Квадратные уравнения. Урок в разработке.
7. Дробно-рациональные уравнения. Урок в разработке.
8. Корень квадратный. Урок в разработке.

Перейдем к разбору примеров решения.

Пример 1.
Найдите корни уравнения: $16x^2-1=0$.

Решение.
Заметим, нам дано квадратное уравнение, но не полное. Коэффициент при х равен нулю. Тогда будем руководствоваться правилом: "те выражения, в которых есть х в квадрате, оставим слева, а все числа перенесем на право".
Преобразуем наше выражение: $16x^2=1$.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х квадрат: $x^2=\frac{1}{16}$.

Для решения данного уравнения, нам понадобятся знания корня квадратного. Извлечем корень, не забывая о том, что отрицательное число мы должны тоже учитывать: $x=±\sqrt{\frac{1}{16}}=±\frac{1}{4}=±0,25$.
Ответ: $x=±0,25$.

Пример 2.
Решите уравнение: $x^2=18-7x$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть уравнения: $x^2+7x-18=0$.

Обычное квадратное уравнение мы можем решить двумя способами:
1. "в лоб", вычисляя дискриминант;
2. используя теорему Виетта.

1 способ.
Выпишем все коэффициенты при квадратном уравнении: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Получили, что уравнение имеет 2 корня.
Нам осталось найти эти корни:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+11}{2}=2$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-11}{2}=-9$.

2 способ.
Воспользуемся теоремой Виетта. Теорема Виетта часто упрощает решение квадратных уравнений во много раз, особенно когда коэффициент $а=1$. В этом случае произведение корней уравнения равно коэффициенту $с$, и сумма корней уравнения равна минус коэффициенту при $b$:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
$x_1*x_2=\frac{c}{a}$.

В нашем примере $с=-18$ и $b=7$. Начинаем перебирать пары чисел, произведение которых равно минус восемнадцать. Первые числа приходящие на ум - девятка и двойка. Произведя несколько простых перемножений и сложений можно убедиться, что нам подходят корни $х=-9$ и $х=2$.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac{c}{a}$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac{b}{a}$.
Ответ: $x=-9$, $x=2$.

Пример 3.
Решить уравнение: $x-\frac{x}{7}=\frac{15}{7}$.

Решение.
Нам дано обычное линейное уравнение с дробными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно правильно действовать с обычными дробями.
Первым действием преобразуем левую часть уравнения, упростив ее: $x-\frac{x}{7}=\frac{7x}{7}-\frac{x}{7}=\frac{6x}{7}$.
Получили уравнение: $\frac{6x}{7}=\frac{15}{7}$.
Разделим правую часть уравнения на коэффициент при х: $x=\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}$.

Рассмотрим отдельно деление: $\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}=\frac{15}{7}*\frac{7}{6}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}=2\frac{1}{2}=2,5$.

Получили: $x=2,5$.
Ответ: $x=2,5$.

Пример 4.
Решите уравнение: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Решение.
Способ 1.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Получили: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Упростим наше уравнение:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

Способ 2.
При решении данного уравнения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Ответ: $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $\frac{9}{x-14}=\frac{14}{x-9}$.

Решение.
Нам представлено дробно-рациональное уравнение. При решении данных уравнений стоит помнить о том, что делить на нуль нельзя. Поэтому корни уравнения стоит проверять всегда, подстановкой их в знаменатель исходного уравнения.
Воспользуемся правилом умножения крест на крест: $9(x-9)=14(x-14)$.
Получили линейное уравнение:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Проверив наш корень, убеждаемся, что знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль.
Ответ: $x=23$.

Пример 6.
Найдите решения удовлетворяющие системе: $\begin {cases} x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end {cases}$.

Решение.
Сначала решим квадратное уравнение, воспользовавшись теоремой Виетта. Произведение наших корней равно $22$, а сумма равна $-9$.
Подберем корни:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Получили два корня: $x_1=-11$ и $x_2=2$. Из этих корней неравенству $x≤1$ удовлетворяет первый корень, он и будет ответом.
Ответ: $х=-11$.

Пример 7.
Решите уравнение: $23x-60-x^2=0$.
В ответе укажите модуль разности корней.

Решение.
Умножим исходное уравнение на $-1$: $x^2-23x+60=0$.
В такой форме уравнение смотрится гораздо привычнее.
Воспользуемся теоремой Виетта и представим наше уравнение, как произведение двухчленов:
$(x-20)(x-3)=0$.
Получили два корня $x_1=20$ и $x_2=3$.
Найдем модуль разности: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Ответ: 17.

Пример 8.
Сколько корней имеет уравнение $x^6-x^2=0?$

Решение.
Вынесем за скобку наименьшую степень: $x^2(x^4-1)=0$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
И еще раз воспользуемся той же формулой:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Получили, что у данного уравнения три корня.
Ответ: 3.

Пример 9.
Решите уравнение: $\frac{(x-2)(2x+1)}{2-x}=0$.
Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответ запишите больший из них.

Решение.
Исходное уравнение равносильно следующей совокупности: Решим каждое уравнение: Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, одно решение у нас отпадает. Получили один корень уравнения $х=-0,5$.
Ответ: -0,5.