Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях. Пусть случайная величина - число появлений некоторого события в независимых испытаниях, вероятность появления в отдельном испытании равна . Данная случайная величина является дискретной случайной величиной, ее возможные значения . Вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляется по формуле Бернулли: .
Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины называется биномиальным законом распределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли. Ряд распределения будет иметь вид:
Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно,
Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределения называется биномиальным. Если случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики находятся по формулам:
(42)
(43)
Пример 15. Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали . Пусть случайная величина - число бракованных деталей в данной партии. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины. Решение. Случайная величина имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что она примет значение вычисляется по формуле Бернулли. Тогда ее математическое ожидание находится по формуле (41), а именно, ; дисперсию находим по формуле (42): . Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно . Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно: а) 10; б) 2; в) 20; г) 1.
Закон распределения Пуассона
При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами, которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ; число отказов сложной аппаратуры за время , если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится отказов.Ряд распределения будет иметь вид:
То есть вероятность того, что случайная величина примет значение вычисляется по формуле Пуассона: поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона. Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики:
Распределение Пуассона зависит от одного параметра , который является математическим ожиданием случайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона при различных значениях параметра .
Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытаний велико, а вероятность появления события в отдельном испытании мала, поэтому закон распределения Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от дисперсии, то есть когда . В связи с этим распределение Пуассона имеет большое количество различных приложений. Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей. Решение. Случайная величина имеет распределение Пуассона, поэтому . Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее число искаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов.
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)
Тем не менее, ваши гипотезы?
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .
Закон распределения дискретной случайной величины
– этосоответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
Без комментариев.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .
Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Разоблачаем «партизана»:
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
Контроль: , в чём и требовалось убедиться.
Ответ :
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :
Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:
Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ
: искомый закон распределения выигрыша:
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение
при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений
всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь
9. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (x ) .
Определение9.1: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X , [ a , b ]
Ox , то
Замечание:
Предполагается, что несобственный
интеграл сходится абсолютно, то есть
существует интеграл
Определение9.2: Дисперсией непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат отрезку [ a , b ] , называют определенный интеграл
Если возможные значения принадлежат всей оси Ox , то
Так как D (X ) = M (X 2 ) – [ M (X )] 2 , то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии:
или
.
Замечание: Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется аналогично дискретному случаю:
.
10. Типовые распределения непрерывных случайных величин
10.1. Равномерное распределение
Определение10.1: Распределение вероятностей называют равномерным , если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, X имеет равномерное распределение.
Найдем плотность равномерного распределения f (x ) :
По условию, X не принимает значений вне интервала (a , b ), поэтому f (x )=0 при x a и x > b .
Найдем постоянную
C
из условия, что
.
Тогда
.
Отсюда
.
Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:
Функция распределения вероятностей равномерной случайной величины имеет вид:
Для случайной величины Х
,
равномерно распределенной в интервале
(a
, b
), вероятность попадания
в любой интервал (x
1
,
x
2
), лежащий внутри
интервала (a
, b
), равна:
,
то есть зависит от длины интервала, а
не от того, где он расположен.
График плотности равномерного распределения имеет вид:
Функция распределения равномерной случайной величины имеет вид:
Пример: Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины X , распределенной равномерно в интервале (a , b ).
Решение: Учитывая плотность равномерного распределения, получаем:
Окончательно, получим, что
.
Среднее квадратическое отклонение
.
Замечание:
Например, если X
–
случайная величина, распределенная
равномерно на интервале (0,1)
, то
,
,
.
10.2. Нормальное (Гауссовское) распределение
Определение10.2: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается следующей плотностью вероятностей:
,
где
.
График функции f (x ) имеет следующий вид:
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальное
распределение определяется двумя
параметрами:
и
.
Вероятностный смысл этих параметров
таков:
есть математическое ожидание,
-
среднее квадратическое отклонение
нормального распределения, то есть
и
.
График функции распределения нормальной случайной величины имеет следующий вид:
Замечание:
Стандартным нормальным
или
нормированным
называют нормальное
распределение с параметрами
и
.
Например, если X
–
нормальная величина с параметрами
и
,
то
-
стандартная нормальная величина, причем
и
.
Плотность стандартного нормального
распределения имеет вид
.
Данная функция табулирована (см. приложение 1).
Функция
распределения
нормального распределения имеет вид:
.
Функция распределения стандартного нормального распределения имеет вид:
.
Замечание:
.
Замечание:
Вероятность попадания стандартной
нормальной величины X
в интервал (0 ,
x
)
можно найти, пользуясь функцией
Лапласа
:
,
и
.
Функция
табулирована (см. приложение 2).
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
Изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox : вправо, если возрастает, и влево, если убывает:
Максимум
функции плотности вероятностей
нормального распределения равен
.
Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, то есть сжимается к оси Ox ; при убывании нормальная кривая становится более “островершинной” и растягивается в положительном направлении оси Oy :
Замечание: При любых значениях параметров и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Ox , остается равной единице.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Пусть случайная
величина X
распределена
по нормальному закону. Тогда вероятность
того, что X
примет
значение, принадлежащее интервалу
,
равна
Введем новую
переменную
Отсюда,
,
Найдем новые пределы интегрирования.
Если
то
;
если
то
Таким образом, имеем
Пользуясь функцией Лапласа , получим
Пример.
Случайная величина X
распределена по нормальному закону с
и
.
Найти вероятность того, что случайная
величина X
примет
значение, принадлежащее интервалу
.
Решение:
По
таблице приложения 2 находим
Отсюда искомая вероятность
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины X , которая распределена по нормальному закону.
Решение: По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
.
Введем новую переменную Отсюда, ,. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
Первое из
слагаемых равно нулю (под знаком
интеграла нечетная функция; пределы
интегрирования симметричны относительно
начала координат). Второе из слагаемых
равно а
(интеграл Пуассона
).
Замечание: При вычислении дисперсии нормальной случайной величины делается такая же замена переменных и применяется формула интегрирования по частям.
Правило трех сигм
Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше утроенного среднего квадратического отклонения:
Таким образом, сущность правила трех сигм состоит в следующем: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения:
На практике правило трех сигм применяют следующим образом: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, То есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
10.3. Показательное распределение
Определение10.3: Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , которое описывается плотностью
где
- постоянная положительная величина.
График функции f (x ) имеет следующий вид:
Например, время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени. Интервал между последовательными поступлениями вызовов на автоматическую телефонную станцию, интервал между последовательными поступлениями автомобилей к стоп-линии перекрестка – это примеры показательных случайных величин.
Найдем функцию распределения показательного закона:
.
График функции показательного распределения имеет следующий вид:
Пример. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр
Решение. Очевидно,искомая плотность распределения
при
;
при
.
Искомая функция распределения
при
;
при
.
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
Найдем вероятность попадания в интервал (a , b ) непрерывной случайной величины X , которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения
.
Используя
формулу
и учитывая, что
получим
Значения
функции
находят по таблице (приложение 4).
Пример: Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
при
;
при
.
Найти вероятность того, что в результате
испытания X
попадет
в интервал (0,3;1)
.
Решение.
По условию,
.
ТогдаX
Замечание: Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того, чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, т.е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой, поэтому их оценки должны различаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к другой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении изучаемой величины, если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.
Правило трёх сигм.
Подставим значение? в формулу (*), получим:
Итак, с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что модуль отклонения нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно? независимых случайных величин, то есть, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то случайная величинаХ имеет распределение, неограниченно приближающееся к нормальному распределению.
Начальные и центральные моменты непрерывной случайной величины, асимметрия и эксцесс. Мода и медиана.
В прикладных задачах, например в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального распределения, возникает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.
Определение. Мода непрерывной случайной величины (Мо (X )) – это её наиболее вероятное значение, для которого вероятность p i или плотность вероятности f(x) достигает максимума.
Определение. Медиана непрерывной случайной величины X (Me (X )) – это такое её значение, для которого выполняется равенство:
Геометрически вертикальная прямая x = Me (X) делит площадь фигуры под кривой на две равные части.
В точке X = Me (X), функция распределения F (Me (X)) =
Найти моду Mo, медиану Me и математическое ожидание M случайной величины X с плотностью вероятности f(x) = 3x 2 , при x I [ 0; 1 ].
Плотность вероятности f (x) максимальна при x = 1, т.е. f (1) = 3, следовательно, Mo (X) = 1 на интервале [ 0; 1 ].
Для нахождения медианы обозначим Me (X) = b.
Так как Me (X) удовлетворяет условию P (X 3 = .
b 3 = ; b = » 0,79
M (X) = =+
=
Отметим получившиеся 3 значения Mo (x), Me (X), M (X) на оси Ox:
Определение. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:
Определение. Эксцессом теоретического распределения называется величина, определяемая равенством:
где ? центральный момент четвертого порядка.
Для нормального распределения . При отклонении от нормального распределения асимметрия положительна, если «длинная» и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 1, а, б).
Эксцесс характеризует «крутизну» подъема кривой распределения по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс положителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину.
Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дисперсии для нормального и теоретического распределений.
Пример. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти: асимметрию и эксцесс теоретического распределения.
Найдем сначала математическое ожидание случайной величины:
Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и :
Теперь по формулам находим искомые величины:
В данном случае «длинная» часть кривой распределения расположена справа от моды, причем сама кривая является несколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.
Теорема. Для произвольной случайной величины Х и любого числа
?>0 справедливы неравенства:
Вероятность противоположного неравенства.
Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.
Пусть X –расход воды на животноводческой ферме (л).
Дисперсия D (X ) = . Так как границы интервала 0X 2000 симметричны относительно математического ожиданияМ (Х ) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева:
То есть не менее, чем 0,96.
Для биномиального распределения неравенство Чебышева примет вид:
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН — раздел Математика, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Наиболее Часто Встречаются Законы Равномерного, Нормального И Показательного.
Наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность распределения сохраняет постоянное значение (6.1)
Функция распределения имеет вид:
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (?; ?):
где — функция Лапласа, причем,
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения будет меньше положительного числа?:
В частности, при а = 0, . (6.7)
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:
где? – постоянная положительная величина.
Функция распределения показательного закона:
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (а, в), распределенной по показательному закону:
1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-2;N). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равномерно распределенной в интервале: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертить графики этих функций.
3. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2; 6), причем Д(х) = 12. Найти функции распределения случайной величины Х. Начертить графики функций.
4. Случайная величина Х распределена по закону прямоугольного треугольника (рис. 1) в интервале (0; а). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероят-
ность попадания случайной величины
в интервал (); г) математическое
ожидание, дисперсию и среднее квад-
ратическое отклонение случайной
5. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») (Рис. 2) на интервале (-а; а). Найти: а) дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины Х;
б) интегральную функцию и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см; б) отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.
7. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием а = 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300 г; б) не более 1500 г; в) не менее 800 г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г; д) начертить график дифференциальной функции случайной величины Х.
8. Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 50 ц/га, = 10 ц/га. Определить: а) какой процент участков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га; б) процент участков с урожайность от 45 до 60 ц/га.
9. Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.
10. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина Х, имеющая математическое ожидание а = 60 кг и среднее квадратическое отклонение равно 1,5 кг. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена величина Х. Написать дифференциальную функцию этой случайной величины.
11. С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятой головы крупного рогатого скота от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу подчиняется нормальному закону.
12. Урожайность овощей по участкам является нормально-распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.
13. Нормально-распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией:
Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал
(3; 9); б) моду и медиану случайной величины Х.
14. Торговая фирма продает однотипные изделия двух производителей. Срок службы изделий подчиняется нормальному закону. Средний срок службы изделий первого производителя составляет 5,5 тыс. часов, а второго 6 тыс. часов. Первый производитель утверждает, что с вероятностью 0,95 срок службы первого производителя находится в границах от 5 до 6 тыс. часов, а второй, с вероятностью 0,9, в границах от 5 до 7 тыс. часов. Какой производитель имеет большую колеблемость срока службы изделий.
15. Месячная заработная плата работников предприятия распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10 тыс. руб. Известно, что 50 % работников предприятия получает заработную плату от 8 до 12 тыс. руб. Определить, какой процент работников предприятия имеет месячную заработную плату от 9 до 18 тыс. руб.
16. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если: а) параметр; б) ; в) . Начертить графики функций.
17. Случайная величина Х распределена по показательному закону, причем. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал: а) (0; 1); б) (2; 4). М(Х), Д(Х), (Х).
18. Найти М(Х), Д(Х), (Х) показательного закона распределения случайной величины Х заданной функцией:
19. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательнее распределение, второго. Найти вероятность того, что за время длительностью 20 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) откажет хотя бы один элемент; г) оба элемента откажут.
20. Вероятность того, что оба независимых элемента будут работать в течении 10 суток равна 0,64. Определить функцию надежности для каждого элемента, если функции одинаковы.
21. Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы равно 2. Найти вероятность того, что за 3 часа работы оператор сделает: а) 4 ошибки; б) не менее двух ошибок; в) хотя бы одну ошибку.
22. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 4 вызова; б) не менее трех вызовов.
23. Случайная величина Х распределена по закону Коши
Непрерывные случайные величины
6. Непрерывные случайные величины
6.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Функцией распределения называют функцию F (x) ? определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е.
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.
2. F (x)- неубывающая функция, т.е. если , то .
· Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале , равна:
· Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию — первую производную от функции распределения .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал:
Нахождения функции распределения по известной плотности распределения:
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения неотрицательная функция:
2. Условие нормировки:
Среднее квадратическое отклонение
6.2. Равномерное распределение
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины
Среднее квадратическое отклонение
6.3. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины, которое описывается плотностью распределения
а- математическое ожидание
среднее квадратическое отклонение
дисперсия
Вероятность попадания в интервал
Где — функция Лапласа. Данная функция табулирована, т.е. интеграл нет необходимости вычислять, необходимо пользоваться таблицей.
Вероятность отклонения случайной величины х от математического ожидания
Правило трех сигм
Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичческого отклонения.
Если быть точным, то вероятность выхода за пределы указанного интервала равна 0,27%
Вероятность нормального распределения онлайн калькулятор
6.4. Показательное распределение
Случайная величина Х распределена по показательному закону, если плотность распределения имеет вид
Среднее квадратическое отклонение
Отличительной особенностью данного распределения является то, что математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.
Теория вероятностей. Случайные события (стр. 6)
12. Случайные величины Х
, если , , , .
13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролер, проверяющий качество 5000 изделий, обнаружит среди них 4 бракованных.
Х
Х
примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .
15. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону 
(). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 часов.
16. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.
17. По цели (на рис.4.1 м, м) сделано три независимых выстрела без систематической ошибки () с ожидаемым разбросом попадания м. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5?
2. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно выбрать в течение 3 дней по 6 участников так, чтобы каждый день были различные составы хора?
3. Сколькими способами можно разделить колоду из 52 тасованных карт пополам так, чтобы в одной половине оказалось три туза?
4. Из ящика, содержащего жетоны с номерами от 1 до 40, участники жеребьевки вытягивают жетоны. Определить вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 2.
5. На испытательном стенде в определенных условиях испытываются 250 приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов, если известно, что вероятность отказа в течение часа одного из этих приборов равна 0,04 и одинакова для всех приборов.
6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовок без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найти вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом.
7. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t для каждого узла равна . Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t : а) откажет хотя бы один узел; б) откажут ровно два узла; в) откажет ровно один узел; г) откажут не менее двух узлов.
8. Испытывается каждый из 16 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытания, равна 0,8. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
9. Найти вероятность того, что событие А (переключение передач) наступит 70 раз на 243-километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.
10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз и не более 90 раз.
Х .
12. Случайные величины Х
и независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .
13. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 100 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит ровно 2 опечатки.
14. Непрерывная случайная величина Х
распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где 
Найти 1) параметр и записать закон распределения; 2) Найти , ; 3) Найти вероятность того, что Х
примет значение, принадлежащее интервалу .
15. Длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение 
(). Найти вероятность того, что за t
= 24 ч элемент не откажет.
16. Непрерывная случайная величина Х
распределена по нормальному закону 
. Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение, заключенное в интервале .
17. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Найти закон распределения составляющих Х и ; их математические ожидания и ; дисперсии и ; коэффициент корреляции .
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, 4, 5, если каждую из этих цифр использовать не более одного раза?
2. Дано n точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?
Сколько можно сделать костей домино, используя числа от 0 до 9?
3. Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным).
4. В цехе имеется 3 телефона, работающих независимо друг от друга.
5. Вероятности занятости каждого из них соответственно следующие: ; ; . Найти вероятность того, что хотя бы один телефон свободен.
6. Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 20 белых шаров, во второй — 10 белых и 10 черных шаров, в третьей — 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.
7. В некоторых районах летом в среднем 20% дней бывают дождливыми. Какова вероятность того, что в течение одной недели: а) будет хотя бы один дождливый день; б) будет ровно один дождливый день; в) число дождливых дней будет не более четырех; г) дождливых дней не будет.
8. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,32. Определить наиболее вероятное число точных приборов в партии на 9 штук.
9. Определить вероятность того, что при 150 выстрелах из винтовки мишень будет поражена 70 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4.
10. Определить вероятность того, что из 1000 родившихся детей число мальчиков будет не менее 455 и не более 555, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.
11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х :
Найти: 1) значение вероятности , соответствующее значению ; 2) , , ; 3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины Х .
12. Случайные величины Х
и независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .
13. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
14. Непрерывная случайная величина Х
задана функцией распределения 
Найти: 1) функцию плотности ; 2) , , ; 3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х
примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .км, км. Определить вероятность двух попаданий в цель.
1. На собрании должны выступать ораторы А , В , С , D . Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих так, чтобы В выступал после оратора А ?
2. Сколькими способами можно разложить 14 одинаковых шаров по 8-ми ящикам?
3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр от 1 по 9?
4. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32-х вопросов программы. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответил на все вопросы.
5. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, среди которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба арбуза спелые?
6. В группе спортсменов 20 бегунов, 6 прыгунов и 4 метателя молота. Вероятность того, что будет выполнена норма мастера спорта бегуном, равна 0,9; прыгуном — 0,8 и метателем — 0,75. Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.
7. Вероятность того, что вещь, взятая напрокат, будет возвращена исправной, равна 0,8. Определить вероятность того, что из пяти взятых вещей: а) три будут возвращены исправными; б) все пять вещей будут возвращены исправными; в) будут возвращены исправными не менее двух вещей.
8. Вероятность появления брака в партии из 500 деталей равна 0,035. Определить наивероятнейшее число бракованных деталей в этой партии.
9. При производстве электрических лампочек вероятность изготовления лампы первого сорта принимается равной 0,64. Определить вероятность того, что из 100 взятых наудачу электроламп, 70 будут первого сорта.
10. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 340.
11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х, если Х Х и ; 4) выяснить, являются ли эти величины зависимыми.
1. Сколькими способами можно рассадить 8 гостей за круглым столом так, чтобы два известных гостя сидели рядом?
2. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?
3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?
4. В конверте лежат буквы разрезной азбуки: О , П , Р , С , Т . Буквы тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что, вынимая эти буквы и укладывая их рядом, получится слово «СПОРТ ‘.
5. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго 30%, с третьего — 50% деталей. Первый автомат дает в среднем — 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 1 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
6. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5, для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведён вторым стрелком.
7. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включен хотя бы один мотор; в) включены все моторы.
8. В телевизоре стоят 12 ламп. Каждая из них с вероятностью 0,4 может выйти из строя в течение гарантийного срока. Найти наивероятнейшее число ламп, вышедших из строя в течение гарантийного срока.
9. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будет поровну.
10. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, будет . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х :
- Основные законы распределения случайной величины Учреждение образования «Белорусская государственная Кафедра высшей математики по изучению темы «Основные законы распределения случайной величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО) Основные законы распределения случайной […]
- Штрафы гибдд лениногорск Поздно государство предпримет меры по Штрафы гибдд лениногорск взысканию вашей если Вы не обжаловали Штрафы гибдд лениногорск нужно Условные обозначения. Без регистрационных документов и без полиса ОСАГО обойдется в 500 места гиперссылки на данную статью. Должностных Штрафы гибдд лениногорск […]
- Выходное пособие чернобыльцу: (3 + 1) или только 3? Для граждан, пострадавших вследствие Чернобыльской катастрофы (далее - чернобыльцы), Законом № 796* установлены определенные льготы и гарантии. Так, чернобыльцам, отнесенным к категории 1, среди прочего указанным Законом определено преимущественное право остаться на […]
- Налог на дачу. Это надо знать. Думаем с мужем о да че, куда можно было бы приехать, покапаться немного в грядках, а вечером сесть в кресло-качалку у костра и ни о чём не думать. Просто отдыхать. Не понаслышке знаем, что садоводство и огородничество обходится недешево (навоз, удобрения, рассада), налоги… Какие налоги […]
- Совет 1: Как определить закон распределения Как определить закон распределения Как построить диаграмму Парето Как найти математическое ожидание, если известна дисперсия - математический справочник; - простой карандаш; - тетрадь; - ручка. Нормальный закон распределения в 2018 Совет 2: Как […]
- 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на […]
- Ликвидация проход Sобщ-общая площадь объекта, км 2 ; N пор -число пораженных элементов объекта (зданий, цехов, сооружений, систем); Nобщ -общее число элементов объекта. Для определения числа жертв можно использовать следующее выражение: где Sпор - число жертв при внезапном взрыве; Lс -численность работающих данной […]
- Законы излучения стефана больцмана Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не описывается простым соотношением (16.7), а […]
