При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x- будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при: 
Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.
Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.
Похідна статечної функції.
Формула похідної статечної функції має вигляд 
де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.
Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …
Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу: 
Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона: 
Отже, 
Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.
Похідна показової функції.
Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:
Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.
Виконаємо підстановку у вихідну межу: 
Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції: 
Похідна логарифмічна функція.
Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо: 
Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність 
справедливо з другого чудової межі.
Похідні тригонометричних функцій.
Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.
За визначенням похідної для функції синуса маємо 
.
Скористаємося формулою різниці синусів: 
Залишилося звернутися до першої чудової межі: 
Таким чином, похідна функції sin xє cos x.
Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса. 
Отже, похідна функції cos xє -sin x.
Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу). 
Похідні гіперболічні функції.
Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. 
Похідна зворотної функції.
Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.
Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.
Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому 
. В іншому записі 
.
Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо 
.
Перевіримо справедливість цих формул.
Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму 
(тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, 
та взаємно зворотні функції.
З таблиці похідних бачимо, що 
і 
.
Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих результатів: 
Як бачите, отримали такі ж результати, як і в таблиці похідних.
Тепер ми маємо знання для доказу формул похідних зворотних тригонометричних функцій.
Почнемо з похідної арксинусу.
. Тоді за формулою похідної зворотної функції отримуємо
Залишилось провести перетворення.
Оскільки областю значень арксинусу є інтервал 
, то 
(Дивіться розділ основні елементарні функції, їх властивості та графіки). Тому, а не розглядаємо.
Отже, 
. Областю визначення похідної арксинусу є проміжок (-1;
1)
.
Для арккосинусу все робиться абсолютно аналогічно: 
Знайдемо похідну арктангенсу.
Для зворотної функцією є 
.
Виразимо арктангенс через арккосинус, щоб спростити отриманий вираз.
Нехай arctgx = zтоді 
Отже, 
Так само знаходиться похідна арккотангенса: 
y = u v ,
у якої основа u та показник ступеня v є деякими функціями від змінної x :
u = u (x); v = v (x).
Цю функцію також називають показово-статечноюабо .
Зауважимо, що статечно-показову функцію можна представити у показовому вигляді:
.
Тому її також називають складною показовою функцією.
Похідна статечно-показової функції
Обчислення за допомогою логарифмічної похідної
Знайдемо похідну статечно-показової функції
(2)
,
де і є функції від змінної.
Для цього логарифмуємо рівняння (2), використовуючи властивість логарифму:
.
Диференціюємо по змінній x:
(3)
.
Застосовуємо правила диференціювання складної функціїта твори:
;
.
Підставляємо у (3):
.
Звідси
.
Отже, ми знайшли похідну статечно-показової функції:
(1)
.
Якщо показник ступеня є незмінним, то . Тоді похідна дорівнює похідній складної статечної функції:
.
Якщо основа ступеня є постійною, то . Тоді похідна дорівнює похідній складної показової функції:
.
Коли і є функціями від x , то похідна статечно-показової функції дорівнює сумі похідних складної статечної та показової функцій .
Обчислення похідної приведенням до складної показової функції
Тепер знайдемо похідну статечно-показової функції
(2)
,
представивши її як складну показову функцію:
(4)
.
Диференціюємо твір:
.
Застосовуємо правило знаходження похідної складної функції:
.
І ми знову одержали формулу (1).
Приклад 1
Знайти похідну наступної функції:
.
Обчислюємо за допомогою логарифмічної похідної. Логарифмуємо вихідну функцію:
(П1.1) .
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
За формулою похідної твори маємо:
.
Диференціюємо (П1.1):
.
Оскільки
,
то
.
Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показової функції
Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо складніші похідні, а також познайомимося з новими прийомами та хитрощами знаходження похідної, зокрема з логарифмічною похідною.
Тим читачам, які мають низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? Приклади рішеньяка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, зрозуміти та вирішувати Усенаведені приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви впевнено диференціюватимете досить складні функції. Небажано дотримуватись позиції «Куди ще? Та й так вистачить!», оскільки всі приклади та прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто трапляються на практиці.
Почнемо із повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули низку прикладів із докладними коментарями. У ході вивчення диференціального обчислення та інших розділів математичного аналізу – диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Найкращими «кандидатами» для цього є похідні найпростіших із складних функцій, наприклад:
За правилом диференціювання складної функції 
:
При вивченні інших тем матану в майбутньому такий докладний запис найчастіше не потрібний, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Припустимо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це має бути майже миттєва і ввічлива відповідь: 
.
Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.
Приклад 1
Знайти такі похідні усно, на одну дію, наприклад: . Для виконання завдання потрібно використовувати лише таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Відповіді наприкінці уроку
Складні похідні
Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, наступні два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і мучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні здаватиметься дитячим жартом.
Приклад 2
Знайти похідну функції 
Як зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, передусім, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідне значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшний вираз».
1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, отже, сума - найглибше вкладення.
2) Потім необхідно обчислити логарифм:
4) Потім косинус звести до куба:
5) На п'ятому кроці різниця:
6) І, нарешті, зовнішня функція – це квадратний корінь: 
Формула диференціювання складної функції 
застосовуються у зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до внутрішньої. Вирішуємо:
Начебто без помилок.
(1) Беремо похідну від квадратного кореня.
(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило 
(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).
(4) Беремо похідну від косинуса.
(5) Беремо похідну від логарифму.
(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.
Може здатися дуже важко, але це ще не найбільш звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірку Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідної. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, чи розуміє студент, як знаходити похідну складної функції, чи не розуміє.
Наступний приклад самостійного рішення.
Приклад 3
Знайти похідну функції
Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності та правило диференціювання твору
Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Настав час перейти до чогось більш компактного та симпатичного.
Не рідкісна ситуація, як у прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?
Приклад 4
Знайти похідну функції 
Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на твір двох функцій? Наприклад, якби у нас у творі було два багаточлени, то можна було б розкрити дужки. Але в прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.
У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твору 
два рази
Фокус у тому, що з «у» ми позначимо твір двох функцій: , а й за «ве» – логарифм: . Чому можна так зробити? А хіба 
- Це не твір двох множників і правило не працює? Нічого складного немає:
Тепер залишилося вдруге застосувати правило 
до дужки:
Можна ще поплутатися і винести щось за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше перевірятиме.
Розглянутий приклад можна вирішити другим способом: 
Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.
Приклад 5
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення, у зразку він вирішений першим способом.
Розглянемо аналогічні приклади із дробами.
Приклад 6
Знайти похідну функції 
Тут можна йти кількома шляхами:
Або так:
Але рішення запишеться компактніше, якщо в першу чергу використовувати правило диференціювання приватного 
, Прийнявши за весь чисельник:
У принципі приклад вирішено, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але за наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна спростити відповідь? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника та позбавимося триповерховості дробу:
Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання та просять «довести до пуття» похідну.
Простіший приклад для самостійного вирішення:
Приклад 7
Знайти похідну функції
Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропоновано «страшний» логарифм
Приклад 8
Знайти похідну функції
Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:
Але перший крок відразу кидає у зневіру - належить взяти неприємну похідну від дробового ступеня, а потім ще й від дробу.
Тому перед тимяк брати похідну від «накрученого» логарифму, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:
! Якщо під рукою є зошит із практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошита немає, перемалюйте їх на листочок, оскільки приклади уроку, що залишилися, буду обертатися навколо цих формул.
Саме рішення можна оформити приблизно так:
Перетворимо функцію:
Знаходимо похідну: 
Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропоновано подібний логарифм, його завжди доцільно «розвалити».
А зараз кілька нескладних прикладів для самостійного вирішення:
Приклад 9
Знайти похідну функції 
Приклад 10
Знайти похідну функції
Всі перетворення та відповіді в кінці уроку.
Логарифмічна похідна
Якщо похідна від логарифмів – це така солодка музика, виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть треба.
Приклад 11
Знайти похідну функції 
Подібні приклади ми нещодавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, та був правило диференціювання твори. Недолік способу полягає в тому, що вийде величезний триповерховий дріб, з яким зовсім не хочеться мати справи.
Але в теорії та практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:
Примітка
: т.к. функція може набувати негативних значень, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: 
, які зникнуть внаслідок диференціювання Однак допустиме і поточне оформлення, де за умовчанням беруться до уваги комплекснізначення. Але якщо з усією суворістю, то і в тому, і в іншому випадку слід зробити застереження, що.
Тепер потрібно максимально розвалити логарифм правої частини (формули перед очима?). Я розпишу цей процес докладно:
Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:
Похідна правої частини досить проста, її я не коментуватиму, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено з нею впоратися.
Як бути з лівою частиною?
У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю питання: «Чому, там же одна буква «ігрок» під логарифмом?».
Справа в тому, що ця «одна літерка ігорок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(якщо не зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм – це зовнішня функція, а «гравець» – внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції 
:
У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрок» із знаменника лівої частини нагору правої частини:
А тепер згадуємо, про який такий «гравець»-функцію ми міркували під час диференціювання? Дивимося на умову: 
Остаточна відповідь: 
Приклад 12
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу цього типу наприкінці уроку.
За допомогою логарифмічної похідної можна було вирішити будь-який з прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіші, і, можливо, використання логарифмічної похідної не надто й виправдане.
Похідна статечно-показової функції
Цю функцію ми ще розглядали. Ступінно-показова функція – це функція, у якої і ступінь та основа залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам наведуть у будь-якому підручнику або на будь-якій лекції:
Як знайти похідну від статечно-показової функції?
Необхідно використовувати щойно розглянутий прийом – логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:
Як правило, у правій частині з-під логарифму виноситься ступінь:
У результаті в правій частині у нас вийшов добуток двох функцій, який диференціюватиметься за стандартною формулою 
.
Знаходимо похідну, для цього укладаємо обидві частини під штрихи:
Подальші дії нескладні:
Остаточно: 
Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміле, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прикладу №11.
У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складнішою, ніж розглянутий лекційний приклад.
Приклад 13
Знайти похідну функції
Використовуємо логарифмічну похідну. 
У правій частині у нас константа та твір двох множників – «ікса» та «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладено ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще одразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило 
:
Цим відео я починаю довгу серію уроків, присвячену похідним. Цей урок складається з кількох частин.
Насамперед, я розповім вам, що взагалі таке похідні і як їх вважати, але не хитромудрою академічною мовою, а так, як я сам це розумію і як пояснюю своїм учням. По-друге, ми розглянемо найпростіше правило для вирішення завдань, в яких шукатимемо похідні суми, похідні різниці та похідні статечної функції.
Ми розглянемо складніші комбіновані приклади, з яких ви, зокрема, дізнаєтеся, що подібні завдання, що містять коріння і навіть дроби, можуть бути вирішені при використанні формули похідної статечної функції. Крім того, звичайно, буде безліч завдань і прикладів рішень різного рівня складності.
Взагалі, спочатку я збирався записати коротенький 5-хвилинний ролик, але бачите, що з цього вийшло. Тому вистачить лірики – приступаємо до справи.
Що таке похідна?
Отже, почнемо здалеку. Багато років тому, коли дерева були зеленішими, а життя було веселішим, математики замислилися ось над чим: розглянемо просту функцію, задану своїм графіком, назвемо її $y=f\left(x \right)$. Зрозуміло, графік існує не сам собою, тому потрібно провести осі $x$, а також вісь $y$. А тепер давайте виберемо будь-яку точку на цьому графіку, абсолютно будь-яку. Абсцис назвемо $((x)_(1))$, ордината, як не важко здогадатися, буде $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Розглянемо на тому ж графіку ще одну точку. Не важливо, яку, головне, щоб вона відрізнялася від первісної. У неї, знову ж таки, є абсциса, назвемо її $((x)_(2))$, а також ордината - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Отже, ми отримали дві точки: вони мають різні абсциси і, отже, різні значення функції, хоча останнє — необов'язково. А ось що справді важливо, то це що, що з курсу планіметрії нам відомо: через дві точки можна провести пряму і, до того ж, лише одну. Ось давайте її і проведемо.
А тепер проведемо через найпершу з них пряму, паралельну до осі абсцис. Отримаємо прямокутний трикутник. Давайте позначимо його $ABC$, прямий кут $C$. У цього трикутника виникає одна дуже цікава властивість: справа в тому, що кут $ alfa $, насправді, дорівнює куту, під яким перетинається пряма $ AB $ з продовженням осі абсцис. Судіть самі:
- пряма $AC$паралельна осі $Ox$ за побудовою,
- пряма $AB$ перетинає $AC$ під $\alpha $,
- отже, $AB$ перетинає $Ox$під тим самим $\alpha $.
Що ми можемо сказати про $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Нічого конкретного, хіба що в трикутнику $ABC$ставлення катета $BC$ до катета $AC$ дорівнює тангенсу цього самого кута. Так і запишемо:
Зрозуміло, $AC$ у цьому випадку легко вважається:
Так само і $BC$:
Іншими словами, ми можемо записати таке:
\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Тепер, коли ми все це з'ясували, повернімося до нашого графіку і розглянемо нову точку $B$. Зітріть старі значення і візьмемо і візьмемо $B$ десь ближче до $((x)_(1))$. Знову позначимо її абсцису за $((x)_(2))$, а ординату - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Знову розглянемо наш маленький трикутник $ABC$і $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ всередині нього. Цілком очевидно, що це буде вже зовсім інший кут, тангенс буде також іншим тому, що довжини відрізків $AC$ і $BC$ суттєво змінилися, а формула для тангенсу кута анітрохи не змінилася — це, як і раніше, співвідношення між зміною функції та зміною аргументу .
Нарешті, продовжуємо рухати $B$ все ближче до початкової точки $A$, в результаті трикутник ще зменшиться, а пряма, що містить відрізок $AB$, все більше буде схожою на графіку до функції.
У результаті, якщо продовжувати зближення точок, тобто зменшувати відстань до нуля, то пряма $AB$ дійсно перетвориться на дотичну до графіка в цій точці, а $\text( )\!\!\alpha\!\ !\text( )$перетвориться зі звичайного елемента трикутника в кут між дотичною до графіка і позитивним напрямом осі $Ox$.
І ось тут ми плавно переходимо до визначення $f$, а саме похідної функції в точці $((x)_(1))$ називається тангенс кута $\alpha $ між дотичною до графіка в точці $((x)_( 1))$ і позитивним напрямком осі $Ox$:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Повертаючись до нашого графіку, слід зазначити, що $((x)_(1))$ можна вибрати будь-яку точку на графіку. Наприклад, з тим самим успіхом ми могли зняти штрих у точці, показаній на малюнку.
Кут між дотичним та позитивним напрямком осі назвемо $\beta$. Відповідно, $f$ $((x)_(2))$ дорівнюватиме тангенсу цього кута $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
У кожній точці графіка буде своя дотична, отже, своє значення функції. У кожному з цих випадків крім точки, в якій ми шукаємо похідну різниці або суми, або похідну статечної функції, необхідно взяти іншу точку, що знаходиться на деякій відстані від неї, а потім спрямувати цю точку до вихідної і, зрозуміло, з'ясувати, як у процесі такого руху змінюватиметься тангенс кута нахилу.
Похідна статечної функції
На жаль, подібне визначення нас зовсім не влаштовує. Всі ці формули, картинки, кути не дають нам найменшого уявлення про те, як вважати реальну похідну в реальних завданнях. Тому давайте трохи відвернемося від формального визначення та розглянемо більш дієві формули та прийоми, за допомогою яких вже можна вирішувати справжні завдання.
Почнемо з найпростіших конструкцій, зокрема, функцій виду $y=((x)^(n))$, тобто. статечних функцій. У цьому випадку ми можемо записати наступне: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Іншими словами, ступінь, що стояла в показнику, показується в множнику спереду, а сам показник зменшується на одиницю Наприклад:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
А ось інший варіант:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\end(align)\]
Користуючись цими простими правилами, спробуємо зняти штрих таких прикладів:
Отже, ми отримуємо:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Тепер вирішимо другий вираз:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Зрозуміло, це були дуже прості завдання. Однак реальні завдання складніші і вони не обмежуються одними лише ступенями функції.
Отже, правило № 1 – якщо функція представлена у вигляді двох інших, то похідна цієї суми дорівнює сумі похідних:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Аналогічно, похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних:
\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Крім того, є ще одне важливе правило: якщо перед деякою $f$ стоїть константа $c$, на яку ця функція множиться, то $f$ усієї цієї конструкції вважається так:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Нарешті, ще одне дуже важливе правило: у завданнях часто зустрічається окремий доданок, який взагалі не містить $x$. Наприклад, ми можемо спостерігати це у наших сьогоднішніх виразах. Похідна константи, тобто, числа, що не залежить від $x$, завжди дорівнює нулю, причому зовсім неважливо, чому дорівнює константа $c$:
\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]
Приклад рішення:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Ще раз ключові моменти:
- Похідна суми двох функцій завжди дорівнює сумі похідних: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- По аналогічних причин похідна різниці двох функцій дорівнює різниці двох похідних: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Якщо у функції є множник константа, то цю константу можна виносити за знак похідної: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Якщо вся функція є константою, то її похідна завжди нуль: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Погляньмо, як усе це працює на реальних прикладах. Отже:
Записуємо:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
У цьому вся прикладі бачимо і похідну суми, і похідну різниці. Отже, похідна дорівнює $5((x)^(4))-6x$.
Переходимо до другої функції:
Записуємо рішення:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\end(align)\]
Ось ми й знайшли відповідь.
Переходимо до третьої функції - вона вже серйозніша:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2))) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Відповідь ми виявили.
Переходимо до останнього виразу — найскладнішого і найдовшого:
Отже, вважаємо:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\end(align)\]
Але на цьому рішення не закінчується, тому що нас просять не просто зняти штрих, а порахувати її значення в конкретній точці, тому підставляємо у вираз −1 замість $x$:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Йдемо далі і переходимо до ще більш складних та цікавих прикладів. Справа в тому, що формула рішення статечної похідної $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))$ має ще більш широку сферу застосування, ніж зазвичай прийнято вважати. З її допомогою можна вирішувати приклади з дробами, корінням тощо. д. Саме цим ми зараз і займемося.
Для початку ще раз запишемо формулу, яка допоможе нам знайти похідну статечної функції:
А тепер увага: досі ми розглядали як $n$ лише натуральні числа, проте нічого не заважаємо розглянути дроби і навіть негативні числа. Наприклад, ми можемо записати таке:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\end(align)\]
Нічого складного, тому подивимося, як ця формула допоможе нам при вирішенні складніших завдань. Отже, приклад:
Записуємо рішення:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
Повертаємось до нашого прикладу та записуємо:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ось таке складне рішення.
Переходимо до другого прикладу — тут лише два доданки, але кожне містить як класичну ступінь, і коріння.
Зараз ми дізнаємося, як знайти похідну статечної функції, яка, крім того, містить і корінь:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Обидва доданки пораховані, залишилося записати остаточну відповідь:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Ми знайшли відповідь.
Похідна дроби через статечну функцію
Але і на цьому можливості формули для вирішення похідної статечної функції не закінчуються. Справа в тому, що з її допомогою можна вважати не тільки приклади з корінням, але й з дробами. Це якраз та рідкісна можливість, яка значно спрощує вирішення таких прикладів, але при цьому найчастіше ігнорується не лише учнями, а й учителями.
Отже, зараз ми спробуємо поєднати одразу дві формули. З одного боку, класична похідна статечної функції
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
З іншого боку ми знаємо, що вираз виду $\frac(1)(((x)^(n)))$ представимо у вигляді $((x)^(-n))$. Отже,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Таким чином, похідні простих дробів, де в чисельнику стоїть константа, а в знаменнику - ступінь, також вважаються за допомогою класичної формули. Подивимося, як це працює практично.
Отже, перша функція:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2))) right))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Перший приклад вирішено, переходимо до другого:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...
Тепер збираємо всі ці доданки в єдину формулу:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Ми отримали відповідь.
Однак перш ніж рухатися далі, хотів би звернути вашу увагу на форму запису самих вихідних виразів: у першому виразі ми записали $f\left(x \right)=...$, у другому: $y=...$ Багато учнів губляться, коли бачать різні форми запису. Чим відрізняються $f\left(x \right)$ і $y$? Насправді нічим. Це просто різні записи з тим самим змістом. Просто коли ми говоримо $f\left(x \right)$, то йдеться, перш за все, про функцію, а коли йдеться про $y$, то найчастіше мається на увазі графік функції. В іншому ж це одне й те саме, тобто похідна в обох випадках вважається однаково.
Складні завдання з похідними
Насамкінець хотілося б розглянути пару складних комбінованих завдань, в яких використовується відразу все те, що ми сьогодні розглянули. У них на нас чекають і коріння, і дроби, і суми. Однак складними ці приклади будуть лише в рамках сьогоднішнього відеоуроку, тому що по-справжньому складні функції похідних чекатимуть на вас попереду.
Отже, остання частина сьогоднішнього відеоуроку, що складається з двох комбінованих завдань. Почнемо з першої з них:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Похідна функції дорівнює:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Перший приклад вирішено. Розглянемо друге завдання:
У другому прикладі діємо аналогічно:
\[((\left(-\frac(2))(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3))))) \right))^ (\prime ))\]
Порахуємо кожне доданок окремо:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4))(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Усі доданки пораховані. Тепер повертаємося до вихідної формули і складаємо разом усі три доданки. Отримуємо, що остаточна відповідь буде такою:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
І на цьому все. То був перший наш урок. У наступних уроках ми розглянемо складніші конструкції, а також з'ясуємо, навіщо взагалі потрібні похідні.
