У кожній матриці можна пов'язати два ранги: малий ранг (ранг системи рядків) та стовпцевий ранг (ранг системи стовпців).
Теорема
Рядковий ранг матриці дорівнює її стовпцевому рангу.
Ранг матриці
Визначення
Рангом матриці$A$ називається ранг її системи рядків чи стовпців.
Позначається $\operatorname(rang) A$
Насправді для знаходження рангу матриці використовують таке твердження: ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків після приведення матриці до ступінчастого виду.
Елементарні перетворення над рядками (стовпцями) матриці не змінюють її рангу.
Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Рішення.За допомогою елементарних перетворень над її рядками наведемо матрицю $A$ до ступінчастого вигляду. Для цього спочатку від третього рядка заберемо дві другі:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Від другого рядка віднімаємо четвертий рядок, помножений на 4; від третьої - дві четверті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
До другого рядка додамо п'ять перших, до третього - три треті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Змінюємо місцями перший і другий рядки:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Відповідь.$ \ operatorname (rang) A = 2 $
Метод облямування мінорів
На цій теоремі базується ще один метод знаходження рангу матриці. метод облямування мінорів. Суть цього методу полягає у знаходженні мінорів, починаючи з нижчих порядків і рухаючись до вищих. Якщо мінор $n$-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори $n+1$-го дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме $n$ .
приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6) \ end (array) \ right) $ , використовуючи метод облямування мінорів.
Рішення.Мінорами мінімального порядку є мінори першого порядку, які дорівнюють елементам матриці $A$ . Розглянемо, наприклад, мінор $M_(1)=1 \neq 0$. розташований у першому рядку та першому стовпці. Обрамляємо його за допомогою другого рядка та другого стовпця, отримуємо мінор $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; розглянемо ще один мінор другого порядку, для цього мінор $M_1$ облямовуємо за допомогою другого рядка та третього стовпця, тоді маємо мінор $M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тобто ранг матриці не менше двох. Далі розглядаємо мінори третього порядку, які облямовують мінор $ M_(2)^(2) $ . Таких мінорів два: комбінація третього рядка з другим стовпцем або четвертим стовпцем. Обчислюємо ці мінори.
Раніше для квадратної матриці 
-го порядку було введено поняття мінору 
елемента 
. Нагадаємо, що так було названо визначника порядку 
отриманий з визначника 
викреслюванням 
-й рядки та 
-го стовпця.
Введемо тепер загальне поняттямінору. Розглянемо деяку, не обов'язково квадратнуматрицю 
. Виберемо якісь 
номерів рядків 
і 
номерів стовпців 
.
Визначення.
Мінором порядку 
матриці 
(відповідним обраним рядкам та стовпцям) називається визначник порядку 
, утворений елементами, які стоять перетині вибраних рядків і стовпців, тобто. число
.
Кожна матриця має стільки мінорів цього порядку 
, скільки можна вибрати номери рядків 
та стовпців 
.
Визначення. У матриці 
розмірів 
мінор порядку 
називається базиснимякщо він відмінний від нуля, а всі мінори порядку 
рівні нулю або мінорів порядку 
у матриці 
взагалі ні.
Зрозуміло, що в матриці може бути кілька різних базисних мінорів, але всі базисні мінори мають один і той самий порядок. Справді, якщо всі мінори порядку 
рівні нулю, то рівні нулю і всі мінори порядку 
, а, отже, і всіх більших порядків.
Визначення. Рангом матриціназивається порядок базисного мінору, чи, інакше, найбільший порядок, котрій існують відмінні від нуля мінори. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг такої матриці, за визначенням, вважають нулем.
Ранг матриці 
будемо позначати символом 
. З визначення рангу слід, що з матриці 
розмірів 
справедливе співвідношення.
Два способи обчислення рангу матриці
а) Метод облямівних мінорів
Нехай у матриці знайдено мінор 
-го порядку, відмінний від нуля. Розглянемо лише ті мінори 
-го порядку, які містять у собі (окаймляють) мінор 
: якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює 
. В іншому випадку серед мінорів, що обрамляють, знайдеться ненульовий мінор 
-го порядку, і процедура повторюється.
Приклад 9
. Знайти ранг матриці 
методом обрамляють мінорів.
Виберемо мінор другого порядку 
. Існує лише один мінор третього порядку, що оздоблює обраний мінор 
. Обчислимо його.
Значить, мінор 
базисний, а ранг матриці дорівнює його порядку, тобто. 
Зрозуміло, що перебирати у такий спосіб мінори у пошуках базисного – завдання, пов'язані з великими обчисленнями, якщо розміри матриці дуже малі. Існує, проте, простіший спосіб знаходження рангу матриці – з допомогою елементарних перетворень.
б) Метод елементарних перетворень
Визначення. Елементарними перетвореннями матриціназивають такі перетворення:
множення рядка на число, відмінне від нуля;
додаток до одного рядка іншого рядка;
перестановку рядків;
такі ж перетворення стовпців.
Перетворення 1 та 2 виконуються поелементно.
Комбінуючи перетворення першого та другого виду, ми можемо до будь-якого рядка додати лінійну комбінацію інших рядків.
Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.
(Без доказу)
Ідея практичного методу обчислення рангу матриці
полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень дану матрицю 
приводять до вигляду
,
(5)
у якому «діагональні» елементи 
відмінні від нуля, а елементи, розташовані нижче «діагональних», дорівнюють нулю. Умовимося називати матрицю 
такого виду трикутної (інакше, її називають діагональною, трапецієподібною або сходовою). Після наведення матриці 
до трикутного вигляду можна відразу записати, що 
.
Справді, 
(Тобто елементарні перетворення не змінюють рангу). Але у матриці 
існує відмінний від нуля мінор порядку 
:
,
а будь-який мінор порядку 
містить нульовий рядок і тому дорівнює нулю.
Сформулюємо тепер практичне правило обчислення рангуматриці 
за допомогою елементарних перетворень: для знаходження рангу матриці 
слід за допомогою елементарних перетворень привести її до трикутного вигляду 
. Тоді ранг матриці 
буде дорівнює числуненульових рядків в отриманій матриці 
.
приклад 10.
Знайти ранг матриці 
методом елементарних перетворень
Рішення.
Поміняємо місцями перший і другий рядок (бо перший елемент другого рядка −1 і з ним буде зручно виконувати перетворення). В результаті отримаємо матрицю, еквівалентну даній.
Позначимо 
-Тот рядок матриці - 
. Нам необхідно навести вихідну матрицю до трикутного вигляду. Перший рядок вважатимемо провідним, він братиме участь у всіх перетвореннях, але сам залишається без змін.
На першому етапі виконаємо перетворення, що дозволяють отримати в першому стовпці нулі, крім першого елемента. Для цього з другого рядка віднімемо перший, помножений на 2 
, до третього рядка додамо перший 
, а з третьої віднімемо першу, помножену на 3 
Отримуємо матрицю, ранг якої збігається з рангом цієї матриці. Позначимо її тією ж літерою 
:
.
Оскільки нам необхідно привести матрицю до виду (5), віднімемо з другого рядка другий. При цьому маємо:
.
Отримано матрицю трикутного вигляду, і можна зробити висновок, що 
, Т. е. числу ненульових рядків. Коротко розв'язання задачі можна записати так:
Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, rA або r.
З визначення випливає, що r – ціле додатне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.
Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.
Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.
Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базисними рядками та стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.
Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).
приклад 1 . Дано дві матриці , 
та їхні мінори 
, 
. Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, отже його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .
Теорема (про базисний мінор).
Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.
- Будь-які (r+1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
- Якщо ранг матриці менший за кількість її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
- Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
- Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножений на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
- Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
- Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
- Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.
Приклад 2 . Знайти ранг матриці 
.
Рішення.
Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.
Розглянемо прямокутну матрицю. Якщо у цій матриці виділити довільно kрядків та kстовпців, то елементи, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядкуматриці А. Очевидно, що матриця А має мінори будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться, принаймні, один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший із порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангомматриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці позначається через r(A). Очевидно, що виконується співвідношення
Обчислення рангу матриці за допомогою мінорів
Ранг матриці знаходиться або шляхом облямування мінорів, або шляхом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом слід переходити від мінорів нижчих порядків до мінорів. високого порядку. Якщо знайдено мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k+1)-го порядку, що облямовують мінор D, тобто. містять його як мінор. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.
приклад 1.Знайти методом облямівки мінорів ранг матриці
.
Рішення.Починаємо з мінорів 1-го порядку, тобто. з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М 1 = 1, розташований у першому рядку та першому стовпці. Обрамляючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, отримуємо мінор M 2 = відмінний від нуля. Переходимо тепер до мінорів 3-го порядку, що облямовує М 2 . Їх лише два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: 
=
0. Таким чином, всі мінори третього порядку, що облямовують, виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.
Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень
Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:
1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),
2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,
3) додаток до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.
Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.
Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A~ B.
Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,
.
За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць її головної діагоналі.
Приклад 2Знайти ранг матриці
та привести її до канонічного вигляду.
Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:
.
Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 і 5:
;
з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю
яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:
.
