Як вирішувати усі види рівнянь. Що таке рівняння? на тему: Рівняння та способи їх вирішення

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

Навчальні:

Узагальнити знання з усіх видів рівнянь, підкреслити значущість всіх способів, що застосовуються під час вирішення рівнянь.
Активізація роботи учнів з допомогою, різноманітних прийомів під час уроку.
Перевірити теоретичні та практичні навички під час вирішення рівнянь.
Загострити увагу на тому, що одне рівняння можна вирішити декількома способами

Розвиваючі:

Підвищити інтерес учнів до предмета через використання ІКТ.
Ознайомлення учнів із історичним матеріалом на тему.
Розвиток мисленнєвої діяльності щодо виду рівняння та способів його решения.

Виховні:

Виховати дисципліну на уроці.
Розвиток здатності до сприйняття прекрасного, у собі самому, в іншій людині та в навколишньому світі.

Тип уроку:

Урок узагальнення та систематизації знань.

Вигляд уроку:

Комбінований.

Матеріально-технічне обладнання:

Комп'ютер
Екран
Проектор
Диск із презентацією теми

Методи та прийоми:

Використання презентації
Фронтальна бесіда
Усна робота
Ігрові моменти
Робота в парах
Робота біля дошки
Робота в зошитах

План уроку:

Організаційний момент (1хвилини)
Розшифровка теми уроку (3хвилини)
Повідомлення теми та мети уроку (1хвилина)
Теоретична розминка (3хвилин)
Історичний екскурс (3хвилини)
Гра "Прибери зайве" (2хвилини)
Творча робота (2хвилини)
Завдання "Знайди помилку" (2хвилини)
Вирішення одного рівняння декількома способами (на слайді) (3хвилини)
Розв'язання одного рівняння декількома способами (біля дошки) (24 хвилин)
Самостійна робота в парах з наступним поясненням (5хвилин)
Індивідуальне домашнє завдання (1хвилин)
Підсумок уроку рефлексія (1хвилина)

Епіграф уроку:

"Вчитися можна тільки весело, щоб перетравлювати знання, потрібно поглинати їх із апетитом".
А.Франс

Конспект уроку

Організаційна частина

Перевіряю готовність учнів до уроку, наголошую на уроці. Хлопці, Французький письменник 19 століття А.Франс одного разу зауважив “Вчитися можна лише весело, щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх із апетитом”. Тож давайте на нашому уроці дотримуватися поради, письменника та перетравлювати знання з великим апетитом, адже вони стануть у нагоді в нашому житті.

Розшифровка теми уроку

Для того, щоб перейти до більш складного завдання, давайте розімнемо свої мізки простими завданнями. Тема нашого уроку зашифрована, вирішивши усні завдання і знайшовши відповідь, знаючи, що кожна відповідь має свою букву, ми розкриємо тему уроку. Презентація слайдів 3

Повідомлення теми та мети уроку

Ви сьогодні самі назвали тему уроку

"Види рівнянь та способи їх вирішення".Презентація слайдів 4

Мета: Згадати та узагальнити всі види рівнянь та способи їх вирішення. Вирішити одне рівняння всіма способами. Презентація слайд 5 Прочитати вислів Ейнштейна Презентація слайд 5

Теоретична розминка

Запитання Презентація слайд 7

Відповіді

Рівність, що містить змінну величину, позначену якоюсь буквою.
Це означає знайти все його коріння, або довести, що коріння немає.
Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне рівність.
Після цього визначення прочитати вірш про рівняння Презентація слайд 12,13,14

Відповіді на 2 останні питання Презентація слайд 9,10,11

Історичний екскурс

Історична довідка про те “Хто і коли вигадав рівняння” Презентація слайд 15

Уявімо, що первісна мама на ім'я... втім, у неї, напевно, і імені то не було, зірвала з дерева 12 яблук, щоб дати кожному зі своїх 4 дітей. Мабуть, вона не вміла рахувати не тільки до 12, а й до чотирьох, і вже безперечно не вміла ділити 12 на 4. А яблука вона поділила, напевно, так: спочатку дала кожній дитині по яблуку, потім ще по яблуку, потім ще по одному й тут побачила, що яблук більше нема і діти задоволені. Якщо записати ці дії сучасною математичною мовою, то виходить х4 = 12, тобто мама вирішила завдання на складання рівняння. Очевидно, відповісти на поставлене вище питання неможливо. Завдання, що призводять до розв'язання рівнянь, люди вирішили на основі здорового глузду з того часу, як вони стали людьми. Ще за 3-4 тисячі років до нашої ери єгиптяни та вавилоняни вміли розв'язувати найпростіші рівняння, вид яких і прийоми рішення були не схожі на сучасні. Греки успадкували знання єгиптян і пішли далі. Найбільших успіхів у розвиток вчення про рівняння досяг грецький вчений Діофант (III століття), про який писали:

Він багато всяких вирішив проблем.
І запахи передбачав, і зливи.
Воістину, його знання дивні.

Великий внесок у вирішення рівнянь зробив середньоазіатський математик Мухаммед ал Хорезмі (IХ століття). Його знаменита книга ал-Хорезмі присвячена розв'язанню рівнянь. Вона називається "Китаб ал-джебр вал-мукабала", тобто "Книга про поповнення та протиставлення". Ця книга стала відома європейцям, а від слова "ал-джебр" з її назви походить слово "алгебра" - назва однієї з головних частин математики. Надалі багато математиків займалися проблемами рівнянь. Загальне правило розв'язків квадратних рівнянь, приведених до виду х2+вх=0, було сформульовано німецьким математиком Штифелем, який проживав у ХV столітті. Після праць нідерландського математика Жірара (ХVI століття), а також Декарта та Ньютона, спосіб рішення набув сучасного вигляду. Формули, що виражають залежності коренів рівняння від його коефіцієнтів, була введена Вієтом. Франсуа Вієт жив у ХVI столітті. Він зробив великий внесок у вивчення різних проблем математики та астрономії; зокрема, він запровадив буквені позначення коефіцієнтів рівняння. А зараз познайомимося з цікавим епізодом із його життя. Гучну славу Вієт отримав за короля Генріха III, вчасно франко-іспанської війни. Іспанські інквізитори винайшли дуже складний тайнопис, завдяки якому іспанці листувалися з ворогами Генріха III навіть у самій Франції.

Марно французи намагалися знайти ключ до шифру, і тоді король звернувся до Вієта. Розповідають, що Вієт знайшов за два тижні безперервної роботи ключ до шифру, після чого, несподівано для Іспанії, Франція почала вигравати одну битву за іншою. Будучи впевненим, що шифр розгадати неможливо, іспанці звинуватили Вієта у зв'язку з дияволом і засудили до спалення на багатті. На щастя, він був виданий інквізиції і увійшов у історію як великий математик.

Гра "Прибери зайве"

Мета гриорієнтування у видах рівнянь.

У нас дано три стовпчики рівнянь, у кожному з них рівняння визначені за якоюсь ознакою, але одне з них зайве ваше завдання його знайти та охарактеризувати. Презентація слайд 16

Творча робота

Мета цього: Сприйняття на слух математичної мови орієнтуванні дітей у видах рівнянь.

На екрані ви бачите 9 рівнянь. Кожне рівняння має свій номер, я називатиму вид цього рівняння, а ви повинні знайти рівняння цього виду, і поставити тільки номер, під яким воно стоїть, в результаті ви отримаєте 9-значне число Презентація слайд 17

Наведене квадратне рівняння.
Дробно-раціональне рівняння
Кубічне рівняння
Логарифмічне рівняння
Лінійне рівняння
Неповне квадратне рівняння
Показове рівняння
Ірраціональне рівняння
Тригонометричне рівняння

Завдання “Знайди помилку”

Один учень вирішував рівняння, але весь клас сміявся, у кожному рівнянні він припустився помилки, ваше завдання знайти її та виправити. Презентація слайд 18

Вирішення одного рівняння декількома способами

А тепер розв'яжемо одне рівняння всіма можливими способами, для економії часу на уроці одне рівняння на екрані. Зараз ви назвете вигляд цього рівняння, і поясніть, який спосіб використовується, при вирішенні цього рівняння Презентація слайди 19-27

Розв'язання одного рівняння декількома способами (біля дошки)

Ми подивилися приклад, а тепер давайте розв'яжемо рівняння біля дошки усілякими способами.

X-2 - ірраціональне рівняння

Зведемо в квадрат обидві частини рівняння.

X 2+2x+4x-1-4=0

Вирішуємо це рівняння біля дошки 9 способами.

Самостійна робота в парах з наступним поясненням біля дошки

А зараз ви попрацюєте в парах, на парту я даю рівняння, ваше завдання визначити вид рівняння, перерахувати всі способи розв'язання цього рівняння, вирішити 1-2 найбільш раціональними для вас способами. (2 хвилини)

Завдання для роботи в парах

Розв'яжіть рівняння

Після самостійної роботи в парах один представник виходить до дошки, представляє своє рівняння, вирішує одним способом

Індивідуальне домашнє завдання(диференційовано)

Розв'яжіть рівняння

(Визначити вид рівняння, вирішити всіма способами на окремому аркуші)

Підсумок уроку рефлексії.

Підводжу підсумок уроку, загострюю увагу на тому, що одне рівняння можна вирішити багатьма способами, виставляю оцінки, роблю висновок, хто був активним, кому треба бути активнішим. Зачитую вислів Калініна Презентація слайд 28

Подивіться уважно на ті цілі, які ми з вами поставили для сьогоднішнього уроку:

Що на вашу думку нам вдалося зробити?
Що вийшло не дуже добре?
Що вам особливо сподобалося та запам'яталося?
Сьогодні я дізнався про нове...
На уроці мені знадобилися знання...
Для мене було складно...
На уроці мені сподобалося...

Література

Дорофєєв Г.В. "Збірник завдань для проведення письмового іспиту з математики за курс середньої школи" - М.: Дрофа, 2006.
Гарнер Мартін. Математичні головоломки та розваги.
Івлєв Б.М., Саакян С.М. Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 10 кл., 11 кл. М: Просвітництво. 2002.

У курсі шкільної математики дитина вперше чує термін "рівняння". Що таке, спробуємо розібратися разом. У цій статті розглянемо види та способи розв'язання.

Математика. Рівняння

Спочатку пропонуємо розібратися з самим поняттям, що це таке? Як свідчать багато підручників математики, рівняння - це деякі висловлювання, між якими стоїть обов'язково знак рівності. У цих висловлюваннях присутні літери, звані змінні, значення яких необхідно знайти.

Це атрибут системи, що змінює своє значення. Наочним прикладом змінних є:

Температура повітря;
зріст дитини;
вага і таке інше.

У математиці вони позначаються буквами, наприклад, х, а, b, с... Зазвичай завдання з математики звучить так: знайдіть значення рівняння. Це означає, що потрібно визначити значення даних змінних.

Різновиди

Рівняння (що таке, ми розібрали у попередньому пункті) може бути такого вигляду:

лінійні;
квадратні;
кубічні;
алгебраїчні;
трансцендентні.

Для більш детального знайомства з усіма видами розглянемо кожен окремо.

Лінійне рівняння

Це перший вид, з яким знайомляться школярі. Вони вирішуються досить швидко і просто. Отже, лінійне рівняння, що таке? Це вираз виду: ах = с. Так не особливо зрозуміло, тому наведемо кілька прикладів: 2х = 26; 5х = 40; 1,2 х = 6.

Розберемо приклади рівнянь. Для цього нам необхідно всі відомі дані зібрати з одного боку, а невідомі з іншого: х=26/2; х = 40/5; х = 6/1,2. Тут використовувалися елементарні правила математики: а*с=е, із цього с=е/а; а=е/с. Щоб завершити рішення рівняння, виконаємо одну дію (у разі розподіл) х=13; х = 8; х = 5. Це були приклади на множення, тепер переглянемо на віднімання та додавання: х+3=9; 10х-5 = 15. Відомі дані переносимо в один бік: х = 9-3; х = 20/10. Виконуємо останню дію: х = 6; х = 2.

Також можливі варіанти лінійних рівнянь, де використовують більше однієї змінної: 2х-2у=4. Для того, щоб вирішити, необхідно до кожної частини додати 2у, у нас виходить 2х-2у+2у=4-2у, як ми помітили, по ліву частину знака рівності -2у і +2у скорочуються, при цьому у нас залишається: 2х=4 -2у. Останнім кроком ділимо кожну частину на два, отримуємо відповідь: ікс дорівнює два мінуси ігор.

Завдання із рівняннями зустрічаються навіть на папірусах Ахмеса. Ось одне із завдань: число та четверта його частина дають у сумі 15. Для її вирішення ми записуємо наступне рівняння: ікс плюс одна четверта ікс дорівнює п'ятнадцяти. Ми ще один приклад за підсумком рішення, отримуємо відповідь: х=12. Але це завдання можна вирішити й іншим способом, а саме єгипетським або, як його називають інакше, способом припущення. У папірусі використовується таке рішення: візьміть чотири та четверту її частину, тобто одиницю. У сумі вони дають п'ять, тепер п'ятнадцять необхідно розділити на суму, ми отримуємо три, останню дію три множимо на чотири. Ми отримуємо відповідь: 12. Чому ми у рішенні п'ятнадцять ділимо на п'ять? Тож дізнаємося, у скільки разів п'ятнадцять, тобто результат, який нам необхідно отримати, менше ніж п'ять. У такий спосіб вирішували завдання у середні віки, він став зватись методом хибного становища.

Квадратні рівняння

Крім розглянутих раніше прикладів, є й інші. Які саме? Квадратне рівняння, що таке? Вони мають вигляд ax2+bx+c=0. Для їх вирішення необхідно ознайомитися з деякими поняттями та правилами.

По-перше, потрібно знайти дискримінант за такою формулою: b 2 -4ac. Є три варіанти вирішення:

дискримінант більший за нуль;
менше нуля;
дорівнює нулю.

У першому варіанті ми можемо отримати відповідь із двох коренів, які знаходяться за формулою: -b+-корінь із дискримінанта розділені на подвійний перший коефіцієнт, тобто 2а.

У другому випадку коріння у рівняння немає. У третьому випадку корінь знаходиться за такою формулою: -b/2а.

Розглянемо приклад квадратного рівняння для докладнішого знайомства: три ікс у квадраті мінус чотирнадцять ікс мінус п'ять дорівнює нулю. Для початку, як і писалося раніше, шукаємо дискримінант, у нашому випадку він дорівнює 256. Зазначимо, що отримане число більше нуля, отже, ми повинні отримати відповідь, що складається з двох коренів. Підставляємо отриманий дискримінант у формулу знаходження коріння. У результаті ми маємо: ікс дорівнює п'яти та мінус однієї третьої.

Особливі випадки у квадратних рівняннях

Це приклади, у яких деякі значення дорівнюють нулю (а, b або с), а можливо, і кілька.

Для прикладу візьмемо наступне рівняння, яке є квадратним: два ікс у квадраті дорівнює нулю, тут ми бачимо, що b і дорівнюють нулю. Спробуємо його вирішити, при цьому обидві частини рівняння ділимо на два, ми маємо: х 2 =0. Через війну отримуємо х=0.

Інший випадок 16х2 -9 = 0. Тут лише b=0. Розв'яжемо рівняння, вільний коефіцієнт переносимо у праву частину: 16х 2 =9, тепер кожну частину ділимо на шістнадцять: х 2 = дев'ять шістнадцятих. Так як у нас х у квадраті, то корінь із 9/16 може бути як негативним, так і позитивним. Відповідь записуємо наступним чином: ікс дорівнює плюс/мінус три четверті.

Можливий такий варіант відповіді, як у рівняння коренів зовсім немає. Подивимося такий приклад: 5х 2 +80=0, тут b=0. Для вирішення вільний член перекидаєте в праву сторону, після цих дій отримуємо: 5х 2 = -80, тепер кожну частину ділимо на п'ять: х 2 = мінус шістнадцять. Якщо будь-яке число звести квадрат, то негативне значення ми отримаємо. Тому наша відповідь звучить так: у рівняння коренів немає.

Розкладання тричлена

Завдання квадратних рівнянь може звучати й іншим чином: розкласти квадратний тричлен на множники. Це можна здійснити, скориставшись такою формулою: а(х-х 1)(х-х 2). Для цього, як і в іншому варіанті завдання, потрібно знайти дискримінант.

Розглянемо наступний приклад: 3х 2 -14х-5, розкладіть тричлени на множники. Знаходимо дискримінант, користуючись вже відомою нам формулою, він виходить рівним 256. Відразу відзначаємо, що 256 більше за нуль, отже, рівняння матиме два корені. Знаходимо їх, як у попередньому пункті, маємо: х= п'ять і мінус одна третя. Скористаємося формулою для розкладання тричлена на множники: 3(х-5)(х+1/3). У другій дужці ми отримали знак одно, тому що у формулі стоїть знак мінуса, а корінь теж негативний, користуючись елементарними знаннями математики, у сумі маємо знак плюса. Для спрощення перемножимо перший і третій член рівняння, щоб позбутися дробу: (х-5)(х+1).

Рівняння, що зводяться до квадратного

У цьому пункті навчимося вирішувати складніші рівняння. Почнемо відразу з прикладу:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можемо помітити елементи, що повторюються: (x 2 - 2x), нам для вирішення зручно замінити його на іншу змінну, а далі вирішувати звичайне квадратне рівняння, відразу відзначаємо, що в такому завданні ми отримаємо чотири корені, це не повинно вас лякати. Позначаємо повторення змінної а. Ми отримуємо: 2 -2а-3=0. Наш наступний крок – це знаходження дискримінанта нового рівняння. Ми отримуємо 16, знаходимо два корені: мінус один і три. Згадуємо, що ми робили заміну, підставляємо ці значення, у результаті маємо рівняння: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x = 3. Вирішуємо їх у першому відповідь: х дорівнює одиниці, у другому: х дорівнює мінусу одному і трьом. Записуємо відповідь так: плюс/мінус один і три. Як правило, відповідь записують у порядку зростання.

Кубічні рівняння

Розглянемо ще один можливий варіант. Йтиметься про кубічні рівняння. Вони мають вигляд: ax3+bx2+cx+d=0. Приклади рівнянь ми розглянемо далі, а спочатку трохи теорії. Вони можуть мати три корені, також існує формула для знаходження дискримінанта для кубічного рівняння.

Розглянемо приклад: 3х3+4х2+2х=0. Як його вирішити? Для цього ми просто виносимо х за дужки: х(3х2+4х+2)=0. Все що нам залишається зробити – це обчислити коріння рівняння у дужках. Дискримінант квадратного рівняння в дужках менше нуля, тому вираз має корінь: х=0.

Алгебра. Рівняння

Переходимо до такого виду. Зараз ми коротко розглянемо рівняння алгебри. Одне із завдань звучить наступним чином: розкласти на множники 3х 4+2х3+8х2+2х+5. Найзручнішим способом буде наступне угруповання: (3х4+3х2)+(2х3+2х)+(5х2+5). Зауважимо, що 8х2 з першого виразу ми представили у вигляді суми 3х2 і 5х2. Тепер виносимо з кожної дужки загальний множник 3х2(х2+1)+2х(х2+1)+5(х2+1). Ми бачимо, що у нас є спільний множник: ікс у квадраті плюс один, виносимо його за дужки: (х 2+1) (3х2+2х+5). Подальше розкладання неможливе, оскільки обидва рівняння мають негативний дискримінант.

Трансцендентні рівняння

Пропонуємо розібратися з таким типом. Це рівняння, що містять трансцендентні функції, а саме логарифмічні, тригонометричні чи показові. Приклади: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 тощо. Як вони вирішуються, ви дізнаєтеся з курсу тригонометрії.

Функція

Завершальним етапом розглянемо поняття рівняння функції. На відміну від попередніх варіантів цей тип не вирішується, а по ньому будується графік. Для цього рівняння варто добре проаналізувати, знайти всі необхідні точки для побудови, обчислити точку мінімуму та максимуму.

Після того, як ми вивчили поняття рівностей, а саме один із їхніх видів – числові рівності, можна перейти до ще одного важливого виду – рівнянь. У рамках даного матеріалу ми пояснимо, що таке рівняння та його корінь, сформулюємо основні визначення та наведемо різні приклади рівнянь та знаходження їх коріння.

Поняття рівняння

Зазвичай поняття рівняння вивчається на початку шкільного курсу алгебри. Тоді воно визначається так:

Визначення 1

Рівняннямназивається рівність із невідомим числом, яке потрібно знайти.

Прийнято позначати невідомі маленькими латинськими літерами, наприклад, t, r, m ін, але найчастіше використовуються x, y, z. Іншими словами, рівняння визначає форма його запису, тобто рівність буде рівнянням лише тоді, коли буде приведено до певного виду – у ньому має бути буква, значення яку треба знайти.

Наведемо кілька прикладів найпростіших рівнянь. Це можуть бути рівності виду x = 5 , y = 6 і т.д., а також ті, що включають арифметичні дії, наприклад, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3.

Після того, як вивчено поняття дужок, з'являється поняття рівнянь із дужками. До них відносяться 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3 та ін. Літера, яку треба знайти, може зустрічатися не один раз, а кілька, як, наприклад, у рівнянні x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Також невідомі можуть бути розташовані не тільки зліва, але й праворуч або в обох частинах одночасно, наприклад, x · (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 або 8 · x - 9 = 2 · (x + 17).

Далі, після того, як учні знайомляться з поняттям цілих, дійсних, раціональних, натуральних чисел, а також логарифмами, корінням і ступенями, з'являються нові рівняння, що включають всі ці об'єкти. Прикладам таких висловлювань ми присвятили окрему статтю.

У програмі за 7 клас уперше виникає поняття змінних. Це такі літери, які можуть набувати різних значень (докладніше див. у статті про числові, літерні вирази та вирази зі змінними). Ґрунтуючись на цьому понятті, ми можемо дати нове визначення рівнянню:

Визначення 2

Рівняння- Це рівність, що включає змінну, значення якої потрібно обчислити.

Тобто, наприклад, вираз x + 3 = 6 · x + 7 – це рівняння зі змінною x , а 3 · y − 1 + y = 0 – рівняння зі змінною y .

В одному рівнянні може бути не одна змінна, а дві і більше. Їх називають відповідно рівняннями з двома, трьома змінними та ін. Запишемо визначення:

Визначення 3

Рівняння з двома (трьома, чотирма і більше) змінними називають рівняння, які включають відповідну кількість невідомих.

Наприклад, рівність виду 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 є рівнянням з однією змінною x , а x − z = 5 – рівнянням із двома змінними x і z . Прикладом рівняння із трьома змінними може бути вираз x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корінь рівняння

Коли ми говоримо про рівняння, одразу виникає потреба визначитися з поняттям його кореня. Спробуймо пояснити, що воно означає.

Приклад 1

Нам дано якесь рівняння, що включає одну змінну. Якщо ми підставимо замість невідомої літери число, то рівняння стане числовою рівністю – вірною чи невірною. Так, якщо в рівнянні a + 1 = 5 ми замінимо букву числом 2, то рівність стане невірною, а якщо 4, то вийде правильна рівність 4 + 1 = 5 .

Нас більше цікавлять саме ті значення, з якими змінна обернеться у правильну рівність. Вони і називаються корінням чи рішеннями. Запишемо визначення.

Визначення 4

Коренем рівнянняназивають таке значення змінної, яке звертає дане рівняння у правильну рівність.

Корінь також можна назвати рішенням, або навпаки – обидва ці поняття означають те саме.

Приклад 2

Візьмемо приклад пояснення цього визначення. Вище ми наводили рівняння a + 1 = 5. Згідно з визначенням, коренем у цьому випадку буде 4 , тому що при підстановці замість літери воно дає правильну числову рівність, а двійка не буде рішенням, оскільки їй відповідає неправильна рівність 2 + 1 = 5 .

Скільки коренів може мати одне рівняння? Чи будь-яке рівняння має корінь? Відповімо на ці запитання.

Рівняння, які мають жодного кореня, теж існують. Прикладом може бути 0 x = 5 . Ми можемо підставити в нього безліч різних чисел, але жодне з них не перетворить його на правильну рівність, оскільки множення на 0 завжди дає 0 .

Також бувають рівняння, що мають кілька коренів. У них може бути як кінцева, так і нескінченно велика кількість коренів.

Приклад 3

Так, у рівнянні x − 2 = 4 є тільки один корінь – шість, у x 2 = 9 два корені – три та мінус три, у x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корені – нуль, один і два, у рівнянні x = x коренів нескінченно багато.

Тепер пояснимо, як правильно записувати коріння рівняння. Якщо їх немає, ми так і пишемо: «рівняння коренів не має». Можна також у цьому випадку вказати знак порожньої множини ∅ . Якщо коріння є, то пишемо їх через кому або вказуємо як елементи множини, уклавши у фігурні дужки. Так, якщо у якогось рівняння є три корені - 2, 1 і 5, то пишемо - 2, 1, 5 або (-2, 1, 5).

Допускається запис коренів у вигляді найпростіших рівностей. Так, якщо невідома в рівнянні позначена буквою y, а корінням є 2 і 7, то ми пишемо y = 2 і y = 7. Іноді до літер додаються нижні індекси, наприклад, x 1 = 3 x 2 = 5 . Таким чином, ми вказуємо на номери коренів. Якщо рішень у рівняння нескінченно багато, ми записуємо відповідь як числовий проміжок чи використовуємо загальноприйняті позначення: безліч натуральних чисел позначається N , цілих – Z , дійсних – R . Скажімо, якщо нам треба записати, що розв'язуванням рівняння буде будь-яке ціле число, то ми пишемо, що x ∈ Z , а якщо будь-яке дійсне від одиниці до дев'яти, то y ∈ 1 , 9 .

Коли у рівняння два, три корені або більше, то, як правило, говорять не про коріння, а про рішення рівняння. Сформулюємо визначення розв'язання рівняння з кількома змінними.

Визначення 5

Рішення рівняння з двома, трьома і більше змінними – це два, три і більше значення змінних, які перетворюють дане рівняння на правильну числову рівність.

Пояснимо визначення на прикладах.

Приклад 4

Припустимо, у нас є вираз x + y = 7 , який є рівнянням з двома змінними. Підставимо замість першої одиницю, а замість другої двійку. У нас вийде неправильна рівність, отже, ця пара значень не буде розв'язанням цього рівняння. Якщо ми візьмемо пару 3 і 4 , то рівність стане вірним, отже, знайшли рішення.

Такі рівняння теж можуть не мати коріння або мати нескінченну їх кількість. Якщо нам треба записати два, три, чотири і більше значень, то ми пишемо їх через кому в круглих дужках. Тобто у прикладі вище відповідь буде виглядати як (3, 4).

Насправді найчастіше доводиться мати справу з рівняннями, що містять одну змінну. Алгоритм їх розв'язання ми докладно розглянемо у статті, присвяченій розв'язанню рівнянь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але існує можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.

Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої складності. Спочатку відшукуються корені характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ і окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо

Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннями прикладів ми пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:

Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.