Зворотний маятник на візку. Зворотний маятник. З нерухомою точкою опори

Перевернутий маятник є маятником , який має центр мас вище своєї точки опори, закріплений на кінці жорсткого стрижня. Часто точка опори закріплюється на візку, який може переміщатися горизонталлю. У той час як нормальний маятник стійко висить вниз, зворотний маятник за своєю природою нестійкий і повинен постійно балансуватися щоб залишатися у вертикальному положенні, за допомогою застосування моменту, що крутить, до опорної точки або при переміщенні точки опори по горизонталі, як частини зворотного зв'язку системи. Найпростішим демонстраційним прикладом може бути балансування олівця на кінці пальця.

Огляд

Перевернутий маятник є класичною проблемою динаміки та теорії управління і широко використовується як еталон для тестування алгоритмів управління (ПІД-регуляторів, нейронних мереж, нечіткого управління і т. д.).

Проблема зворотного маятника пов'язані з наведенням ракет, оскільки двигун ракети розташований нижче центру тяжкості, викликаючи нестабільність. Ця ж проблема вирішена, наприклад, у сегвеї, що самобалансується транспортному пристрої.

Іншим способом стабілізації зворотного маятника є швидке коливання основи у вертикальній площині. І тут можна уникнути зворотного зв'язку. Якщо коливання досить сильні (у сенсі величини прискорення та амплітуди), зворотний маятник може стабілізуватися. Якщо точка , що рухається , коливається відповідно до простих гармонійних коливань , то рух маятника описується функцією Матьє .

Рівняння руху

З нерухомою точкою опори

Рівняння руху аналогічно прямому маятнику за винятком того, що знак кутового положення вимірюється від вертикальної позиції нестійкої рівноваги :

texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

При переносі, він матиме той самий знак кутового прискорення:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Таким чином, зворотний маятник прискорюватиметься від вертикальної нестійкої рівноваги в протилежний бік, а прискорення буде обернено пропорційно до довжини. Високий маятник падає повільніше, ніж короткий.

Маятник на візку

Рівняння руху можна отримати з допомогою рівнянь Лагранжа . Йдеться про наведений вище малюнок, де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \theta(t)кут маятника завдовжки Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): lпо відношенню до вертикалі та чинній силігравітації та зовнішніх сил Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): Fв напрямку Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc . Визначимо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): x(t)становище візка. Лагранжіан Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): L = T - Vсистеми:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

де Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc є швидкістю візка, а Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc - швидкість матеріальної точки Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): m . Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_1і Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): v_2може бути виражена через Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): xі Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \thetaшляхом запису швидкості як першої похідної становища.

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_1^2=\dot x^2 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Спрощення виразу Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): v_2призводить до:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжіан тепер визначається за такою формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

та рівняння руху:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial( L) \ over \ partial x) = F Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) \ over \ partial \ theta) = 0

Підстановка Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): Lу ці висловлювання з наступним спрощенням призводить до рівнянь, що описують рух зворотного маятника:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Ці рівняння є нелінійними, але оскільки мета системи управління - утримувати маятник вертикально, то рівняння можна лінеаризувати, прийнявши Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \theta \approx 0 .

Маятник з основою, що вагається.

Рівняння руху для такого маятника пов'язане з безмасовою базою, що осцилює, і отримано так само, як для маятника на візку. Положення матеріальної точки визначається за такою формулою:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

та швидкість знайдена через першу похідну позиції:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Це рівняння не має елементарного рішення в замкнутому вигляді, але може бути вивчено у багатьох напрямках. Воно близьке до рівняння Матьє, наприклад, коли амплітуда коливань мала. Аналіз показує, що маятник залишається у вертикальному положенні при швидких коливаннях. Перший графік показує, що при повільно вагається Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc , маятник швидко падає після виходу зі стійкого вертикального положення.
Якщо Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): yшвидко коливається, то маятник може бути стабільним біля вертикальної позиції. Другий графік показує, що після виходу зі стійкого вертикального положення маятник тепер починає коливатися навколо вертикальної позиції ( Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): \theta = 0). Відхилення від вертикального положення залишається мало, і маятник не падає.

Застосування

Перевернутий маятник був центральним компонентом у розробці кількох ранніх сейсмографів.

Див. також

Посилання

D. Liberzon Switching in Systems and Control(2003 Springer) pp. 89ff

Подальше читання

Franklin; та ін. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишіть відгук про статтю "Зворотний маятник"

Посилання

Уривок, що характеризує Зворотній маятник

З ними була заслана також дідусяна сестра Олександра Оболенська (пізніше – Alexis Obolensky) і, добровільно поїхали, Василь та Ганна Серьогини, які пішли за дідусем на власний вибір, оскільки Василь Нікандрович довгі роки був дідусевим повіреним у всіх його справах і одним із самих його близькі друзі.

Олександра (Alexis) Оболенська Василь та Ганна Серьогини

Напевно, треба було бути по-справжньому ДРУГОМ, щоб знайти в собі сили зробити подібний вибір і поїхати за власним бажанням туди, куди їхали, як їдуть лише на власну смерть. І цією «смертю», на жаль, тоді називався Сибір.
Мені завжди було дуже сумно і боляче за нашу, таку горду, але так безжально більшовицькими чоботями розтоптану, красуню Сибір! … І ніякими словами не розповісти, скільки страждань, болю, життів і сліз увібрала в себе ця горда, але до краю змучена, земля... Чи не тому, що колись вона була серцем нашої прабатьківщини, «далекоглядні революціонери» вирішили очорнити і занапастити цю землю, вибравши саме її для своїх диявольських цілей?... Адже для багатьох людей, навіть через багато років, Сибір все ще залишалася «проклятою» землею, де загинув чийсь батько, чийсь брат, чийсь. то син… чи може бути навіть уся чиясь родина.
Моя бабуся, яку я, на мій великий жаль, ніколи не знала, на той час була вагітна татом і дорогу переносила дуже важко. Але, звичайно ж, допомоги чекати нізвідки не доводилося... Так молода княжна Олена, замість тихого шелесту книг у сімейній бібліотеці чи звичних звуків фортепіано, коли вона грала свої улюблені твори, слухала цього разу лише зловісний стукіт коліс, які ніби грізно відраховували решту годинника її, такого крихкого, і справжнього кошмару, життя... Вона сиділа на якихось мішках біля брудного вагонного вікна і невідривно дивилася на останні жалюгідні сліди так добре їй знайомої і звичної «цивілізації», що йдуть все далі й далі.
Дідусевій сестрі, Олександрі, за допомогою друзів, на одній із зупинок вдалося втекти. За загальною згодою, вона мала дістатися (якщо пощастить) до Франції, де на даний момент жила вся її сім'я. Правда, ніхто з присутніх не уявляв, яким чином вона могла б це зробити, але так як це була їхня єдина, хоч і маленька, але напевно остання надія, то відмовитися від неї було надто великою розкішшю для їхнього абсолютно безвихідного становища. У Франції в той момент перебував також і чоловік Олександри – Дмитро, за допомогою якого вони сподівалися, вже звідти, спробувати допомогти дідусевій сім'ї вибратися з того кошмару, в який їх так безжально шпурнуло життя, підлими руками озвірілих людей.
Після прибуття в Курган їх поселили в холодний підвал, нічого не пояснюючи і не відповідаючи на жодні запитання. Через два дні якісь люди прийшли за дідусем, і заявили, що нібито вони прийшли «ескортувати» його в інший пункт призначення... Його забрали, як злочинця, не дозволивши взяти з собою ніяких речей, і не дозволивши пояснити, куди і скільки його везуть. Більше дідуся не бачив ніхто й ніколи. Через якийсь час невідомий військовий приніс бабусі дідові особисті речі в брудному мішку з-під вугілля... не пояснивши нічого і не залишивши жодної надії побачити його живим. На цьому будь-які відомості про дідусеву долю припинилися, ніби він зник з землі без жодних слідів і доказів.
Знівечене, змучене серце бідної княжни Олени не хотіло змиритися з такою страшною втратою, і вона буквально засинала місцевого штабного офіцера проханнями про з'ясування обставин загибелі свого коханого Миколи. Але «червоні» офіцери були сліпі й глухі до прохань самотньої жінки, як вони її звали – «з благородних», яка була для них лише однією з тисяч і тисяч безіменних «номерних» одиниць, які нічого не значили в їхньому холодному і жорстокому світі. …Це було справжнє пекло, з якого не було виходу назад у той звичний і добрий світ, в якому залишився її будинок, її друзі, і все те, до чого вона змалку була звична, і що так сильно і щиро любила. І не було нікого, хто міг би допомогти чи хоча б дав найменшу надію вижити.
Серьогін намагалися зберігати присутність духу за трьох, і намагалися будь-якими способами підняти настрій княжни Олени, але вона все глибше і глибше входила в майже повне заціпеніння, і іноді сиділа цілими днями в байдуже-замороженому стані, майже не реагуючи на спроби друзів врятувати її серце та розум від остаточної депресії. Були тільки дві речі, які ненадовго повертали її в реальний світ - якщо хтось заводив розмову про її майбутню дитину або, якщо приходили будь-які, хоч найменші, нові подробиці про загибель її гаряче улюбленого Миколи. Вона відчайдушно хотіла дізнатися (поки ще була жива), що ж по-справжньому трапилося, і де був її чоловік або хоча б де було поховано (або покинуто) його тіло.
На жаль, не залишилося майже ніякої інформації про життя цих двох мужніх і світлих людей, Олени та Миколи де Роган-Гессе-Оболенських, але навіть ті кілька рядків з двох листів Олени, що залишилися, до її невістки – Олександри, які якимось чином збереглися в сімейних архівах Олександри у Франції, показують, як глибоко і ніжно любила свого зниклого чоловіка князівна. Збереглося лише кілька рукописних аркушів, деякі рядки яких, на жаль, взагалі неможливо розібрати. Але навіть те, що вдалося – кричить глибоким болем про велику людську біду, яку, не зазнавши, нелегко зрозуміти і неможливо прийняти.

12 квітня 1927 року. З листа княжни Олени до Олександри (Alix) Оболенської:
«Сьогодні дуже втомилася. Повернулась із Синячихи зовсім розбитою. Вагони забиті людьми, навіть везти худобу в них було б соромно………………………….. Зупинялися в лісі – там так смачно пахло грибами та суницями... Важко повірити, що саме там убивали цих нещасних! Бідолашна Еллочка (мається на увазі велика княгиняЄлизавета Федорівна, яка була рідною мого дідуся по лінії Гессе) була вбита тут поряд, у цій моторошній Староселимській шахті… який жах! Моя душа не може прийняти такого. Пам'ятаєш, ми казали: «Хай земля буде пухом»?.. Великий Боже, як же може бути пухом така земля?!
О, Alix, моя мила Alix! Як же можна звикнути до такого страху? ...................... ..................... я так втомилася просити і принижуватися. Все буде марно, якщо ЧК не погодиться надіслати запит в Алапаєвськ.................. Я ніколи не дізнаюся де його шукати, і ніколи не дізнаюся, що вони з ним створили. Не проходить і години, щоб я не думала про таке рідне для мене обличчя... Який це жах уявляти, що він лежить у якійсь занедбаній ямі чи на дні копальні!.. Як можна винести цей щоденний кошмар, знаючи, що вже не побачу його ніколи?!.. Так само, як ніколи не побачить мій бідний Василек (ім'я, яке було дано при народженні мого тата)... Де ж межа жорстокості? І чому вони називають себе людьми?

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Огляд

Рівняння руху

З нерухомою точкою опори

$\ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0$

При переносі, він матиме той самий знак кутового прискорення:

$\ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta$

Маятник на візку

Рівняння руху можна отримати з допомогою рівнянь Лагранжа . Йдеться про наведений вище малюнок, де $\theta(t)$ кут маятника завдовжки $l$ по відношенню до вертикалі та чинної сили гравітації та зовнішніх сил $F$ в напрямку $x$ . Визначимо $x(t)$ становище візка. Лагранжіан $L = T - V$ системи:

L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\thetaде $v_1$ є швидкістю візка, а $v_2$ - швидкість матеріальної точки $m$ . $v_1$ і $v_2$ може бути виражена через $x$ і $\theta$ шляхом запису швидкості як першої похідної становища.

v_1^2=\dot x^2

v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt) ))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2Спрощення виразу $v_2$ призводить до:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжіан тепер визначається за такою формулою:

L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \thetaта рівняння руху:

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L)\over \partial x) = F

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\over \partial \theta) = 0Підстановка $L$ у ці висловлювання з наступним спрощенням призводить до рівнянь, що описують рух зворотного маятника:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \thetaЦі рівняння є нелінійними, але оскільки мета системи управління - утримувати маятник вертикально, то рівняння можна лінеаризувати, прийнявши $\theta \approx 0$ .

Маятник з основою, що вагається.

$\left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)$

та швидкість знайдена через першу похідну позиції:

$v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.$ $\ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.$

Це рівняння не має елементарного рішення в замкнутому вигляді, але може бути вивчено у багатьох напрямках. Воно близьке до рівняння Матьє, наприклад, коли амплітуда коливань мала. Аналіз показує, що маятник залишається у вертикальному положенні при швидких коливаннях. Перший графік показує, що при повільно вагається $y$ , маятник швидко падає після виходу зі стійкого вертикального положення.
Якщо $y$ швидко коливається, то маятник може бути стабільним біля вертикальної позиції. Другий графік показує, що після виходу зі стійкого вертикального положення маятник тепер починає коливатися навколо вертикальної позиції ( $\theta = 0$ ). Відхилення від вертикального положення залишається мало, і маятник не падає.

Застосування

Прикладом є балансування людей та предметів, наприклад, в акробатиці або катання на одноколісному велосипеді. А також сегвей - електричний самокат, що самобалансується, з двома колесами. Перевернутий маятник був центральним компонентом у розробці кількох ранніх сейсмографів.

Див. також

Посилання

D. Liberzon Switching in Systems and Control(2003 Springer) pp. 89ff

Подальше читання

Franklin; та ін. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишіть відгук про статтю "Зворотний маятник"

Посилання

Уривок, що характеризує Зворотній маятник

- Це брат Безуховий - Анатоль Курагін, - сказала вона, вказуючи на красеня кавалергарда, який пройшов повз них, з висоти піднятої голови через дам дивлячись кудись. - Як гарний! чи не правда? Кажуть, одружують його на цій багатій. .І ваш то соusin, Друбецькой, теж дуже увивається. Говорять, мільйони. - Як же, це сам французький посланець, - відповіла вона про Коленкур на питання графині, хто це. - Подивіться, як цар якийсь. А все-таки милі, дуже милі французи. Немає миліших для суспільства. А ось і вона! Ні, все найкраще наша Марія то Антонівна! І як просто одягнена. Чарівність! - А цей, товстий, в окулярах, фармазон всесвітній, - сказала Перонська, вказуючи на Безухова. - З дружиною то його поруч поставте: то блазень гороховий!
П'єр ішов, перевалюючись своїм товстим тілом, розсовуючи натовп, киваючи праворуч і ліворуч так само недбало й добродушно, ніби він ішов юрбою базару. Він просувався через натовп, очевидно шукаючи когось.
Наташа з радістю дивилася на знайоме обличчя П'єра, цього блазня горохового, як називала його Перонська, і знала, що П'єр їх, і особливо її, шукав у натовпі. П'єр обіцяв їй бути на балі і уявити їй кавалерів.
Але, не дійшовши до них, Безухий зупинився біля невисокого, дуже гарного брюнета в білому мундирі, який, стоячи біля вікна, розмовляв з якимсь високим чоловіком у зірках та стрічці. Наталя одразу ж впізнала невисокого хлопця в білому мундирі: це був Болконський, який здався їй дуже помолоділим, повеселевшим і похорошілим.
- Ось ще знайомий, Болконський, бачите, мамо? - Сказала Наталя, вказуючи на князя Андрія. – Пам'ятаєте, він у нас ночував у Відрадному.
— А ви його знаєте? – сказала Перонська. - Терпіти не можу. Il fait present la pluie et le beau temps. [Від нього тепер залежить дощова чи хороша погода. (Франц. прислів'я, що має значення, що він має успіх.)] І гордість така, що меж немає! По татку пішов. І зв'язався зі Сперанським, якісь проекти пишуть. Дивіться, як із жінками поводиться! Вона з ним каже, а він відвернувся, – сказала вона, вказуючи на нього. - Я б його обробила, якби він зі мною так вчинив, як із цими дамами.

Раптом все заворушилося, натовп заговорив, посунувся, знову розсунувся, і між двох рядів, що розступилися, при звуках музики, що заграла, увійшов государ. За ним йшли господар та господиня. Государ йшов швидко, кланяючись праворуч і ліворуч, ніби намагаючись швидше позбутися цієї першої хвилини зустрічі. Музиканти грали Польською, відомий тоді за словами, вигаданими на нього. Слова ці починалися: «Олександре, Єлизавете, захоплюєте ви нас...» Государ пройшов у вітальню, натовп ринув до дверей; кілька осіб з виразами, що змінилися, поспішно пройшли туди і назад. Натовп знову відхилився від дверей вітальні, в якій з'явився государ, розмовляючи з господаркою. Якийсь молодий чоловік з розгубленим виглядом наступав на дам, просячи їх відсторонитися. Деякі пані з особами, що виражали досконалу забудькуватість всіх умов світла, псуючи свої туалети, тіснилися вперед. Чоловіки почали підходити до дам і будуватися у пари Польського.
Все розступилося, і государ, посміхаючись і не такт ведучи за руку господиню будинку, вийшов з дверей вітальні. За ним йшли господар із М. А. Наришкіною, потім посланці, міністри, різні генерали, яких не замовкаючи називала Перонська. Більше половини жінок мали кавалерів і йшли або готувалися йти в Польській. Наталя відчувала, що вона залишалася з матір'ю і Сонею в числі меншої частини дам, відтіснених до стіни і не взятих у Польській. Вона стояла, опустивши свої тоненькі руки, і з мірно піднімаючими, трохи певними грудьми, стримуючи подих, блискучими, зляканими очима дивилася перед собою, з виразом готовності на велику радість і на велике горе. Її не займали ні государ, ні всі важливі особи, на яких вказувала Перонська – у неї була одна думка: «невже так ніхто не підійде до мене, невже я не танцюватиму між першими, невже мене не помітять усі ці чоловіки, які тепер, здається, і не бачать мене, а якщо дивляться на мене, то дивляться з таким виразом, ніби кажуть: А! це не вона, так і нема чого дивитися. Ні, це не може бути! – думала вона. – «Вони ж повинні знати, як мені хочеться танцювати, як я чудово танцюю, і як їм весело танцюватиме зі мною».
Звуки Польського, що тривало досить довго, вже починали звучати сумно – спогадом у вухах Наташі. Їй хотілося плакати. Перонська відійшла від них. Граф був на іншому кінці зали, графиня, Соня і вона стояли одні як у лісі в цьому чужому натовпі, нікому нецікаві та непотрібні. Князь Андрій пройшов з якоюсь дамою повз них, очевидно їх не впізнаючи. Красень Анатолій, посміхаючись, що то говорив дамі, яку він вів, і глянув на Наталку обличчям тим поглядом, яким дивляться на стіни. Борис двічі пройшов повз них і щоразу відвертався. Берг із дружиною, що не танцювали, підійшли до них.
Наташі здалося образливо це сімейне зближення тут, на балі, ніби не було іншого місця для сімейних розмов, окрім як на балі. Вона не слухала і не дивилася на Віру, що щось говорила їй про свою зелену сукню.
Нарешті государ зупинився біля своєї останньої дами (він танцював із трьома), музика замовкла; стурбований ад'ютант набіг на Ростових, просячи їх ще кудись посторонитися, хоча вони стояли біля стіни, і з хору пролунали виразні, обережні й захоплюючі мірні звуки вальсу. Государ з усмішкою глянув у залу. Минула хвилина – ніхто ще не починав. Ад'ютант розпорядник підійшов до графини Безухової та запросив її. Вона, посміхаючись, підняла руку і поклала її, не дивлячись на нього, на плече ад'ютанта. Ад'ютант розпорядник, майстер своєї справи, впевнено, неквапливо і мірно, міцно обійнявши свою даму, пустився з нею спочатку глісадом, по краю кола, на кутку зали підхопив її ліву руку, повернув її, і з-за звуків музики, що прискорювалися, чути були тільки мірні. клацання шпор швидких і спритних ніг ад'ютанта, і через кожні три такти на повороті ніби спалахувала розвіваючись оксамитова сукня його дами. Наталка дивилася на них і готова була плакати, що це вона не танцює цей перший тур вальсу.
Князь Андрій у своєму полковницькому, білому (по кавалерії) мундирі, панчохах і черевиках, жвавий і веселий, стояв у перших рядах кола, недалеко від Ростових. Барон Фіргоф говорив з ним про завтрашнє, передбачуване перше засідання державної ради. Князь Андрій, як людина близька Сперанському і бере участь у роботах законодавчої комісії, міг дати вірні відомості про засідання завтрашнього дня, про яке ходили різні чутки. Але він не слухав того, що йому говорив Фіргоф, і дивився то на государя, то на кавалерів, що збиралися танцювати, не наважувалися вступити в коло.

Робота присвячена задачі стабілізації перевернутого маятника, якій приділяється велика увага у теорії управління, оскільки з прикладу даної нестійкої системи будуються алгоритми підтримки вертикального становища антропоморфних технічних устройств. В даній статті описана стратегія виведення зворотного маятника у вертикальне нестійке положення, розроблена оптомеханічна система стабілізації зворотного маятника, що складається з лабораторного стенду ТР-802 фірми Festo та пристрою контролю переміщень. Показано, що після виведення маятника у крайнє верхнє положення система стабілізації утримує маятник у цьому положенні шляхом переміщення каретки на кілька кроків залежно від кута нахилу маятника. Розроблено алгоритми для виведення маятника у положення нестійкої рівноваги та подальшого його утримання у цьому положенні, а також відповідне програмне забезпечення.

зворотний маятник

рівновага

стабілізація

Зворотній зв'язок

алгоритм

фотовипромінювач

мікропроцесор

програмне забезпечення

1. Капіца П.Л. Динамічна стійкість маятника при точці підвісу, що коливається // ЖЕТФ. - 1951. - №21. - С.588-597.

2. Капіца П.Л. Маятник з вібруючим підвісом// УФН. - 1951. - №44. - С.7-20.

3. Кузнєцов В.П., Іванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектування засобів вимірювання параметрів технологічних об'єктів на основі волоконно-оптичних перетворювачів: навчальний посібник. - Курган: Вид-во Курганського держ. ун-ту, 2013. - 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.М. Пристрій для контролю переміщень// Патент Росії №2150086. - 2000. - Бюл. №15.

5. Формальський А.М. Остабілізацію перевернутого маятника з нерухомою або рухомою точкою підвісу// ДАН. - 2006. - Т.406, №2. - С.175-179.

6. Ashish S. Katariya Optimal state-feedback and output-feedback controllers for wheeled inverted pendulum system; Georgia Institute of Technology, 2010. - 72 p.

7. Bradshaw A., Shao J. Swing-up контролю над inverted pendulum systems // Robotica. - 1996. - Vol. 14. - Р. 397-405.

8. Bugeja M. Non-linear Swing-up і Stabilizing Control of Inverted Pendulum System, Proc. of. EUROCON, Ljubljana. - 2003.

9. Positioning system. Smart Positioning Controller SPC200. Manual. Festo AG & Co. KG, Dept. KI-TD. - 2005. - 371 p.

10. SPC200 Smart Positioning Controller. WinPISA Software Package. Festo AG & Co. KG. - 2005. - 381 p.

Проблема управління об'єктами маятникового типу є фундаментальною для низки областей науки, оскільки її рішення знайшло відображення в теорії автоматичного управління, робототехніки та використовується при моделюванні літальних апаратів, при вирішенні завдань стабілізації положення об'єктів на рухомій платформі, при розробці спеціальних засобів пересування – сегвєїв та ін.

Фізичний маятник - це одна з найпростіших і найпоширеніших фізичних моделей, що представляє собою вантаж, що коливається на нерозтяжній нитці або жорсткому стрижні. Приватним випадком такої системи є зворотний маятник, який є нестійким фізичним об'єктом, що володіє двома положеннями рівноваги: у нижній і верхній точках. При цьому будь-яке, скільки завгодно мале обурення здатне вивести маятник з верхнього положення рівноваги з подальшим прагненням його перейти в нижнє положення рівноваги. Для стабілізації маятника у верхній точці система може доповнюватись різними елементами, що забезпечують зворотний зв'язок - необхідну складову системи управління.

Вирішенню задачі стабілізації верхнього положення для перекинутого маятника присвячені роботи. Модель системи виражається наступним рівнянням:

де m – маса маятника; l – довжина підвісу маятника; J – момент інерції маятника; θ – кут нахилу маятника від вертикалі; a - прискорення руху точки підвісу маятника (каретки); g - прискорення вільного падіння. Провівши перетворення, отримуємо

Отже, рух системи впливають такі параметри: маса і довжина підвісу маятника і прискорення руху його точки підвісу - каретки.

Опис роботи системи

У цій роботі було поставлено завдання змоделювати процес виведення маятника в крайнє верхнє положення з подальшою стабілізацією цього положення при використанні лабораторного стенду ТР-802 фірми Festo (Німеччина) як задатчик крайнього верхнього положення маятника, а також інших компонентів, що використовуються для створеної системи стабілізації.

1.Стратегія виведення маятника у верхнє положення рівноваги

Очевидно, що можливості виведення маятника в крайнє верхнє положення рівноваги обмежені параметрами (зокрема, довжиною приводу та максимально можливим значенням прискорення руху каретки) лабораторного стенду ТР-802 фірми Festo, на базі якого вирішується завдання. Так, максимальне прискорення руху каретки a = 4м/с2.

Шляхом математичних розрахунків було встановлено, що граничне значення прискорення руху маятника, що визначає необхідну кількість зміни кареткою напрямку свого руху, є a0 = 13,1 м / с2. Оскільки при використанні лабораторного стенду Festo ТР-802 це значення набагато перевищує максимально можливе значення прискорення каретки, в даній роботі була використана така стратегія виведення зворотного маятника, при якій змінюється багаторазово напрямок руху каретки і збільшується зміщення каретки від поточного положення.

2. Математичний опис виведення маятника у крайнє верхнє положення

Відомо, що для досягнення маятником свого верхнього положення рівноваги його потенційна енергія має досягти значення Ep=2mpgl, де mp - маса маятника; l – довжина маятника; g – прискорення вільного падіння. У цьому враховується, що mp=0,06кг, l=0,25м, g=10м/с2. Таким чином, для вирішення поставленої задачі потенційна енергія маятника має стати рівною Ep = 0,3 Дж.

Було вирішено, що розгойдування маятника буде проводитися наступним чином: електромеханічний привід зміщує каретку щодо вихідного положення на фіксоване число кроків спочатку у негативному напрямку, потім у позитивному. Величина усунення від вихідного становища зростає щоразу по тому, як каретка змістилася у тому й іншому напрямі. Для виведення маятника в крайнє верхнє положення рівноваги розроблено алгоритм, представлений на рис.1. При цьому прийнято: (1) каретка рухається осі Ox між точками X=0мм і X=300мм; (2) вихідне положення каретки – координата X=150мм; (3) N - величина (в мм) зміщення каретки від вихідного положення, (4) K - задане збільшення (в мм) зміщення каретки від цього положення.

Зважаючи на те, що при русі каретки з прикріпленим до неї маятником по горизонтальній осі кінетична енергія руху каретки Eк перетворюється на потенційну енергію руху маятника Ep, можна розрахувати приріст енергії маятника. Припустимо, величина зміщення каретки від вихідного положення дорівнює N = 50мм, величина збільшення зсуву каретки, що задається, від вихідного положення К = 50мм. Тоді величина потенційної енергії маятника після першого зміщення каретки

після другого -

Таким чином, після трьох рухів каретки потенційна енергія маятника повинна перевищити величину, необхідну виведення його у верхнє положення рівноваги.

3. Алгоритм виведення маятників у крайнє верхнє положення

На практиці виявилося, що висновки, зроблені в попередньому пункті з урахуванням перетворення кінетичної енергії каретки на потенційну енергію маятника, не відповідають експериментальним даним. Більшість енергії витрачається в навколишнє середовище через недосконалість конструкції, тертя каретки та підвісу маятника.

Таким чином, фізичним об'єктом управління є зворотний маятник, виведений в крайнє верхнє нестійке положення за кінцеве число рухів каретки електромеханічного приводу, що рухається кроковим двигуном MTR-ST, яким управляє комп'ютер РС за допомогою координатного контролера позиціонування SPC-200 . Початок роботи системи стабілізації положення зворотного маятника слідує за виведенням маятника в крайнє верхнє положення. Для вирішення цього завдання, з урахуванням , були розроблені алгоритм, представлений на рис.1, і відповідна прикладна програма позиціонування каретки. При цьому прийнято, що N - зсув каретки від центру осі приводу, а K - збільшення зсуву каретки, що задається, від центру осі приводу.

Мал. 1. Алгоритм підпрограми виведення маятника у верхнє положення

Лістинг програми виведення маятника в крайнє верхнє положення, розробленої в ході експерименту над системою "каретка - маятник" з використанням програмного додатка Festo WinPisa 4.41 представлений нижче. Коментарі з поясненням коду програми наведені навпроти відповідних рядків після знаку ";".

На початку виконання програми каретка переміщається до центру осі приводу. Наступні 9 рядків програми відповідають наростаючим коливанням маятника, по закінченні яких кареткою відбуваються ще 2 переміщення з метою недовготривалої стабілізації маятника у верхній точці.

Безпосередньо у момент досягнення маятником верхнього положення рівноваги управління рухом системою «каретка - маятник» переходить до розробленої системи стабілізації.

4.Робота системи стабілізації

Одним із важливих компонентів цієї системи є оптичний пристрій для контролю переміщень, описаний у роботі . Структура системи наведено на рис.2.

На нерухомому підставі1 розташована каретка3, що переміщається по осі Х, на якій закріплений маятник7 з вантажем8, що містить випромінювач9. Каретка жорстко пов'язана з кроковим двигуном4 за допомогою лінійного електромеханічного приводу2. Кроковий двигун4 управляється через контролер двигуна5 за допомогою контролера позиціонування6. Комп'ютер14 управляє роботою випромінювача9 і дешифратора13, на входи якого надходять сигнали з фотоприймачів 10, 11, 12 , що містять пристрій перетворення величину струму, а їх виходи пов'язані з комп'ютером14. При цьому фотоприймач є центральним і формує сигнал на своєму виході тільки тоді, коли зворотний маятник знаходиться у вертикальному положенні (верхній точці).

Система працює наступним чином: маятник7 виводиться в крайнє верхнє нестійке положення рівноваги за кінцеве число рухів каретки електромеханічного приводу, керованого кроковим двигуном5, причому максимальна відстань каретки ходу становить 300мм. Закріплений на вантажі маятника8 випромінювач світла9 включений з моменту початку руху маятника7 вгору, а на фотоприймачі10 у момент вертикального положення маятника7 формується сигнал, який через дешифратор 13 надходить на комп'ютер 14 і програмно фіксується, що відповідає крайньому верхньому положенню маятника. Перебуваючи під впливом фізичних сил, маятник неспроможна довго залишатися у цьому становищі і починає відхилятися. При відхиленні маятника від вертикалі змінюється напрямок світла фотовипромінювача, що реєструється фотоприймачами. По тому, який найближчий фотоприймач по відношенню до фотоприймача10 першим зареєстрував сигнал випромінювача (Лк або Пк), можна встановити координати маятника (кут відхилення маятника від вертикалі) та напрямок відхилення. Кількість фотоприймачів та крок їх чергування прямо залежить від необхідної точності вимірювань.

Перебуваючи під впливом фізичних сил, маятник неспроможна довго залишатися у цьому становищі і починає відхилятися. При відхиленні маятника від вертикалі змінюється напрямок світла фотовипромінювача, що реєструється фотоприймачами. По тому, який найближчий фотоприймач по відношенню до фотоприймача 10першим зареєстрував сигнал випромінювача (Лк або Пк), можна встановити координати маятника (кут відхилення маятника від вертикалі) та напрямок відхилення. Кількість фотоприймачів та крок їх чергування прямо залежить від необхідної точності вимірювань. Інформація про положення маятника7 надходить від фотоприймачів в комп'ютер14, обробляється за заданою програмою, на підставі чого формується керуючий вплив для контролера позиціонування 6: зрушити каретку у бік відхилення маятника на кілька кроків, що залежить від відхилення маятника від вертикалі. Таким чином, дана система замкнута і дозволяє стабілізувати зворотний маятник у вертикальному положенні. Алгоритм роботи системи представлено на рис.3.

Мал. 2. Структура системи

Мал. 3. Алгоритм роботи системи

Висновок

Таким чином, у цій роботі були розроблені алгоритми виведення маятника в крайнє верхнє положення рівноваги з подальшим утриманням у вертикальному (нестійкому) положенні рівноваги. Неідеальність конструкції маятника призвела до необхідності виконання більшої кількості рухів каретки для виведення маятника у верхню точку. Також були розроблені принципи побудови оптомеханічної системи стабілізації положення зворотного маятника у верхній точці, що складається з лабораторного електромеханічного стенду ТР-802 фірми Festo та оптичного пристрою контролю переміщень. Як рекомендації пропонується використання отриманих результатів для розробки систем моніторингу технологічних об'єктів при переміщенні керуючих скануючих органів за трьома координатами.

Бібліографічне посилання

Кузяков О.М., Андрєєва М.А. ОПТО-МЕХАНІЧНА СИСТЕМА СТАБІЛІЗАЦІЇ ПОЛОЖЕННЯ ЗВОРОТНОГО МАЯТНИКА // Фундаментальні дослідження. - 2016. - № 5-3. - С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата звернення: 23.03.2020). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБІЛІЗАЦІЯ ЗВОРОТНОГО МАЯТНИКА НА ДВОКОЛІСНОМУ ТРАНСПОРТНОМУ ЗАСОБІ

В.І. Рязьких1, М.Є. Семенов2, А.Г. Рукавіцин3, О.І. Каніщева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронезький державний технічний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

2 Воронезький державний архітектурно-будівельний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

3 Воронезький державний університет, м. Воронеж, Російська Федерація

4 Військово-науковий центр Військово-повітряних сил «Військово-повітряна академія імені професора Н.Є. Жуковського та Ю.А. Гагаріна», м. Воронеж, Російська Федерація

E-mail: [email protected]

Розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, що формується за принципом зворотного зв'язку, яке, з одного боку, забезпечувало б заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке положення маятника.

Ключові слова: механічна система; двоколісний транспортний засіб; зворотний маятник; люфт; стабілізація; керування.

Вступ

Можливість управління нестійкими технічними системами теоретично розглядалася вже давно, проте практична значимість такого управління чітко виявилася лише останнім часом. Виявилося, що нестійкі об'єкти управління при відповідному управлінні мають низку «корисних» якостей. Прикладами таких об'єктів можуть бути космічний корабельна етапі зльоту, термоядерний реактор та багато інших. У той же час при виході з ладу автоматичної системи управління нестійкий об'єкт може бути істотною загрозою, небезпекою і для людини, і для довкілля. Як катастрофічний приклад результатів відключення автоматичного управління можна навести аварію на Чорнобильській АЕС. У міру того, як системи управління стають все більш надійними, все ширше коло технічних нестійких без управління об'єктів застосовується на практиці. Одним із найпростіших прикладів нестійких об'єктів є класичний зворотний маятник. З одного боку, завдання про його стабілізацію порівняно просте і наочне, з іншого, воно може знайти практичне застосуванняпри створенні моделей двоногих істот, а також антропоморфних пристроїв (роботів, кіберів та ін), що переміщуються на двох опорах. У Останніми рокамиз'явилися роботи, присвячені проблемам стабілізації зворотного маятника, пов'язаного з двоколісним транспортним засобом, що рухається. Ці дослідження мають потенційні перспективи застосування у багатьох галузях, таких як транспорт та розвідка, у зв'язку з компактною конструкцією, зручністю експлуатації, високою маневреністю та низькою витратою палива таких пристроїв. Проте, завдання, що розглядається, ще далека від остаточного рішення. Відомо, що багато традиційних технічних пристроїв мають як стійкі, так і не стійкі стани та режими роботи. Характерний приклад- сегвей, винайдений Діном Кейменом електричний самокат, що самобалансується, з двома колесами, розташованими по обидва боки від водія. Два колеса скутера розташовані співвісно. Сегвей автоматично балансується за зміни положення корпусу водія; для цієї мети використовується система індикаторної стабілізації: сигнали з гіроскопічних та рідинних датчиків нахилу надходять на мікропроцесори, які виробляють електричні сигнали, що впливають на двигуни та керують їх рухами. Кожне колесо сегвея приводиться у обертання своїм електродвигуном, що реагує на зміни рівноваги машини. При нахилі тіла їздця вперед сегвей починає котитися вперед, при збільшенні ж кута нахилу тіла їздця швидкість сегвея збільшується. При відхиленні корпусу назад само-

кат уповільнює рух, зупиняється або котиться заднім ходом. Керування в першій моделі відбувається за допомогою поворотної рукоятки, в нових моделях - хитання колонки вліво-вправо. Завдання управління коливальними механічними системами мають значний теоретичний інтерес та велике практичне значення.

Відомо, що в процесі функціонування механічних систем внаслідок старіння та зношування деталей неминуче виникають люфти, упори, тому для опису динаміки таких систем необхідно брати до уваги вплив гістерезисних ефектів. Математичні моделі таких нелінійностей відповідно до класичних уявлень зводяться до операторів, які розглядаються як перетворювачі на відповідних функціональних просторах. Динаміка таких перетворювачів описується відносинами «вхід-стан» та «стан-вихід».

Постановка задачі

У цій роботі розглядається механічна система, що складається з двоколісного візка, на осі якого розташовується зворотний маятник. Завдання полягає у формуванні такого керуючого впливу, яке, з одного боку, забезпечувало б заданий закон руху механічного засобу, а з іншого, стабілізувало б нестійке положення маятника. При цьому враховуються гістерезисні властивості в керуючому контурі системи, що вивчається. Нижче графічно представлені елементи механічної системи, що вивчається, - двоколісного транспортного засобу із закріпленим на ньому зворотним маятником.

Мал. 1. Основні структурні елементи механічного пристрою, що розглядається

тут / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr! / / / / /1 / / /

Мал. 2. Ліве та праве колеса механічного пристрою з керуючим моментом

Параметри та змінні, які описують систему, що розглядається: j - кут повороту транспортного засобу; D - відстань між двома колесами вздовж осі; R – радіус коліс; Jj – момент інерції; Tw - різниця крутних моментів лівого та правого коліс; v -

поздовжня швидкість транспортного засобу; в - кут відхилення маятника від вертикального положення; m – маса перевернутого маятника; l - відстань між центром тяжкості тіла та

віссю колеса; Ти - сума крутних моментів лівого та правого коліс; х - переміщення транспортного засобу за напрямом поздовжньої швидкості; М – маса шасі; М* – маса коліс; І – розчин люфту.

Динаміка системи

Динаміку системи описують такі рівняння:

n = - + - Tn, W á WR n

= - - ml C0S в Tn,

де Т * = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх = М + т + 2 (М * + ^ *); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модель, що описує динаміку зміни параметрів системи, можна у вигляді двох незалежних підсистем. Перша підсистема складається з одного рівняння - р-підсистеми,

визначального кутові рухи транспортного засобу:

Рівняння (5) можна переписати у вигляді системи із двох рівнянь:

де е1 = Р-Рй, е2 = (Р-(Ра).

Друга підсистема, що описує радіальні рухи транспортного засобу, а також коливання встановленого на ній маятника, складається з двох рівнянь - (у, в) підсистеми:

U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin у cos в] + Jq Tu W в S J WR u

в = - - ml С ° * в Tv W WR

Систему (7) зручно подати у вигляді системи рівнянь першого порядку:

¿6 =~^- ^^^ +в)

де W0 = MxJq-П121 2cos2 (qd + e5), e3 = X - Xd, 4 = v - vd, 5 = q-qd, 6 = q-qd

Розглянемо підсистему (6), управляти якою за принципом зворотний зв'язок. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи як ^ = 0 .

5 = в! + с1е1, (9)

де с – позитивний параметр. Безпосередньо з визначення випливає:

■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)

Для стабілізації обертального руху визначимо момент, що управляє, наступним чином:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

де - позитивно задані параметри.

Аналогічно будуватимемо управління другою підсистемою (8), управляти якою, будемо також за принципом зворотного зв'язку. Для цього введемо нову змінну та визначимо поверхню перемикання у фазовому просторі системи, як ■2 = 0 .

■2 = вз + С2вз, (12)

де с2 – позитивний параметр, тоді

1 . 2 2 2

■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + ве) - т 1 § ^5 + вс1) С08 (е5 + ва)] +

7^Т - + с2 ез

Для стабілізації радіального руху визначимо момент, що управляє:

t"2/2 ^ до Т =-Кт/(вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^) +кА ^],(14)

де к3, к4 – позитивно задані параметри.

Для того, щоб одночасно керувати обома підсистемами системи, введемо додатковий вплив, що управляє:

= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)

де § - прискорення вільного

падіння; с3, к5, кб – позитивні параметри; 53 - поверхня перемикання, що визначається співвідношенням:

53 = е6 + с3е5.

Сформулюємо основні результати роботи, які полягають у принциповій можливості стабілізації обох підсистем, у припущеннях щодо керуючих впливів, на околиці нульового положення рівноваги.

Теорема 1. Система (6) з керуючим впливом (11) абсолютно асимптотично стійка:

Нш || е11|® 0,

Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2

Доказ: визначимо функцію Ляпунова як

де a = Dj 2 RJр.

Очевидно, що функція V > 0 тоді

V = Ш1 Si = Si. (18)

Підставивши (14) у V, отримаємо

V = -(£Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно, що V1

Теорема 2. Розглянемо підсистему (8) з керуючим впливом (14). У зроблених припущеннях ця система абсолютно асимптотично стійка, тобто за будь-яких початкових умов виконуються співвідношення:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 е41|® о.

Доказ: визначимо функцію Ляпунова для системи (8) за допомогою співвідношення

де b = Wo R! Je.

Очевидно, що функція V2 > 0,

V2 = М S2 = S2, тому що виникають зони нечутливості по відношенню до керуючого впливу. Наведемо короткий описвикористовуваного надалі гістерезисного перетворювача - люфту, засноване на операторному трактуванні. Вихід перетворювача - люфт на монотонних входах описується співвідношенням:

x(t0) при тих t, за яких x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h при тих t, за яких u(t)< x(t0) - h,

яке ілюструє рис. 3.

За допомогою напівгрупової тотожності дія оператора поширюється на всі шматково-монотонні входи:

Г x (t) = Г [ Г x (t1), h] x (t) (25)

та за допомогою спеціальної граничної конструкції на всі безперервні. Так як вихід цього оператора не диференціюється, то надалі використовується апроксимація люфта моделлю Боука-Відень. Ця відома напівфізична модель широко використовується для феноменологічного опису гістерезисних ефектів. Популярність моделі Боука-Вена обу-

славиться її здатністю охоплювати в аналітичному вигляді різні форми гістерезисних циклів. Формальний опис моделі зводиться до системи наступних рівнянь:

Fbw (х, ^ = акх() + (1-a)Dkz(t), = D"1 (AX-р\х \\z \п-1 z-вусі | z |п). (26)

Fbw(x,t) сприймається як вихід гистерезисного перетворювача, а x(t) - як вхід. Тут п > 1,

D > 0 k > 0 та 0<а< 1.

Мал. 3. Динаміка вхідно-вихідних відповідностей люфту

Розглянемо узагальнення систем (6) і (8), у яких керуючий вплив надходить на вхід гістерезисного перетворювача, а вихід є керуючим впливом на систему:

Fbw(х, t) = akx(t) + (1 - a) Dkz(t), z = D_1(Ax-bx||z\n-1z - gx|z\n).

?4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed)

b = W -Fbw (x, t) = akx (t) + (1 - a) Dkz (t),

^ z = D_1 (A x-b\x\z\n-1 z-gx \z\n).

Як і раніше у системі, основним було питання стабілізації, т. е. асимптотичному поведінці її фазових змінних. Нижче наводяться графіки при тих самих фізичних параметрах системи з люфтом і без люфта. Ця система досліджувалась за допомогою чисельних експериментів. Це завдання було вирішено серед програмування Wolfram Mathematica.

Значення констант та початкові умови наведені нижче:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0; x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )

Сергій Міхєєв - залізна логіка (відео) останній випуск

Долі ельцинської почту: забуття та кримінальність Руцької хасбулатів 1993