Теореми на Чева и Менелай. Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай Теорията на Менелай

Математика - 10 клас Мендел Виктор Василиевич, декан на Факултета по природни науки, математика и информационни технологии на Далекоизточния държавен университет ТЕОРЕМА НА ЧЕВА И ТЕОРЕМА НА МЕНЕЛАЙ Специално място в планиметрията се отделя на две забележителни теореми: теоремата на Чева и теоремата на Менелай. Тези теореми не са включени в основната учебна програма по геометрия в гимназията, но тяхното изучаване (и прилагане) се препоръчва за всеки, който се интересува от математика малко повече, отколкото е възможно в рамките на училищната програма. Защо тези теореми са интересни? Първо, отбелязваме, че при решаването на геометрични задачи продуктивно се комбинират два подхода: - единият се основава на дефинирането на основна структура (например: триъгълник - кръг; триъгълник - секуща; триъгълник - три прави линии преминаващ през неговите върхове и пресичащ се в една точка; четириъгълник с две успоредни страни и т.н.) - а вторият е методът на опорните задачи (прости геометрични задачи, до които се свежда процесът на решаване на сложен проблем). И така, теоремите на Менелай и Чева са сред най-често срещаните конструкции: първият разглежда триъгълник, чиито страни или разширения на страните са пресечени от някаква линия (секанс), вторият се занимава с триъгълник и три линии, преминаващи през неговите върхове, пресичащи се в една точка. Теоремата на Менелай Тази теорема показва наблюдаваните (заедно с обратната) връзки на сегменти, модел, свързващ върховете на триъгълник и пресечните точки на секуща със страните (продълженията на страните) на триъгълника. Чертежите показват два възможни случая на разположение на триъгълника и секущата. В първия случай секансът пресича две страни на триъгълника и продължението на третата, във втория - продължението на трите страни на триъгълника. Теорема 1. (Менелай) Нека ABC е пресечена от права, която не е успоредна на страната AB и пресича двете й страни AC и BC, съответно в точки B1 и A1, и правата AB в точка C1, тогава AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратна на теоремата на Менелай) Нека точките A1, B1, C1 в триъгълник ABC принадлежат съответно на правите BC, AC, AB, тогава ако AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, то точките A1, B1, C1 лежат на една права. Доказателството на първата теорема може да се извърши по следния начин: перпендикуляри от всички върхове на триъгълника се спускат върху секущата. Резултатът е три двойки подобни правоъгълни триъгълници. Отношенията на сегментите, фигуриращи във формулировката на теоремата, се заменят с отношенията на перпендикуляри, съответстващи им по подобие. Оказва се, че всеки перпендикулярен сегмент във фракции ще присъства два пъти: веднъж в една дроб в числителя, втори път в друга дроб в знаменателя. Така произведението на всички тези съотношения ще бъде равно на едно. Обратната теорема може да се докаже от противното. Приема се, че ако условията на теорема 2 са изпълнени, точките A1, B1, C1 не лежат на една и съща права линия. Тогава права A1B1 ще пресича страната AB в точка C2, различна от точка C1. В този случай, по силата на теорема 1, за точките A1, B1, C2 ще важи същата връзка, както за точките A1, B1, C1. От това следва, че точките C1 и C2 ще разделят отсечката AB в същите съотношения. Тогава тези точки съвпадат - получаваме противоречие. Нека да разгледаме примери за приложението на теоремата на Менелай. Пример 1. Докажете, че медианите на триъгълник в пресечната точка са разделени в съотношение 2:1, като се започне от върха. Решение. Нека запишем връзката, получена в теоремата, Менелай за триъгълника ABMb и правата McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Първата дроб в това произведение очевидно е равна към 1, а съотношението на третата секунда е равно на 1. Следователно 2 2:1, което трябваше да се докаже. Пример 2. Секанс пресича продължението на страната AC на триъгълник ABC в точка B1, така че точка C е средата на отсечката AB1. Този секанс разделя страната AB наполовина. Намерете в какво отношение дели страната BC? Решение. За триъгълник и секанс нека запишем произведението на три съотношения от теоремата на Менелай: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A От условията на задачата следва, че първото отношение е равно на единица, а трето е 1, 2, така че второто съотношение е равно на 2, т.е. секансът дели страната BC в съотношение 2:1. Ще видим следващия пример за приложението на теоремата на Менелай, когато разгледаме доказателството на теоремата на Сева. Теорема на Ceva Повечето от забележителните точки на триъгълник могат да бъдат получени чрез следната процедура. Нека има някакво правило, според което можем да изберем определена точка A1 от страната BC (или нейното продължение) на триъгълник ABC (например да изберем средата на тази страна). След това ще изградим подобни точки B1, C1 на другите две страни на триъгълника (в нашия пример още две среди на страните). Ако правилото за избор е успешно, тогава линиите AA1, BB1, CC1 ще се пресичат в някаква точка Z (изборът на средните точки на страните в този смисъл, разбира се, е успешен, тъй като медианите на триъгълника се пресичат в една точка ). Бих искал да имам някакъв общ метод, който позволява да се определи от позицията на точките от страните на триъгълник дали съответната тройка прави се пресича в една точка или не. Универсалното условие, което "затваря" този проблем, е открито през 1678 г. от италианския инженер Джовани Чева. Определение. Сегменти, свързващи върховете на триъгълник с точки от противоположните страни (или техните продължения), се наричат цевиани, ако се пресичат в една точка. Има две възможни места за цевианите. В един вариант пресечната точка е вътрешна, а краищата на цевианите лежат на страните на триъгълника. При втория вариант пресечната точка е външна, краят на един севиан лежи отстрани, а краищата на другите два севиана лежат върху разширенията на страните (вижте чертежите). Теорема 3. (Пряка теорема на Чева) В произволен триъгълник ABC от страните BC, CA, AB или техните продължения са взети съответно точки A1, B1, C1 така, че правите AA1, BB1, CC1 се пресичат в някаква обща точка, тогава BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Доказателство: Има няколко оригинални доказателства на теоремата на Сева; ние ще разгледаме доказателство, базирано на двойно приложение на теоремата на Менелай. Нека запишем връзката на теоремата на Менелай първи път за триъгълника ABB1 и секанса CC1 (означаваме пресечната точка на Cevians като Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA и втори път за триъгълника B1BC и секанса AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Умножавайки тези две съотношения и правейки необходимите редукции, получаваме съотношението, съдържащо се в твърдението на теоремата. Теорема 4. (Обратна теорема на Ceva). Ако за точките A1, B1 и C1, избрани от страните на триъгълника ABC или техните продължения, е изпълнено условието на Чева: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, то правите AA1, BB1 и CC1 се пресичат в една точка. Доказателството на тази теорема се извършва от противно, точно както доказателството на теоремата на Менелай. Нека разгледаме примери за приложението на директните и обратните теореми на Ceva. Пример 3. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка. Решение. Да разгледаме релацията AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A за върховете на триъгълника и средите на неговите страни. Очевидно във всяка дроб числителят и знаменателят имат равни сегменти, така че всички тези дроби са равни на едно. Следователно връзката на Чева е изпълнена, следователно, по обратната теорема, медианите се пресичат в една точка. Задачи за самостоятелно решаване Предложените тук задачи са контролна работа №1 за ученици от 9. клас. Решете тези задачи, запишете решенията в отделна тетрадка (от физика и информатика). На корицата посочете следната информация за себе си: 1. Фамилия, собствено име, клас, профил на класа (например: Василий Пупкин, 9 клас, математика) 2. Пощенски код, адрес на пребиваване, имейл (ако има), телефон ( домашен или мобилен) ) 3. Информация за училището (например: МБОУ № 1, с. Бикин) 4. Фамилия, пълно име на учителя по математика (например: учител по математика Петрова М.И.) Препоръчително е да се решат поне четири задачи. М 9.1.1. Може ли секущата от теоремата на Менелай да разрязва страните на триъгълник (или техните продължения) на отсечки с дължина: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Ако са възможни такива варианти, дайте примери. Сегментите могат да вървят в различен ред. М 9.1.2. Могат ли вътрешните цевиани на триъгълник да разделят страните му на отсечки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Ако такива варианти са възможни, дайте примери. Сегментите могат да вървят в различен ред. Съвет: когато измисляте примери, не забравяйте да проверите дали триъгълникът не е идентичен. М 9.1.3. Като използвате обратната теорема на Чева, докажете, че: а) ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка; б) отсечките, свързващи върховете на триъгълника с точки от противоположни страни, в които тези страни се допират до вписаната окръжност, се пресичат в една точка. Упътване: а) запомнете в какво отношение дели ъглополовящата срещуположната страна; б) използвайте свойството, че отсечките от две допирателни, прекарани от една точка към дадена окръжност, са равни. М 9.1.4. Довършете доказателството на теоремата на Менелай, започнато в първата част на статията. М 9.1.5. Докажете, че височините на триъгълник се пресичат в една точка, като използвате обратната теорема на Ceva. М 9.1.6. Докажете теоремата на Симпсън: от произволна точка M, взета върху окръжност, описана около триъгълник ABC, перпендикуляри са пуснати върху страните или продълженията на страните на триъгълника, докажете, че основите на тези перпендикуляри лежат на една и съща права линия. Съвет: Използвайте обратното на теоремата на Менелай. Опитайте се да изразите дължините на отсечките, използвани в отношенията, чрез дължините на перпендикулярите, прекарани от тяхната точка M. Също така е полезно да си припомните свойствата на ъглите на вписан четириъгълник.

клас: 9

Цели на урока:

обобщават, разширяват и систематизират знанията и уменията на учениците; учат как да използват знанията при решаване на сложни проблеми;
насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания при решаване на проблеми;
развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
внушава на учениците самочувствие и трудолюбие; способност за работа в екип.

Цели на урока:

Образователни:повторете теоремите на Менелай и Чева; прилагайте ги при решаване на проблеми.
Развитие:научете се да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверете способността си да обобщавате и систематизирате знанията си.
Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Оборудване:карти за колективна работа в урок по тази тема, индивидуални карти за самостоятелна работа, компютър, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете

Етап I. Организационен момент (1 мин.)

Учителят съобщава темата и целта на урока.

Етап II. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)

Учител:По време на урока ще си спомним теоремите на Менелай и Чева, за да преминем успешно към решаване на задачи. Нека да разгледаме екрана, където е представен. За коя теорема е дадена тази фигура? (теорема на Менелай). Опитайте се ясно да формулирате теоремата.

Снимка 1

Нека точка A 1 лежи на страната BC на триъгълника ABC, точка C 1 на страната AB, точка B 1 върху продължението на страната AC отвъд точка C. Точките A 1 , B 1 и C 1 лежат на една и съща права линия тогава и само ако равенството е в сила

Учител:Нека разгледаме заедно следната снимка. Посочете теорема за този чертеж.

Фигура 2

Линията AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника на IUD.

Според теоремата на Менелай

Правата MB пресича двете страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Изложете теоремата.

Фигура 3

Нека точка A 1 в триъгълника ABC лежи на страната BC, точка B 1 на страната AC, точка C 1 на страната AB. Отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка тогава и само ако е изпълнено равенството

Етап III. Разрешаване на проблем. (22 мин.)

Класът е разделен на 3 отбора, като всеки получава карта с две различни задачи. Дава се време за вземане на решение, след което на екрана се появява следното:<Рисунки 4-9>. Въз основа на готовите чертежи към задачите представители на екипа се редуват да обясняват своите решения. Всяко обяснение е последвано от дискусия, отговаряне на въпроси и проверка на верността на решението на екрана. В дискусията участват всички членове на екипа. Колкото по-активен е отборът, толкова по-високо се оценява при сумиране на резултатите.

Карта 1.

1. В триъгълник ABC точка N е взета от страната BC, така че NC = 3BN; в продължението на страната AC точка M се приема за точка A, така че MA = AC. Правата MN пресича страната AB в точка F. Намерете отношението

2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 4

Според условията на задачата MA = AC, NC = 3BN. Нека MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Правата MN пресича двете страни на триъгълник ABC и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 5

Нека AM 1, BM 2, CM 3 са медианите на триъгълник ABC. За да се докаже, че тези сегменти се пресичат в една точка, достатъчно е да се покаже това

Тогава, по (обратната) теорема на Чева, отсечките AM 1, BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.

Ние имаме:

И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Карта 2.

1. Точка N е взета от страната PQ на триъгълника PQR, а точка L е взета от страната PR и NQ = LR. Пресечната точка на отсечките QL и NR разделя QL в отношение m:n, считано от точка Q. Намерете

2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 6

По условие NQ = LR, нека NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Правата NR пресича две страни на триъгълник PQL и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 7

Нека покажем това

Тогава, по (обратната) теорема на Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 се пресичат в една точка. По свойството на ъглополовящи триъгълници

Умножавайки получените равенства член по член, получаваме

За ъглополовящите на триъгълник равенството на Чева е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.

Карта 3.

1. В триъгълник ABC AD е медианата, точка O е средата на медианата. Правата BO пресича страната AC в точка K. В какво отношение точка K дели AC, считано от точка A?

2. Докажете, че ако в триъгълник е вписана окръжност, то отсечките, свързващи върховете на триъгълника с допирните точки на противоположните страни, се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 8

Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата BK пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 9

Нека A 1, B 1 и C 1 са допирателните точки на вписаната окръжност на триъгълник ABC. За да се докаже, че отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, е достатъчно да се покаже, че е валидно равенството на Чева:

Използвайки свойството на допирателните, начертани към окръжност от една точка, въвеждаме следното обозначение: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенството на Чева е изпълнено, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.

Етап IV. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)

Учител: Работата на екипите приключи и сега ще започнем самостоятелна работа върху индивидуални карти за 2 варианта.

Урочни материали за самостоятелна работа на учениците

Опция 1.В триъгълник ABC, чиято площ е 6, на страната AB има точка K, разделяща тази страна в съотношение AK:BK = 2:3, а на страната AC има точка L, разделяща AC в съотношение AL:LC = 5:3. Пресечната точка Q на правите СК и BL се отдалечава от правата AB на разстояние . Намерете дължината на страната AB. (Отговор: 4.)

Вариант 2.От страна AC в триъгълник ABC е взета точка K. AK = 1, KS = 3. От страна AB е взета точка L. AL:LB = 2:3, Q е пресечната точка на правите BK и CL. Намерете дължината на надморската височина на триъгълник ABC, пусната от върха B. (Отговор: 1.5.)

Работата се предава на учителя за проверка.

V етап. Обобщение на урока (2 мин.)

Допуснатите грешки се анализират, оригиналните отговори и коментари се отбелязват. Резултатите от работата на всеки екип се обобщават и се поставят оценки.

Етап VI. Домашна работа (1 мин.)

Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.

Последни думи на учителя (1 мин.).

Днес чухте математическата реч един на друг отвън и оценихте възможностите си. В бъдеще ще използваме подобни дискусии за по-добро разбиране на темата. Аргументите в урока бяха приятели с фактите, а теорията с практиката. Благодаря на всички ви.

Литература:

Ткачук В.В. Математика за кандидати. – М.: МЦНМО, 2005.

Теорема на Менелайили пълната теорема за четириъгълника е известна още от времето на Древна Гърция. Той получи името си в чест на своя автор, древногръцки математик и астроном. Менелай от Александрия(около 100 г. сл. Хр.). Тази теорема е много красива и проста, но, за съжаление, не й се обръща нужното внимание в съвременните училищни курсове. Междувременно в много случаи помага за решаването на доста сложни геометрични проблеми много лесно и елегантно.

Теорема 1 (теорема на Менелай). Нека ∆ABC се пресича от права, която не е успоредна на страната AB и пресича двете й страни AC и BC съответно в точки F и E, и права AB в точка D (Фиг. 1),

тогава A F FC * CE EB * BD DA = 1

Забележка.За да запомните лесно тази формула, можете да използвате следното правило: движете се по контура на триъгълника от върха до точката на пресичане с линията и от точката на пресичане до следващия връх.

Доказателство.От върховете A, B, C на триъгълника начертаваме съответно три успоредни прави до пресичането им със секущата. Получаваме три двойки подобни триъгълници (знак за сходство в два ъгъла). От подобието на триъгълниците следват следните равенства:

Сега нека умножим тези получени равенства:

Теоремата е доказана.

За да усетите красотата на тази теорема, нека се опитаме да решим геометричната задача, предложена по-долу, по два различни начина: с помощта на спомагателна конструкцияи с помощта Теорема на Менелай.

Задача 1.

В ∆ABC ъглополовящата AD дели страната BC в съотношение 2 : 1. В какво отношение медианата CE дели тази ъглополовяща?

Решение.

Използване на спомагателна конструкция:

Нека S е пресечната точка на ъглополовящата AD и медианата CE. Нека построим ∆ASB към успоредник ASBK. (фиг. 2)

Очевидно е, че SE = EK, тъй като пресечната точка на успоредника разполовява диагоналите. Нека сега разгледаме триъгълниците ∆CBK и ∆CDS. Лесно се вижда, че те са подобни (знак за сходство в два ъгъла: и като вътрешни едностранни ъгли с успоредни прави AD и KB и секуща CB). От подобието на триъгълника следва следното:

Използвайки условието, получаваме:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Сега забележете, че KB = AS, като срещуположните страни на успоредник. Тогава

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Използване на теоремата на Менелай.

Нека разгледаме ∆ABD и приложим към него теоремата на Менелай (правата, минаваща през точките C, S, E, е секуща):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

Съгласно условията на теоремата имаме BE/EA = 1, тъй като CE е медианата, и DC/CB = 1/3, както вече изчислихме по-рано.

1 * AS SD * 1 3 = 1

От тук получаваме AS/SD = 3 На пръв поглед и двете решения са доста компактни и приблизително еквивалентни. Въпреки това, идеята за допълнителна конструкция за учениците често се оказва много сложна и изобщо не е очевидна, докато, знаейки теоремата на Менелай, той трябва само да я приложи правилно.

Нека разгледаме друга задача, в която теоремата на Менелай работи много елегантно.

Задача 2.

Върху страните AB и BC ∆ABC са дадени съответно точки M и N, така че са изпълнени следните равенства:

AM MB = CN NA = 1 2

В какво отношение пресечната точка S на отсечките BN и CM разделя всяка от тези отсечки (фиг. 3)?

Решение.

Нека разгледаме ∆ABN. Нека приложим теоремата на Менелай за този триъгълник (правата, минаваща през точките M, S, C е секуща)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

От условията на задачата имаме: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Нека заместим тези резултати и да получим:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Следователно BS/SN = 6. И следователно точката S на пресичане на сегменти BN и CM разделя сегмента BN в съотношение 6:1.

Нека разгледаме ∆ACM. Нека приложим теоремата на Менелай за този триъгълник (правата, минаваща през точките N, S, B е секуща):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

От условията на задачата имаме: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Нека заместим тези резултати и да получим:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Следователно CS/SM = 3/4

И следователно точката S на пресичане на сегменти BN и CM разделя сегмента CM в съотношение 3: 4.

Обратната теорема на теоремата на Менелай също е вярна. Често се оказва дори по-полезен. Работи особено добре при проблеми с доказателство. Често с негова помощ дори олимпиадните задачи се решават красиво, лесно и бързо.

Теорема 2(Обратна теорема на Менелай). Нека е даден триъгълник ABC и точките D, E, F принадлежат съответно на правите BC, AC, AB (обърнете внимание, че те могат да лежат както на страните на триъгълника ABC, така и на техните продължения) (фиг. 4).

Тогава, ако AF FC * CE EB * BD DA = 1

тогава точки D, E, F лежат на една права.

Доказателство.Нека докажем теоремата от противното. Да приемем, че връзката от условията на теоремата е изпълнена, но точката F не лежи на правата DE (фиг. 5).

Нека означим пресечната точка на правите DE и AB с буквата O. Сега прилагаме теоремата на Менелай и получаваме: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Но, от друга страна, равенството BF FA = BO OA

не може да се изпълни.

Следователно връзката от условията на теоремата не може да бъде изпълнена. Имаме противоречие.

Теоремата е доказана.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

клас: 9

Цели на урока:

обобщават, разширяват и систематизират знанията и уменията на учениците; учат как да използват знанията при решаване на сложни проблеми;
насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания при решаване на проблеми;
развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
внушава на учениците самочувствие и трудолюбие; способност за работа в екип.

Цели на урока:

Образователни:повторете теоремите на Менелай и Чева; прилагайте ги при решаване на проблеми.
Развитие:научете се да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверете способността си да обобщавате и систематизирате знанията си.
Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

По време на часовете

Етап I. Организационен момент (1 мин.)

Учителят съобщава темата и целта на урока.

Етап II. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)

Снимка 1

Учител:Нека разгледаме заедно следната снимка. Посочете теорема за този чертеж.

Фигура 2

Линията AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника на IUD.

Според теоремата на Менелай

Правата MB пресича двете страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Изложете теоремата.

Фигура 3

Етап III. Разрешаване на проблем. (22 мин.)

Карта 1.

2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 4

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 5

Тогава, по (обратната) теорема на Чева, отсечките AM 1, BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.

Ние имаме:

И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Карта 2.

2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 6

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 7

Нека покажем това

Умножавайки получените равенства член по член, получаваме

За ъглополовящите на триъгълник равенството на Чева е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.

Карта 3.

Решение 1

Фигура 8

Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата BK пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 9

Равенството на Чева е изпълнено, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.

Етап IV. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)

Урочни материали за самостоятелна работа на учениците

Работата се предава на учителя за проверка.

V етап. Обобщение на урока (2 мин.)

Етап VI. Домашна работа (1 мин.)

Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.

Последни думи на учителя (1 мин.).

Литература:

Ткачук В.В. Математика за кандидати. – М.: МЦНМО, 2005.

— Какво е общото между теоремата на Менелай и лекарствата?
"Всички знаят за тях, но никой не говори за тях."
Типичен разговор със студент

Това е страхотна теорема, която ще ви помогне в момент, когато изглежда, че нищо не може да помогне. В този урок ще формулираме самата теорема, ще разгледаме няколко варианта за нейното използване и като десерт ще имате трудна домашна работа. Отивам!

Първо, формулировката. Може би няма да дам най-„красивата“ версия на теоремата, но най-разбираемата и удобна.

Теорема на Менелай. Нека разгледаме произволен триъгълник $ABC$ и определена права $l$, която пресича две страни на нашия триъгълник вътрешно и една страна в продължението. Нека означим пресечните точки на $M$, $N$ и $K$:
Триъгълник $ABC$ и секанс $l$
Тогава е вярна следната връзка:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Бих искал да отбележа: няма нужда да натъпквате разположението на буквите в тази зла формула! Сега ще ви кажа алгоритъм, чрез който винаги можете да възстановите и трите фракции буквално в движение. Дори по време на изпит под стрес. Дори ако седите на геометрията в 3 сутринта и не разбирате абсолютно нищо. :)

Схемата е проста:

Начертайте триъгълник и секанс. Например, както е показано в теоремата. Означаваме върхове и точки с някои букви. Може да бъде произволен триъгълник $ABC$ и права линия с точки $M$, $N$, $K$ или някаква друга - това не е важното.
Поставете химикалка (молив, маркер, писалка) във всеки връх на триъгълника и започнете да пресичате страните на този триъгълник със задължително влизане в точките на пресичане с правата. Например, ако първо преминем от точка $A$ до точка $B$, ще получим отсечките: $AM$ и $MB$, след това $BN$ и $NC$ и след това (внимание!) $CK$ и $KA$. Тъй като точка $K$ лежи върху продължението на страна $AC$, при преместване от $C$ към $A$ ще трябва временно да напуснете триъгълника.
И сега просто разделяме съседни сегменти един на друг точно в реда, в който сме ги получили при преминаване: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - получаваме три дроби, чийто продукт ще дай ни един.

На чертежа ще изглежда така:

Проста схема, която ви позволява да възстановите формулата от Менелай

И само няколко коментара. По-точно, това дори не са коментари, а отговори на типични въпроси:

Какво се случва, ако права $l$ минава през върха на триъгълника? Отговор: нищо. Теоремата на Менелай не работи в този случай.
Какво се случва, ако изберете друг връх за начало или отидете в другата посока? Отговор: ще бъде същото. Последователността на дробите просто ще се промени.

Мисля, че изяснихме формулировката. Нека да видим как всички тези неща се използват за решаване на сложни геометрични проблеми.

Защо е необходимо всичко това?

Внимание. Прекомерното използване на теоремата на Менелай за решаване на планиметрични проблеми може да причини непоправима вреда на вашата психика, тъй като тази теорема значително ускорява изчисленията и ви принуждава да запомните други важни факти от училищен курс по геометрия.

Доказателство

Няма да го доказвам. :)

Добре, ще го докажа:

Сега остава да сравним двете получени стойности за сегмента $CT$:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

Добре, всичко свърши. Остава само да „срешете“ тази формула, като поставите правилно буквите вътре в сегментите - и формулата е готова. :)