Тригонометрия. Обратни тригонометрични функции. Нека изразим чрез всички обратни тригонометрични функции Таблица с обратни тригонометрични формули

Задачи, свързани с обратни тригонометрични функции, често се предлагат на зрелостни изпити в училище и на кандидатстудентски изпити в някои университети. Подробно изучаване на тази тема може да се постигне само в избираемите часове или избираемите дисциплини. Предлаганият курс е предназначен да развие възможно най-пълно способностите на всеки ученик и да подобри математическата му подготовка.

Курсът е с продължителност 10 часа:

1. Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 часа).

2.Действия върху обратни тригонометрични функции (4 часа).

3. Обратни тригонометрични операции върху тригонометрични функции (2 часа).

Урок 1 (2 часа) Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Цел: пълно отразяване на проблема.

1. Функция y = arcsin x.

а) За функцията y = sin x върху отсечката има обратна (еднозначна) функция, която се съгласихме да наричаме арксинус и да я обозначим по следния начин: y = arcsin x. Графиката на обратната функция е симетрична на графиката на главната функция спрямо ъглополовящата на I - III координатни ъгли.

Свойства на функцията y = arcsin x.

1) Област на дефиниция: сегмент [-1; 1];

2) Област на промяна: сегмент;

3) Функция y = arcsin x нечетен: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функцията y = arcsin x е монотонно нарастваща;

5) Графиката пресича осите Ox, Oy в началото.

Пример 1. Намерете a = arcsin. Този пример може да бъде формулиран подробно по следния начин: намерете аргумент a, лежащ в диапазона от до, чийто синус е равен на.

Решение. Има безброй аргументи, чийто синус е равен на, например: и т.н. Но ние се интересуваме само от аргумента, който е на сегмента. Това би бил аргументът. И така, .

Пример 2. Намерете .Решение.Като се аргументираме по същия начин, както в пример 1, получаваме .

б) устни упражнения. Намерете: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Примерен отговор: , защото . Имат ли смисъл изразите: ; arcsin 1,5; ?

в) Подредете във възходящ ред: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Функции y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (подобни).

Урок 2 (2 часа) Тема: Обратни тригонометрични функции, техните графики.

Цел: в този урок е необходимо да се развият умения за определяне на стойностите на тригонометрични функции, за конструиране на графики на обратни тригонометрични функции с помощта на D (y), E (y) и необходимите трансформации.

В този урок изпълнете упражнения, които включват намиране на област на дефиниция, област на стойност на функции от типа: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Трябва да се построят графики на функциите: а) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

d) y = arcsin; д) y = arcsin; д) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Пример.Нека начертаем y = arccos

Можете да включите следните упражнения в домашното си: построяване на графики на функции: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графики на обратни функции

Урок № 3 (2 часа) Тема:
Операции върху обратни тригонометрични функции.

Цел: разширяване на математическите знания (това е важно за постъпващите в специалности с повишени изисквания към математическата подготовка) чрез въвеждане на основни съотношения за обратни тригонометрични функции.

Материал за урока.

Някои прости тригонометрични операции върху обратни тригонометрични функции: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x, x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Упражнения.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нека arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Забележка: ние поставяме знака „+“ пред корена, защото a = arcsin x удовлетворява .

в) sin (1,5 + arcsin) Отговор: ;

г) ctg ( + arctg 3).

д) tg ( – arcctg 4).

д) cos (0,5 + arccos). Отговор: .

Изчислете:

а) грях (2 арктан 5) .

Нека arctan 5 = a, тогава sin 2 a = или грях (2 арктан 5) = ;

б) cos ( + 2 arcsin 0,8).

в) arctg + arctg.

Нека a = arctan, b = arctan,

тогава tg(a + b) = .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Докажете, че за всички x I [-1; 1] истински arcsin x + arccos x = .

Доказателство:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin (– arccos x)

x = cos (arccos x)

За да го разрешите сами: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

За домашно решение: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Урок No4 (2 часа) Тема: Операции върху обратни тригонометрични функции.

Цел: В този урок демонстрирайте използването на съотношения при трансформиране на по-сложни изрази.

Материал за урока.

УСТНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ПИСМЕНО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

Самостоятелната работа ще помогне да се определи нивото на овладяване на материала.

1) tg (arctg 2 – arctg)

2) cos (- arctan2)

3) arcsin + arccos

1) cos (arcsin + arcsin)

2) sin (1.5 - arctan 3)

3) arcctg3 – arctg 2

За домашна работа можете да предложите:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Урок No 5 (2 часа) Тема: Обратни тригонометрични операции върху тригонометрични функции.

Цел: да се формира разбирането на учениците за обратните тригонометрични операции върху тригонометрични функции, като се фокусира върху повишаване на разбирането на изучаваната теория.

При изучаването на тази тема се предполага, че обемът на теоретичния материал, който трябва да се запомни, е ограничен.

Материал на урока:

Можете да започнете да изучавате нов материал, като изучавате функцията y = arcsin (sin x) и начертаете нейната графика.

3. Всеки x I R е свързан с y I, т.е.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функцията е нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Графика y = arcsin (sin x) върху:

а) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

така че

След като построихме y = arcsin (sin x) на , продължаваме симетрично относно началото на [- ; 0], предвид странността на тази функция. Използвайки периодичността, продължаваме по цялата числова ос.

След това запишете някои връзки: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos а ) = a ако е 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ако< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

И направете следните упражнения: а) arccos(sin 2). Отговор: 2 - ; б) arcsin (cos 0,6) Отговор: - 0,1; в) arctg (tg 2) Отговор: 2 - ;

г) arcctg(tg 0,6).Отговор: 0,9; д) arccos (cos ( - 2)) Отговор: 2 - ; д) arcsin (sin (- 0,6)). Отговор: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Отговор: 2 - ; з) аrcctg (tg 0,6). Отговор: - 0,6; - арктан х; д) arccos + arccos

ДО обратни тригонометрични функции Следните 6 функции включват: арксинус , аркосинус , арктангенс , арккотангенс , арсекансИ арккосеканс .

Тъй като първоначалните тригонометрични функции са периодични, тогава обратните функции, най-общо казано, са такива полисемантичен . За да се осигури едно-към-едно съответствие между две променливи, областите на дефиниране на оригиналните тригонометрични функции са ограничени, като се вземат предвид само тях основни клонове . Например функцията \(y = \sin x\) се разглежда само в интервала \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). В този интервал функцията обратен арксинус е дефинирана еднозначно.

Функция арксинус
Арксинусът на числото \(a\) (означено с \(\arcsin a\)) е стойността на ъгъла \(x\) в интервала \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), за което \(\sin x = a\). Обратната функция \(y = \arcsin x\) е дефинирана в \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), нейният диапазон от стойности е \(y \in \left[ ( - \pi / 2,\pi /2) \вдясно]\).

Арк косинус функция
Аркосинусът на числото \(a\) (означен като \(\arccos a\)) е стойността на ъгъла \(x\) в интервала \(\left[ (0,\pi) \right]\) , при което \(\cos x = a\). Обратната функция \(y = \arccos x\) е дефинирана за \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), нейният диапазон от стойности принадлежи на сегмента \(y \in \left[ (0,\pi)\right]\).

Арктангенс функция
Арктангенс на числото а(означено с \(\arctan a\)) е стойността на ъгъла \(x\) в отворения интервал \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), при което \(\tan x = a\). Обратната функция \(y = \arctan x\) е дефинирана за всички \(x \in \mathbb(R)\), обхватът на арктангенса е равен на \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\вдясно)\).

Функция аркутангенс
Аркотангенсът на числото \(a\) (означен с \(\text(arccot ) a\)) е стойността на ъгъла \(x\) в отворения интервал \(\left[ (0,\ pi) \right]\), при което \(\cot x = a\). Обратната функция \(y = \text(arccot ) x\) е дефинирана за всички \(x \in \mathbb(R)\), нейният диапазон от стойности е в интервала \(y \in \ ляво [ (0,\pi) \дясно]\).

Арсеканс функция
Арсекансът на числото \(a\) (означено с \(\text(arcsec ) a\)) е стойността на ъгъла \(x\), при който \(\sec x = a\). Обратната функция \(y = \text(arcsec ) x\) е дефинирана в \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), диапазонът му от стойности принадлежи на множеството \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).

Аркосеканс функция
Аркосекансът на число \(a\) (обозначаван като \(\text(arccsc ) a\) или \(\text(arccosec ) a\)) е стойността на ъгъла \(x\), при който \(\ csc x = a\ ). Обратната функция \(y = \text(arccsc ) x\) е дефинирана в \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), обхватът на неговите стойности принадлежи на множеството \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Основни стойности на функциите арксинус и аркосинус (в градуси)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\цирк\)	\(45^\цирк\)	\(60^\цирк\)	\(90^\цирк\)
\(\arccos x\)	\(180^\цирк\)	\(150^\цирк\)	\(135^\цирк\)	\(120^\цирк\)	\(90^\цирк\)	\(60^\цирк\)	\(45^\цирк\)	\(30^\цирк\)	\(0^\circ\)

Основни стойности на функциите арктангенс и арккотангенс (в градуси)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\цирк\)	\(45^\цирк\)	\(60^\цирк\)
\(\text(arccot ) x\)	\(150^\цирк\)	\(135^\цирк\)	\(120^\цирк\)	\(90^\цирк\)	\(60^\цирк\)	\(45^\цирк\)	\(30^\цирк\)

Тъй като тригонометричните функции са периодични, техните обратни функции не са уникални. И така, уравнението y = грях х, за дадено , има безкрайно много корени. Наистина, поради периодичността на синуса, ако x е такъв корен, значи е такъв x + 2πn(където n е цяло число) също ще бъде коренът на уравнението. по този начин обратните тригонометрични функции са многозначни. За по-лесна работа с тях се въвежда понятието за основните им значения. Помислете например за синус: y = грях х. грях хАко ограничим аргумента x до интервала, тогава върху него функцията y = нараства монотонно. Следователно той има уникална обратна функция, която се нарича арксинус: x =.

arcsin y

Освен ако не е посочено друго, под обратни тригонометрични функции разбираме техните основни стойности, които се определят от следните определения. арксинус ( y = arcsin x ) е обратната функция на синус ( x =
сини арксинус ( Аркосинус ( arccos x ) е обратната функция на синус ( ) е обратната функция на косинус (защото у
), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности. арксинус ( Арктангенс (арктан х ) е обратната функция на синус ( ) е обратната функция на тангенса (защото у
tg y арксинус ( Аркотангенс ( arcctg x ) е обратната функция на синус ( ) е обратната функция на котангенса ( ctg y

), имащ домейн на дефиниция и набор от стойности.

Графики на обратни тригонометрични функции

арксинус ( y =

арксинус ( Аркосинус (

арксинус ( Арктангенс (

арксинус ( Аркотангенс (

Графиките на обратните тригонометрични функции се получават от графики на тригонометрични функции чрез огледално отражение спрямо правата линия y = x.

Вижте разделите Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

Основни формулиТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
arcsin(sin x) = x
приТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = xТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
ctg(arcctg x) = x

Формули, свързващи обратни тригонометрични функции

Вижте също: Извеждане на формули за обратни тригонометрични функции

Формули за сбор и разлика

при или

при и

при и

при

при

при

при

при

Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Определение и означение

Арксинус (y = y =) е обратната функция на синус (x = x = -1 ≤ x ≤ 1и набор от стойности -π /2 ≤ y ≤ π/2.
arcsin(sin x) = x ;
Основни формули .

Арксинус понякога се означава по следния начин:
.

Графика на функцията арксинус

Графика на функцията y = y =

Графиката на арксинус се получава от графиката на синус, ако абсцисната и ординатната ос се разменят. За да се елиминира неяснотата, диапазонът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Това определение се нарича главна стойност на арксинуса.

Аркосинус, аркосинус

Определение и означение

Арккосинус (y = Аркосинус () е обратната функция на косинус (x = ) е обратната функция на косинус (). Има обхват -1 ≤ x ≤ 1и много значения 0 ≤ y ≤ π.
sin(arcsin x) = x ;
при .

Аркосинусът понякога се означава по следния начин:
.

Графика на арккосинус функция

Графика на функцията y = Аркосинус (

Арккосинусовата графика се получава от косинусовата графика, ако абсцисната и ординатната оси се разменят. За да се елиминира неяснотата, диапазонът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Това определение се нарича главна стойност на аркосинуса.

Паритет

Функцията арксинус е странна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функцията арккосинус не е четна или нечетна:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - екстремуми, увеличение, намаление

Функциите арксинус и аркосинус са непрекъснати в своята област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на арксинуса и аркосинуса са представени в таблицата.

	y = y =	y = Аркосинус (
Обхват и приемственост	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Диапазон от стойности
Възходящо, низходящо	монотонно нараства	монотонно намалява
Високи нива
Минимуми
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблица на аркусинуси и арккосинуси

Тази таблица представя стойностите на аркусинуси и аркосинуси, в градуси и радиани, за определени стойности на аргумента.

х	y =		Аркосинус (
	градушка	радвам се.	градушка	радвам се.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Вижте също: Извеждане на формули за обратни тригонометрични функции

Формули за сбор и разлика

при или

при и

при и

при

при

Изрази чрез логаритми, комплексни числа

Вижте също: Извеждане на формули

Изразяване чрез хиперболични функции

Деривати

;
.
Вижте Извеждане на арксинус и аркосинус производни > > >

Производни от по-висок порядък:
,
където е полином от степен .
;
;
.

Вижте Извеждане на производни от по-висок порядък на аркуссинус и аркосинус > > >

Интеграли

Правим замяната x = грях т. Интегрираме по части, като вземем предвид, че -π/, 2 ≤ t ≤ π/2:
.

cos t ≥ 0
.

Нека изразим арк косинус чрез арк синус:

Разширяване на серията< 1 Когато |x|
;
.

се извършва следното разлагане:

Обратни функции

Обратните на арксинуса и аркосинуса са съответно синус и косинус.
arcsin(sin x) = x
sin(arcsin x) = x .

Следните формули са валидни в цялата област на дефиниране:
Основни формулиТук трябва да обърнете специално внимание на интервалите, за които са валидни формулите.
приСледните формули са валидни само за набор от стойности на аркусинус и аркосинус:

при .

Вижте също:

09.07.2015 8495 0

Уроци 32-33. Обратни тригонометрични функции цел:

разгледайте обратните тригонометрични функции и тяхното използване за писане на решения на тригонометрични уравнения.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Учене на нов материал

1. Обратни тригонометрични функции

Нека започнем нашето обсъждане на тази тема със следния пример.

Пример 1Нека решим уравнението:

а) sin x = 1/2; б) sin x = a.а) На ординатната ос нанасяме стойността 1/2 и построяваме ъглите х 1и x2, за които грях ха) На ординатната ос нанасяме стойността 1/2 и построяваме ъглите = 1/2. В този случай x1 + x2 = π, откъдето x2 = π –. Използвайки таблицата със стойности на тригонометричните функции, намираме стойността x1 = π/6, след товаНека вземем предвид периодичността на функцията синус и запишем решенията на това уравнение:

където k ∈ Z.б) Очевидно алгоритъмът за решаване на уравнението грях x = a е същото като в предходния параграф. Разбира се, сега стойността a се нанася по ординатната ос. Необходимо е по някакъв начин да се обозначи ъгълът x1. Разбрахме се да обозначим този ъгъл със символа arcsinА. Тогава решенията на това уравнение могат да бъдат записани във форматаТези две формули могат да бъдат комбинирани в една:

в същото време

Останалите обратни тригонометрични функции се въвеждат по подобен начин.

Много често е необходимо да се определи големината на даден ъгъл от известната стойност на неговата тригонометрична функция. Такава задача е многозначна - има безброй ъгли, чиито тригонометрични функции са равни на една и съща стойност. Следователно, въз основа на монотонността на тригонометричните функции, се въвеждат следните обратни тригонометрични функции за еднозначно определяне на ъгли. Арксинус на числото a (arcsin

, чийто синус е равен на a, т.е.Арккосинус на число a(arccos

a) е ъгъл a от интервала, чийто косинус е равен на a, т.е.Арктангенс на число a(arctgа) - такъв ъгъл а от интервалачийто тангенс е равен на а, т.е.

tg a = a.Аркотангенс на число a(arcctg a) е ъгъл a от интервала (0; π), чийто котангенс е равен на a, т.е.

ctg a = a.

Пример 2

Да намерим:

Пример 3

Нека изчислим

Нека ъгъл a = arcsin 3/5, тогава по дефиниция sin a = 3/5 и . Следователно трябва да намерим cos А. Използвайки основната тригонометрична идентичност, получаваме:Взема се предвид, че cos a ≥ 0. Така че,

Функционални свойства	функция
Функционални свойства	y = arcsin x	y = arccos x	y = арктан х	y = arcctg x
Област на дефиниция	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Диапазон от стойности	y ∈ [ -π/2 ; π /2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Паритет	Странно	Нито четно, нито нечетно	Странно	Нито четно, нито нечетно
Функционални нули (y = 0)	При x = 0	При x = 1	При x = 0	y ≠ 0
Интервали на знакопостоянство	y > 0 за x ∈ (0; 1], при< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 за x ∈ [-1; 1)	y > 0 за x ∈ (0; +∞), при< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 за x ∈ (-∞; +∞)
Монотонен	Увеличава се	Спускане	Увеличава се	Спускане
Връзка с тригонометричната функция	sin y = x	cos y = x	tg y = x	cotg y = x
График

Нека дадем няколко по-характерни примера, свързани с дефинициите и основните свойства на обратните тригонометрични функции.

Пример 4

Нека намерим областта на дефиниция на функцията

За да бъде дефинирана функцията y, е необходимо да е изпълнено неравенствотокоето е еквивалентно на системата от неравенстваРешението на първото неравенство е интервалът x∈ (-∞; +∞), секунда -Този интервал и е решение на системата от неравенства и следователно областта на дефиниране на функцията

Пример 5

Нека намерим областта на промяна на функцията

Нека разгледаме поведението на функцията z = 2x - x2 (вижте снимката).

Ясно е, че z ∈ (-∞; 1]. Като се има предвид, че аргументът z функцията на аркотангенса се променя в рамките на посочените граници, от данните в таблицата получаваме товаПо този начин, областта на промяната

Пример 6

Нека докажем, че функцията y = arctg х странно. НекаТогава tg a = -x или x = - tg a = tg (- a) и Следователно, - a = arctg x или a = - arctg X. Така виждаме товат.е. y(x) е нечетна функция.

Пример 7

Нека изразим чрез всички обратни тригонометрични функции

Нека Очевидно е, че Тогава оттогава

Нека представим ъгъла защото това

По същия начин следователно И

така че

Пример 8

Нека построим графика на функцията y = cos(arcsin x).

Тогава нека означим a = arcsin x Нека вземем предвид, че x = sin a и y = cos a, т.е. x 2 + y2 = 1 и ограничения върху x (x∈ [-1; 1]) и y (y ≥ 0). Тогава графиката на функцията y = cos(arcsin x) е полукръг.

Пример 9

Нека построим графика на функцията y = arccos (cos x).

Тъй като функцията cos x промени на интервала [-1; 1], тогава функцията y е дефинирана на цялата числена ос и варира на отсечката . Нека имаме предвид, че y = arccos(cosx) = x върху сегмента; функцията y е четна и периодична с период 2π. Като се има предвид, че функцията има тези свойства cos x Сега е лесно да създадете графика.

Нека отбележим някои полезни равенства:

Пример 10

Нека намерим най-малката и най-голямата стойност на функциятаНека обозначим Тогава Да вземем функцията Тази функция има минимум в точката z = π/4 и е равно на Най-голямата стойност на функцията се постига в точката z = -π/2 и е равно По този начин и

Пример 11

Нека решим уравнението

Нека вземем предвид това Тогава уравнението изглежда така:или където По дефиницията на арктангенса получаваме:

2. Решаване на прости тригонометрични уравнения

Подобно на пример 1, можете да получите решения на най-простите тригонометрични уравнения.

Уравнение	Решение


tgx = а
ctg x = a

Пример 12

Нека решим уравнението

Тъй като функцията синус е нечетна, записваме уравнението във форматаРешения на това уравнение:от къде го намираме?

Пример 13

Нека решим уравнението

Използвайки дадената формула, записваме решенията на уравнението:и ще намерим

Имайте предвид, че в специални случаи (a = 0; ±1) при решаване на уравненията sin x = a и cos x = и е по-лесно и по-удобно да използвате не общи формули, а да записвате решения въз основа на единичната окръжност:

за уравнението sin x = 1 решение

за уравнението sin x = 0 решения x = π k;

за уравнението sin x = -1 решение