Когато извеждаме първата формула от таблицата, ще изхождаме от дефиницията на производната на функция в точка. Да вземем къде х- всяко реално число, т.е. х– всяко число от областта за дефиниране на функцията. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента при: 
Трябва да се отбележи, че под знака на границата се получава израз, който не е неопределеността на нула, разделена на нула, тъй като числителят съдържа не безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.
По този начин, производна на постоянна функцияе равно на нула в цялата област на дефиниция.
Производна на степенна функция.
Формулата за производната на степенна функция има формата 
, където степента стре всяко реално число.
Нека първо докажем формулата за естествения показател, т.е p = 1, 2, 3, ...
Ще използваме определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенната функция към увеличението на аргумента: 
За да опростим израза в числителя, се обръщаме към биномната формула на Нютон: 
следователно 
Това доказва формулата за производната на степенна функция за естествен показател.
Производна на експоненциална функция.
Извеждаме производната формула въз основа на определението:
Стигна до несигурност. За да го разширим, въвеждаме нова променлива и за . Тогава . При последния преход използвахме формулата за преход към нова основа на логаритъма.
Нека извършим заместване в първоначалния лимит: 
Ако си припомним втората забележителна граница, тогава стигаме до формулата за производната на експоненциалната функция: 
Производна на логаритмична функция.
Нека докажем формулата за производната на логаритмичната функция за всички хот обхвата и всички валидни базови стойности алогаритъм. По дефиниция на производната имаме: 
Както забелязахте, в доказателството трансформациите бяха извършени с помощта на свойствата на логаритъма. Равенство 
е валиден поради второто забележително ограничение.
Производни на тригонометрични функции.
За да изведем формули за производни на тригонометрични функции, ще трябва да си припомним някои тригонометрични формули, както и първото забележително ограничение.
По дефиниция на производната за функцията синус имаме 
.
Използваме формулата за разликата на синусите: 
Остава да се обърнем към първата забележителна граница: 
И така, производната на функцията грях хИма cos x.
Формулата за косинус производната се доказва по абсолютно същия начин. 
Следователно, производната на функцията cos xИма – грях х.
Ще изведем формулите за таблицата с производни на тангенса и котангенса, като използваме доказаните правила за диференциране (производна на дроб). 
Производни на хиперболични функции.
Правилата за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция от таблицата с производни ни позволяват да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс. 
Производна на обратната функция.
За да няма объркване в представянето, нека обозначим в долния индекс аргумента на функцията, чрез която се извършва диференцирането, тоест това е производната на функцията f(x)от х.
Сега формулираме правило за намиране на производната на обратната функция.
Нека функциите y = f(x)И x = g(y)взаимно обратни, определени на интервалите и съответно. Ако в дадена точка съществува крайна ненулева производна на функцията f(x), тогава в точката съществува крайна производна на обратната функция g(y), и 
. В друг запис 
.
Това правило може да бъде преформулирано за всеки хот интервала , тогава получаваме 
.
Нека проверим валидността на тези формули.
Нека намерим обратната функция за натурален логаритъм 
(Тук ге функция и х- аргумент). Решаване на това уравнение за х, получаваме (тук хе функция и гнейният аргумент). Това е, 
и взаимно обратни функции.
От таблицата на производните виждаме това 
И 
.
Нека се уверим, че формулите за намиране на производни на обратната функция ни водят до същите резултати: 
Както можете да видите, получихме същите резултати като в таблицата с производни.
Сега имаме знанията да доказваме формули за производни на обратни тригонометрични функции.
Нека започнем с производната на арксинуса.
. След това по формулата за производната на обратната функция получаваме
Остава да се извърши трансформацията.
Тъй като диапазонът на арксинуса е интервалът 
, Че 
(виж раздела за основните елементарни функции, техните свойства и графики). Следователно, ние не считаме.
следователно 
. Областта на дефиниране на производната на арксинуса е интервалът (-1;
1)
.
За аркосинус всичко се прави по същия начин: 
Намерете производната на аркутангенса.
За обратната функция е 
.
Изразяваме арктангенса през арккосинуса, за да опростим получения израз.
Позволявам arctanx = z, Тогава 
следователно 
По същия начин се намира производната на обратната допирателна: 
y = u v,
чиято база u и експонента v са някои функции на променливата x:
u = u (х); v=v (х).
Тази функция също се нарича експоненциална мощностили .
Имайте предвид, че експоненциалната функция може да бъде представена в експоненциална форма:
.
Затова се нарича още комплексна експоненциална функция.
Производна на експоненциална функция
Изчисляване с помощта на логаритмична производна
Намерете производната на експоненциалната функция
(2)
,
където и са функции на променливата.
За да направим това, вземаме логаритъм на уравнение (2), използвайки свойството на логаритъма:
.
Разграничете по отношение на x:
(3)
.
Приложи правила за диференциране на сложна функцияи работи:
;
.
Заместник в (3):
.
Оттук
.
И така, намерихме производната на експоненциалната функция:
(1)
.
Ако степента е постоянна, тогава . Тогава производната е равна на производната на съставната степенна функция:
.
Ако основата на степента е постоянна, тогава . Тогава производната е равна на производната на съставната експоненциална функция:
.
Когато и са функции на x, тогава производната на експоненциалната функция е равна на сумата от производните на съставната степен и експоненциалната функция.
Изчисляване на производната чрез редукция до комплексна експоненциална функция
Сега намираме производната на експоненциалната функция
(2)
,
представяйки го като комплексна експоненциална функция:
(4)
.
Нека разграничим продукта:
.
Прилагаме правилото за намиране на производната на сложна функция:
.
И отново получихме формулата (1).
Пример 1
Намерете производната на следната функция:
.
Изчисляваме с помощта на логаритмичната производна. Вземаме логаритъма на оригиналната функция:
(P1.1) .
От таблицата на производните намираме:
;
.
Според формулата за производна на продукт имаме:
.
Ние правим разлика (A1.1):
.
Тъй като
,
Че
.
сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция
Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме покрития материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.
Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решениякоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на съставна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които съм дал. Този урок логично е трети поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.
Да започнем с повторение. На урока Производна на съставна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други раздели на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простата от сложните функции, например:
Според правилото за диференциране на сложна функция 
:
При изучаване на други теми от матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: "Колко е производната на тангенса на две x?". Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: 
.
Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.
Пример 1
Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако вече не се е сетила). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на съставна функция.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Отговори в края на урока
Комплексни производни
След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат сложни за някои, но ако се разберат (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.
Пример 2
Намерете производната на функция 
Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИТЕ. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (мислено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".
1) Първо трябва да изчислим израза, така че сумата е най-дълбокото влагане.
2) След това трябва да изчислите логаритъма:
4) След това кубирайте косинуса:
5) На петата стъпка разликата:
6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен: 
Формула за диференциране на сложна функция 
се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:
Изглежда, че няма грешка...
(1) Вземаме производната на корен квадратен.
(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото 
(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).
(4) Взимаме производната на косинуса.
(5) Вземаме производната на логаритъма.
(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото влагане.
Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.
Следващият пример е за самостоятелно решение.
Пример 3
Намерете производната на функция
Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта
Пълно решение и отговор в края на урока.
Време е да преминем към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайно ситуацията, при която произведението на не две, а три функции е дадено в пример. Как да намерим производната на произведението на три фактора?
Пример 4
Намерете производната на функция 
Първо, разглеждаме, но възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, експонента и логаритъм.
В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта 
два пъти
Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - логаритъма:. Защо може да се направи това? Така ли 
- това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:
Сега остава правилото да се приложи втори път 
в скоби:
Все още можете да извратите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.
Горният пример може да бъде решен по втория начин: 
И двете решения са абсолютно равностойни.
Пример 5
Намерете производната на функция
Това е пример за самостоятелно решение, в примера се решава по първия начин.
Помислете за подобни примери с дроби.
Пример 6
Намерете производната на функция 
Тук можете да отидете по няколко начина:
Или така:
Но решението може да бъде написано по-компактно, ако преди всичко използваме правилото за диференциране на частното 
, приемайки за целия числител:
Принципно примера е решен и ако се остави в този вид няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да опростите отговора? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:
Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.
По-опростен пример за решение „направи си сам“:
Пример 7
Намерете производната на функция
Продължаваме да овладяваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм
Пример 8
Намерете производната на функция
Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:
Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.
Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:
! Ако имате под ръка учебна тетрадка, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.
Самото решение може да се формулира така:
Нека трансформираме функцията:
Намираме производната: 
Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.
А сега няколко прости примера за независимо решение:
Пример 9
Намерете производната на функция 
Пример 10
Намерете производната на функция
Всички трансформации и отговори в края на урока.
логаритмична производна
Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.
Пример 11
Намерете производната на функция 
Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се прилага правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.
Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:
Забележка
: защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: 
, които изчезват в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, където по подразбиране комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.
Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:
Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:
Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите с увереност.
Какво ще кажете за лявата страна?
От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „y“ под логаритъма?“
Факт е, че тази „една буква y“ - Е ФУНКЦИЯ САМА ЗА СЕБЕ СИ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на неявно указана функция). Следователно логаритъма е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на съставна функция 
:
От лявата страна, като по магия, имаме производна. Освен това, според правилото за пропорцията, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:
И сега се сещаме за каква "игра"-функция говорихме при диференцирането? Нека да разгледаме състоянието: 
Окончателен отговор: 
Пример 12
Намерете производната на функция
Това е пример за „направи си сам“. Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.
С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.
Производна на експоненциална функция
Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциална функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:
Как да намерим производната на експоненциална функция?
Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:
По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:
В резултат от дясната страна имаме произведение на две функции, които ще бъдат разграничени по стандартната формула 
.
Намираме производната, за това поставяме двете части под черти:
Следващите стъпки са лесни:
Накрая: 
Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.
В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.
Пример 13
Намерете производната на функция
Използваме логаритмичната производна. 
От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъм от x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). Когато диференцирате константа, както си спомняме, е по-добре незабавно да я извадите от знака на производната, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило 
:
С това видео започвам дълга поредица от уроци по производни. Този урок има няколко части.
Първо ще ви кажа какво изобщо представляват производните и как се изчисляват, но не на изтънчен академичен език, а по начина, по който аз самият го разбирам и как го обяснявам на студентите си. На второ място ще разгледаме най-простото правило за решаване на задачи, в които ще търсим производни на суми, производни на разлика и производни на степенна функция.
Ще разгледаме по-сложни комбинирани примери, от които ще научите по-специално, че подобни задачи, включващи корени и дори дроби, могат да бъдат решени с помощта на формулата за производна на степенна функция. Освен това, разбира се, ще има много задачи и примери за решения с различни нива на сложност.
Като цяло, първоначално смятах да запиша кратко 5-минутно видео, но сами виждате какво се получи. Така че стига с текстовете - нека да се заемем с работата.
Какво е дериват?
И така, да започнем отдалече. Преди много години, когато дърветата бяха по-зелени и животът беше по-забавен, математиците мислеха за това: помислете за проста функция, дадена от нейната графика, нека я наречем $y=f\left(x \right)$. Разбира се, графиката не съществува сама по себе си, така че трябва да начертаете оста $x$, както и оста $y$. А сега нека изберем която и да е точка на тази графика, абсолютно всяка. Нека наречем абсцисата $((x)_(1))$, ординатата, както може би се досещате, ще бъде $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Помислете за друга точка на същата графика. Няма значение кой, важното е да се различава от оригинала. Тя отново има абциса, нека я наречем $((x)_(2))$, както и ордината - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
И така, имаме две точки: те имат различни абциси и, следователно, различни стойности на функциите, въпреки че последното не е задължително. Но това, което е наистина важно е, че знаем от курса по планиметрия, че права линия може да бъде начертана през две точки и освен това само една. Ето, нека го стартираме.
А сега нека начертаем права линия през първия от тях, успоредна на оста х. Получаваме правоъгълен триъгълник. Нека го наречем $ABC$, прав ъгъл $C$. Този триъгълник има едно много интересно свойство: факт е, че ъгълът $\alpha $ всъщност е равен на ъгъла, под който правата $AB$ се пресича с продължението на абсцисната ос. Преценете сами:
- линия $AC$ е успоредна на оста $Ox$ по конструкция,
- линия $AB$ пресича $AC$ под $\alpha $,
- следователно $AB$ пресича $Ox$ под същия $\alpha $.
Какво можем да кажем за $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Нищо конкретно, освен че в триъгълника $ABC$ отношението на катета $BC$ към катета $AC$ е равно на тангенса на същия този ъгъл. Така че нека напишем:
Разбира се, $AC$ в този случай се разглежда лесно:
По същия начин за $BC$:
С други думи, можем да напишем следното:
\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Сега, след като изчистихме всичко това, нека се върнем към нашата графика и да погледнем новата $B$ точка. Изтрийте старите стойности и вземете $B$ някъде по-близо до $((x)_(1))$. Нека отново означим неговата абциса като $((x)_(2))$, а ординатата му като $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Помислете отново за нашия малък триъгълник $ABC$ и $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ вътре в него. Съвсем очевидно е, че това ще бъде съвсем различен ъгъл, тангентата също ще бъде различна, защото дължините на отсечките $AC$ и $BC$ са се променили значително, а формулата за тангенса на ъгъла изобщо не се е променила - това все още е съотношението между промяната на функцията и промяната на аргумента.
И накрая, продължаваме да приближаваме $B$ все по-близо и по-близо до началната точка $A$, в резултат на което триъгълникът ще намалее още повече и линията, съдържаща отсечката $AB$, ще изглежда все повече и повече като допирателна към графика на функцията.
В резултат на това, ако продължим да се приближаваме до точките, т.е. намалим разстоянието до нула, тогава правата линия $AB$ наистина ще се превърне в допирателна към графиката в тази точка и $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ ще се промени от нормален триъгълен елемент до ъгъл между допирателната към графиката и положителната посока на оста $Ox$.
И тук плавно преминаваме към дефиницията на $f$, а именно производната на функцията в точката $((x)_(1))$ е тангенса на ъгъла $\alpha $ между допирателната към графика в точката $((x)_( 1))$ и положителната посока на оста $Ox$:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Връщайки се към нашата графика, трябва да се отбележи, че като $((x)_(1))$ можете да изберете всяка точка от графиката. Например, със същия успех бихме могли да премахнем щриха в точката, показана на фигурата.
Нека наречем ъгъла между допирателната и положителната посока на оста $\beta $. Съответно $f$ в $((x)_(2))$ ще бъде равно на тангенса на този ъгъл $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Всяка точка от графиката ще има своя собствена допирателна и, следователно, своя собствена стойност на функцията. Във всеки от тези случаи, в допълнение към точката, в която търсим производната на разлика или сбор, или производна на степенна функция, е необходимо да вземем друга точка, разположена на известно разстояние от нея, и след това насочете тази точка към първоначалната и, разбира се, разберете как в процеса такова движение ще промени тангенса на ъгъла на наклон.
Производна на степенна функция
За съжаление това определение изобщо не ни подхожда. Всички тези формули, картинки, ъгли не ни дават ни най-малка представа как да изчисляваме реалната производна в реални задачи. Затова нека се отклоним малко от формалната дефиниция и да разгледаме по-ефективни формули и техники, с които вече можете да решавате реални проблеми.
Нека започнем с най-простите конструкции, а именно функции от формата $y=((x)^(n))$, т.е. мощностни функции. В този случай можем да напишем следното: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. С други думи, степента, която е в експонентата, е показана в множителя отпред , а самият показател се намалява с единица, например:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
И ето още един вариант:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Използвайки тези прости правила, нека се опитаме да премахнем ръба на следните примери:
Така получаваме:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Сега нека решим втория израз:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ просто ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Разбира се, това бяха много прости задачи. Реалните проблеми обаче са по-сложни и не се ограничават до правомощията на дадена функция.
И така, правило номер 1 - ако функцията е представена като другите две, тогава производната на тази сума е равна на сумата от производните:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
По същия начин, производната на разликата на две функции е равна на разликата на производните:
\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ просто ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Освен това има още едно важно правило: ако някое $f$ е предшествано от константа $c$, по която се умножава тази функция, тогава $f$ на цялата тази конструкция се разглежда както следва:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ просто ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
И накрая, още едно много важно правило: проблемите често съдържат отделен термин, който изобщо не съдържа $x$. Например, можем да наблюдаваме това в нашите днешни изрази. Производната на константа, т.е. число, което не зависи по никакъв начин от $x$, винаги е равна на нула и няма никакво значение на какво е равна константата $c$:
\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]
Пример за решение:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Още веднъж ключови моменти:
- Производната на сумата от две функции винаги е равна на сумата на производните: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- По подобни причини производната на разликата на две функции е равна на разликата на две производни: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Ако функцията има факторна константа, тогава тази константа може да бъде извадена от знака на производната: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
- Ако цялата функция е константа, тогава нейната производна винаги е нула: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Нека да видим как работи всичко с реални примери. Така:
Записваме:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\край (подравняване)\]
В този пример виждаме както производната на сумата, така и производната на разликата. Така че производната е $5((x)^(4))-6x$.
Да преминем към втората функция:
Запишете решението:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Тук намерихме отговора.
Нека да преминем към третата функция - тя вече е по-сериозна:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Намерихме отговора.
Да преминем към последния израз - най-сложният и най-дълъг:
И така, ние считаме:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Но решението не свършва дотук, защото от нас се иска не само да премахнем щриха, но и да изчислим стойността му в определена точка, така че заместваме −1 вместо $x$ в израза:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Отиваме по-далеч и преминаваме към още по-сложни и интересни примери. Въпросът е, че формулата за решаване на степенната производна $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ има още по-широк обхват, отколкото обикновено се смята. С негова помощ можете да решавате примери с дроби, корени и т.н. Това ще направим сега.
Като начало, нека запишем отново формулата, която ще ни помогне да намерим производната на степенната функция:
А сега внимание: досега разглеждахме само естествени числа като $n$, но нищо не ни пречи да разглеждаме дроби и дори отрицателни числа. Например можем да напишем следното:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\край (подравняване)\]
Нищо сложно, така че нека да видим как тази формула ще ни помогне при решаването на по-сложни проблеми. Така че пример:
Запишете решението:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ ляво(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]
Нека се върнем към нашия пример и напишем:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Това е толкова трудно решение.
Да преминем към втория пример - има само два термина, но всеки от тях съдържа както класическа степен, така и корени.
Сега ще научим как да намираме производната на степенна функция, която освен това съдържа корен:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
И двата члена са изчислени, остава да запишем крайния отговор:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Намерихме отговора.
Производна на дроб по отношение на степенна функция
Но възможностите на формулата за решаване на производната на степенна функция не свършват дотук. Факт е, че с негова помощ можете да броите не само примери с корени, но и с дроби. Това е просто онази рядка възможност, която значително опростява решаването на подобни примери, но често се пренебрегва не само от учениците, но и от учителите.
И така, сега ще се опитаме да комбинираме две формули наведнъж. От една страна, класическата производна на степенна функция
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
От друга страна, знаем, че израз от формата $\frac(1)(((x)^(n)))$ може да бъде представен като $((x)^(-n))$. следователно
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
По този начин производните на прости дроби, където числителят е константа, а знаменателят е степен, също се изчисляват по класическата формула. Нека да видим как работи на практика.
И така, първата функция:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ дясно))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Първият пример е решен, нека преминем към втория:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ ляво(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ край (подравняване)\]...
Сега събираме всички тези термини в една формула:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Получихме отговор.
Въпреки това, преди да продължа, бих искал да насоча вниманието ви към формата на писане на самите оригинални изрази: в първия израз написахме $f\left(x \right)=...$, във втория: $y =...$ Много ученици се губят, когато видят различни форми на нотация. Каква е разликата между $f\left(x \right)$ и $y$? Всъщност нищо. Това са просто различни записи с едно и също значение. Просто когато казваме $f\left(x\right)$, тогава говорим преди всичко за функция, а когато говорим за $y$, най-често имаме предвид графиката на функция. В противен случай тя е една и съща, т.е. производната се счита за една и съща и в двата случая.
Комплексни задачи с производни
В заключение бих искал да разгледам няколко сложни комбинирани задачи, които използват наведнъж всичко, което разгледахме днес. В тях чакаме и корени, и дроби, и суми. Тези примери обаче ще бъдат сложни само в рамките на днешния видео урок, защото наистина сложни производни функции ще ви очакват напред.
И така, последната част от днешния видео урок, състоящ се от две комбинирани задачи. Да започнем с първия:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ ляво(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Производната на функцията е:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Първият пример е решен. Помислете за втория проблем:
Във втория пример действаме по подобен начин:
\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]
Нека изчислим всеки член поотделно:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ ляво(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Всички термини се броят. Сега се връщаме към първоначалната формула и събираме и трите члена. Получаваме, че крайният отговор ще бъде:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
И това е всичко. Това беше първият ни урок. В следващите уроци ще разгледаме по-сложни конструкции и ще разберем защо изобщо са необходими производни.
