Полиноми. Полиноми в една променлива Полином и неговите термини - определения и примери

§ 13. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решаване на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 165

13.1. Основни определения 165

13.2. Основни свойства на целочислените полиноми 166

13.3. Основни свойства на корените на алгебрично уравнение 169

13.4. Решаване на основни алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 173

13.5. Упражнения за самостоятелна работа 176

Въпроси за самопроверка 178

Речник 178

1. Основни определения

Цяла алгебрична функция или алгебричен полином (полином )аргумент хнаречена функция от следния тип

Тук н–степен на полином (естествено число или 0), х – променлива (реална или комплексна), а 0 , а 1 , …, а н –полиномни коефициенти (реални или комплексни числа), а 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратен тричлен;

,
;.

Номер х 0 такива, че П н (х 0)0, наречено нулева функция П н (х) или корен на уравнението
.

Например,

неговите корени
,
,
.

защото
И
.

Забележка (за дефиницията на нули на цяла алгебрична функция)

В литературата функционалните нули често са
се наричат ​​неговите корени. Например числа
И
се наричат ​​корени на квадратната функция
.

1. Основни свойства на целочислените полиноми

 Идентичността (3) е валидна за  х 
(или х  ), следователно е валиден за
; заместване
, получаваме А н = b н. Нека взаимно отменим условията в (3) А нИ b ни разделете двете части на х:

Това тъждество е вярно и за  х, включително когато х= 0, така че ако приемем х= 0, получаваме А н – 1 = b н – 1 .

Нека взаимно отменим условията в (3") А н– 1 и b н– 1 и разделете двете страни на х, като резултат получаваме

Продължавайки разсъжденията по подобен начин, получаваме това А н – 2 = b н –2 , …, А 0 = b 0 .

По този начин е доказано, че идентичното равенство на два целочислени полинома предполага съвпадение на техните коефициенти при еднакви степени х.

Обратното твърдение е доста очевидно, тоест, ако два полинома имат еднакви всички коефициенти, тогава те са идентични функции, дефинирани в множеството
, следователно техните стойности съвпадат за всички стойности на аргумента
, което означава тяхното идентично равенство. Свойство 1 е напълно доказано.

Пример (идентично равенство на полиноми)

.

 Нека напишем формулата за деление с остатък: П н (х) = (х – х 0)∙Q н – 1 (х) + А,

Където Q н – 1 (х) - полином от степен ( н – 1), А- остатъкът, който е число, дължащо се на добре известния алгоритъм за разделяне на полином на бином "в колона".

Това равенство е вярно за  х, включително когато х = х 0 ; вярвайки
, получаваме

П н (х 0) = (х 0 – х 0)Q н – 1 (х 0) + А  А = П н (х 0) 

Следствие от доказаното свойство е твърдение за разделянето без остатък на полином на бином, известно като теорема на Безу.

 Доказателството на теоремата на Безу може да се извърши без да се използва доказаното по-рано свойство за деление на целочислен полином
по бином
. Наистина, нека напишем формулата за деление на многочлена
по бином
с остатък A=0:

Сега нека вземем това предвид е нулата на полинома
, и напишете последното равенство за
:

Примери (факторизиране на полином с помощта на т.нар. Безут)

1) защото П 3 (1)0;

2) защото П 4 (–2)0;

3) защото П 2 (–1/2)0.

Доказателството на тази теорема е извън обхвата на нашия курс. Следователно приемаме теоремата без доказателство.

Нека поработим върху тази теорема и теоремата на Безу с полинома П н (х):

след н- многократно прилагане на тези теореми получаваме това

Където а 0 е коефициентът при х нв полиномиална нотация П н (х).

Ако в равенството (6) кчисла от комплекта х 1 ,х 2 , …х нсъвпадат помежду си и с числото , тогава в произведението вдясно получаваме фактора ( х–) к. След това числото х= се нарича k-кратен корен на полинома П н (х ) , или корен на кратност k . Ако к= 1, след това числото
Наречен прост корен на полином П н (х ) .

Примери (полиномна линейна факторизация)

1) П 4 (х) = (х – 2)(х – 4) 3  х 1 = 2 - прост корен, х 2 = 4 - троен корен;

2) П 4 (х) = (х – аз) 4  х = аз- корен от кратност 4.

По дефиниция полиномът е алгебричен израз, представляващ сумата от мономи.

Например: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 са полиноми, а изразът z/(x - x*y^2 + 4) не е полином, защото не е сбор от мономи. Полиномът също понякога се нарича полином, а мономите, които са част от полином, са членове на полином или мономи.

Комплексно понятие за полином

Ако полиномът се състои от два члена, тогава той се нарича бином; ако се състои от три, той се нарича трином. Наименованията четиричленен, петчленен и други не се използват, а в такива случаи се казва просто полином. Такива имена, в зависимост от броя на термините, поставят всичко на мястото си.

И терминът моном става интуитивен. От математическа гледна точка, мономът е специален случай на полином. Мономът е полином, който се състои от един член.

Точно като монома, полиномът има своя стандартна форма. Стандартната форма на полином е такава нотация на полином, в която всички мономи, включени в него като членове, са записани в стандартна форма и са дадени подобни членове.

Стандартна форма на полином

Процедурата за редуциране на полином до стандартна форма е да се редуцира всеки от мономите до стандартна форма и след това да се съберат всички подобни мономи заедно. Добавянето на подобни членове на полином се нарича редукция на подобни.
Например, нека представим подобни членове в полинома 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Термините 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3 тук са подобни. Сборът от тези членове ще бъде мономът 10*a*b^2*c^3. Следователно оригиналният полином 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b може да бъде пренаписан като 10*a*b^2*c^3 - a* б . Този запис ще бъде стандартната форма на полином.

От факта, че всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма, следва също, че всеки полином може да бъде приведен до стандартна форма.

Когато полиномът се редуцира до стандартна форма, можем да говорим за такова понятие като степен на полином. Степента на полином е най-високата степен на моном, включена в даден полином.
Така например 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 е полином от пета степен, тъй като максималната степен на монома, включен в полинома (5*x^3*y^ 2) е пети.

Например изрази:

а - b + ° С, х 2 - г 2 , 5х - 3г - z- полиноми.

Мономите, които съставляват полинома, се наричат членове на полинома. Помислете за полинома:

7а + 2b - 3° С - 11

изрази: 7 а, 2b, -3° Си -11 са членовете на полинома. Забележете члена -11. Не съдържа променлива. Такива членове, състоящи се само от числа, се наричат Безплатно.

Общоприето е, че всеки моном е частен случай на полином, състоящ се от един член. В този случай моном е името на полином с един член. За полиноми, състоящи се от два и три члена, има и специални имена - съответно бином и трином:

7а- мономиални

7а + 2b- бином

7а + 2b - 3° С- тричлен

Подобни членове

Подобни членове- мономи, включени в полином, които се различават един от друг само по коефициент, знак или изобщо не се различават (противоположните мономи също могат да се нарекат подобни). Например в полином:

членове 3 а 2 b, 2а 2 bи 2 а 2 b, както и членове 5 абв 2 и -7 абв 2 са подобни условия.

Привличане на подобни членове

Ако полиномът съдържа подобни членове, тогава той може да бъде намален до по-проста форма чрез комбиниране на подобни членове в едно. Това действие се нарича привеждане на подобни членове. Първо, нека поставим всички тези термини отделно в скоби:

(3а 2 b + 2а 2 b - 2а 2 b) + (5абв 2 - 7абв 2)

За да комбинирате няколко подобни мономи в едно, трябва да добавите техните коефициенти и да оставите буквените множители непроменени:

((3 + 2 - 2)а 2 b) + ((5 - 7)абв 2) = (3а 2 b) + (-2абв 2) = 3а 2 b - 2абв 2

Редуцирането на подобни членове е операцията за заместване на алгебричната сума на няколко подобни мономи с един моном.

Полином със стандартна форма

Полином със стандартна формае полином, всички членове на който са мономи със стандартна форма, сред които няма подобни членове.

За да приведете полином в стандартна форма, достатъчно е да намалите подобни членове. Например, представете израза като полином от стандартната форма:

3xy + х 3 - 2xy - г + 2х 3

Първо, нека намерим подобни термини:

Ако всички членове на полином от стандартен тип съдържат една и съща променлива, тогава неговите членове обикновено са подредени от най-висока до най-малка степен. Свободният член на полинома, ако има такъв, се поставя на последно място - вдясно.

Например полином

3х + х 3 - 2х 2 - 7

трябва да се напише така:

х 3 - 2х 2 + 3х - 7

Странно е, че се прави равенство между многочлен и многочлен. Макар че доколкото си спомням това са различни неща. Полином е това, за което пишат тук. Полиномът е отношението на 2 полинома. Потърсих английския превод на думата polynomial в речника и видях, че е преведена като polynomial, от което бях доста изненадан... Оказва се, че те дори не виждат разликата. Относно първия пример... Всичко това е добре, но има ли начин за директно преобразуване, без да въвеждате неизвестни коефициенти? Този метод е твърде претенциозен... За полиномите може да се говори много. Това далеч надхвърля обхвата на средното училище. Проучванията все още продължават! Тези. Темата за полиномите не е завършена. Мога да отговоря на въпроса за корените в радикалите. Като цяло е доказано, че полиноми от степен над 4 нямат решения в радикали. И изобщо не могат да бъдат решени аналитично. Въпреки че някои видове са доста разрешими. Но не всички... Уравнението от 3-та степен има решение на Cardano. Уравнение от 4-та степен има 2 вида формули. Те са доста сложни и като цяло не е ясно предварително дали има валидни решения; Полином с нечетна степен винаги има поне 1 реален корен. На теория формулите за решаване на уравнения дори от 3-та или 4-та степен не са особено разпространени поради тяхната сложност. И възниква въпросът кои корени да вземем предвид. В крайна сметка уравнение от n-та степен има точно n корена, като се вземе предвид тяхната кратност. Например, можете да решите уравнение числено, като използвате метода на Нютон. Там всичко е просто. Пише се итерационна формула и няма проблеми. Линейна апроксимация. Правата се пресича с оста OX само в 1-ва точка. Може да не се пресичат, тогава коренът е сложен. Но и 1-во. Е, ясно е, че ако полином с реални коефициенти има комплексен корен, тогава той също има комплексно спрегнат. Въпреки това, вече при квадратичното приближение (този метод се нарича метод на парабола и други варианти на този метод на Мюлер, базирани на предходните 2 точки и т.н.) възникват проблеми. Първо, има 2 корена (MB, ако дискриминантът > 0) кой да избера? Въпреки че уравнението е квадратно. Можете да отидете по-далеч, да вземете кубичното приближение (4-тия член в редицата на Тейлър, за q вземаме 3) и дори приближението на 4-та степен, като вземете 5 члена от редицата на Тейлър. Конвергенцията ще бъде супер бърза. Всичко може да се реши аналитично! Но никога не съм виждал такива методи никъде в математическата литература. Като правило те използват метода на Нютон, защото е безпроблемен! И където и да се срещат кубични уравнения или уравнения от четвърта степен на теория, това се случва. Ако искате, опитайте сами! Не мисля, че ще се зарадваш. Въпреки че повтарям, всичко се решава аналитично. Просто формулите ще бъдат много сложни. Но не това е важното. Възникват много други проблеми, които не са свързани със сложността.

- полиноми. В тази статия ще очертаем цялата първоначална и необходима информация за полиномите. Те включват, първо, дефиницията на полином със съпътстващи дефиниции на членовете на полинома, по-специално свободния член и подобни термини. Второ, ще се спрем на полиномите на стандартната форма, ще дадем подходящото определение и ще дадем примери за тях. Накрая ще въведем дефиницията на степента на полинома, ще разберем как да го намерим и ще говорим за коефициентите на членовете на полинома.

Навигация в страницата.

Полином и неговите термини - определения и примери

В 7 клас полиномите се изучават веднага след мономи, това е разбираемо, тъй като дефиниция на полиномсе дава чрез мономи. Нека дадем това определение, за да обясним какво е полином.

Определение.

Полиноме сумата от мономи; Мономът се счита за специален случай на полином.

Писмената дефиниция ви позволява да дадете колкото искате примери за полиноми. Всеки от мономите 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 и т.н. е полином. Също така, по дефиниция, 1+x, a 2 +b 2 и са полиноми.

За удобство при описване на полиноми е въведена дефиниция на термин на полином.

Определение.

Полиномиални терминиса съставните мономи на полином.

Например полиномът 3 x 4 −2 x y+3−y 3 се състои от четири члена: 3 x 4 , −2 x y , 3 и −y 3 . Моном се счита за полином, състоящ се от един член.

Определение.

Полиномите, които се състоят от два и три термина, имат специални имена - биномИ тричленсъответно.

Така че x+y е бином, а 2 x 3 q−q x x x+7 b е тричлен.

В училище най-често трябва да работим с линеен бином a x+b, където a и b са някои числа, а x е променлива, както и c квадратен тричлен a·x 2 +b·x+c, където a, b и c са някои числа, а x е променлива. Ето примери за линейни биноми: x+1, x 7,2−4, а ето и примери за квадратни триноми: x 2 +3 x−5 и .

Полиномите в тяхното обозначение могат да имат подобни членове. Например в полинома 1+5 x−3+y+2 x подобните членове са 1 и −3, както и 5 x и 2 x. Те имат свое специално име - подобни членове на полином.

Определение.

Подобни членове на полиномподобни членове в полином се наричат.

В предишния пример 1 и −3, както и двойката 5 x и 2 x, са подобни членове на полинома. В полиноми, които имат подобни членове, можете да извършите редукция на подобни членове, за да опростите формата им.

Полином със стандартна форма

За полиномите, както и за мономите, има така наречената стандартна форма. Нека изразим съответното определение.

Въз основа на това определение можем да дадем примери за полиноми от стандартната форма. Така че полиномите 3 x 2 −x y+1 и написани в стандартна форма. А изразите 5+3 x 2 −x 2 +2 x z и x+x y 3 x z 2 +3 z не са полиноми от стандартната форма, тъй като първият от тях съдържа подобни членове 3 x 2 и −x 2 , а в вторият – моном x·y 3 ·x·z 2 , чиято форма е различна от стандартната.

Имайте предвид, че ако е необходимо, винаги можете да намалите полинома до стандартна форма.

Друга концепция, свързана с полиномите от стандартната форма, е концепцията за свободен член на полином.

Определение.

Свободен член на полиноме член на полином със стандартна форма без буквена част.

С други думи, ако полином със стандартна форма съдържа число, тогава той се нарича свободен член. Например, 5 е свободният член на полинома x 2 z+5, но полиномът 7 a+4 a b+b 3 няма свободен член.

Степен на полином - как да го намерим?

Друго важно свързано определение е определението за степен на полином. Първо, ние определяме степента на полином от стандартната форма; това определение се основава на степените на мономите, които са в неговия състав.

Определение.

Степен на полином от стандартна формае най-голямата от степените на мономите, включени в неговото обозначение.

Да дадем примери. Степента на полинома 5 x 3 −4 е равна на 3, тъй като включените в него мономи 5 x 3 и −4 имат степени съответно 3 и 0, най-голямото от тези числа е 3, което е степента на полинома по дефиниция. И степента на полинома 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xравно на най-голямото от числата 2+3=5, 4+1=5 и 1, тоест 5.

Сега нека разберем как да намерим степента на полином от всякаква форма.

Определение.

Степента на полином от произволна форманаричаме степента на съответния полином от стандартна форма.

Така че, ако полиномът не е написан в стандартна форма и трябва да намерите степента му, тогава трябва да намалите първоначалния полином до стандартна форма и да намерите степента на получения полином - това ще бъде търсеният. Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете степента на полинома 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Решение.

Първо трябва да представите полинома в стандартна форма:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Полученият полином със стандартна форма включва два монома −2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Нека намерим степените им: 2+2+2=6 и 2+2=4. Очевидно най-голямата от тези степени е 6, което по дефиниция е степента на полином от стандартната форма −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, и следователно степента на първоначалния полином., 3 x и 7 от полинома 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.