Изваждане на естествени числа в колона: примери, решения. Колона изваждане Събиране и изваждане на шестцифрени числа примери

Това е намиране на един от членовете чрез сумата и другия член.

Първоначалната сума се нарича редуцируем, известният термин е самоучастие, и резултатът (т.е. необходимият член) се извиква разлика.

Свойства на изваждане на числа

1. a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b ;

2. (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) ;

3. a - (b - c) = (a - b) + c .

За визуално представяне на аритметичните операции (събиране и изваждане) можете да използвате числова линияе права линия, която се състои от началната точка (тази точка съответства на нула) и два лъча, простиращи се от нея, единият от които съответства на положителни числа, а другият на отрицателни.

Пример за изваждане на числова ос

На тази числова линия можете да видите, че числата вляво от 0 имат отрицателна стойност. Изваждайки едно от отрицателно число (в случая -1) три пъти, получаваме числото -1.

Като извадим от положителното число 4 положителното число 3 (или отрицателното число -1 три пъти), получаваме едно

Пример

4 - 3 = 1 ;	3 - 4 = - 1 ;
-1 -3 = - 4 ;

Изваждане на числа в колона

Първо се изваждат единици, след това десетици, стотици и т.н. Разликата на всяка колона е написана под нея. Ако е необходимо, тя се взема от съседната лява колона (т.е. от най-високата цифра) 1 .

Нека разгледаме някои примери за колонно изваждане по-долу.

Пример за изваждане на двуцифрени числа в колона

Пример за изваждане на трицифрени числа в колона

Принципът на изваждане на трицифрени числа е подобен на метода на изваждане на двуцифрени числа; в този случай числата вече не са десетки, а стотици.

Пример за изваждане на четирицифрени числа в колона

Принципът на изваждане на четирицифрени числа е подобен на метода на изваждане на трицифрени числа, в този случай числата вече не са стотици, а хиляди.

Днес в повечето случаи децата овладяват най-простите математически операции в предучилищна възраст. Родителите се опитват сами да научат децата си на основите на математиката, така че когато постъпят в училище, те вече имат малка, но солидна база от знания. Едно умение, което може лесно да се научи у дома, е броенето.

Подготовка за обучение

Преди да започнат да учат броене, родителите трябва да се уверят, че детето им е готово за часовете. На първо място, един млад математик трябва да брои от 0 до 10 без никакви проблеми и лесно да разграничава всички тези числа в писмен вид. Ако умението все още не е консолидирано или изобщо не е усвоено, определено трябва да започнете да запълвате празнината. Най-ефективните методи са представени в статията "".

Освен това детето вече трябва да разбира принципите на простите математически операции, а именно събиране и изваждане. Трябва да тренирате ежедневно, като усъвършенствате уменията си върху близки предмети - играчки, бонбони, ябълки, пръчки за броене и т.н. Веднага щом детето стане достатъчно уверено, за да събира и изважда едноцифрени числа, можете да преминете към по-сложни задачи.

Броим в колона

Ясно е, че добавянето и изваждането на едноцифрени числа в колона е безсмислено - детето, като правило, извършва тези действия наум. Трудности възникват при работа с двуцифрени числа - за начинаещ математик е трудно да се концентрира и да изчисли всичко без визуално представяне. В този случай на помощ на детето идва доказана от няколко поколения техника - броене в колона.

Разбира се, учителите по математика знаят как да научат детето да брои с колона, но родителите най-често нямат представа откъде да започнат. И трябва да започнем от основата - обяснение на такава математическа концепция като битова дълбочина. Важно е детето да разбере как се съставят двуцифрените (и след това трицифрените) числа и как се записват при броене в колони. Веднага можете да изпълните едно много просто, но ефективно упражнение - писане на едноцифрени и двуцифрени числа в колона. Целта на това упражнение е да научи детето да поставя правилно числа с различна битова дълбочина едно под друго. Детето трябва да разбере, че единиците се пишат под единици, десетки под десетици, стотици под стотици и т.н.

След като усвои това основно умение, детето може да премине към следващия етап - директно броене. Необходимо е да се обясни на детето, че числата трябва да се добавят и изваждат с цифри - единици с единици, десетки с десетки, стотици със стотици. Освен това броенето трябва да се извършва от единици, т.е. отдясно наляво.

Някои трудности възникват при добавяне на числа, чиито цифри дават повече от „10“, например 24 + 18. На детето трябва да се каже, че в този случай сумата от единиците „4“ и „8“ е „12“. ” В този случай под единиците в крайната сума също трябва да напишете само една, т.е. „2“. И десетките - „1“ - трябва да бъдат „оставени в ума“. Когато вече добавяте десетици - "2" и "1" в този пример - трябва да добавите и десетте, които "остават в ума", т.е. "1". В резултат на това събирането на десетки изглежда като 2 + 1 + 1 и дава общо „4“. Крайният сбор е "42". Подобни действия трябва да се извършват при изваждане, когато цифрите на умаляваното са по-малки от цифрите на изважданото. Например 41 - 15. Само в този случай не трябва да добавяте числата, „оставени в ума ви“, а да ги извадите.

И така, самата методика за обучение на дете да брои в колона е съвсем ясна. Но освен това, родителите трябва да се запознаят с общи съвети, които ще помогнат да направят дейностите с бебето си по-ефективни:

Бъдете последователни и търпеливи . Много възрастни смятат, че се определят от възрастта и скоростта на усвояване на нов учебен материал. Не бива обаче да принуждавате децата да учат по ускорена програма. Трябва да „пораснете“ до броенето в колона, като първо изучавате основите, които вече бяха споменати по-горе.

Повторението е майката на ученето. Успехът на класовете зависи от времето, посветено на практиката. При всяка възможност се обръщайте към детето си „за помощ“ - помолете го да преброи числата в колона и не забравяйте да му благодарите, когато получите резултата.

Използвайте допълнителни материали . Детските книги по математика, работни тетрадки, диаграми и снимки ще помогнат на децата да научат материала по-бързо, тъй като по правило възприемат по-добре информацията, представена визуално.

Превърнете обучението си в игра. Този съвет е универсален за всички тренировъчни дейности. Ако имате възможност да включите елемент на игра в учебния процес, детето ще бъде по-внимателно и ангажирано.

Важно е да се разбере, че способността за броене в колона не определя. Ето защо не трябва да предявявате високи изисквания към детето си - то определено ще може да извършва самостоятелно математически операции в колона, когато е готово за това.

Има удобен метод за намиране на разликата на две естествени числа - колонно изваждане, или колонно изваждане. Този метод носи името си от метода за записване на умаляваното и разликата едно под друго. По този начин можете да извършвате както основни, така и междинни изчисления в съответствие с необходимите цифри на числата.

Този метод е удобен за използване, защото е много прост, бърз и визуален. Всички изчисления, които на пръв поглед изглеждат сложни, могат да бъдат сведени до събиране и изваждане на прости числа.

По-долу ще разгледаме как точно да използвате този метод. Разсъжденията ни ще бъдат подкрепени с примери за по-голяма яснота.

Какво трябва да прегледате, преди да научите колонно изваждане?

Методът се основава на някои прости стъпки, които вече обсъдихме по-рано. Необходимо е да прегледате как правилно да изваждате с помощта на таблица за добавяне. Също така е препоръчително да знаете основното свойство за изваждане на равни естествени числа (в буквална форма се записва като a − a = 0). Ще ни трябват следните равенства: a − 0 = a и 0 − 0 = 0, където a е произволно естествено число (ако е необходимо, разгледайте основните свойства за намиране на разликата на цели числа).

Освен това е важно да знаете как да определите ранга на естествените числа.

Основното на първия етап е правилното записване на първоначалните данни. Първо запишете първото число, от което ще извадим. Под него поставяме субтрахенда. Числата трябва да са разположени строго едно под друго, като се вземе предвид ранга: десетки под десетки, стотици под стотици, единици под единици. Записът се чете отдясно наляво. След това поставете минус от лявата страна на колоната и начертайте линия под двете числа. Крайният резултат ще бъде изписан под него.

Пример 1

Нека покажем с пример кой запис за броене е правилен:

Използвайки първото, можем да намерим колко ще бъде 56 − 9, използвайки второто, 3 004 − 1 670, и третото, 203 604 500 − 56 777.

Както можете да видите, с помощта на този метод можете да извършвате изчисления с различна сложност.

След това ще разгледаме процеса на намиране на самата разлика. За да направите това, изваждаме стойностите на цифрите една по една: първо изваждаме единици от единици, след това десетки от десетки, след това стотици от стотици и т.н. Стойностите се записват под линията, разделяща оригиналните данни от резултата. В резултат на това трябва да получим число, което ще бъде правилният отговор на проблема, т.е. разликата между оригиналните числа.

Как точно се извършват изчисленията може да се види на тази диаграма:

Разбрахме общата картина на записване и броене. Има обаче някои точки в метода, които се нуждаят от пояснение. За целта ще дадем конкретни примери и ще ги обясним. Нека започнем с най-простите задачи и постепенно да увеличаваме сложността, докато най-накрая разберем всички нюанси.

Съветваме ви да прочетете внимателно всички примери, защото всеки от тях илюстрира определени неразбираеми точки. Ако стигнете до края и запомните всички обяснения, тогава изчисляването на разликата на естествените числа в бъдеще няма да ви създаде ни най-малко затруднения.

Пример 2

Състояние:Нека намерим разликата 74 805 - 24 003, като използваме изваждане на колона.

Решение:

Нека напишем тези числа едно под друго, като поставим правилно цифрите една под друга и ги подчертаем:

Изваждането започва отдясно наляво, тоест от единици. Броим: 5 - 3 = 2 (ако е необходимо, повторете таблиците за събиране на естествени числа). Записваме резултата под реда, където са посочени единиците:

Извадете десетиците. И двете стойности в нашата колона са нула и изваждането на нула от нула винаги дава нула (както си спомняте, споменахме, че ще имаме нужда от това свойство за изваждане по-късно). Пишем резултата на правилното място:

Следващата стъпка е да се намери стойността на разликата в хиляди: 4 − 4 = 0. Записваме получената нула на правилното й място и завършваме с:

Получихме 50 802, което ще бъде правилният отговор за горния пример. Това завършва изчисленията.

Отговор: 50 802 .

Да вземем друг пример:

Пример 3

Състояние: Нека изчислим колко ще бъдат 5777 - 5751, като използваме метода на разликата в колоните.

Решение:

Вече посочихме стъпките, които трябва да предприемем по-горе. Изпълняваме ги последователно за нови числа и завършваме с:

Резултатът започва с две нули. защото те са първи, след това можете спокойно да ги изхвърлите и да получите 26 в отговора. Това число ще бъде правилният отговор в нашия пример.

Отговор: 26 .

Ако погледнете условията на двата примера, дадени по-горе, е лесно да забележите, че досега сме вземали само числа, които са еднакви по брой цифри. Но методът на колоната може да се използва и когато умаляваното включва повече знаци от субтрахенда.

Пример 4

Състояние:нека намерим разликата 502 864 число 2330.

Решение

Да напишем числата едно под друго, като спазваме необходимото съотношение на цифрите. Ще изглежда така:

Сега изчисляваме стойностите една по една:

– единици: 4 − 0 = 4 ;

– десетици: 6 − 3 = 3 ;

– стотици: 8 − 3 = 5 ;

– хиляди: 2 − 2 = 0 .

Нека запишем какво получихме:

Сутрахендът има стойности в десетки и стотици хиляди, но умаляваното не. Какво да правя? Нека си припомним, че празнотата в математическите примери е еквивалентна на нула. Това означава, че трябва да извадим нули от първоначалните стойности. Изваждането на нула от естествено число винаги дава нула, следователно всичко, което ни остава, е да пренапишем първоначалните стойности на цифрите в областта за отговор:

Нашите изчисления са завършени. Получихме резултата: 502 864 - 2 330 = 500 534.

Отговор: 500 534 .

В нашите примери стойностите на цифрите на субтрахенда винаги се оказват по-малки от стойностите на умаляваното, така че това не създава трудности при изчисляването. Какво трябва да направите, ако не можете да извадите стойността на долния ред от стойността на горния ред, без да отидете в минус? След това трябва да „заемем“ стойностите на по-високите битове. Да вземем конкретен пример.

Пример 5

Състояние:намерете разликата 534 - 71.

Пишем колоната, която вече ни е позната, и предприемаме първата стъпка от изчисленията: 4 - 1 = 3. Получаваме:

След това трябва да преминем към броене на десетки. За да направим това, трябва да извадим 7 от 3. Тази операция не може да се извърши с естествени числа, защото има смисъл само с умалено, което е по-голямо от субтрахенда. Следователно в този пример трябва да „заемем“ един от най-високата цифра и по този начин да го „разменим“. Тоест, ние сякаш променяме 100 на 10 десетици и вземаме една от тях. За да не забравяме това, маркираме желаната цифра с точка, а в десетки пишем 10 с различен цвят. В крайна сметка получихме запис, който изглеждаше така:

Записваме получения резултат на правилното място под реда:

Просто трябва да завършим броенето, като пресметнем стотици. Имаме точка над числото 5: това означава, че сме взели десетката от тук за предишната цифра. Тогава 5 − 1 = 4. Няма нужда да изваждате нищо от четиримата, тъй като това, което се изважда на мястото на стотните, няма значение. Пишем 4 на място и получаваме отговора:

Отговор: 463 .

Често трябва да извършите действието „размяна“ няколко пъти в рамките на един пример. Нека да разгледаме този проблем.

Пример 6

Състояние:какво е 1 632 - 947?

Решение

В първия етап на броене трябва да извадите две от седем, така че веднага „заемаме“ десет, за да разменим за 10 единици. Отбелязваме това действие с точка и броим 10 + 2 - 7 = 5. Ето как изглежда нашият запис с маркировки:

След това трябва да преброим десетки. Посочената точка означава, че за изчисления вземаме число в тази цифра, което е с едно по-малко: 3 − 1 = 2. Ще трябва да извадим четири от две, така че „разменяме“ стотици. Получаваме (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8.

Да преминем към броенето на стотици. От шест вече сме взели едно, така че 6 − 1 = 5. Изваждаме девет от пет, за което вземаме хилядата, която имаме, и я „разменяме“ за 10 стотици. Така (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6. Нашият запис за бележки сега изглежда така:

Просто трябва да направим изчисленията на хилядната позиция. Вече сме взели една единица от тук, така че 1 − 1 = 0. Пишем резултата под последния ред и вижте какво се е случило:

Това завършва изчисленията. Водещата нула може да бъде изхвърлена. Това означава 1632 − 947 = 685.

Отговор: 685 .

Да вземем още по-сложен пример.

Как се изважда по колона

Изваждането на многоцифрени числа обикновено се извършва в колона, записвайки числата едно под друго (умалено отгоре, изваждане отдолу), така че цифрите на същите цифри да са разположени една под друга (единици под единици, десетици под десетици, и т.н.). Вляво между числата се поставя знак за действие. Под франшизата е начертана линия. Изчислението започва с цифрата на единиците: единиците се изваждат от единиците, след това десетиците се изваждат от десетиците и т.н. Резултатът от изваждането се записва под реда:

Нека разгледаме пример, когато на някое място цифрата на умаляваното е по-малка от цифрата на субтрахенда:

Не можем да извадим 9 от 2, какво трябва да направим в този случай? Имаме недостиг в категорията единици, но в категорията десетици умаленото има цели 7 десетици, така че можем да прехвърлим една от тези десетици в категорията единици:

В категорията единици имахме 2, преместихме десетката, станаха 12 единици. Сега можем лесно да извадим 9 от 12. Пишем 3 под чертата на мястото на единиците. На мястото на десетиците имахме 7 единици, прехвърлихме една от тях на прости единици, оставяйки 6 десетици. Пишем 6 под линията на мястото на десетките В резултат на това получаваме числото 63:

Изваждането на колона обикновено не се записва толкова подробно, вместо това се поставя точка над цифрата на цифрата, в която ще бъде заета единица, за да не се помни коя цифра ще трябва да се извади допълнително единица:

В същото време те казват следното: не можете да извадите 9 от 2, вземаме едно, от 12 изваждаме 9 - получаваме 3, пишем 3, на мястото на десетките имахме 7 единици, прехвърлихме една, има 6 наляво, пишем 6.

Сега помислете за колонно изваждане от числа, съдържащи нули:

Да започнем да изваждаме. От 7 изваждаме 3, пишем 4. Не можем да извадим 5 от нула, така че сме принудени да вземем единица в най-високия ранг, но в най-високия ранг също имаме 0, така че за тази цифра сме принудени да вземем по-висок ранг. Като вземем едно от мястото на хилядите, получаваме 10 стотици:

Поставяме една от единиците на мястото на стотните в низшия ред, което води до 10 десетици. Извадете 5 от 10, напишете 5:

В мястото на стотните ни остават 9 единици, така че изваждаме 6 от 9 и записваме 3. В мястото на хилядите имахме единица, но я изразходвахме за долните цифри, така че тук остава нула (няма нужда да да го напишеш). В резултат на това получихме числото 354:

Такъв подробен запис на решението беше даден, за да бъде по-лесно да се разбере как се извършва изваждане на колона от числа, съдържащи нули. Както вече споменахме, на практика решението обикновено се записва така:

И всички споменати действия се извършват в ума. За да улесните изваждането, запомнете това просто правило:

При изваждане на колона, ако има точка над нулата, нулата се превръща в 9.