Редове от първа поръчка. Линии от втори ред. Елипса и нейното канонично уравнение. Въртене на кръг и паралелна транслация на елипса

1. Прави от втори ред на евклидовата равнина.

2. Инварианти на линейни уравнения от втори ред.

3. Определяне на вида на правата от втори ред от инвариантите на нейното уравнение.

4. Прави от втори ред на афинната равнина. Теорема за уникалност.

5. Центрове на линии от втори ред.

6. Асимптоти и диаметри на линии от втори ред.

7. Намаляване на уравненията на линиите от втори ред до най-простите.

8. Основни посоки и диаметри на линии от втори ред.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Прави от втори ред в евклидовата равнина.

определение:

Евклидова равнинае пространство с размерност 2,

(двумерно реално пространство).

Линиите от втори ред са пресечните линии на кръгъл конус с равнини, които не минават през неговия връх.

Тези редове често се срещат в различни въпроси на естествените науки. Например, движението на материална точка под въздействието на централното поле на гравитацията се извършва по една от тези линии.

Ако режещата равнина пресича всички праволинейни образуващи на една кухина на конуса, тогава сечението ще произведе линия, наречена елипса(Фиг. 1.1, а). Ако режещата равнина пресича образуващите на двете кухини на конуса, тогава сечението ще произведе линия, наречена хипербола(фиг. 1.1,6). И накрая, ако режещата равнина е успоредна на една от образуващите на конуса (в 1.1, V- това е генераторът AB),тогава секцията ще произведе ред, наречен парабола.Ориз. 1.1 дава визуално представяне на формата на въпросните линии.

Фигура 1.1

Общото уравнение на линия от втори ред е както следва:

(1)

(1*)

Елипса е множеството от точки на равнината, за които сумата от разстоянията до двефиксирани точкиЕ 1 ИЕ 2 тази равнина, наречена фокуси, е постоянна стойност.

В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата. очевидно ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

За да изведем каноничното уравнение на елипсата, избираме началото O на декартовата координатна система в средата на сегмента Е 1 Е 2 , и брадвите оИ OUНека го насочим, както е показано на фиг. 1.2 (ако трикове Е 1 И Е 2 съвпадат, тогава O съвпада с Е 1 И Е 2, а за ос оможете да вземете всяка ос, минаваща през ОТНОСНО).

Нека дължината на сегмента Е 1 Е 2 Е 1 И Е 2 съответно имат координати (-с, 0) и (с, 0). Нека означим с 2аконстантата, посочена в дефиницията на елипса. Очевидно е, че 2a > 2c, т.е. a > c (Ако М- точка на елипсата (виж фиг. 1.2), тогава | М.Ф. ] |+ | М.Ф. 2 | = 2 а, и тъй като сумата от двете страни М.Ф. 1 И М.Ф. 2 триъгълник М.Ф. 1 Е 2 повече трета страна Е 1 Е 2 = 2c, тогава 2a > 2c. Естествено е да изключим случая 2a = 2c, тъй като тогава точката Мразположен на сегмента Е 1 Е 2 и елипсата се изражда в отсечка. ).

Позволявам М (x, y)(фиг. 1.2). Нека означим с r 1 и r 2 разстоянията от точката Мдо точки Е 1 И Е 2 съответно. Според определението за елипса равенство

r 1 + r 2 = 2а(1.1)

е необходимо и достатъчно условие за местоположението на точка M (x, y) върху дадена елипса.

Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме

(1.2)

От (1.1) и (1.2) следва, че съотношение

(1.3)

представлява необходимо и достатъчно условие за местоположението на точка M с координати x и y върху дадена елипса.Следователно връзката (1.3) може да се разглежда като уравнение на елипса.Използвайки стандартния метод за „унищожаване на радикалите“, това уравнение се свежда до формата

(1.4) (1.5)

Тъй като уравнение (1.4) е алгебрично следствиеуравнение на елипса (1.3), след това координатите x и yвсяка точка Мелипса също ще отговаря на уравнение (1.4). Тъй като по време на алгебричните трансформации, свързани с премахването на радикалите, могат да се появят „допълнителни корени“, трябва да се уверим, че всяка точка М,чиито координати отговарят на уравнение (1.4), се намира на тази елипса. За да направите това, очевидно е достатъчно да докажете, че стойностите на r 1 и r 2 за всяка точка отговаря на съотношението (1.1). Така че нека координатите хИ приточки Мудовлетворяват уравнение (1.4). Заместване на стойността на 2от (1.4) към дясната страна на израз (1.2) за r 1, след прости трансформации откриваме, че По същия начин намираме, че (1.6)

т.е. r 1 + r 2 = 2а,и следователно точка M се намира на елипса. Уравнение (1.4) се нарича канонично уравнение на елипса.Количества АИ bсе наричат съответно голяма и малка полуос на елипсата(наименованията „голям” и „малък” се обясняват с факта, че а>б).

Коментирайте. Ако полуосите на елипсата АИ bса равни, тогава елипсата е окръжност, чийто радиус е равен на Р = а = b, а центърът съвпада с началото.

Хипербола е набор от точки на равнината, за които абсолютната стойност на разликата в разстоянията до две фиксирани точки еЕ 1 ИЕ 2 на тази равнина, наречена фокуси, има постоянна стойност (Трикове Е 1 И Е 2 естествено е хиперболите да се разглеждат като различни, защото ако константата, посочена в дефиницията на хипербола, не е равна на нула, тогава няма нито една точка от равнината, ако те съвпадат Е 1 И Е 2 , което би удовлетворило изискванията за определението на хипербола. Ако тази константа е нула и Е 1 съвпада с Е 2 , тогава всяка точка от равнината отговаря на изискванията за дефиницията на хипербола. ).

За да изведем каноничното уравнение на хипербола, избираме началото на координатите в средата на сегмента Е 1 Е 2 , и брадвите оИ OUНека го насочим, както е показано на фиг. 1.2. Нека дължината на сегмента Е 1 Е 2 равно на 2s. След това в избраната координатна система точките Е 1 И Е 2 съответно имат координати (-с, 0) и (с, 0) Нека означим с 2 Аконстантата, посочена в дефиницията на хипербола. Очевидно 2а< 2с, т. е. а< с.

Позволявам М- точка на равнината с координати (x, y)(фиг. 1,2). Нека означим с r 1 и r 2 разстоянията М.Ф. 1 И М.Ф. 2 . Според определението за хипербола равенство

(1.7)

е необходимо и достатъчно условие за разположението на точка М върху дадена хипербола.

Използвайки изрази (1.2) за r 1 и r 2 и връзка (1.7), получаваме следното необходимо и достатъчно условие за местоположението на точка M с координати x и y върху дадена хипербола:

. (1.8)

Използвайки стандартния метод за „унищожаване на радикалите“, ние редуцираме уравнение (1.8) до формата

(1.9) (1.10)

Трябва да се уверим, че уравнението (1.9), получено чрез алгебрични трансформации на уравнение (1.8), не е придобило нови корени. За да направите това, достатъчно е да докажете това за всяка точка М,координати хИ прикоито отговарят на уравнение (1.9), стойностите на r 1 и r 2 отговарят на връзката (1.7). Извършвайки аргументи, подобни на тези, които бяха направени при извличането на формули (1.6), намираме следните изрази за количествата, които ни интересуват r 1 и r 2:

(1.11)

Така за въпросната точка Мние имаме

, и затова се намира върху хипербола.

Уравнение (1.9) се нарича каноничното уравнение на хипербола.Количества АИ bсе наричат съответно реални и въображаеми полуосите на хиперболата.

Парабола е множеството от точки на равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка еЕтази равнина е равна на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина.

Препис

1 Глава ЛИНИИ ОТ ВТОРИ РЕД НА РАВНИНА.1. Елипса, хипербола, парабола Определение. Елипса е набор от всички точки на равнината, за които сумата от разстоянията до две дадени точки F 1 и F е постоянна стойност a, която надвишава разстоянието между F 1 и. M(, x) F 1 О F x Фиг. Точките F 1 и F се наричат фокуси на елипсата, а разстоянието FF 1 между тях е фокусното разстояние, което се означава с c. Нека точка M принадлежи на елипсата. Отсечките F1 M и F M се наричат фокални радиуси на точката M. Нека F1F = c. По дефиниция a > c. Нека разгледаме правоъгълна декартова координатна система Ox, в която фокусите F 1 и F са разположени на абсцисната ос симетрично спрямо началото. В тази координатна система елипсата се описва от каноничното уравнение: x + = 1, a b 1

2. където b= a c Параметрите a и b се наричат съответно голяма и малка полуос на елипсата. Ексцентрицитетът на елипса е числото ε, равно на отношението на половината от нейното фокусно разстояние към голямата полуос, т.е. ε =. Ексцентрицитетът на елипсата a удовлетворява неравенствата 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Каноничното уравнение на хипербола има формата x a = b 1,. където b= c a Числата a и b се наричат съответно реална и имагинерна полуос на хиперболата. В областта, определена от неравенството на точките, няма хипербола. x a b Определение. Асимптотите на хипербола са правите линии b b, дадени от уравненията = x, = x. a a Фокалните радиуси на точката M(x,) от хиперболата могат да бъдат намерени с помощта на формулите r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Ексцентрицитетът на хипербола, както и на елипса, се определя по формулата ε =. Лесно се проверява, че неравенството ε a >1 е вярно за ексцентрицитета на хиперболата. Определение. Парабола е набор от всички точки на равнината, за които разстоянието до дадена точка F е равно на разстоянието до дадена права d, която не минава през точка F. Точка F се нарича фокус на параболата, а правата d е директрисата. Разстоянието от фокуса до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p. d M (x,) F x Фиг. 4 3

4 Нека изберем началото O на декартовата координатна система в средата на отсечката FD, която е перпендикуляр, спуснат от точка F към права линия d. В тази координатна система фокусът F има координати F p p ;0, а директрисата d е дадена от уравнението x + = 0. Каноничното уравнение на парабола е: = px. Параболата е симетрична спрямо оста OF, наречена ос на параболата. Точката O на пресечната точка на тази ос с параболата се нарича връх на параболата. Фокусният радиус на точката M(x,) т.е. неговото p разстояние до фокуса се намира по формулата r = x+. 10B.. Общо уравнение на линия от втори ред Линия от втори ред е набор от точки в равнината, чиито координати са x и които отговарят на уравнението a x + a x+ a + a x+ a + a =0, 11 1 където a11, a1, a, a10, a0, a00 някои реални числа и a, a, a не са равни на нула едновременно. Това уравнение се нарича общо уравнение на кривата от втори ред и може също да бъде записано във векторна форма rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, където 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0), x = (x;). T Тъй като A = A, тогава A е матрица с квадратична форма r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Елипса, хипербола и парабола са примери за криви от втори ред в равнината. В допълнение към горните криви, има други видове криви от втори ред, които са свързани с x прави линии. Така, например, уравнение = 0, където a 0, b 0, a b 4

5 определя двойка пресичащи се прави в равнината. Координатни системи, в които уравнението на кривата има най-проста форма, се наричат канонични. Използвайки композиция от трансформации: завъртане на осите под ъгъл α, паралелно преместване на началото на координатите към точката (x0; 0) и отражение спрямо абсцисната ос, уравнението на кривата от втори ред се свежда до едно на каноничните уравнения, основните от които бяха изброени по-горе. 11BПримери 1. Съставете каноничното уравнение на елипса с център в началото и фокуси, разположени по абсцисната ос, ако е известно, че нейният ексцентрицитет ε = и точка N(3;) лежи на 3-та елипса. x a b Уравнение на елипса: + = 1. Имаме, че =. a b a 3 9 От тук изчисляваме, че a = b. Като заместим координатите на точката N(3;) в уравнението, получаваме + = 1 и след това b = 9 и a b 81 a = = 16,. Следователно, каноничното уравнение на елипсата 5 x + = 1. 16, 9. Съставете каноничното уравнение на хипербола с център в началото и фокуси, разположени на абсцисната ос, ако е дадена точка M 1 (5; 3) на хиперболата и ексцентричността ε =. x Каноничното уравнение на хипербола = 1. От равенството a b a + b = имаме b = a 5 9. Следователно = 1 и a =16. Следователно каноничното уравнение на елипсата = a a a x 16 5

6 3. Намерете точки на параболата = 10x, чийто фокусен радиус е 1,5. Обърнете внимание, че параболата се намира в дясната полуравнина. Ако M (x; лежи върху параболата, тогава x 0. Параметър p = 5. Нека (;)) M x е желаната точка, F фокусът, () директрисата на параболата. Тогава F,5; 0, d: x=.5. Тъй като FM = ρ(M, d), тогава x +,5 = 1,5, 10 Отговор: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. И така, имаме две точки. М 10; 10 M, () 4. На десния клон на хиперболата, дадена от уравнението x = 1, намерете точка, чието разстояние от десния фокус е 16 9 два пъти по-малко от разстоянието й от левия фокус. За десния клон на хиперболата фокалните радиуси се определят по формулите r 1 = ε x a и r = ε x + a. Следователно получаваме уравнението ε x + a = (ε x a). За дадена хипербола a = 4, 5 c = = 5 и ε =. Следователно х = 9,6. Следователно имаме =± x 16 =± d Отговор: две точки M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Намерете уравнението на правата за всяка точка, на която отношението на разстоянието към точка F (3;0) спрямо разстоянието до правата линия 1 x 8= 0 е равно на ε =. Посочете името на линията и нейните параметри. Mx; желаната линия, равенството е вярно: За произволна точка () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 От тук имаме [(x 3) + ] = (x 8). Отваряйки скобите и пренареждайки членовете, получаваме (x+) + = 50, т.е. (x+) + = Отговор: търсената права е елипса с център в точка и полуоси a = 5 и b = Намерете уравнението на хиперболата Стари координати O () x ; 0 ; ;, ;. C(;0) = 8 в новата система (x ;) и new (zt ;) са свързани с матричното равенство 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Това означава, че уравнението x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Отговор: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 до канонична 7. Приведете кривата до канонична форма. в нови координати има формата. Разгледайте квадратичната форма () q x, = 4x 4x+. 4 Матрицата на формата q има собствени стойности 5 и 0 и съответните ортонормални вектори и Нека преминем към нова координатна система: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Изразете старите координати (x;) чрез новите (zt); : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t означава, x = z+ t, = z+ t Като заместим посочените изрази в уравнението на кривата γ, получаваме 0= 4x 4x+ 8x = x= z+ 1 t, = 1 z+ t ( ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3. Това означава, че в новите координати кривата γ е дадена от уравнението 1 3 γ: z z =. Задавайки = z, x = t, получаваме γ: =, 1, от което намираме каноничното уравнение на кривата γ: = 0 в канонични координати = 5 x 1 1 x Обърнете внимание, че кривата γ е двойка успоредни прави. 1BПриложения към икономически и финансови проблеми 8. Нека Аня, Борис и Дмитрий имат по 150 рубли, за да купят плодове. Известно е, че 1 кг круши струва 15 парични единици, а 1 кг ябълки струва 10 парични единици. Освен това всеки от трите 8

9 има своя собствена полезна функция, за която иска да осигури максимум при закупуване. Нека са закупени x1 kg круши и x kg ябълки. Тези функции на полезност са както следва: u = x + x за Аня, 1 A 1 x u B = +x за Борис и ud = x1 x за Дмитрий. Изисква се да се намери план за покупка (x1, x) за Аня, Борис и Дмитрий, при който те осигуряват максимума от своята полезност. x Фиг. 5 Разглежданата задача може да бъде решена геометрично. За да се реши този проблем, трябва да се въведе концепцията за линия на ниво. x x 1 Фиг. 6 Линията на ниво на функция z = f(x,) е множеството от всички точки на равнината, на които функцията поддържа постоянна стойност, равна на h. х 9

10 В този случай за решението ще бъдат използвани и първоначални идеи за геометрични области на равнината, определени от линейни неравенства (вижте подраздел 1.4). x x 1 Фиг. 7 Линиите на нивото на функциите ua, u B и u D са прави линии, елипси и хиперболи съответно за Аня, Борис и Дмитрий. Според смисъла на задачата приемаме, че x1 0, x 0. От друга страна, бюджетното ограничение се записва като неравенството 15x1+ 10x 150. Разделяйки последното неравенство на 10, получаваме 3x1+ x 30, или + 1 Лесно се вижда, че x1 x е областта на решенията на това неравенство заедно с условията за неотрицателност е триъгълник, ограничен от линиите x1 = 0, x = 0 и 3x1+ x =

11 X * X * Фиг. 8 Фиг. 9 Въз основа на геометричните чертежи вече е лесно да се установи, че uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 и udmax = ud(Q). Координатите на точката Q на допиране на хиперболата на нивото на страната на бюджетния триъгълник трябва да се изчислят аналитично. За да направите това, имайте предвид, че точка Q удовлетворява три уравнения: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Фиг.

12 Елиминирайки h от уравненията, получаваме координатите на точката Q= (x, x) = (5;7,5). 1 Отговор: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Нелинеен модел на разходите и печалбите на фирмата. Нека една фирма произвежда многофункционално оборудване от два типа A и B съответно в количество x и единици продукция. В този случай приходите на компанията за годината се изразяват чрез функцията на приходите Rx (,) = 4x+, а производствените разходи се изразяват чрез функцията на разходите 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, при която компанията получава максимум печалба.. Определете производствения план (x, ) на 3

13 Функцията на печалбата е съставена като разликата между функцията на дохода и функцията на разходите: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 След като направихме трансформации, редуцираме последния израз до формата 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Линиите на ниво за функцията печалба изглеждат като (x 8) (1) = h. 4 Всяка линия на ниво 0 h 9 е елипса с център в началото. От получения израз лесно се вижда, че максимумът на функцията печалба е 9 и се постига при x = 8, = 1. Отговор: x = 8, = 1. 13BУпражнения и тестови въпроси.1. Напишете нормалното уравнение на окръжност. Намерете координатите на центъра и радиуса на окръжността: а) x + + 8x 6=0; б) x x = 0... Напишете уравнение за окръжност, минаваща през точките M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3;0)..3. Дефинирайте елипса и напишете нейното канонично уравнение. Напишете каноничното уравнение на елипса, ако 1 нейният ексцентрицитет е равен на ε =, а голямата полуос е равна на Напишете уравнение на елипса, чиито фокуси лежат на ординатната ос симетрично спрямо началото, знаейки освен това, че разстоянието между неговите фокуси е c = 4 и ексцентрицитетът е ε = Дайте определяне на ексцентрицитета на елипса. Намерете ексцентрицитета на елипсата, ако нейната голяма полуос е четири пъти по малката й ос. 33

14.6. Дефинирайте хипербола и напишете нейното канонично уравнение. Начертава се права линия през точката M (0; 0,5) и десния връх на хиперболата, дадена от уравнението = 1. Намерете координатите на втората пресечна точка на правата и хиперболата.Определете ексцентрицитета на хиперболата. Напишете нейното канонично уравнение, ако a = 1, b = 5. Какъв е ексцентрицитетът на тази хипербола?.8. Напишете уравнения за асимптотите на хиперболата, дадена от вашето канонично уравнение. Напишете уравнение за хипербола 3, ако нейните асимптоти са дадени от уравненията =± x и хипербола 5 минава през точка M (10; 3 3)..9. Дефинирайте парабола и напишете нейното канонично уравнение. Напишете каноничното уравнение на парабола, ако оста x е нейната ос на симетрия, нейният връх лежи в началото и дължината на хордата на параболата, перпендикулярна на оста Ox, е 8, а разстоянието на тази хорда от върха е Върху параболата = 1x намерете точка, чийто фокусен радиус е Предложението и търсенето на някакъв продукт са дадени от функциите p = 4q 1, p = +. Намерете точката на пазарно равновесие. 1 q Построяване на графики..1. Андрей, Катя и Николай ще купят портокали и банани. Купете x1 kg портокали и x kg банани. Всеки от тримата има своя функция на полезност, която показва колко полезна смята покупката си. Тези функции на полезност са: u = x + x за Андрей, 1 4 A 4 1 u K = x + x за Катя и un = x1 x за Николай. а) Конструирайте линиите на ниво на функцията за полезност за стойности на ниво h = 1, 3. б) За всяко подредете по ред на предпочитание за покупки r = (4,1), s = (3,8), t = (1,1). 34

Модул за аналитична геометрия. Аналитична геометрия в равнината и пространството Лекция 7 Резюме Прави от втори ред в равнината: елипса, хипербола, парабола. Определение, обща характеристика.

ЛЕКЦИЯ N15. Криви от втори ред. 1.Окръжност... 1.Елипса... 1 3.Хипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окръжност Крива от втори ред е линия, определена от уравнение от втора степен по отношение на

8 Криви от втори ред 81 Окръжност Набор от точки в равнина, еднакво отдалечени от една точка, наречена център, на разстояние, наречено радиус, се нарича окръжност Нека центърът на окръжността е

Лекция 13 Тема: Криви от втори ред Криви от втори ред на равнината: елипса, хипербола, парабола. Извеждане на уравнения за криви от втори ред въз основа на техните геометрични свойства. Изследване на формата на елипса,

ЛЕКЦИЯ Прави от втори ред хипербола Като пример ще намерим уравнения, дефиниращи окръжност, парабола, елипса и окръжност.Окръжността е набор от точки в равнина, еднакво отдалечени от дадена.

Криви от втори ред Окръжност Елипса Хипербола Парабола Нека на равнината е определена правоъгълна декартова координатна система. Кривата от втори ред е набор от точки, чиито координати удовлетворяват

Права линия и равнина в пространството Линейна алгебра (лекция 11) 24.11.2012 г. 2 / 37 Права линия и равнина в пространството Разстояние между две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2)

Министерството на образованието и науката на Руската федерация Ярославски държавен университет на името на. П. Г. Демидова Катедра по алгебра и математическа логика Криви от втори ред Част I Методически указания

3. Хипербола и нейните свойства Определение 3.. Хиперболата е крива, дефинирана в някаква правоъгълна декартова координатна система чрез уравнение 0. (3.) и Равенство (3.) се нарича канонично уравнение

Практически урок 1 Тема: Хипербола План 1 Определение и канонично уравнение на хипербола Геометрични свойства на хипербола Относително положение на хипербола и права, минаваща през нейния център Асимптоти

Лекционен запис 13 ЕЛИПСА, ХИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План на лекцията Лекция Елипса, Хипербола и Парабола. 1. Елипса. 1.1. Дефиниция на елипса; 1.2. Дефиниране на каноничната координатна система; 1.3. Извеждане на уравнението

МОДУЛ ЕЛИПИ ХИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практически урок Тема: Елипса План Определение и канонично уравнение на елипса Геометрични свойства на елипса Ексцентричност Зависимост на формата на елипса от ексцентрицитета

ВТОРА ЗАДАЧА 1. Права в равнина. 1. Две прави са дадени чрез векторни уравнения (, rn) = D и r= r + a, и (an,) 0. Намерете радиус вектора на пресечната точка на правите. 0 т. Дадена е точка M 0 с радиус вектор

Криви от втори ред. Определение: Крива линия) от втори ред е набор (M) от точки на равнината, чиито декартови координати X, Y) удовлетворяват алгебричното уравнение от втора степен:

АЛГЕБРИЧНИ ПРАВИ НА РАВНИНАТА.. ПРАВИ ОТ ПЪРВИ РЕД (ПРАВИ НА РАВНИНАТА... ОСНОВНИ ВИДОВЕ УРАВНЕНИЯ НА ПРАВИТЕ НА РАВНИНАТА. Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена права, се нарича нормален

Елипса и нейните свойства Определение.. Елипса е крива от втори ред, дефинирана в някаква правоъгълна декартова координатна система от уравнението b, b 0. (.) Равенството (.) се нарича канонично

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Лекция 9 ЕЛИПСА, ХИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноничното уравнение на елипса Дефиниция 1. Елипса е геометричното място на точки M в равнина, сборът от разстоянията от всяка

ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ КЛАСИФИКАЦИЯ НА РАВНИНА В ТРИИЗМЕРНО ПРОСТРАНСТВО Напишете векторно уравнение на равнина и обяснете значението на количествата, включени в това уравнение Напишете общо уравнение на равнина

Урок 12 Елипса, хипербола и парабола. Канонични уравнения. Елипса е геометричното място на точки M в равнина, за която сумата от разстоянията от две фиксирани точки F 1 и F 2, т.нар.

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Лекция Уравнения на криви от втори ред Определение на окръжност Окръжността е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от една точка, наречена център на окръжността, на разстояние r

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В тази лекция се изучава третата крива на парабола от втори ред.

Лекция 9.30 Глава Аналитична геометрия в равнина Координатни системи в равнина Правоъгълни и полярни координатни системи Координатната система в равнина е метод, който ви позволява да определите

Министерството на образованието и науката на Руската федерация Ярославски държавен университет на името на. П. Г. Демидова Катедра по алгебра и математическа логика С. И. Яблокова Част от криви от втори ред Семинар

Тема ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ В РАВНОСТТА И В ПРОСТРАНСТВОТО Лекция.. Прави в равнината План. Метод на координатите в равнина.. Права в декартови координати.. Условие на успоредност и перпендикулярност

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред Лектор Рожкова С.В. 01 15. Криви от втори ред Кривите от втори ред се разделят на 1) изродени и) неизродени изродени

Лекция 11 1. КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Нека разгледаме сечението на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на образуващата на този конус. За различни стойности на ъгъла α при върха в аксиалния

Лекция 9 1. КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Нека разгледаме сечението на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на образуващата на този конус. За различни стойности на ъгъла α при върха в аксиалния

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В тази лекция се изучава друга крива на хипербола от втори ред.

Практическо занятие 14 Тема: План на парабола 1. Определение и канонично уравнение на парабола Геометрични свойства на парабола. Относителното положение на парабола и права, минаваща през нейния център. Основен

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ криви от втори ред ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович [имейл защитен]Санкт Петербургски държавен университет Факултет по приложна математика на процесите

Матрици 1 Дадени матрици и Намерете: а) A + B; б) 2В; в) В Т; г) AB T ; e) In T A Solution a) По дефиницията на сумата от матрици b) По дефиницията на произведението на матрица и число c) По дефиницията на транспонирана матрица

ВАРИАНТ 1 1 Намерете наклона k на правата, минаваща през точките M 1 (18) и M (1); напишете уравнението на права линия в параметрична форма Съставете уравнения на страни и медиани на триъгълник с върхове A()

Тест. Дадени са матрици A, B и D. Намерете AB 9D, ако: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Умножете матриците A 3 и B 3. Резултатът ще да бъде C с размер 3 3, състоящ се от елементи

Глава 9 Криви на равнина. Криви от втори ред 9. Основни понятия Казват, че крива Г в правоъгълна координатна система Oxy има уравнението F (,) = 0, ако точката M(x, y) принадлежи на кривата в това

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред Лектор Пахомова Е.Г. 01 15. Криви от втори ред Кривите от втори ред се разделят на 1) изродени и) неизродени изродени

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В трите предишни лекции бяха изучавани прави и равнини, т.е.

Глава 1 Криви и повърхнини от втори ред Във всички раздели с изключение на 1.9 координатната система е правоъгълна. 1.1. Съставяне на уравнения за криви от втори ред и други криви 1. p) Докажете, че множеството

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране A.N. Касиков,

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение на права в равнина Уравнение от формата F(x, y) 0 се нарича уравнение на права, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в дадена равнина

Балаковски инженерно-технологичен институт - филиал на федералната държавна автономна образователна институция за висше образование "Национален изследователски ядрен университет "МИФИ"

Прави от втори ред Ю. Л. Калиновски Катедра на Висшия математически университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии от втори ред: геометрично място на точки, чиито декартови координати удовлетворяват уравнението

44. Определение за хипербола. Хипербола е набор от всички точки на равнината, чиито координати в подходяща координатна система отговарят на уравнението 2 2 y2 = 1, (1) b2 където b > 0. Това уравнение

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред (продължение) Лектор Е. Г. Пахомова 01 4. Обща дефиниция на елипса, хипербола и парабола ДЕФИНИЦИЯ. Правите линии a m се наричат директни

1 Лекция 1.4. Криви и повърхнини от втори ред Анотация: От дефинициите се извеждат каноничните уравнения на кривите: елипса, хипербола и парабола. Дадени са параметрични уравнения на елипсата и хиперболата.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Сибирски държавен индустриален университет"

Практическа работа Съставяне на уравнения на линии и криви от втори ред Цел на работата: да се консолидира способността да се съставят уравнения на линии и криви от втори ред Съдържание на работата. Основни понятия. B C 0 вектор

Задачи за наваксване на пропуснати часове Съдържание Тема: Матрици, действия върху тях. Изчисляване на детерминанти.... 2 Тема: Обратна матрица. Решаване на системи от уравнения с помощта на обратна матрица. Формули

Аналитична геометрия 5.. Права линия в равнина Различни начини за определяне на права линия в равнина. Общо уравнение на права в равнина. Местоположението на линията спрямо координатната система. Геометрично значение

ВАРИАНТ 11 1 Точка M() е основата на перпендикуляра, пуснат от точка N(1-1) към права l. Напишете уравнението на права l; намерете разстоянието от точка N до правата l Съставете уравнения на преминаващи прави

49. Цилиндрични и конични повърхнини 1. Цилиндрични повърхнини Определение. Нека в пространството са дадени права l и ненулев вектор a. Повърхност, образувана от прави линии, минаващи през всички възможни

Аналитична геометрия Аналитична геометрия на равнината. Аналитичната геометрия е решаването на геометрични задачи с помощта на алгебра, за което се използва координатният метод. Под координатната система на равнината

Вариант 1 Задача 1. Дайте геометрична дефиниция на елипса. Задача 2. Докажете с помощта на топки от глухарче, че една елипса възниква като конично сечение. Задача 3. Докажете, че множеството от точки P, от които

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА РАВНИНА Казан 008 0 Казански държавен университет Катедра по обща математика Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА РАВНОСТТА

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Казански държавен университет по архитектура и строителство Факултет по висша математика Елементи на векторната и линейната алгебра. Аналитична геометрия.

Аналитична геометрия на равнината Уравнението на права е най-важната концепция на аналитичната геометрия. y M(x, y) 0 x Определение. Уравнението на линия (крива) в равнината Oxy е уравнението, за което

Примери за основни задачи в метода на Гаус на LA Определени системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на Гаус 6

ВАРИАНТ 16 1 През точките M 1 (3 4) и M (6) е начертана права линия Намерете пресечните точки на тази права с координатните оси Съставете уравненията на страните на триъгълник, за които точките A (1 ) B (3 1) C (0 4) са

Тест 3 ВАРИАНТ 1 Напишете уравнение на права линия, която е перпендикулярна и минава през пресечната точка на правите и .. Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките и и намерете разстоянието от точката

ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ В РАВНОСТТА. Права 1. Да се изчисли обиколката на триъгълник, чийто върхове са точките A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Намерете точка, равноотдалечена от точките A(7;

Аналитична геометрия Модул 1 Матрична алгебра Векторна алгебра Текст 5 (самостоятелно обучение) Резюме Декартова правоъгълна координатна система в равнината и в пространството Формули за разстояние

Министерство на образованието на Руската федерация Ростовски държавен университет Факултет по механика и математика Катедра по геометрия Казак В.В. Практикум по аналитична геометрия за студенти първи курс

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ ОБЩО УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНА. OPR Равнината е повърхност, която има свойството, че ако две точки от една права принадлежат на равнината, тогава всички точки от правата принадлежат на тази равнина.

ЛЕКЦИЯ 5 ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ. 1 1. Уравнение на повърхнина и уравнение на линия в пространството. Геометричен смисъл на уравненията В аналитичната геометрия всяка повърхност се разглежда като набор

Глава 1 ПРАВИ И РАВНИНИ n R. 1.1. Пространства на точки Преди това разгледахме аритметичното пространство на низове. В математиката краен подреден набор от координати може да се интерпретира не само

Тестова работа по аналитична геометрия. Семестър 2. Вариант 1 1. Намерете уравненията на допирателните към окръжността (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, успоредна на правата 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишете уравнението на допирателна

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна автономна образователна институция за висше професионално образование "Казан (Поволжски) федерален университет"

Диференциали от висок клас. Билет за изпит. Матрици, основни понятия и определения.. Напишете уравнението на окръжност, ако точките A(;) и B(-;6) са краищата на един от диаметрите.. Дадени са върховете

Повърхнини от втори ред. Повърхност в триизмерно пространство се описва с уравнение от вида F(x; y; z) = 0 или z = f(x; y). Пресечната точка на две повърхности определя линия в пространството, т.е. линия в пространството

11.1. Основни понятия

Нека разгледаме линии, определени от уравнения от втора степен спрямо текущите координати

Коефициентите на уравнението са реални числа, но поне едно от числата A, B или C е различно от нула. Такива линии се наричат линии (криви) от втори ред. По-долу ще бъде установено, че уравнение (11.1) определя окръжност, елипса, хипербола или парабола в равнината. Преди да преминем към това твърдение, нека проучим свойствата на изброените криви.

11.2. кръг

Най-простата крива от втори ред е кръг. Припомнете си, че окръжност с радиус R с център в точка е множеството от всички точки M на равнината, които отговарят на условието . Нека точка в правоъгълна координатна система има координати x 0, y 0 и - произволна точка от окръжността (виж фиг. 48).

Тогава от условието получаваме уравнението

(11.2)

Уравнение (11.2) е изпълнено от координатите на всяка точка от дадена окръжност и не е удовлетворено от координатите на която и да е точка, която не лежи върху окръжността.

Уравнение (11.2) се нарича канонично уравнение на окръжност

По-специално, настройка и , получаваме уравнението на окръжност с център в началото .

Уравнението на кръга (11.2) след прости трансформации ще приеме формата . Когато сравняваме това уравнение с общото уравнение (11.1) на крива от втори ред, лесно се забелязва, че са изпълнени две условия за уравнението на окръжност:

1) коефициентите за x 2 и y 2 са равни един на друг;

2) няма член, съдържащ произведението xy на текущите координати.

Нека разгледаме обратната задача. Поставяйки стойностите и в уравнение (11.1), получаваме

Нека трансформираме това уравнение:

(11.4)

От това следва, че уравнение (11.3) определя окръжност при условието . Центърът му е в точката , и радиуса

Ако , то уравнението (11.3) има формата

Тя се удовлетворява от координатите на една точка . В този случай те казват: „окръжността се е изродила в точка“ (има нулев радиус).

Ако , тогава уравнение (11.4), и следователно еквивалентното уравнение (11.3), няма да дефинират никаква линия, тъй като дясната страна на уравнение (11.4) е отрицателна, а лявата не е отрицателна (да кажем: „въображаем кръг“).

11.3. Елипса

Канонично уравнение на елипса

Елипса е множеството от всички точки на една равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Нека означим фокусите с F 1И Е 2, разстоянието между тях е 2 ° С, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите - през 2 а(виж Фиг. 49). По дефиниция 2 а > 2° С, т.е. а > ° С.

За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатна система, така че фокусите F 1И Е 2лежеше на оста, а началото съвпадаше със средата на сегмента F 1 F 2. Тогава фокусите ще имат следните координати: и .

Нека е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това по същество е уравнението на елипса.

Нека трансформираме уравнение (11.5) в по-проста форма, както следва:

защото а>с, Че . Да сложим

(11.6)

Тогава последното уравнение ще приеме формата или

(11.7)

Може да се докаже, че уравнение (11.7) е еквивалентно на първоначалното уравнение. Нарича се канонично уравнение на елипса .

Елипса е крива от втори ред.

Изследване на формата на елипса с помощта на нейното уравнение

Нека установим формата на елипсата, използвайки нейното канонично уравнение.

1. Уравнение (11.7) съдържа x и y само в четни степени, така че ако точка принадлежи на елипса, тогава точките ,, също ѝ принадлежат. От това следва, че елипсата е симетрична по отношение на осите и , както и по отношение на точката, която се нарича център на елипсата.

2. Намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Поставяйки , намираме две точки и , в които оста пресича елипсата (виж фиг. 50). Поставяйки в уравнение (11.7) , намираме точките на пресичане на елипсата с оста: и . Точки А 1 , А 2 , Б 1, Б 2са наречени върховете на елипсата. Сегменти А 1 А 2И B 1 B 2, както и техните дължини 2 аи 2 bсе наричат съответно големи и второстепенни осиелипса. Числа аИ bсе наричат съответно големи и малки полуоскиелипса.

3. От уравнение (11.7) следва, че всеки член от лявата страна не надвишава единица, т.е. неравенствата и или и се извършват. Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от правите линии.

4. В уравнение (11.7) сумата от неотрицателните членове и е равна на единица. Следователно, когато един член се увеличава, другият ще намалява, т.е. ако се увеличава, той намалява и обратно.

От горното следва, че елипсата има формата, показана на фиг. 50 (овална затворена крива).

Повече информация за елипсата

Формата на елипсата зависи от съотношението. Когато елипсата се превърне в кръг, уравнението на елипсата (11.7) приема формата . Съотношението често се използва за характеризиране на формата на елипса. Съотношението на половината от разстоянието между фокусите към голямата полуос на елипсата се нарича ексцентричност на елипсата и o6o се обозначава с буквата ε („епсилон“):

с 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Това показва, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на елипсата, толкова по-малко сплескана ще бъде елипсата; ако зададем ε = 0, тогава елипсата се превръща в кръг.

Нека M(x;y) е произволна точка от елипсата с фокуси F 1 и F 2 (виж фиг. 51). Дължините на сегментите F 1 M = r 1 и F 2 M = r 2 се наричат фокални радиуси на точката M. очевидно,

Формулите важат

Директните линии се наричат

Теорема 11.1.Ако е разстоянието от произволна точка на елипсата до някакъв фокус, d е разстоянието от същата точка до директрисата, съответстваща на този фокус, тогава отношението е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета на елипсата:

От равенството (11.6) следва, че . Ако, тогава уравнение (11.7) дефинира елипса, чиято голяма ос лежи на оста Oy, а малката ос на оста Ox (виж Фиг. 52). Фокусите на такава елипса са в точки и , където .

11.4. Хипербола

Уравнение на канонична хипербола

Хипербола е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията от всяка от тях до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

Нека означим фокусите с F 1И Е 2разстоянието между тях е 2s, и модулът на разликата в разстоянията от всяка точка на хиперболата до фокусите през 2а. А-приори 2а < 2s, т.е. а < ° С.

За да изведем уравнението на хиперболата, ние избираме координатна система, така че фокусите F 1И Е 2лежеше на оста, а началото съвпадаше със средата на сегмента F 1 F 2(виж Фиг. 53). Тогава фокусите ще имат координати и

Нека е произволна точка от хиперболата. След това, според дефиницията на хипербола или , т.е. след опростяване, както беше направено при извеждането на уравнението на елипсата, получаваме канонично уравнение на хипербола

(11.9)

(11.10)

Хиперболата е линия от втори ред.

Изучаване на формата на хипербола с помощта на нейното уравнение

Нека установим формата на хиперболата, използвайки нейното каконично уравнение.

1. Уравнение (11.9) съдържа x и y само в четни степени. Следователно хиперболата е симетрична спрямо осите и , както и спрямо точката, която се нарича центъра на хиперболата.

2. Намерете точките на пресичане на хиперболата с координатните оси. Поставяйки в уравнение (11.9), намираме две точки на пресичане на хиперболата с оста: и. Поставяйки (11.9), получаваме , което не може да бъде. Следователно хиперболата не пресича оста Oy.

Точките се наричат върхове хиперболи и отсечката

реална ос , отсечка - реална полуос хипербола.

Отсечката, свързваща точките, се нарича въображаема ос , номер b - въображаема полуос . Правоъгълник със страни 2аИ 2бНаречен основен правоъгълник на хипербола .

3. От уравнение (11.9) следва, че умаляваното не е по-малко от едно, т.е., че или . Това означава, че точките на хиперболата са разположени отдясно на правата (дясното разклонение на хиперболата) и отляво на правата (лявото разклонение на хиперболата).

4. От уравнение (11.9) на хиперболата става ясно, че когато се увеличава, тя се увеличава. Това следва от факта, че разликата поддържа постоянна стойност, равна на единица.

От горното следва, че хиперболата има формата, показана на фигура 54 (крива, състояща се от два неограничени клона).

Асимптоти на хипербола

Правата L се нарича асимптота неограничена крива K, ако разстоянието d от точка M на крива K до тази права линия клони към нула, когато разстоянието на точка M по крива K от началото е неограничено. Фигура 55 предоставя илюстрация на концепцията за асимптота: права линия L е асимптота за крива K.

Нека покажем, че хиперболата има две асимптоти:

(11.11)

Тъй като правите линии (11.11) и хиперболата (11.9) са симетрични по отношение на координатните оси, достатъчно е да се вземат предвид само онези точки от посочените линии, които се намират в първата четвърт.

Нека вземем точка N на права линия, която има същата абциса x като точката на хиперболата (виж Фиг. 56) и намерете разликата ΜΝ между ординатите на правата линия и клона на хиперболата:

Както можете да видите, с нарастване на x, знаменателят на дробта се увеличава; числителят е постоянна стойност. Следователно дължината на сегмента ΜΝ клони към нула. Тъй като MΝ е по-голямо от разстоянието d от точката M до правата, тогава d клони към нула. И така, линиите са асимптоти на хиперболата (11.9).

Когато конструирате хипербола (11.9), препоръчително е първо да конструирате основния правоъгълник на хиперболата (вижте фиг. 57), да начертаете прави линии, минаващи през противоположните върхове на този правоъгълник - асимптотите на хиперболата и да маркирате върховете и , на хиперболата.

Уравнение на равностранна хипербола.

чиито асимптоти са координатните оси

Хипербола (11.9) се нарича равностранна, ако нейните полуоси са равни на (). Неговото канонично уравнение

(11.12)

Асимптотите на равностранна хипербола имат уравнения и следователно са ъглополовящи на координатни ъгли.

Нека разгледаме уравнението на тази хипербола в нова координатна система (виж фиг. 58), получена от старата чрез завъртане на координатните оси под ъгъл. Използваме формулите за въртящи се координатни оси:

Заместваме стойностите на x и y в уравнение (11.12):

Уравнението на равностранна хипербола, за която осите Ox и Oy са асимптоти, ще има формата .

Повече информация за хиперболата

Ексцентричност хипербола (11.9) е съотношението на разстоянието между фокусите към стойността на реалната ос на хиперболата, обозначена с ε:

Тъй като за хипербола , ексцентрицитетът на хиперболата е по-голям от едно: . Ексцентричността характеризира формата на хипербола. Наистина, от равенството (11.10) следва, че т.е. И .

От това се вижда, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на хиперболата, толкова по-малко е съотношението на нейните полуоси и следователно толкова по-удължен е основният й правоъгълник.

Ексцентрицитетът на равностранна хипербола е . Наистина ли,

Фокални радиуси И за точки от десния клон хиперболите имат формата и , а за левия клон - И .

Правите линии се наричат директриси на хипербола. Тъй като за хипербола ε > 1, тогава . Това означава, че дясната директриса е разположена между центъра и десния връх на хиперболата, лявата - между центъра и левия връх.

Директрисите на хипербола имат същото свойство като директрисите на елипса.

Кривата, определена от уравнението, също е хипербола, чиято реална ос 2b е разположена на оста Oy, а въображаемата ос 2 а- по оста Ох. На фигура 59 е показано като пунктирана линия.

Очевидно е, че хиперболите имат общи асимптоти. Такива хиперболи се наричат спрегнати.

11.5. Парабола

Уравнение на канонична парабола

Парабола е набор от всички точки на равнината, всяка от които е еднакво отдалечена от дадена точка, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса. Разстоянието от фокуса F до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p (p> 0).

За да изведем уравнението на параболата, избираме координатната система Oxy така, че оста Ox да минава през фокуса F перпендикулярно на директрисата в посока от директрисата към F, а началото на координатите O да се намира в средата между фокуса и директрисата (виж фиг. 60). В избраната система фокусът F има координати , а уравнението на директрисата има вида , или .

1. В уравнение (11.13) променливата y се появява в четна степен, което означава, че параболата е симетрична спрямо оста Ox; Оста Ox е оста на симетрия на параболата.

2. Тъй като ρ > 0, от (11.13) следва, че . Следователно параболата е разположена вдясно от оста Oy.

3. Когато имаме y = 0. Следователно параболата минава през началото.

4. Тъй като x нараства неограничено, модулът y също нараства неограничено. Параболата има формата (формата), показана на фигура 61. Точка O(0; 0) се нарича връх на параболата, сегментът FM = r се нарича фокален радиус на точка M.

Уравнения , , ( p>0) също дефинират параболи, те са показани на фигура 62

Лесно е да се покаже, че графиката на квадратен трином, където , B и C са реални числа, е парабола в смисъла на дефиницията й, дадена по-горе.

11.6. Общо уравнение на линии от втори ред

Уравнения на криви от втори ред с оси на симетрия, успоредни на координатните оси

Нека първо намерим уравнението на елипса с център в точката, чиито оси на симетрия са успоредни на координатните оси Ox и Oy, а полуосите са съответно равни аИ b. Нека поставим в центъра на елипсата O 1 началото на нова координатна система, чиито оси и полуоси аИ b(виж Фиг. 64):

И накрая, параболите, показани на фигура 65, имат съответните уравнения.

Уравнението

Уравненията на елипса, хипербола, парабола и уравнението на окръжност след трансформации (отворени скоби, преместване на всички членове на уравнението на една страна, въвеждане на подобни членове, въвеждане на нови обозначения за коефициенти) могат да бъдат записани с помощта на едно уравнение на форма

където коефициентите A и C не са равни на нула едновременно.

Възниква въпросът: дали всяко уравнение от вида (11.14) определя една от кривите (окръжност, елипса, хипербола, парабола) от втори ред? Отговорът се дава от следната теорема.

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) винаги дефинира: или кръг (за A = C), или елипса (за A C > 0), или хипербола (за A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общо уравнение от втори ред

Нека сега разгледаме общо уравнение от втора степен с две неизвестни:

Различава се от уравнение (11.14) по наличието на член с произведението на координатите (B¹ 0). Възможно е чрез завъртане на координатните оси под ъгъл a да се трансформира това уравнение така, че членът с произведението на координатите да отсъства.

Използване на формули за въртене на осите

Нека изразим старите координати чрез новите:

Нека изберем ъгъл a така, че коефициентът за x" · y" да стане нула, т.е. така че равенството

Така, когато осите се завъртят на ъгъл a, който удовлетворява условието (11.17), уравнение (11.15) се редуцира до уравнение (11.14).

Заключение: общото уравнение от втори ред (11.15) определя на равнината (с изключение на случаите на израждане и разпад) следните криви: кръг, елипса, хипербола, парабола.

Забележка: Ако A = C, тогава уравнение (11.17) става безсмислено. В този случай cos2α = 0 (виж (11.16)), тогава 2α = 90°, т.е. α = 45°. Така че, когато A = C, координатната система трябва да се завърти на 45 °.

Обиколка е съвкупността от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка, т.нар центъра на кръга.Разстоянието от центъра на окръжността до всяка точка на окръжността се нарича . радиус на окръжността.

- канонично уравнение на окръжност (16) - център на окръжност.

Ако центърът на окръжността лежи в началото, тогава уравнението на окръжността е (16 .)

Елипсае множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията от две дадени точки на тази равнина (наречени триковена тази елипса) е постоянна стойност.

В (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (a;0) X

Нека за краткост означим a 2 -b 2 =c 2 (*), тогава уравнението на елипсата е: (17)

Ако поставите y=0, получавате , а ако поставите x=0, получавате ; това означава, че и са дължините на полуосите на елипсата – голям() И малък(). Освен това всеки от членовете от лявата страна не може да бъде по-голям от едно, следователно , , и следователно цялата елипса се намира вътре в правоъгълника. Точките A, B, C, D, в които елипсата пресича своите оси на симетрия, се наричат върховете на елипсата.

Поведение се нарича ексцентричност на елипсата.

Хипербола е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията от две дадени точки на тази равнина (наречена триковена тази хипербола) е постоянна стойност. Средната точка на разстоянието между фокусите се нарича центъра на хиперболата.

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x

Нека обозначим a 2 -c 2 = -b 2 (**), уравнението на хиперболата: (18)

От това уравнение става ясно, че хиперболата има две оси на симетрия (главни оси), както и център на симетрия (център на хиперболата).

Поведение се нарича ексцентричност на хиперболата.

Ако поставите y=0, получавате , а ако поставите x=0, получавате .

Това означава, че оста Ox пресича хиперболата в две точки (върхове на хиперболата), това е - реална ос; Оста Oy не пресича хиперболата - това е " въображаема ос. „Всеки сегмент, свързващ две точки на хипербола, ако минава през центъра, се нарича диаметър на хиперболата.

Нарича се права линия, към която крива линия се доближава толкова близо, колкото желаете, но никога не я пресича асимптота на кривата.Хиперболата има две асимптоти. Техните уравнения са: (19)

Парабола е колекцията от всички точки на равнината, разстоянието от всяка от които до дадена точка (нар фокус)равно на разстоянието до дадена права линия (нар директорка).

- параболичен параметър.

Параболата има една ос на симетрия. Пресечната точка на парабола с оста на симетрия се нарича върха на параболата.

Каноничното уравнение на парабола с връх в началото, чиято ос на симетрия е оста Ox и клони, насочени надясно, има формата (20)

Уравнението на нейната директорка:

Каноничното уравнение на парабола с връх в началото, чиято ос на симетрия е оста Ox и клонове, насочени наляво, има формата (20 ,)

Уравнението на нейната директорка:

Каноничното уравнение на парабола с връх в началото, чиято ос на симетрия е оста Oy и клони, насочени нагоре, има формата (20 ,)

Уравнението на нейната директорка:

Каноничното уравнение на парабола с връх в началото, чиято ос на симетрия е оста Oy и клонове, насочени надолу, има формата (20 ,)

Уравнението на нейната директорка:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y y

p/2

–p/2
Тема 2.1. Лекция 7. Урок 10

Тема: Функции на една независима променлива, техните графики.

Понятие за функция

Едно от основните математически понятия е понятието функция. Понятието функция се свързва с установяване на зависимост (връзка) между елементите на две множества.

Нека са дадени две непразни множества X и Y. Съответствието ƒ, което отговаря на всеки елемент xО X един и само един елемент уО Y, се нарича функция и се записва y=ƒ(x), xО X или ƒ : X→Y. Те също така казват, че функцията ƒ преобразува множеството X в множеството Y.

Например съответствията ƒ и g, показани на фигура 98 a и b, са функции, но тези на фигура 98 c и d не са. В случай в - не всеки елемент xÎX съответства на елемент yÎY. В случай d условието за уникалност не е изпълнено.

Множеството X се нарича област на дефиниране на функцията ƒ и се означава D(f). Множеството от всички уОY се нарича множество от стойности на функцията ƒ и се обозначава с E(ƒ).

Числени функции. Функционална графика. Методи за специфициране на функции

Нека е дадена функция ƒ : X→Y.

Ако елементите на множествата X и Y са реални числа (т.е. XÌ R и YÌ R), тогава функцията ƒ се нарича числова функция. В бъдеще ще изучаваме (като правило) числови функции; за краткост ще ги наричаме просто функции и ще пишем y = ƒ (x).

Променливата x се нарича аргумент или независима променлива, а y се нарича функция или зависима променлива (на x). По отношение на самите величини x и y се казва, че те са функционално зависими. Понякога функционалната зависимост на y от x се записва във формата y = y (x), без да се въвежда нова буква (ƒ) за обозначаване на зависимостта.

Частна стойностфункции ƒ(x) за x=a се записват по следния начин: ƒ(a). Например, ако ƒ(x)=2x 2 -3, тогава ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Функционална графика y=(x) е множеството от всички точки на равнината Oxy, за всяка от които x е стойността на аргумента, а y е съответната стойност на функцията.

Например, графиката на функцията y=√(1-2) е горният полукръг с радиус R=1 с център в O(0;0) (виж Фиг. 99).

За да зададете функцията y=ƒ(x), е необходимо да посочите правило, което позволява, знаейки x, да намерите съответната стойност на y.

Най-често срещаните три начина за определяне на функция са: аналитичен, табличен и графичен.

Аналитичен метод: Функцията се определя като една или повече формули или уравнения.

Ако областта на дефиниране на функцията y = ƒ(x) не е посочена, тогава се приема, че тя съвпада с набора от всички стойности на аргумента, за които съответната формула има смисъл. По този начин областта на дефиниране на функцията y = √(1-x2) е отсечката [-1; 1].

Аналитичният метод за определяне на функция е най-напредналият, тъй като включва методи за математически анализ, които позволяват пълното изучаване на функцията y=ƒ(x).

Графичен метод: посочва се графиката на функцията.

Често графиките се чертаят автоматично от записващи инструменти или се показват на екран. Стойностите на функцията y, съответстващи на определени стойности на аргумента x, се намират директно от тази графика.

Предимството на графичната задача е нейната нагледност, недостатъкът е нейната неточност.

Табличен метод: функцията се определя от таблица от поредица от стойности на аргументи и съответните стойности на функцията. Например добре познати таблици със стойности на тригонометрични функции, логаритмични таблици.

На практика често е необходимо да се използват таблици с функционални стойности, получени експериментално или в резултат на наблюдения.

В декартови координати уравнение от първа степен определя определена права линия.

Линиите, които се определят от уравнение от първа степен в декартови координати, се наричат линии от първи ред. Следователно всяка права линия е линия от първи ред.

Общо уравнение на права(като общо уравнение от първа степен) се определя от уравнение от вида:

о + Ву + СЪС = 0.

Нека разгледаме непълни уравнения на права линия.

1. СЪС= 0. Уравнението на правата има формата: Ах + Ву = 0; правата минава през началото.

2. IN = 0 (А№ 0). Уравнението е о + СЪС= 0 или х =А, Където А= Правата минава през точката А(А; 0), тя е успоредна на оста OU. Номер А о(Фиг. 1).

Ориз. 1

Ако А= 0, тогава правата линия съвпада с оста OU. Уравнението на ординатната ос Oy има формата: х = 0.

3. А = 0 (IN№ 0). Уравнението изглежда така: Ву + СЪС= 0 или при = b, Където b= . Права линия минава през точка IN(0; b), тя е успоредна на оста о. Номер bе стойността на сегмента, който правата линия отрязва по оста OU(фиг. 2).

Ориз. 2

Ако b = 0, тогава правата линия съвпада с оста x Ox. Уравнението на оста x Ox има формата: y = 0.

Уравнение на права в отсечки върху осисе определя от уравнението:

Къде са числата АИ bса стойностите на сегментите, отрязани от права линия на координатните оси (фиг. 3).

(х 0 ;при 0)перпендикулярно на нормалния вектор = {А; б), се определя по формулата:

А(х – х 0) + IN(при – при 0) = 0.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка M(х 0 ; при 0) успореден на вектора на посоката = {л; м), има формата:

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки M 1 (х 1 ; при 1) и М 2 (х 2 ; при 2), се определя от уравнението:

Наклонът на правата kсе нарича тангенс на ъгъла на наклона на правата спрямо оста о, което се измерва от положителната посока на оста към правата линия обратно на часовниковата стрелка, к= tgα.

Уравнение на права линия с наклон kима формата:

y = khx + b,

Където к= tgα, b– размерът на сегмента, отрязан с права линия по оста OU(фиг. 4).

Уравнение на права, минаваща през дадена точка M(х 0 ;при 0)в тази посока(наклон кизвестен), определен по формулата:

y - y 0 = к(х –х 0).

Уравнение на молив от прави, минаващи през дадена точка M(х 0 ;при 0) (наклон кнеизвестен), определен по формулата:

y - y 0 = к(х –х 0).

Уравнение на молив от прави, минаващи през пресечната точка на прави

А 1 х + IN 1 при + СЪС 1 = 0 и А 2 х + IN 2 при + СЪС 2 = 0, определена по формулата:

α( А 1 х + IN 1 при + СЪС 1) + β( А 2 х + IN 2 при + СЪС 2) = 0.

Ъгъл j, броено обратно на часовниковата стрелка от правата линия y = k 1 х + b 1 към права линия y = k 2 х + b 2, се определя по формулата (фиг. 5):

За линии, дадени от общи уравнения А 1 х + IN 1 при + СЪС 1 = 0 и А 2 х + IN 2 при + СЪС 2 = 0, ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Условието за успоредност на две прави има вида: к 1 = к 2 или .

Условието две прави да са перпендикулярни има формата: или А 1 А 2 + IN 1 IN 2 = 0.

Нормалното уравнение на права има формата:

х cosα + г sinα – стр = 0,

Където п –дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, α е ъгълът на наклон на перпендикуляра към положителната посока на оста о(фиг. 6).

Да се даде общото уравнение на права линия о + Ву + СЪС= 0 в нормална форма, трябва да умножите всичките му членове по нормализиращ фактор μ= , взети със знак, противоположен на знака на свободния член СЪС.

Разстояние от точка М(х 0 ;при 0)направо Ах + Ву + СЪС= 0 се определя по формулата:

Уравнения на ъглополовящи на ъгли между прави A 1 х + IN 1 при + СЪС 1 = 0 и А 2 х + IN 2 при + СЪС 2 = 0 изглежда така:

Пример 4. Дадени са върховете на триъгълник ABC: А (–5; –7), IN (7; 2), СЪС(–6; 8). Намерете: 1) дължина на страната AB; 2) уравнения на страните ABИ ACи техните ъглови коефициенти; 3) вътрешен ъгъл IN; 4) уравнение на медианата AE; 5) уравнение и височина дължина CD; 6) уравнение на ъглополовяща АК; 7) уравнение на права, минаваща през точка дуспоредно на страната AB; 8) координати на точката М, разположен симетрично на точката Аотносително прав CD.

1. Разстояние дмежду две точки А(х 1 ; при 1) и IN(х 2 ; при 2) се определя по формулата:

Намерете дължината на страната ABкато разстоянието между две точки А(–7; –8) и IN(8; –3):

2. Уравнение на права, минаваща през точки А(х 1 ; при 1) и IN(х 2 ;г 2), има формата:

Заместване на координатите на точките АИ IN, получаваме уравнението на страната AB:

3(х+ 5) = 4(при+ 7); 3х– 4при– 13 = 0 (AB).

За да намерите наклона k ABнаправо ( AB) нека решим полученото уравнение по отношение на при:

4г= 3х– 13;

– уравнение на правата ( AB) с наклон,

По същия начин, замествайки координатите на точките INИ СЪС, получаваме уравнението на правата линия ( слънце):

6х– 42 = –13при+ 26; 6x+ 13г– 68 = 0 (пр.н.е.).

Нека решим уравнението на правата ( слънце) относително при: .

3. Тангенс на ъгъл j между две прави, чиито ъглови коефициенти са равни к 1 и к 2, се определя по формулата:

Вътрешен ъгъл INобразувани от прави линии ( AB) И ( слънце), а това е остър ъгъл, през който трябва да се завърти правата слънцев положителна посока (обратно на часовниковата стрелка), докато съвпадне с правата линия ( AB). Затова нека заместим във формулата к 1 = , к 2 = :

Ð IN= arctg = arctg 1,575 » 57,59°.

4. За да намерите средното уравнение ( AE), първо определяме координатите на точката Д,което е средата на страната слънцеЗа да направите това, прилагаме формулите за разделяне на сегмент на две равни части:

Следователно точката дима координати: д(0,5; 5).

Заместване на координатите на точките в уравнението на права линия, минаваща през две точки АИ д, намираме средното уравнение ( AE):

24х – 11при + 43 = 0 (AE).

5. Тъй като височината CDперпендикулярно на страната AB, след това правата линия ( AB)перпендикулярна на правата линия ( CD). За да намерите наклона на височината CD,Нека използваме условието за перпендикулярност на две прави линии:

Уравнение на права, минаваща през дадена точка М(х 0 ; при 0) в дадена посока (наклон кизвестен), има формата:

y – y 0 = к (х – х 0).

Заместване на координатите на точката в последното уравнение СЪС(–6; 8) и , получаваме уравнението на височината CD:

при – 8 = (Х -(–6)), 3при – 24 = – 4х– 24, 4х + 3при = 0 (CD).

Разстояние от точката М(х 0 ; при 0) към права линия Аx + By+C = 0 се определя по формулата:

Височина дължина CDнамерете го като разстоянието от точката СЪС(–6; 8) към права линия ( AB): 3х – 4при– 13. Замествайки необходимите количества във формулата, намираме дължината CD:

6. Уравнения на ъглополовящи на ъгли между прави Axe + By + C= 0 и
А 1 x+B 1 г + ° С 1 = 0 се определят по формулата:

Симетрално уравнение АКнамираме едно от уравненията за ъглополовящите на ъглите между прави линии ( AB)И ( AC).

Нека създадем уравнение на правата линия ( AC) като уравнение на права, минаваща през две точки А(–5; –7) и СЪС (–6; 8):

Нека трансформираме последното уравнение:

15(х+ 5) = – (при+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).

Заместване на коефициенти от общите уравнения на линиите ( AB)И ( AC), получаваме уравненията на ъглополовящите:

Нека трансформираме последното уравнение:

; (3х – 4при– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 Х - 4 при– 13 = ± (75 х +5при + 410).

Нека разгледаме два случая:

1) 3 Х - 4 при – 13 = 75х +5при+ 410.у l АВ .

Триъгълник ABC,височина CD, Медиана AE, ъглополовяща АК, направо ли точка Мпостроена в координатна система охоо(фиг. 7).