Будем говорить, что натуральное число а больше , чем натуральное число b (и обозначать а > b ), если существует такое натуральное k, что а = b + k.

Теорема 1 . Единица не больше никакого натурального числа.

Действительно, условие 1 > a влечёт за собой 1 = а + k, что невозможно: для k = 1 получим 1 = а / , что противоречит первой аксиоме натуральных чисел; для k ¹ 1 найдём для него предшествующий и вновь придем к тому же противоречию.

Данное отношение «больше» является антирефлексивным (не верно, что а > a) и транзитивным (а > b /\ b > c => a > c), то есть является отношением строгого порядка . Более того, данное отношение является отношением линейного порядка, то есть для множества натуральных чисел справедлива теорема о трихотомии:

Теорема о трихотомии: Для любых двух натуральных чисел справедливо одно и только одно из следующих трёх утверждений:

Доказательство : Вначале покажем, что никакие два из трёх условий не выполняются одновременно. Допустим, что выполнены условия 1 и 2. Тогда

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

что противоречит антирефлексивности отношения «больше». Аналогично устанавливается несовместность условий 2 и 3, условий 1 и 3.

Теперь докажем, что одно из трёх условий обязательно имеет место для любых чисел а и b. Используем математическую индукцию по b. При b = 1, в зависимости от а: либо а = 1 = b, либо для а имеется предшествующий, тогда

а = с / = с + 1 = 1 + с = b + c => a > b.

Таким образом, для b = 1 утверждение теоремы справедливо. Сделаем индукционное предположение о том, что теорема справедлива для некоторого х, а именно, что х сравним с числом а, то есть возможны три варианта: либо a > x, либо x > a, либо х = а. Тогда докажем, что и х / также сравним с а. В первом случае a > x, то есть а = х + k. В зависимости от того, будет данное k равно 1 или нет, получим

а) а = х + 1 = х / (теорема справедлива)

б) а = х + с / = х + с + 1 = х + 1 + с = х / + с => a > x / .

Во втором случае x > a, но тогда

х / = (а + m) +1 = a + (m + 1),

то есть x / > a. Аналогично при х = а, х / = х + 1 = а + 1, то есть снова x / > a. Теорема полностью доказана.

Теперь можно ввести понятия <, £, ³.

a < b ó b > a;

a £ b ó a < b \/ a = b

a ³ b ó a > b \/ a = b.

Свойства монотонности:

Для операции сложения:

1) а > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => а > b;

3) а > b /\ c > d=> a + c > b + d.

<, £, ³.

Для операции умножения:

4) а > b => a×c > b×c;

5) Закон сокращения: ас = bc => a = b

6) ac > bc => а > b;

7) а > b /\ c > d=> ac > bd.

Те же свойства имеют место и для других знаков <, £, ³.

Приведём в качестве примера доказательства свойств 4 и 5. Так как а > b, по определению а = b + k, тогда а×с = (b + k)×c = b×c + k×c, что означает, что a×c > b×c, и свойство 4 доказано. Свойство 5 докажем методом от противного. Пусть ас = bc, но предположим, что а ≠ b, но тогда, по теореме о трихотомии, либо а > b, либо b > a, но это означает, согласно свойству 4, что либо ас > bс, либо bс > aс, что противоречит условию (ас = bc).

Теорема о дискретности. Между двумя соседними натуральными числами нельзя вставить натуральное число:

(" а, х Î N) не верно, что а < x < a /

Доказательство (методом от противного). Пусть а < x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

Последнее равенство невозможно, так как противоречит теореме о том, что единица не больше никакого натурального числа.

Терема Архимеда. Для любых натуральных чисел а и b существует такое натуральное n, что a < bn.

Доказательство проведём индукцией по b. Для b = 1, n = a / . Сделаем индукционное предположение, что для b = k требуемое n существует, то есть a < kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

Наименьшим элементом множества М будем называть такой элемент с Î М, что для любых элементов m Î M выполнено неравенство: с ≤ m.

Теорема о наименьшем элементе . Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство : Если М – подмножество N, содержащее в себе 1, то 1 как раз и будет искомым наименьшим элементом. Если же 1 не входит в множество М, то рассмотрим вспомогательное множество А, состоящее из всех натуральных чисел меньших, чем все натуральные числа из множества М:

А = {a Î N | (" m Î M) a < m}.

Из этого построения, в частности следует, что множества А и М не имеют общих элементов. Кроме того, А – не пусто, так как 1 Î А. В А есть также элемент b, что b / Ï А. Действительно, если бы такого элемента не было, то по аксиоме индукции можно было бы доказать, что А = N , но тогда М было бы пусто, что не соответствует условию теоремы. Элемент b / = с как раз и будет наименьшим элементом во множестве М. Действительно, с £ m для любого m ÎМ (если бы это было не так, то неравенство с > m выполнялось бы хотя бы при одном натуральном m, но b Î A, поэтому b < m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

Заметим, что не всякое подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент, но если это подмножество конечно, то в нём имеется и наибольший элемент. Верно и обратное. Если подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент, то это подмножество конечно. Можно доказать даже более общее утверждение: непустое подмножество множества натуральных чисел ограничено сверху тогда и только тогда, когда оно конечно (имеет наибольший элемент).

Задания для самостоятельного решения

№ 1.8. Докажите антирефлексивность и транзитивность отношения «больше» на множестве натуральных чисел.

№ 1.9. Докажите свойства монотонности 1, 2, 3, 6, 7 из данного параграфа.

№ 1.10. Докажите неравенства для всех натуральных n

а) 5 n > 7n – 3;

б) 2 n +2 > 2n + 5;

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиома­тической теории требуют, чтобы это отношение было не только опре­делено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вы­текает, что если

а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сло­жения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисиммет­ричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.

Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натураль­ное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Теорема 16.

а = b => а + с = b + с и а с = b с;

а < b => а + с < b + с и ас < bс;

а > b => а + с > b + с и ас > bс.

Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b.
Тогда b + с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с + к) = (а + с) + к. Равенство b + с = (а + с) + к означает, что а + с < b + с.

Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.

3) Доказывается аналогично.

Теорема 17 (обратная теореме 16).

1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь

2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:

3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.

Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует та­кое натуральное число n, что п b> а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравен­ства п > а и b > 1, получаем пb > а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не­
равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержа­щееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества нату­ральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел млад­шие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется оп­ределение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:

а) а < b Þ ас < bс;

б) а + с < b + сÞ > а < Ь.

4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27- 8 ... 27 -18.

5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).

В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.

Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.

б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).

в) Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х . Если (а + b) - с = у. то, по определению разности, а + b = с + у . Подставим в это равенство вместо а выражение с + х : (с + х) + b = с + у. Воспользу­емся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у . Преоб­разуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:

х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за другим.

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над одно­значными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычита­ние связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычис­лениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуж­дают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных прие­мов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

3. Докажите, что:

а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );

б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.

4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.

5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - П;

в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.

Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.

Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие суще­ствования частного.

Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, ум­ножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что

b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, полу­чаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деле­ния суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления раз­ности на число: для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.

Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с ум­ножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.

Упражнения

1. Докажите, что:

а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;

б) если числа а и b делятся на с и а > b, то (а - b): с = а: с - b: с.
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;

Верны ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:

а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .

Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.

5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:

а) (7× 63):7; в) (15× 18):(5× 6);

б) (3× 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.

Лекция 34.Свойства множества целых неотрицательных чисел

1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.

2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.

Упражнения

1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; в) (8 379) 125?

6. Известно, что 37 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 18; 6) 185 12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.

8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?

Верны ли равенства:

а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;

б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70 32 + 9 32 ...79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

1. Упорядоченность множества натуральных чисел.

2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел

3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиома­тической теории требуют, чтобы это отношение было не только опре­делено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вы­текает, что если

а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сло­жения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисиммет­ричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.

Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натураль­ное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Упорядоченные множества

Определение 1. Множество M называется упорядоченным , если между его элементами установлено некоторое отношение a b ("a предшествует b "), обладающее следующими свойствами: 1) между любыми двумя элементами a и b существует одно и только одно из трех соотношений: a = b , a b, b a; 2) для любых трех элементов a , b и c из a b, b c следует a c.

Пустое множество считается упорядоченным.

Замечание. Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись a = b просто означает, что буквами a и b обозначен один и тот же элемент множества M . Поэтому из свойства 1) следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a b или b a.

Если a предшествует b , то говорят, что b следует за a и пишут: b > a .

Отношение a > b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение a b.

Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения, т. е. вместо a b писать a > b , и наоборот, то получится новое упорядоченное множество M" , порядок которого называется обратным относительно порядка M . Например, для приведенного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок:

Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества