Na primjer, izrazi:
a - b + c, x 2 - g 2 , 5x - 3g - z- polinomi.
Monomi koji čine polinom nazivaju se članovi polinoma. Razmotrimo polinom:
7a + 2b - 3c - 11
izrazi: 7 a, 2b, -3c i -11 su članovi polinoma. Uočite član -11. Ne sadrži varijablu. Takvi članovi koji se sastoje samo od brojeva nazivaju se besplatno.
Općenito je prihvaćeno da je svaki monom poseban slučaj polinoma koji se sastoji od jednog člana. U ovom slučaju monom je naziv za polinom s jednim članom. Za polinome koji se sastoje od dva i tri člana postoje i posebni nazivi - binom, odnosno trinom:
7a- monom
7a + 2b- binom
7a + 2b - 3c- trinom
Slični članovi
Slični članovi- monomi uključeni u polinom koji se međusobno razlikuju samo koeficijentom, predznakom ili se uopće ne razlikuju (suprotni monomi se također mogu nazvati sličnima). Na primjer, u polinomu:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
članovi 3 a 2 b, 2a 2 b i 2 a 2 b, kao i članovi 5 abc 2 i -7 abc 2 su slični pojmovi.
Dovođenje sličnih članova
Ako polinom sadrži slične članove, tada se može svesti na jednostavniji oblik kombiniranjem sličnih članova u jedan. Ova radnja se zove dovođenje sličnih članova. Prije svega, stavimo sve slične pojmove zasebno u zagrade:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)
Da biste spojili nekoliko sličnih monoma u jedan, morate zbrojiti njihove koeficijente i ostaviti faktore slova nepromijenjenima:
((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Redukcija sličnih članova je operacija zamjene algebarskog zbroja nekoliko sličnih monoma jednim monomom.
Polinom standardnog oblika
Polinom standardnog oblika je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, među kojima nema sličnih članova.
Da bi se polinom doveo u standardni oblik, dovoljno je reducirati slične članove. Na primjer, predstavite izraz kao polinom standardnog oblika:
3xy + x 3 - 2xy - g + 2x 3
Prvo, pronađimo slične pojmove:
Ako svi članovi polinoma standardnog tipa sadrže istu varijablu, tada su njegovi članovi obično raspoređeni od najvećeg do najmanjeg stupnja. Slobodni član polinoma, ako postoji, stavlja se na posljednje mjesto - desno.
Na primjer, polinom
3x + x 3 - 2x 2 - 7
treba pisati ovako:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7
Nakon proučavanja monoma, prelazimo na polinome. Ovaj članak će vam reći o svim potrebnim informacijama za izvođenje radnji na njima. Definirat ćemo polinom s pripadajućim definicijama polinomskog člana, odnosno slobodnog i sličnog, razmotriti polinom standardnog oblika, uvesti stupanj i naučiti ga pronaći te raditi s njegovim koeficijentima.
Polinom i njegovi pojmovi - definicije i primjeri
Definicija polinoma data je u 7 razreda nakon proučavanja monoma. Pogledajmo njegovu punu definiciju.
Definicija 1
Polinom Izračunava se zbroj monoma, a sam monom je poseban slučaj polinoma.
Iz definicije proizlazi da primjeri polinoma mogu biti različiti: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z i tako dalje. Iz definicije imamo to 1+x, a 2 + b 2 a izraz x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x su polinomi.
Pogledajmo još neke definicije.
Definicija 2
Članovi polinoma njegovi sastavni monomi nazivaju se.
Razmotrimo primjer gdje imamo polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, koji se sastoji od 4 člana: 3 x 4, − 2 x y, 3 i − y 3. Takav se monom može smatrati polinomom koji se sastoji od jednog člana.
Definicija 3
Polinomi koji sadrže 2, 3 trinoma imaju odgovarajući naziv - binomni I tročlan.
Iz toga slijedi da izraz forme x+y– je binom, a izraz 2 x 3 q − q x x x + 7 b je trinom.
Prema školskom planu i programu radili smo s linearnim binomom oblika a · x + b, gdje su a i b neki brojevi, a x varijabla. Razmotrimo primjere linearnih binoma oblika: x + 1, x · 7, 2 − 4 s primjerima kvadratnih trinoma x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
Za transformaciju i rješavanje potrebno je pronaći i donijeti slične pojmove. Na primjer, polinom oblika 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ima slične članove 1 i - 3, 5 x i 2 x. Dijele se u posebnu skupinu koja se naziva sličnim članovima polinoma.
Definicija 4
Slični članovi polinoma su slični pojmovi koji se nalaze u polinomu.
U gornjem primjeru imamo da su 1 i - 3, 5 x i 2 x slični članovi polinoma ili slični članovi. Kako biste pojednostavili izraz, pronađite i smanjite slične članove.
Polinom standardnog oblika
Svi monomi i polinomi imaju svoja posebna imena.
Definicija 5
Polinom standardnog oblika naziva se polinom u kojem svaki član koji je uključen ima monom standardnog oblika i ne sadrži slične članove.
Iz definicije je jasno da je moguće reducirati polinome standardnog oblika, na primjer, 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a unos je u standardnom obliku. Izrazi 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z i 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nisu polinomi standardnog oblika, budući da prvi od njih ima slične članove u oblik 3 · x 2 i − x 2, a drugi sadrži monom oblika x · y 3 · x · z 2, koji se razlikuje od standardnog polinoma.
Ako okolnosti to zahtijevaju, ponekad se polinom reducira na standardni oblik. Koncept slobodnog člana polinoma također se smatra polinomom standardnog oblika.
Definicija 6
Slobodan član polinoma je polinom standardnog oblika koji nema doslovni dio.
Drugim riječima, kada polinom u standardnom obliku ima broj, naziva se slobodnim članom. Tada je broj 5 slobodni član polinoma x 2 z + 5, a polinom 7 a + 4 a b + b 3 nema slobodan član.
Stupanj polinoma - kako ga pronaći?
Sama definicija stupnja polinoma temelji se na definiciji polinoma standardnog oblika i na stupnjevima monoma koji su njegove komponente.
Definicija 7
Stupanj polinoma standardnog oblika naziva se najveći od stupnjeva uključenih u njegovu notaciju.
Pogledajmo primjer. Stupanj polinoma 5 x 3 − 4 jednak je 3, jer monomi koji ulaze u njegov sastav imaju stupnjeve 3 i 0, a veći od njih je 3. Definicija stupnja iz polinoma 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x jednaka je najvećem od brojeva, odnosno 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 i 1, što znači 5 .
Potrebno je saznati kako se dolazi do same diplome.
Definicija 8
Stupanj polinoma proizvoljnog broja je stupanj odgovarajućeg polinoma u standardnom obliku.
Kada polinom nije napisan u standardnom obliku, ali trebate pronaći njegov stupanj, trebate ga svesti na standardni oblik, a zatim pronaći traženi stupanj.
Primjer 1
Odredite stupanj polinoma 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Riješenje
Prvo, predstavimo polinom u standardnom obliku. Dobijamo izraz oblika:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Kod dobivanja polinoma standardnog oblika nalazimo da se jasno ističu dva od njih - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Da bismo pronašli stupnjeve, brojimo i nalazimo da je 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4. Vidi se da je najveći od njih 6. Iz definicije slijedi da je 6 stupanj polinoma − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , a time i izvorna vrijednost.
Odgovor: 6 .
Koeficijenti polinomskih članova
Definicija 9Kada su svi članovi polinoma monomi standardnog oblika, tada u ovom slučaju imaju ime koeficijenti polinomskih članova. Drugim riječima, mogu se nazvati koeficijentima polinoma.
Razmatrajući primjer, jasno je da polinom oblika 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 sadrži 4 polinoma: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x i 7 s odgovarajućim koeficijentima 2, − 0, 5, 3 i 7. To znači da se 2, − 0, 5, 3 i 7 smatraju koeficijentima članova zadanog polinoma oblika 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Prilikom preračunavanja važno je obratiti pozornost na koeficijente ispred varijabli.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Ključne riječi sažetka: Polinom, standardni oblik polinoma, članovi polinoma, polinomi, nulti polinom, stupanj polinoma, redukcija sličnih članova, vodeći koeficijent, slobodni član polinoma.
Izraz 5a 2 b – 3ab – 4a 3 + 7 predstavlja zbir monoma 5a 2 b, –5ab, –4a 3 i 7 . Takvi se izrazi nazivaju polinomi.
✅ Definicija. Polinom je zbroj monoma.
Monomi koji čine polinom nazivaju se članovi polinoma . Na primjer, članovi polinoma x 3 y – 4x 2 + 9 su monomi od x 3 y, – 4x 2 i 9.
Polinom koji se sastoji od dva člana naziva se binomni , a polinom koji se sastoji od tri člana je tročlan . Monomom se smatra polinom koji se sastoji od jednog člana. Polinomi se ponekad nazivaju polinomi , i binomi - binomi (od grčkih riječi “poly” - “mnogo”, “nomos” - “član, dio” i latinske riječi “bi” - “dva, dvaput”).
Znajući vrijednosti varijabli uključenih u polinom, možete izračunati vrijednost polinoma.
Primjer 1. Nađimo vrijednost polinoma –0,3x 2 y – x 3 + 7y
na x = –0,2, y = –1
.
Imamo:
–0,3x 2 y – x 3 +7y = –0,3 (–0,2) 2 (–1) – (–0,2) 3 + 7 (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6 ,98.
Standardni oblik polinoma
U polinomu 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 prvi i četvrti izraz imaju isti dio slova. Članovi polinoma koji imaju isti dio slova nazivaju se sličnim članovima. Pojmovi koji nemaju slovni dio također se smatraju sličnim pojmovima.
Zbroj sličnih članova polinoma može se zamijeniti monomom. Takva identična transformacija naziva se redukcija sličnih članova odn donoseći slične uvjete. Redukcija takvih članova temelji se na svojstvu komutativnosti i kombinativnosti zbrajanja i svojstvu distribucije množenja.
Primjer 2.
Predstavimo slične članove polinoma 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9.
Imamo:
13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 = (13x 2 y – 6x 2 y) + 8xy + (4 – 9) = (13 – 6)x 2 y + 8xy – 5 = 7x 2 y + 8xy - 5.
U polinomu 7x 2 y + 8xy – 5 svaki član je monom standardnog oblika i među njima nema sličnih članova. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.
Razmotrimo polinom standardnog oblika Za 3 – 5a 3 b 2 + 7 . Njegovi članovi su monomi trećeg, petog i nultog stupnja. Najveća od tih potencija naziva se stupanj polinoma. Dakle, ovaj polinom je polinom petog stupnja.
Polinomski stupanj standardni oblik je najveća od potencija monoma uključenih u njega. Stupanj proizvoljnog polinoma je stupanj identično jednakog polinoma standardnog oblika.
Primjer 3.
Odredimo stupanj polinoma a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1
.
Da bismo to učinili, reduciramo polinom na standardni oblik: a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1 = 2a 2 b + 1
.
Stupanj dobivenog polinoma je tri. To znači da je stupanj zadanog polinoma jednak tri.
Ako je polinom broj različit od nule, tada je stupanj takvog polinoma 0. Broj nula naziva se nulti polinom . Njegov se stupanj smatra nesigurnim.
Među polinomima razlikuju se polinomi s jednom varijablom. Polinom n-tog stupnja s jednom varijablom u standardnom obliku zapisuje se na sljedeći način: a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-2 x 2 + a n-1 x + a n, Gdje x- varijabla, a 0, a 1 a 2, …, a n-1, a n- proizvoljni brojevi, n ∈ N ili n = 0. Koeficijent pri x n nazvao seniorski koeficijent (u našem slučaju to je 0). Poziva se član koji ne sadrži varijablu x slobodan član polinom (u našem slučaju to je n). Na primjer, vodeći koeficijent polinoma x 4 + 2x 3 – x 2 + 3x jednako je 1, a lažni član je nula.
Imajte na umu da je vrijednost polinoma s varijablom x pri x = 0 jednaka slobodnom članu ovog polinoma, a pri x = 1 - zbroju njegovih koeficijenata.
Ovo je sažetak matematike na tu temu. Odaberite sljedeće korake:
- Idi na sljedeći sažetak:
U ovoj lekciji prisjetit ćemo se osnovnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične probleme, naime svođenje polinoma na standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za zadane vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenjem na standardni oblik rješavati različiti problemi.
Predmet:Polinomi. Aritmetičke operacije nad monomima
Lekcija:Svođenje polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci
Podsjetimo se na osnovnu definiciju: polinom je zbroj monoma. Svaki monom koji je dio polinoma kao člana naziva se njegovim članom. Na primjer:
Binomni;
Polinom;
Binomni;
Budući da se polinom sastoji od monoma, prva radnja s polinomom slijedi odavde - morate sve monome dovesti u standardni oblik. Podsjetimo, za to je potrebno pomnožiti sve numeričke faktore - dobiti numerički koeficijent i pomnožiti odgovarajuće potencije - dobiti slovni dio. Uz to, obratimo pozornost na teorem o umnošku potencija: pri množenju potencija njihovi se eksponenti zbrajaju.
Razmotrimo važnu operaciju - svođenje polinoma na standardni oblik. Primjer:
Komentar: da biste polinom doveli u standardni oblik, morate sve monome koji su uključeni u njegov sastav dovesti u standardni oblik, nakon čega, ako postoje slični monomi - a to su monomi s istim dijelom slova - izvršiti akcije s njima .
Dakle, pogledali smo prvi tipični problem - dovođenje polinoma u standardni oblik.
Sljedeći tipičan problem je izračunavanje specifične vrijednosti polinoma za zadane numeričke vrijednosti varijabli koje su u njemu uključene. Nastavimo gledati prethodni primjer i postaviti vrijednosti varijabli:
Komentar: podsjetimo da je jedan na bilo koju prirodnu potenciju jednaka jedinici, a nula na bilo koju prirodnu potenciju jednaka je nuli, osim toga, podsjećamo da kada pomnožimo bilo koji broj s nulom, dobivamo nulu.
Pogledajmo nekoliko primjera tipičnih operacija svođenja polinoma na standardni oblik i izračunavanja njegove vrijednosti:
Primjer 1 - dovesti u standardni oblik:
Komentar: prvi korak je dovesti monome u standardni oblik, potrebno je dovesti prvi, drugi i šesti; druga radnja - donosimo slične članove, odnosno nad njima izvodimo zadane računske operacije: prvi zbrajamo s petim, drugi s trećim, ostale prepisujemo bez promjena, budući da nemaju sličnih.
Primjer 2 - izračunajte vrijednost polinoma iz primjera 1 s obzirom na vrijednosti varijabli:
Komentar: kada računate, trebali biste zapamtiti da je jedinica za svaku prirodnu potenciju jedan; ako je teško izračunati potencije dvojke, možete koristiti tablicu potencija.
Primjer 3 - umjesto zvjezdice staviti monom tako da rezultat ne sadrži varijablu:
Komentar: bez obzira na zadatak, prva radnja je uvijek ista - dovesti polinom u standardni oblik. U našem primjeru ova radnja se svodi na donošenje sličnih uvjeta. Nakon toga ponovno pažljivo pročitajte uvjet i razmislite kako se možemo riješiti monoma. Očito, da biste to učinili, morate mu dodati isti monom, ali sa suprotnim predznakom - . Zatim zamijenimo zvjezdicu ovim monomom i uvjerimo se da je naše rješenje točno.
U ovoj lekciji prisjetit ćemo se osnovnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične probleme, naime svođenje polinoma na standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za zadane vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenjem na standardni oblik rješavati različiti problemi.
Predmet:Polinomi. Aritmetičke operacije nad monomima
Lekcija:Svođenje polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci
Podsjetimo se na osnovnu definiciju: polinom je zbroj monoma. Svaki monom koji je dio polinoma kao člana naziva se njegovim članom. Na primjer:
Binomni;
Polinom;
Binomni;
Budući da se polinom sastoji od monoma, prva radnja s polinomom slijedi odavde - morate sve monome dovesti u standardni oblik. Podsjetimo, za to je potrebno pomnožiti sve numeričke faktore - dobiti numerički koeficijent i pomnožiti odgovarajuće potencije - dobiti slovni dio. Uz to, obratimo pozornost na teorem o umnošku potencija: pri množenju potencija njihovi se eksponenti zbrajaju.
Razmotrimo važnu operaciju - svođenje polinoma na standardni oblik. Primjer:
Komentar: da biste polinom doveli u standardni oblik, morate sve monome koji su uključeni u njegov sastav dovesti u standardni oblik, nakon čega, ako postoje slični monomi - a to su monomi s istim dijelom slova - izvršiti akcije s njima .
Dakle, pogledali smo prvi tipični problem - dovođenje polinoma u standardni oblik.
Sljedeći tipičan problem je izračunavanje specifične vrijednosti polinoma za zadane numeričke vrijednosti varijabli koje su u njemu uključene. Nastavimo gledati prethodni primjer i postaviti vrijednosti varijabli:
Komentar: podsjetimo da je jedan na bilo koju prirodnu potenciju jednaka jedinici, a nula na bilo koju prirodnu potenciju jednaka je nuli, osim toga, podsjećamo da kada pomnožimo bilo koji broj s nulom, dobivamo nulu.
Pogledajmo nekoliko primjera tipičnih operacija svođenja polinoma na standardni oblik i izračunavanja njegove vrijednosti:
Primjer 1 - dovesti u standardni oblik:
Komentar: prvi korak je dovesti monome u standardni oblik, potrebno je dovesti prvi, drugi i šesti; druga radnja - donosimo slične članove, odnosno nad njima izvodimo zadane računske operacije: prvi zbrajamo s petim, drugi s trećim, ostale prepisujemo bez promjena, budući da nemaju sličnih.
Primjer 2 - izračunajte vrijednost polinoma iz primjera 1 s obzirom na vrijednosti varijabli:
Komentar: kada računate, trebali biste zapamtiti da je jedinica za svaku prirodnu potenciju jedan; ako je teško izračunati potencije dvojke, možete koristiti tablicu potencija.
Primjer 3 - umjesto zvjezdice staviti monom tako da rezultat ne sadrži varijablu:
Komentar: bez obzira na zadatak, prva radnja je uvijek ista - dovesti polinom u standardni oblik. U našem primjeru ova radnja se svodi na donošenje sličnih uvjeta. Nakon toga ponovno pažljivo pročitajte uvjet i razmislite kako se možemo riješiti monoma. Očito, da biste to učinili, morate mu dodati isti monom, ali sa suprotnim predznakom - . Zatim zamijenimo zvjezdicu ovim monomom i uvjerimo se da je naše rješenje točno.
