Što to znači napisati kao nejednadžbu? Linearne nejednadžbe. Detaljna teorija s primjerima. Svojstva numeričkih nejednakosti

To jest, prvo zapišu varijablu uključenu u nejednakost, a zatim pomoću znaka pripadnosti ∈ naznače kojem numeričkom intervalu pripadaju vrijednosti ove varijable. U ovom slučaju izraz x∈ [2; 8 ] ukazuje da je varijabla x, uključeni u nejednadžbu 2 ≤ x≤ 8, uzima sve vrijednosti između 2 i 8 uključivo. Za ove vrijednosti nejednakost će biti istinita.

Imajte na umu da je odgovor napisan u uglatim zagradama, budući da su granice nejednakosti 2 ≤ x≤ 8, naime brojevi 2 i 8 pripadaju skupu rješenja ove nejednadžbe.

Skup rješenja nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 također se može prikazati pomoću koordinatne linije:

Ovdje granice numeričkog intervala 2 i 8 odgovaraju granicama nejednadžbe 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

U nekim izvorima nazivaju se granice koje ne pripadaju numeričkom intervalu otvoren .

Nazivaju se otvorenima iz razloga što numerički interval ostaje otvoren zbog činjenice da njegove granice ne pripadaju ovom numeričkom intervalu. Prazan krug na koordinatnoj liniji matematike naziva se probušena točka . Izbockati točku znači isključiti je iz numeričkog intervala ili iz skupa rješenja nejednadžbe.

A u slučaju kada granice pripadaju numeričkom intervalu, nazivaju se zatvoreno(ili zatvoreno), budući da takve granice pokrivaju (zatvaraju) numerički interval. Ispunjeni krug na koordinatnoj liniji također označava da su granice zatvorene.

Postoje različite vrste brojčanih intervala. Pogledajmo svaki od njih.

Brojna greda

Brojna greda x ≥ a, Gdje a x- rješenje nejednakosti.

Neka a= 3. Zatim nejednakost x ≥ a poprimit će oblik x≥ 3 . Rješenja ove nejednakosti su svi brojevi koji su veći od 3, uključujući i sam broj 3.

Opišimo brojevnu zraku definiranu nejednadžbom x≥ 3, na koordinatnoj liniji. Da biste to učinili, označite točku na njoj s koordinatom 3, a ostatak desno od njega je područje istaknuti potezima. Ističe se desna strana, budući da su rješenja nejednadžbe x≥ 3 su brojevi veći od 3. A veći brojevi na koordinatnoj liniji nalaze se desno

x≥ 3, a iscrtkano područje odgovara višestrukim vrijednostima x, što su rješenja nejednadžbe x≥ 3 .

Točka 3, koja je granica brojevnog pravca, prikazana je kao ispunjeni krug, jer je granica nejednadžbe x≥ 3 pripada skupu njegovih rješenja.

Zapisano, brojevna zraka dana nejednadžbom x ≥ a,

[ a; +∞)

Vidljivo je da je s jedne strane obrub uokviren uglatom, a s druge okruglom zagradom. To je zbog toga što jedna granica brojčane zrake pripada njoj, a druga ne, budući da sama beskonačnost nema granica i podrazumijeva se da s druge strane nema broja koji zatvara ovu brojčanu zraku.

S obzirom da je jedna od granica brojevnog pravca zatvorena, ovaj se interval često naziva zatvorena numerička zraka.

Zapišimo odgovor na nejednadžbu x≥ 3 koristeći zapis snopa brojeva. Imamo varijablu a jednako 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Ovaj izraz kaže da varijabla x, uključeno u nejednadžbu x≥ 3, uzima sve vrijednosti od 3 do plus beskonačno.

Drugim riječima, svi brojevi od 3 do plus beskonačno su rješenja nejednadžbe x≥ 3 . Granica 3 pripada skupu rješenja, budući da je nejednadžba x≥ 3 je labavo.

Zatvoreni brojevni pravac naziva se i brojevni interval, koji je dan nejednakošću x ≤ a. Rješenja nejednadžbi x ≤ a a, uključujući i sam broj a.

Na primjer, ako a x≤ 2. Na koordinatnoj liniji, granica 2 bit će prikazana kao ispunjeni krug, a cijelo područje locirano lijevo, bit će istaknuti potezima. Ovaj put je istaknuta lijeva strana, jer su rješenja nejednadžbe x≤ 2 su brojevi manji od 2. A manji brojevi na koordinatnoj liniji nalaze se lijevo

x≤ 2, a iscrtkano područje odgovara skupu vrijednosti x, što su rješenja nejednadžbe x≤ 2 .

Točka 2, koja je granica brojevnog pravca, prikazana je kao ispunjeni krug, jer je granica nejednadžbe x≤ 2 pripada skupu njegovih rješenja.

Zapišimo odgovor na nejednadžbu x≤ 2 koristeći zapis snopa brojeva:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Granica 2 pripada skupu rješenja budući da je nejednadžba x≤ 2 nije strog.

Otvoreni snop brojeva

Otvoreni snop brojeva je numerički interval zadan nejednakošću x>a, Gdje a— granica ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Otvoreni brojčani snop sličan je zatvorenom brojčanom snopu na mnogo načina. Razlika je u tome što granica a ne pripada intervalu, baš kao ni granica nejednakosti x>a ne pripada skupu njegovih rješenja.

Neka a= 3. Tada će nejednakost poprimiti oblik x> 3. Rješenja ove nejednadžbe su svi brojevi veći od 3, osim broja 3

Na koordinatnom pravcu, granica otvorenog brojevnog pravca određenog nejednadžbom x> 3 bit će prikazan kao prazan krug. Cijelo područje s desne strane bit će istaknuto potezima:

Ovdje točka 3 odgovara granici nejednakosti x> 3, a iscrtkano područje odgovara različitim vrijednostima x, što su rješenja nejednadžbe x> 3. Točka 3, koja je granica otvorenog brojevnog pravca, prikazana je kao prazan krug, budući da je granica nejednadžbe x> 3 ne pripada skupu njegovih rješenja.

x>a, označeno na sljedeći način:

(a; +∞)

Zagrade označavaju da granice otvorene brojčane zrake ne pripadaju njoj.

Zapišimo odgovor na nejednadžbu x> 3 koristeći otvorenu notaciju zrake brojeva:

x ∈ (3 ; +∞)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 3 do plus beskonačno rješenja nejednadžbe x> 3. Granica 3 ne pripada skupu rješenja, budući da je nejednadžba x> 3 je strog.

Otvoreni brojevni pravac naziva se i brojevni interval, koji je zadan nejednakošću x< a , Gdje a— granica ove nejednakosti, x— rješenje nejednakosti . Rješenja nejednadžbi x< a su svi brojevi koji su manji od a, isključujući broj a.

Na primjer, ako a= 2, tada nejednakost poprima oblik x< 2. Na koordinatnoj liniji, granica 2 bit će prikazana kao prazan krug, a cijelo područje s lijeve strane bit će označeno potezima:

Ovdje točka 2 odgovara granici nejednakosti x< 2, a iscrtkano područje odgovara različitim vrijednostima x, što su rješenja nejednadžbe x< 2. Točka 2, koja je granica otvorenog brojevnog pravca, prikazana je kao prazan krug, budući da je granica nejednadžbe x< 2 ne pripada skupu njegovih rješenja.

Zapisano, otvorena brojevna zraka dana nejednadžbom x< a , označeno na sljedeći način:

(−∞ ; a)

Zapišimo odgovor na nejednadžbu x< 2 koristeći otvorenu notaciju zrake brojeva:

x ∈ (−∞ ; 2)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od minus beskonačno do 2 rješenja nejednadžbe x< 2. Granica 2 ne pripada skupu rješenja jer nejednadžba x< 2 je strog.

Segment linije

Po segmentu a ≤ x ≤ b, Gdje a I b x- rješenje nejednakosti.

Neka a = 2 , b= 8. Zatim nejednakost a ≤ x ≤ b poprimit će oblik 2 ≤ x≤ 8 . Rješenja nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 su svi brojevi veći od 2 i manji od 8. Štoviše, granice nejednadžbe 2 i 8 pripadaju skupu njezinih rješenja, budući da je nejednadžba 2 ≤ x≤ 8 nije strog.

Oslikajmo segment definiran dvostrukom nejednakošću 2 ≤ x≤ 8 na koordinatnoj liniji. Da biste to učinili, označite točke s koordinatama 2 i 8 na njemu i označite područje između njih potezima:

≤ x≤ 8 , a iscrtkano područje odgovara mnogim vrijednostima x x≤ 8 . Točke 2 i 8, koje su granice segmenta, prikazane su kao popunjeni krugovi, budući da su granice nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 pripadaju skupu njegovih rješenja.

Pisano, segment zadan nejednakošću a ≤ x ≤ b označeno na sljedeći način:

[ a; b ]

Uglate zagrade s obje strane označavaju da su granice segmenta pripadati njemu. Zapišimo odgovor na nejednadžbu 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do uključivo 8 rješenja nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 .

Interval

Interval zove se numerički interval koji je zadan dvostrukom nejednakošću a< x < b , Gdje a I b— granice ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Neka a = 2, b = 8. Zatim nejednakost a< x < b poprimit će oblik 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Oslikajmo interval na koordinatnoj liniji:

Ovdje točke 2 i 8 odgovaraju granicama nejednadžbe 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Pisano, interval određen nejednakošću a< x < b, označeno na sljedeći način:

(a; b)

Zagrade s obje strane označavaju da su granice intervala ne pripadati njemu. Zapišimo odgovor na nejednadžbu 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, isključujući brojeve 2 i 8, rješenja nejednadžbe 2< x< 8 .

Poluinterval

Poluinterval je numerički interval zadan nejednakošću a ≤ x< b , Gdje a I b— granice ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Poluinterval se naziva i numerički interval, koji je zadan nejednakošću a< x ≤ b .

Pripada mu jedna od granica poluintervala. Otuda i naziv ovog numeričkog intervala.

U situaciji poluintervala a ≤ x< b njemu pripada lijeva granica (poluinterval).

I to u situaciji s poluintervalom a< x ≤ b on posjeduje desnu granicu.

Neka a= 2 , b= 8. Zatim nejednakost a ≤ x< b poprimit će oblik 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Oslikajmo poluinterval 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, što su rješenja nejednadžbe 2 ≤ x < 8 .

Točka 2. koja je lijevi rub poluinterval, prikazan je kao ispunjen krug, jer je lijeva granica nejednadžbe 2 ≤ x < 8 pripada mnoge njegove odluke.

I točka 8. koja je desna granica poluinterval, prikazan je kao prazan krug, budući da je desna granica nejednadžbe 2 ≤ x < 8 Ne pripada mnoge njegove odluke.

a ≤ x< b, označeno na sljedeći način:

[ a; b)

Vidljivo je da je s jedne strane obrub uokviren uglatom, a s druge okruglom zagradom. To je zbog činjenice da mu jedna granica poluintervala pripada, a druga ne. Zapišimo odgovor na nejednadžbu 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, uključujući broj 2, ali isključujući broj 8, rješenja nejednadžbe 2 ≤ x < 8 .

Slično, na koordinatnoj liniji možemo prikazati poluinterval definiran nejednadžbom a< x ≤ b . Neka a= 2 , b= 8. Zatim nejednakost a< x ≤ b poprimit će oblik 2< x≤ 8 . Rješenja ove dvostruke nejednakosti su svi brojevi koji su veći od 2 i manji od 8, isključujući broj 2, ali uključujući broj 8.

Nacrtajmo poluinterval 2< x≤ 8 na koordinatnoj liniji:

Ovdje točke 2 i 8 odgovaraju granicama nejednadžbe 2< x≤ 8 , a iscrtkano područje odgovara mnogim vrijednostima x, što su rješenja nejednadžbe 2< x≤ 8 .

Točka 2. koja je lijevi rub poluinterval, prikazan je kao prazan krug, budući da je lijeva granica nejednadžbe 2< x≤ 8 ne pripada mnoge njegove odluke.

I točka 8. koja je desna granica poluinterval, prikazan je kao ispunjeni krug, jer je desna granica nejednadžbe 2< x≤ 8 pripada mnoge njegove odluke.

Pisano, poluinterval zadan nejednadžbom a< x ≤ b, označeno na sljedeći način: ( a; b] . Zapišimo odgovor na nejednadžbu 2< x≤ 8 koristeći ovaj zapis:

x ∈ (2 ; 8 ]

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, isključujući broj 2, ali uključujući broj 8, rješenja nejednadžbe 2< x≤ 8 .

Slika intervala brojeva na koordinatnoj liniji

Numerički interval može se specificirati pomoću nejednakosti ili pomoću notacije (zagrade ili uglate zagrade). U oba slučaja morate znati prikazati ovaj numerički interval na koordinatnoj liniji. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Nacrtaj numerički interval određen nejednadžbom x> 5

Podsjećamo da je nejednakost oblika x> a navedena je otvorena numerička zraka. U ovom slučaju varijabla a jednako 5. Nejednakost x> 5 je striktan, pa će granica 5 biti prikazana kao prazan krug. Zanimaju nas sva značenja x, koji su veći od 5, pa će cijelo područje s desne strane biti označeno potezima:

Primjer 2. Nacrtajte interval brojeva (5; +∞) na koordinatnu crtu

Ovo je isti numerički interval koji smo opisali u prethodnom primjeru. Ali ovaj put nije navedeno korištenjem nejednakosti, već korištenjem oznake za numerički interval.

Granica 5 je okružena zagradom, što znači da ne pripada praznini. Prema tome, krug ostaje prazan.

Simbol +∞ označava da nas zanimaju svi brojevi koji su veći od 5. U skladu s tim, cijelo područje desno od ruba broja 5 označeno je prostim brojevima:

Primjer 3. Na koordinatnu crtu nacrtajte interval brojeva (−5; 1).

Zagrade s obje strane označavaju intervale. Granice intervala ne pripadaju njemu, pa će granice −5 i 1 biti prikazane na koordinatnoj liniji u obliku praznih kružića. Cijelo područje između njih bit će istaknuto potezima:

Primjer 4. Nacrtajte numerički interval određen nejednadžbom −5< x< 1

Ovo je isti numerički interval koji smo opisali u prethodnom primjeru. Ali ovaj put nije specificiran korištenjem intervalnog zapisa, već korištenjem dvostruke nejednakosti.

Nejednakosti oblika a< x < b , interval je postavljen. U ovom slučaju varijabla a jednak je −5, a varijabla b jednako jedan. Nejednadžba −5< x< 1 je strog, tako da će granice −5 i 1 biti prikazane kao prazni krugovi. Zanimaju nas sva značenja x, koje su veće od −5, ali manje od jedan, pa će cijelo područje između točaka −5 i 1 biti označeno crticama:

Primjer 5. Nacrtajte numeričke intervale [-1; 2] i

Ovaj put ćemo nacrtati dva intervala na koordinatnoj liniji odjednom.

Uglate zagrade s obje strane označavaju segmente. Granice segmenta pripadaju njemu, dakle granice segmenta [-1; 2] i bit će prikazan na koordinatnoj liniji u obliku popunjenih krugova. Cijelo područje između njih bit će istaknuto potezima.

Da bi se jasno vidjeli intervali [−1; 2] i , prvi se može prikazati na gornjem području, a drugi na donjem. Evo što ćemo učiniti:

Primjer 6. Nacrtajte numeričke intervale [-1; 2) i (2; 5]

Uglata zagrada s jedne strane i okrugla zagrada s druge strane označavaju poluintervale. Jedna od granica poluintervala mu pripada, a druga ne.

U slučaju poluintervala [-1; 2) lijevi rub će mu pripasti, ali desni neće. To znači da će lijevi rub biti prikazan kao ispunjeni krug. Desna granica bit će prikazana kao prazan krug.

A u slučaju poluintervala (2; 5] njemu će pripadati samo desni rub, ali ne i lijevi. To znači da će lijevi rub biti prikazan kao ispunjeni krug. Desni rub će biti prikazan kao prazan krug.

Oslikajmo interval [-1; 2) na gornjem području koordinatne linije, a interval (2; 5] - na donjem:

Primjeri rješavanja nejednadžbi

Nejednadžba koja se identičnim transformacijama može dovesti do oblika sjekira > b(ili na pogled sjekira< b ), pozvat ćemo linearna nejednadžba s jednom varijablom.

U linearnoj nejednakosti sjekira > b , x je varijabla čije vrijednosti treba pronaći, A je koeficijent ove varijable, b— granica nejednadžbe koja, ovisno o predznaku nejednadžbe, može i ne mora pripadati skupu njezinih rješenja.

Na primjer, nejednakost 2 x> 4 je nejednakost oblika sjekira > b. Uloga varijable u tome a igra broj 2, ulogu varijable b(granice nejednakosti) igra broj 4.

Nejednakost 2 x> 4 može biti još jednostavnije. Ako obje strane podijelimo s 2, dobit ćemo nejednadžbu x> 2

Rezultirajuća nejednakost x> 2 je također nejednakost oblika sjekira > b, odnosno linearna nejednadžba s jednom varijablom. U ovoj nejednakosti uloga varijable a jedan svira. Ranije smo rekli da se koeficijent 1 ne bilježi. Uloga varijable b igra broj 2.

Na temelju ovih informacija pokušajmo riješiti nekoliko jednostavnih nejednakosti. Tijekom rješavanja izvršit ćemo elementarne transformacije identiteta kako bismo dobili nejednakost forme sjekira > b

Primjer 1. Riješite nejednadžbu x− 7 < 0

Objema stranama nejednadžbe dodajte broj 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Ostat će na lijevoj strani x, a desna strana postaje jednaka 7

x< 7

Pomoću elementarnih transformacija zadali smo nejednadžbu x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Kada se nejednakost svede na oblik x< a (ili x>a), može se smatrati već riješenim. Naša nejednakost x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Napišimo odgovor pomoću intervala brojeva. U ovom slučaju, odgovor će biti otvoreni brojevni pravac (zapamtite da je brojevni pravac dan nejednakošću x< a i označava se kao (−∞ ; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

Na koordinatnoj liniji granica 7 bit će prikazana kao prazan krug, a cijelo područje lijevo od granice bit će označeno potezima:

Za provjeru uzmite bilo koji broj iz intervala (−∞ ; 7) i zamijenite ga u nejednadžbu x< 7 вместо переменной x. Uzmimo, na primjer, broj 2

2 < 7

Rezultat je točna brojčana nejednakost, što znači da je rješenje točno. Uzmimo drugi broj, na primjer, broj 4

4 < 7

Rezultat je ispravna brojčana nejednakost. Dakle, odluka je ispravna.

A budući da je nejednakost x< 7 равносильно исходному неравенству x− 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x− 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x− 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Primjer 2. Riješite nejednadžbu −4 x < −16

Podijelimo obje strane nejednadžbe s −4. Ne zaboravite da kada dijelite obje strane nejednakosti na negativan broj, znak nejednakosti preokreće:

Dali smo nejednadžbu −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4. Rješenja nejednadžbi x> 4 bit će svi brojevi veći od 4. Granica 4 ne pripada skupu rješenja jer je nejednadžba stroga.

x> 4 na koordinatnu crtu i odgovor napiši u obliku numeričkog intervala:

Primjer 3. Riješite nejednadžbu 3y + 1 > 1 + 6g

Idemo dalje 6 g s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući predznak. I pomičemo 1 s lijeve strane na desnu stranu, ponovno mijenjajući znak:

3g− 6g> 1 − 1

Pogledajmo slične pojmove:

−3g > 0

Podijelimo obje strane s −3. Ne zaboravite da se kod dijeljenja obje strane nejednakosti s negativnim brojem predznak nejednakosti mijenja u suprotan:

Rješenja nejednadžbi g< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства g< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 4. Riješite nejednadžbu 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Otvorimo zagrade s obje strane nejednakosti:

Premjestimo −3 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući predznak. Premjestimo članove −5 i 7 s lijeve strane na desnu stranu, opet mijenjajući predznake:

Pogledajmo slične pojmove:

Obje strane dobivene nejednakosti podijelite s 8

Rješenja nejednadžbe su svi brojevi manji od . Granica pripada skupu rješenja jer nejednadžba nije stroga.

Primjer 5. Riješite nejednadžbu

Pomnožimo obje strane nejednakosti s 2. Time ćemo se riješiti razlomka na lijevoj strani:

Sada pomaknimo 5 s lijeve strane na desnu stranu, mijenjajući znak:

Nakon dovođenja sličnih članova dobivamo nejednadžbu 6 x> 1. Podijelimo obje strane ove nejednakosti sa 6. Tada dobivamo:

Rješenja nejednadžbe su svi brojevi koji su veći od . Granica ne pripada skupu rješenja jer je nejednadžba stroga.

Oslikajmo skup rješenja nejednadžbe na koordinatnoj liniji i zapišimo odgovor u obliku numeričkog intervala:

Primjer 6. Riješite nejednadžbu

Pomnožite obje strane sa 6

Nakon dovođenja sličnih članova dobivamo nejednadžbu 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Rješenja nejednadžbi x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Opišimo skup rješenja nejednadžbe x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 7. Riješite nejednadžbu

Pomnožite obje strane nejednakosti s 10

U dobivenoj nejednakosti otvorimo zagrade s lijeve strane:

Prijenos članova bez x na desnu stranu

Navedimo slične pojmove u oba dijela:

Obje strane dobivene nejednakosti podijelite s 10

Rješenja nejednadžbi x≤ 3,5 su svi brojevi manji od 3,5. Granica 3.5 pripada skupu rješenja jer je nejednadžba x≤ 3,5 nije strogo.

Opišimo skup rješenja nejednadžbe x≤ 3,5 na koordinatnoj liniji i odgovor napišite u obliku numeričkog intervala:

Primjer 8. Riješite nejednadžbu 4< 4x< 20

Za rješavanje takve nejednakosti potrebna vam je varijabla x slobodan od koeficijenta 4. Tada ćemo moći reći u kojem se intervalu nalazi rješenje ove nejednadžbe.

Za oslobađanje varijable x iz koeficijenta, možete podijeliti član 4 x s 4. Ali pravilo u nejednadžbama je da ako član nejednadžbe podijelimo s nekim brojem, tada isto moramo učiniti s preostalim članovima uključenim u tu nejednadžbu. U našem slučaju trebamo sva tri člana nejednadžbe 4 podijeliti s 4< 4x< 20

Rješenja nejednakosti 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Opišimo skup rješenja nejednadžbe 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 9. Riješite nejednadžbu −1 ≤ −2 x≤ 0

Sve članove nejednadžbe podijelimo s −2

Dobili smo nejednakost 0,5 ≥ x≥ 0 . Dvostruku nejednadžbu poželjno je napisati tako da se manji član nalazi s lijeve, a veći s desne strane. Stoga našu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

0 ≤ x≤ 0,5

Rješenja nejednadžbe 0 ≤ x≤ 0,5 su svi brojevi koji su veći od 0 i manji od 0,5. Granice 0 i 0,5 pripadaju skupu rješenja, budući da je nejednadžba 0 ≤ x≤ 0,5 nije striktno.

Oslikajmo skup rješenja nejednadžbe 0 ≤ x≤ 0,5 na koordinatnoj liniji i odgovor napišite u obliku numeričkog intervala:

Primjer 10. Riješite nejednadžbu

Pomnožite obje nejednakosti s 12

Otvorimo zagrade u dobivenoj nejednakosti i predstavimo slične članove:

Obje strane dobivene nejednakosti podijelite s 2

Rješenja nejednadžbi x≤ −0,5 su svi brojevi manji od −0,5. Granica −0.5 pripada skupu rješenja budući da je nejednadžba x≤ −0,5 nije strog.

Opišimo skup rješenja nejednadžbe x≤ −0,5 na koordinatnoj liniji i odgovor napišite u obliku numeričkog intervala:

Primjer 11. Riješite nejednadžbu

Pomnožite sve dijelove nejednadžbe s 3

Sada od svakog dijela dobivene nejednakosti oduzimamo 6

Podijelimo svaki dio dobivene nejednadžbe s −1. Ne zaboravite da se kod dijeljenja svih dijelova nejednakosti negativnim brojem predznak nejednakosti mijenja u suprotan:

Rješenja nejednadžbe 3 ≤ a ≤ 9 su svi brojevi veći od 3 i manji od 9. Granice 3 i 9 pripadaju skupu rješenja jer je nejednadžba 3 ≤ a ≤ 9 nije strog.

Opišimo skup rješenja nejednadžbe 3 ≤ a ≤ 9 na koordinatnoj liniji i odgovor napišite u obliku numeričkog intervala:

Kad rješenja nema

Postoje nejednadžbe koje nemaju rješenja. Na primjer, to je nejednakost 6 x> 2(3x+ 1) . U procesu rješavanja ove nejednakosti doći ćemo do zaključka da znak nejednakosti > ne opravdava svoje mjesto. Da vidimo kako to izgleda.

Otvorimo zagrade s desne strane ove nejednakosti i dobijemo 6 x> 6x+ 2. Idemo dalje 6 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući predznak, dobivamo 6 x− 6x> 2. Prikazujemo slične članove i dobivamo nejednakost 0 > 2, što nije točno.

Radi boljeg razumijevanja prepišimo redukciju sličnih pojmova na lijevoj strani na sljedeći način:

Dobili smo nejednakost 0 x> 2. Na lijevoj strani nalazi se umnožak koji će za bilo koji biti jednak nuli x. A nula ne može biti veća od broja 2. To znači da je nejednakost 0 x> 2 nema rješenja.

x> 2, tada izvorna nejednadžba 6 nema rješenja x> 2(3x+ 1) .

Primjer 2. Riješite nejednadžbu

Pomnožite obje strane nejednakosti s 3

U dobivenoj nejednakosti premjestimo član 12 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući predznak. Zatim predstavljamo slične pojmove:

Desna strana dobivene nejednakosti za bilo koji x bit će jednaka nuli. A nula nije manja od −8. Dakle, nejednakost je 0 x< −8 не имеет решений.

A ako zadana ekvivalentna nejednadžba 0 nema rješenja x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Odgovor: nema rješenja.

Kada postoji beskonačno mnogo rješenja

Postoje nejednadžbe koje imaju bezbroj rješenja. Takve nejednakosti postaju istinite za bilo koju x .

Primjer 1. Riješite nejednadžbu 5(3x− 9) < 15x

Otvorimo zagrade na desnoj strani nejednadžbe:

Idemo 15 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući znak:

Prikazimo slične pojmove na lijevoj strani:

Dobili smo nejednakost 0 x< 45. Na lijevoj strani nalazi se umnožak koji će za bilo koji biti jednak nuli x. A nula je manja od 45. Dakle, rješenje nejednadžbe je 0 x< 45 je bilo koji broj.

x< 45 ima beskonačno mnogo rješenja, zatim izvorna nejednadžba 5(3x− 9) < 15x ima ista rješenja.

Odgovor se može napisati kao interval brojeva:

x ∈ (−∞; +∞)

Ovaj izraz kaže da su rješenja nejednadžbe 5(3x− 9) < 15x su svi brojevi od minus beskonačno do plus beskonačno.

Primjer 2. Riješite nejednadžbu: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Raširimo zagrade na lijevoj strani nejednakosti:

Idemo 50 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući predznak. I pomaknut ćemo član 31 s lijeve strane na desnu stranu, ponovno mijenjajući znak:

Pogledajmo slične pojmove:

Dobili smo nejednakost 0 x>−31. Na lijevoj strani nalazi se umnožak koji će za bilo koji biti jednak nuli x. A nula je veća od −31. To znači rješenje nejednadžbe 0 x< −31 je bilo koji broj.

A ako je dana ekvivalentna nejednakost 0 x>−31 ima beskonačno mnogo rješenja, zatim izvorna nejednadžba 31(2x+ 1) − 12x> 50x ima ista rješenja.

Zapišimo odgovor u obliku numeričkog intervala:

x ∈ (−∞; +∞)

Zadaci za samostalno rješavanje

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Nejednakost je druga strana jednakosti. Materijal u ovom članku daje definiciju nejednakosti i početne informacije o njoj u kontekstu matematike.

Pojam nejednakosti, kao i pojam jednakosti, povezuje se s trenutkom usporedbe dvaju objekata. Dok jednakost znači "isto", nejednakost, naprotiv, ukazuje na razlike između objekata koji se uspoređuju. Na primjer, i su identični objekti ili jednaki. i - objekti koji su različiti ili nejednaki.

Nejednakost objekata određena je semantičkim opterećenjem takvih riječi kao što su gore - ispod (nejednakost na temelju visine); deblji – tanji (nejednakost po debljini); duži – kraći (nejednakost po duljini) i tako dalje.

Moguće je razmišljati kako o jednakosti-nejednakosti objekata u cjelini, tako i o usporedbi njihovih pojedinačnih karakteristika. Recimo da su dana dva objekta: i . Bez sumnje, ti objekti nisu isti, tj. općenito nisu jednaki: na temelju veličine i boje. Ali, u isto vrijeme, možemo tvrditi da su njihovi oblici jednaki - oba objekta su krugovi.

U kontekstu matematike, semantičko opterećenje nejednakosti ostaje isto. Međutim, u ovom slučaju govorimo o nejednakosti matematičkih objekata: brojeva, vrijednosti izraza, vrijednosti veličina (duljina, površina itd.), vektora, likova itd.

Ne jednako, veće, manje

Ovisno o ciljevima zadatka, sama činjenica razjašnjavanja nejednakosti objekata može biti vrijedna, ali obično nakon utvrđivanja činjenice nejednakosti postaje jasno koja je vrijednost veća, a koja manja.

Značenje riječi "više" i "manje" intuitivno nam je poznato od samog početka našeg života. Očigledna vještina je odrediti nadmoć predmeta veličinom, količinom itd. Ali u konačnici, svaka nas usporedba dovodi do usporedbe brojeva koji određuju neke karakteristike predmeta koji se uspoređuju. Uglavnom, saznajemo koji je broj veći, a koji manji.

Jednostavan primjer:

Primjer 1

Jutarnja temperatura zraka iznosila je 10 Celzijevih stupnjeva; u dva sata poslijepodne ta je brojka bila 15 stupnjeva. Na temelju usporedbe prirodnih brojeva možemo ustvrditi da je jutarnja temperatura bila niža od vrijednosti u dva sata poslijepodne (odnosno u dva sata popodne temperatura je porasla i postala viša od temperature u jutro).

Zapisivanje nejednakosti pomoću znakova

Postoje općeprihvaćene oznake za pisanje nejednakosti:

Definicija 1

• znak "nije jednako", koji je prekriženi znak "jednako": ≠. Ovaj znak se nalazi između nejednakih objekata. Na primjer: 5 ≠ 10 pet nije jednako deset;
• znak veće od: > i znak manje od:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | kaže da je segment A B veći od segmenta C D;
• Znak “veće od ili jednako”: ≥ i znak “manje od ili jednako”: ≤ .

U nastavku ćemo detaljnije ispitati njihovo značenje. Definirajmo nejednadžbe prema načinu na koji su zapisane.

Definicija 2

Nejednakosti– algebarski izrazi koji imaju značenje i pišu se znakovima ≠, >,< , ≤ , ≥ .

Stroge i nestroge nejednakosti

Znakovi strogih nejednakosti– to su znakovi “veće od” i “manje od”: > i< Неравенства, составленные с их помощью – stroge nejednakosti.

Znakovi slabih nejednakosti– to su znakovi “veće od ili jednako” i “manje od ili jednako”: ≥ i ≤. Nejednakosti sastavljene uz njihovu pomoć - slabe nejednakosti.

Gore smo raspravljali o tome kako se primjenjuju stroge nejednakosti. Zašto se koriste slabe nejednakosti? U praksi, takve nejednakosti mogu definirati slučajeve opisane riječima "ne više" i "ni manje". Fraza "ne više" znači manje ili isto - ova razina usporedbe odgovara znaku "manje od ili jednako" ≤. Zauzvrat, "ne manje" znači isto ili više, a ovo je znak "veće od ili jednako" ≥. Dakle, nestroge nejednakosti, za razliku od strogih, omogućuju da objekti budu jednaki.

Točne i netočne nejednakosti

Prava nejednakost– ona nejednakost koja odgovara gornjem značenju nejednakosti. Inače jest nevjeran.

Evo jednostavnih primjera radi jasnoće:

Primjer 2

Nejednakost 5 ≠ 5 nije točna jer su zapravo brojevi 5 i 5 jednaki.

Ili ova usporedba:

Primjer 3

Recimo da je S površina određene figure, u ovom slučaju S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Po značenju slični izrazu “istinska nejednakost” su fraze “pravedna nejednakost”, “postoji nejednakost” itd.

Svojstva nejednadžbi

Opišimo svojstva nejednakosti. Očita je činjenica da predmet ni na koji način ne može biti nejednak sam sebi, a to je prvo svojstvo nejednakosti. Drugo svojstvo zvuči ovako: ako prvi objekt nije jednak drugom, onda drugi nije jednak prvom.

Opišimo svojstva koja odgovaraju znacima “veće od” i “manje od”:

Definicija 5

• antirefleksivnost. Ovo se svojstvo može izraziti na sljedeći način: za bilo koji objekt k vrijede nejednakosti k > k i k< k неверны;
• antisimetrija. Ovo svojstvo kaže da ako je prvi objekt veći ili manji od drugog, onda je drugi objekt manji ili veći od prvog. Napišimo: ako je m > n, onda je n< m . Или: если m < n , то n >m;
• tranzitivnost. U literalnom zapisu navedeno svojstvo će izgledati ovako: ako je navedeno da a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b i b > c, što znači a > c. Ovo svojstvo je intuitivno i prirodno: ako je prvi objekt veći od drugog, a drugi veći od trećeg, tada postaje jasno da je prvi objekt čak i veći od trećeg.

Znaci nestriktnih nejednakosti također imaju neka svojstva:

Definicija 6

• refleksivnost: a ≥ a i a ≤ a (ovo uključuje i slučaj kada je a = a);
• antisimetrija: ako je a ≤ b, tada je b ≥ a. Ako je a ≥ b, tada je b ≤ a;
• tranzitivnost: ako je a ≤ b i b ≤ c, tada je očito da je a ≤ c. Također: ako je a ≥ b i b ≥ c, tada je a ≥ c.

Dvostruko, trostruko itd. nejednakosti

Svojstvo tranzitivnosti omogućuje zapisivanje dvostrukih, trostrukih i tako dalje nejednakosti, koje su u biti lanci nejednakosti. Na primjer: dvostruka nejednakost – e > f > g ili trostruka nejednakost k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4 .

Imajte na umu da je zgodno nejednakosti pisati kao lance koji uključuju različite znakove: jednako, nejednako te znakove strogih i nestrogih nejednakosti. Na primjer, x = 2< y ≤ z < 15 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti s ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nejednak (≠ ) stoji odvojeno, ali također morate stalno rješavati primjere s ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku u primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netočno.

Ova priprema djeluje kod nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Trebate samo ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove akcije su svima poznate. Ali, što je karakteristično, greške u tim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednadžbi, da... Stoga se te radnje moraju ponavljati. Te radnje nazivaju se ovako:

Identične transformacije nejednadžbi.

Identične transformacije nejednadžbi vrlo su slične identičnim transformacijama jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike vam idu preko glave i... eto vam.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz možemo dodati (oduzeti) objema stranama nejednadžbe. Bilo koje. Ovo neće promijeniti znak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos članova s ​​lijeve strane nejednadžbe na desnu (i obrnuto) uz promjenu predznaka. S promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednadžbama bitno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvaripozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti bilo čime. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, jednadžbu, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Čist primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost koja ne izaziva sumnju:

5 > 2

Pomnožite obje strane s +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo s -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo zbog laži i prijevara.) "Zaboravio sam promijeniti znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednadžbi. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Što su zaboravili...) Dakle, psujem. Možda se sjetim...)

Osobito pažljivi će primijetiti da se nejednakost ne može množiti izrazom s X-om. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo znak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Trebam li ga promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo se ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da oni rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednadžbe. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe su nejednadžbe u kojima je x na prvoj potenciji i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednadžbu ravno do odgovora. To je rješenje. Istaknut ću glavne točke odluke. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Riješimo ovu nejednadžbu:

x+3 > 5x-5

Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednadžbu. S jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S X-ovima - lijevo, bez X-ova - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih članova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: obje strane podijeliti s -4.

Podijelite po negativan broj.

Znak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

x < 2

Ovo je odgovor.

Ovako se rješavaju sve linearne nejednadžbe.

Pažnja! Točka 2 nacrtana je bijelo, tj. neobojen. Prazan iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove probušena točka.

Preostale brojeve na osi moguće je označiti, ali nije potrebno. Suvišni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo trebate zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1, itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je strogo manji od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Sumnjivi broj zamijenimo u nejednakost i pomislimo: "Dva je manje od dva? Ne, naravno!" Točno. Nejednakost 2 < 2 netočno. Uzvratna dvojka nije primjerena.

Je li jedan u redu? Sigurno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi manji od dva su dobri! I to čak 1,9999.... Makar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je sjenčanje. Prijeđemo mišem preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji zadovoljavaju uvjet x osjenčano < 2 . To je sve.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

x ≥ -0,5

Nacrtaj os i označi broj -0,5. Kao ovo:

Primjećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti ... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači -0,5 uključeno je u odgovor. Ovdje, usput, provjera može nekoga zbuniti. Zamijenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U slaboj nejednakosti prikladno je sve što odgovara ikoni. I jednaki dobro i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostalo je označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti nakloniti se(od riječi luk), umjesto sjenčanja. Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Učini kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima sjenčanje je manje vidljivo. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednadžbe na osi. Prijeđimo na sljedeću značajku nejednakosti.

Zapisivanje odgovora za nejednadžbe.

Jednadžbe su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva načina upisivanja odgovora u nejednačine. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpun odgovor.