1. Похідна та диференціал. Визначення похідної та диференціала функції комплексного змінного дослівно збігаються з відповідними визначеннями для функцій одного дійсного змінного.

Нехай функція w = f(z) = та + ivвизначена в деякій околиці Uкрапки zo.Дамо незалежному змінному z = х + гуприріст A z= А.г + гАу,що не виводить за межі околиці U.Тоді функція w = f(z)отримає відповідне збільшення Aw = = f(z 0 +Дг) - f(z 0).

Похідної функції w = f(z) у точці zqназивається межа відношення збільшення функції Awдо збільшення аргументу A zпри прагненні Azдо нуля (довільним чином).

Похідна позначається f"(z Q), wабо у-. Визначення похідної можна записати як

Межа (6.1) може і не існувати; тоді кажуть, що функція w = f(z)не має похідної у точці zq.

Функція w = f(z)називається диференційованої про точку Zqякщо вона визначена в деякій околиці Uкрапки zq та її збільшення Awможна уявити у вигляді

де комплексне число Лне залежить від А г, а функція а(Аг) - нескінченно мала при Az-» 0, тобто. Пт а(Аг) = 0.

Як і функцій дійсного змінного, доводиться, що функція f(z)диференційована в точці zq тоді і тільки тоді, коли вона має похідну в zo. причому А = f "(zo).Вираз f"(zo)Azназивається диференціалом функції f(z) у точці Zqі позначається dwабо df(zo).При цьому збільшення Azнезалежного змінного -г називається також диференціалом змінного г і

позначається dz.Таким чином,

Диференціал є головною лінійною частиною збільшення функції.

Приклад 6.1. Дослідити, чи має функція w= / (г) = R ezпохідну у довільній точці Zq.

Рішення. За умовою, ш = Rea = х.У силу визначення похідної межа (С.1) не повинна залежати від того, яким шляхом

крапка z = Zq + Azнаближається до гопри A z-? 0. Візьмемо спочатку A z - Ах(Рис. 15, а). Так як Aw = Ах.то = 1. Якщо

ж взяти A z = iAy(рис. 15, б), то Ах= 0 і, отже, Aw = 0.

Значить, і = 0. Тому зрадять відносини при Az-> 0 не A z A z

існує і, отже, функція w= Re г = хне має похідної в жодній точці.

У той же час функція w = z = х + iy,очевидно, має похідну у будь-якій точці го, та /"(го) = 1. Звідси ясно, що дійсна і уявна частини диференційованої функції /(г) не можуть бути довільними; вони мають бути пов'язаними деякими додатковими співвідношеннями. Ці співвідношення виникають від того, що умова існування похідної /"(го) істотно більш обмежувальна, ніж умова існування похідної функцій одного дійсного змінного або приватних похідних функцій декількох дійсних змінних: потрібно, щоб межа в (6.1) існувала і не залежала від шляху, якому точка г = = го + Аг наближається до го при Аг 0. Для виведення зазначених співвідношень нагадаємо визначення диференційності функції двох змінних.

Дійсна функція і = і (х, у)дійсних змінних хі уназивається диференційованою в точці Ро(хо,уо),якщо вона визначена в деякій околиці точки Д> та її повне збільшення А і = і (хпро + Ах, у о+ А у) - і (хо, Уо)представимо у вигляді

де Уі З- дійсні числа, що не залежать від Дж , Ау,а {3 Ахі Ау,що прагнуть до нуля при Ах -» 0, Ау-> 0.

Якщо функція ідиференційована в точці Ро, вона має част-

г, „ ді(Р 0) ^ ді(Ро)гт ,

похідні в Ро, причому У= ---, С = ---. Але (у відмінності

ох ау

чиї від функцій однієї змінної) із існування приватних похідних функції і(х,у)ще слід її диференційованість.

2. Умови Коші-Рімана.

Теорема 6.1. Нехай функція w = f(z) комплексного змінного z= (ж, у) визначена в околиці точки, zq= (Аж, о) і f(z) = і(х,у) +iv(x, y). Для того, щоб f(z) була диференційованою в точці Zq, необхідно і достатньо, щоб функції і(х, у) XI v(x, y) були диференційованими в точці(Аж, уо) і щоб у цій, точці виконувались умови

Рівності (6.4) називаються умовами Коші-Рімана .

Доведення. Необхідність. Нехай функція w = f(z)диференційована у точці zq, тобто.

Позначимо f"(zo) = а + ibа(Дг) = fi(Ax, Ау)+ г7(Дж, Ay); Az = Ах + (Ау,де /3 та 7 - дійсні функції змінних Ах, Ау,що прагнуть до нуля при Дж -> 0, Ау -> 0. Підставляючи ці рівності в (6.5) та виділяючи дійсні та уявні частини, отримаємо:

Оскільки рівність комплексних чисел рівносильна рівності їх дійсних і уявних частин, то (6.6) рівносильна системі рівностей

Рівності (6.7) означають, що функції і (х, у), v(x,y)задовольняють умові (6.3) і, отже, диференціюються. Оскільки коефіцієнти при Дж і Аурівні приватним похідним за ж і увідповідно, то з (6.7) отримуємо

звідки й випливають умови (6.4).

Достатність. Припустимо тепер, що функції і(х, у)і v(x,y)диференційовані в точці (хо.уо)і і(х,у)та виконані умови (6.4).

Позначаючи а = ^, 6=-^ і застосовуючи (6.4), дійдемо рівностей (6.8). З (6.8) та умови диференційності функцій і(х,у), v(x,y)маємо

де ft, 7i, ft, д-2 - функції, що прагнуть нуля при Ах -> 0, Ау ->-> 0. Звідси

An + iAv= (про + ib) (Ах + i.Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) Ay.(6.9) Визначимо функцію а(Дг) рівністю

і покладемо А = а 4- ib.Тоді (6.9) перепишеться у вигляді рівності

яке збігається з (6.2). Дня доказу диференційності

функції f(z)залишилося показати, що lim a(Az) = 0. З рівності

випливає, що Ах^ |Дг|, Ау^ |Дг|. Тому

Якщо Az-? 0, то Ах-? 0, Ау-> 0, отже, і функції ft, ft, 71, 72 прагнуть нулю. Тому а(Дг) -> 0 при Az-> 0, і доказ теореми 6.1 закінчено.

Приклад 6.2. З'ясувати, чи є функція w = z 2 диференційованої; якщо так, то в яких точках?

Рішення, w = і + iv = (х + iy) 2 = х 2 - у 2 + 2ixy,звідки і = = х 2 - у 2, V = 2ху.Отже,

Таким чином, умови (6.4) Коші-Рімана виконані у кожній точці; значить, функція w = г 2 буде диференційованою в С.

Приклад 6.3. Дослідити диференційованість функції w = - z - x - iy.

Рішення. w = u + iv = x - iy,звідки і = х, v = -уі

Таким чином, умови Коші-Рімана не виконані в жодній точці, і, отже, функція w = zніде не диференційована.

Перевіряти диференційність функції та знаходити похідні можна безпосередньо за формулою (6.1).

П р і м е р 6.4. Використовуючи формулу (6.1), досліджувати функцію диференціювання IV = z2.

Рішення. A w - (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2 ,звідки

Отже, функція w = zrдиференційована в будь-якій точці 2о, та її похідна f"(zo) =2 zo-

Оскільки основні теореми про межі зберігаються для функції комплексного змінного, а визначення похідної функції комплексного змінного також не відрізняється від відповідного визначення для функцій дійсного змінного, то відомі правила диференціювання суми, різниці, добутку, приватної та складної функції залишаються справедливими і для функцій комплексного змінного . Аналогічно доводиться також, що якщо функція f(z)диференційована в точці zo.то вона безперервна у цій точці; зворотне твердження неправильне.

3. Аналітичні функції. Функція w= /(^диференційована нс тільки в самій точці zq, але і в деякій околиці цієї точки, називається аналітичної у точці zq.Якщо f(z)є аналітичною в кожній точці області D,то вона називається аналітичної (регулярної, голоморфної) області D.

З властивостей похідних відразу випливає", що якщо f(z)і g(z)- аналітичні функції у сфері D,то функції f(z) + g(z), f(z) - g(z)), f(z) g(z)також аналітичні в області D,а приватне f(z)/g(z)аналітична функція у всіх точках області D.в яких g(z) ф 0. Наприклад, функція

є аналітичною у площині С з викинутими точками z= = 1 і z – i.

З теореми про похідну складну функцію випливає таке твердження: якщо функція і = u(z) аналітична в області Dта відображає Dв область D"змінного та, а функція w = f(u)аналітична в області D", то складна функція w = f(u(z))змінного zаналітична в D.

Введемо поняття функції, аналітичної у замкнутій області D.Відмінність від відкритої області тут у тому, що додаються точки кордону, що не мають околиці, що належить D;тому похідна у цих точках нс визначена. Функція f(z)називається аналітичної (регулярною, голоморфний) у замкнутій області Dякщо цю функцію можна продовжити в деяку ширшу область D i, що містить D,до аналітичної в Dфункції.

• Умови (6.4) вивчалися ще у XVIII ст. Даламбером та Ейлером. Тому їх іноді називають також умовами Даламбера-Ейлера, що з історичної точки зору правильніше.

Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.

Ця стаття відкриває серію уроків, де я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної. Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базові знання про комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також знадобляться навички знаходження приватних похідних другого порядку. Ось вони якісь, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…

Тема, яку ми починаємо розбирати, не становить особливих складнощів, і в функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло та доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку освіжимо знання про шкільну функцію однієї змінної:

Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне значення функції. Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.

У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.

Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.

Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:

Приклад 1

Рішення:Незалежна змінна «зет», як пам'ятаєте, записується як , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.

Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).

Приклад 2

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутися в бій на комплексній площині, дозвольте дати найважливішу пораду на тему:

БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.

У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функций. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .

Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:

1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: .

2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Приклад 3

Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:

1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:

Оскільки , то:

Таким чином:

- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А уявну – так: .

2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.

Існують ще два способи знаходження похідної, вони звичайно застосовуються рідше, але інформація буде корисна для розуміння другого уроку – Як знайти функцію комплексної змінної?

Похідну можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Таким чином

Потрібно вирішити зворотне завдання - в отриманому виразі потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:

Зворотне дію виконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме

Дзеркальна формула для знаходження похідної:

В даному випадку: тому:

Приклад 4

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.

Коротке рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичних прикладах я не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.

Ускладнимо наші функції:

Приклад 5

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити

Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула вже виведена:

Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:

Увага та ще раз увага!

Оскільки , то:


Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Перевірка другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:

Обчислимо значення похідної у потрібній точці:

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,

Функції з кубами зустрічаються часто, тому приклад закріплення:

Приклад 6

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.

Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Теоретично комплексного аналізу визначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решебник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.

Спочатку про так звані формулах Ейлера:

Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули:

Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.

Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадок з мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складне вираження, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:

Приклад 7

Знайти похідну.

Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення і нижче закоментую кожен крок:

Оскільки , то:

(1) Підставляємо замість "зет".

(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.

(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницю за дужки.

(4) Використовуємо шкільну дію зі ступенями.

(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.

(6) Розкриваємо дужки, в результаті:

- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Подальші дії стандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Приклад 9

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, знаходити не станемо.

Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моменти, тому початковий етап знову закоментую покроково:

Оскільки , то:

1) Підставляємо замість "зет".

(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину усередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.

(3) Використовуємо формулу, при цьому .

(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса: . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.

В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстрації отриманий результат можна переписати так:

Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Умови Коші-Рімана виконані.

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.

З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:

Приклад 10

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як із очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Горіхокол наприкінці уроку.

Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий приклад, коли комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…

Приклад 11

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то

Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?

Все нехитро - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираз, він уже застосовувався на прикладах уроку Комплексні числа для чайників. Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на:

Транскрипт

1 Умови Коші-Рімана.) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w zi e. Функція, що має похідну в точці z називається диференційованої в цій точці. Умови Коші - Рімана (Даламбера - Ейлера, Ейлера - Даламбера): w f z u, iv, то в кожній точці диференційованості функції f z Якщо z i виконуються рівності, u v u v Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i e e e i i isin e cos ie sin Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, e cos v, e sin Обчислюємо приватні похідні: u cos e e cos e sin e cos u e cos e sin e sin e sin - умови Коші-Рімана виконуються. Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад);) Письмовий Д.Т. "Конспект лекцій з вищої математики", 006, стор 530, стор (умови Ейлера-Даламбера, аналітичність функції).) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w z 4iz. Запишемо цю функцію в формі алгебри, вважаючи z i: w i 4i i i 4 i i

2 Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, 4 v, 4 Обчислюємо приватні похідні: u 4 v 4 u 4 4 v умови Коші-Рімана виконуються. 3) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції sin iz. Виразимо тригонометричну функцію sin z через показову: iz iz e e sin z i і візьмемо до уваги, що z i: ii ii ii ii e e e e e e e e sin cos sin cos e e e e e Дійсна та уявна частини числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Обчислюємо приватні похідні: u sin e e e e v cos e e sin e e sin e e і u sin cos e e e e cos cos e e e e v Як бачимо, умови Коші-Рімана u v u v sin iz виконуються. для функції 4) Користуючись умовами Коші-Рімана, перевірити, чи буде аналітичною функція w f z: Функція wsin z3 z. w f z називається аналітичною в точці z, якщо вона диференційована як у самій точці z, так і в деякій її околиці. Функція w f z, що диференціюється в кожній точці деякої області D, називається аналітичною функцією в цій галузі. Умови Коші – Рімана (Даламбера – Ейлера, Ейлера – Даламбера): Якщо z i w f z u, iv, то в кожній точці диференційності функції f z виконуються рівності u v u v,. Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i 3 i w sin ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i e e e e e 3i3

3 cos e e e i e e sin 3i3 i cos e e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формули, використані в перетвореннях: iz e e e дійсну і уявну частини w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Обчислюємо приватні похідні: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin sh cos 3 sh , виконані; отже, функція sin w f z3 є аналітичною. 4

5 5) Довести аналітичність функції і знайти похідну: z z e w e Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i i e e w e cos sin Виділимо дійсну та уявну частини w z u, i v, u, chcos v, shsin Обчислюємо приватні похідні: u ch cos sh cos sh sin sh cos u ch cos ch sin sh sin ch sin: Умови Коші-Рімана u v u v, виконані; отже, функція w f z e z e z є аналітичною. Для будь-якої аналітичної функції f z u, i v, приватні похідні функцій u u, і v v : похідна f u v v u u u v f z i i i i Обчислюємо похідну функції похідні функцій u, і v, : z виражається через f z , використовуючи вираз похідної функції

6 або безпосередньо: z e e e z z z e e e e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos e e i e e e e e e e cos e sin sh cos is sn i 6) Подати . Перевірити, чи буде вона аналітичною, якщо так, то знайти похідну в точці z0 6. Виділимо в даному числі в явному вигляді дійсну u, і уявну частину, e e e e e e отримано комплексне число в формі алгебри запису. Re w u, e cos Im w v, e sin Для будь-якої аналітичної функції f z u e v sin e cos e Оскільки умови Коші-Рімана виконуються (u v, u v) для всіх точок площини O, функція, що досліджується, є аналітичною на всій площині, і її похідна 6

7 u v w z i e e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 У точці z0 i0: Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад). Обчислити значення функції. 7) Обчислити значення функції комплексного змінного w cos z у точці z0 i. e Для будь-якого z C: cos z iz e iz Тоді ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Відповідь: i cos ch cos ish sin Література. "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стр) Обчислити значення функції комплексного змінного w th z у точці z 0 ln 3 в формі алгебри. z z e e Для будь-якого z C: th z z z e e Значить i 3 3 3 4 3

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 4 обчислення в формі алгебри. 9) Обчислити значення функції комплексного змінного Ln z точці z 0. Вказати головне значення функції. Головним значенням логарифму числа z називають значення, що відповідає головному значенню аргументу числа z ; тобто. головне значення логарифму отримаємо при k 0: Модуль і аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Отже Ln ln i k 0k i kz - значення функції комплексного змінного в точці z 0, записані в формі алгебри. (логарифмічна функція Ln z є багатозначною) Головне значення логарифму числа z ln 0 i 8

9 0) Обчислити значення функції комплексного змінного i z у точці z i 0. За будь-яких, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль і аргумент числа w i: i arg iarctg 4 - значення функції комплексного змінного z у точці z0 i, записані в тригонометричній формі (функція багатозначна).) Обчислити значення функції комплексного змінного arcctg z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. iz i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z) z0 i ii i3i i3i3 5iarctg k, kz 5 і z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (головне значення Arcctg i) 9

10) Обчислити значення функції комплексного змінного arccos z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. При k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z і головне значення арккосинусу arccos z arg z z iln z z Квадратний корінь з комплексного числа дає два значення; для головного значення функції вибираємо одне, аргумент якого потрапляє у проміжок 0;. У цьому випадку: arccos ln ln iln i i Корінь із числа i i i i i i i набуває двох значень. Знайдемо їх: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Використовуючи формули cos cosarctg 5, отримаємо: cos і sin, і приймаючи увагу, що arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 і тоді i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 і 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k З двох значень вибираємо друге, т.к. його аргумент потрапляє у проміжок 0;. Отже, i i 5 i arccos 5 5 i ln 5 arctg 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (головне значення Arccos i) Література:) Морозова В.Д . "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стор. 40.

Комплексним числом називається вираз виду x y (алгебраїчна форма комплексного числа), де x, y R; x Re – дійсна частина комплексного числа; y Im - уявна частина комплексного числа; - уявна

Тема 11. Базові відомості з теорії комплексних чисел. Комплексне число - упорядкована пара дійсних чисел записана у формі де i - "уявна одиниця" для якої i = -1; - дійсна частина

Комплексні числа. Багаточлени. Комплексні числа. 1. Основні визначення та формули для вирішення задач Комплексним числом в формі алгебри називається вираз виду = x + y, де x і y - дійсні

1. Основні поняття функцій комплексного змінного Основні поняття, пов'язані з функцією комплексного змінного, знаходяться так само, як і в дійсній області. Нехай задані дві множини комплексних

Санкт-Петербурзький державний університет Кафедра математичного аналізу МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до проведення практичних занять з теорії функцій комплексної змінної частини 1 Початкові глави

Методичні вказівки до контрольної роботи з математики Тема 1. Функції комплексної змінної Дамо визначення функції комплексної змінної. Визначення. Кажуть що на безлічі D точок комплексної

Варіант Завдання Обчислити значення функції відповідь дати в формі алгебри: а sh ; б l Рішення а Скористаємося формулою зв'язку між тригонометричним синусом та гіперболічним синусом: ; sh -s Отримаємо

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а th(; б L(sh(/ Рішення а Виразимо тангенс через синус і косинус): th(Застосуємо ch(/ формули для синуса різниці і косинуса)

Міністерство освіти і науки Російської Федерації РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ НАФТИ І ГАЗУ імені ЇМ ГУБКІНА ІН Мельникова, АЛЕ Фастівець ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ОПЕРАЦІЙНЕ

Тема.Компексні числа та функції. Визначення комплексного числа, форма алгебри комплексного числа. Речова та уявна частини комплексного числа. Операції складання та множення комплексних чисел.

Комплексний аналіз Функції комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

Теми: Найменування розділу, теми Всього аудиторних годин Лекції, годинник Практичні заняття, годинники 1 2 3 4 Тема 1. Аналітична геометрія та лінійна алгебра 68 34 34 Тема 2. Введення в математичний аналіз

В. Д. Михайлов Функції комплексної змінної у прикладах та задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функції комплексної змінної у прикладах та завданнях: Навчальний посібник. СПб., 04. 30 с. Навчальний посібник

Стор. 1 із 14 2-е заняття. Показова форма комплексного числа Матем. аналіз, дод. матем., 4-й семестр A1 Знайти модулі та аргументи наступних комплексних чисел та записати ці числа у формі z = ρe iϕ,

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Тульський державний університет» Інститут високоточних систем імені В.П.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ АНГАРСЬКА ДЕРЖАВНА ТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ Мусєва ТН Свердлова ОЛ Туркіна НМ ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Учбового

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ Комплексні числа та дії над ними Дані комплексні числа та Знайдіть:)))) 5) : а) б) Дане комплексне число запишіть:) у тригонометричній формі) у показовій формі

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch; б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ZARCH(LДАННО ПРІДЕЛЬНИХ ПРИХОДІВ) Arch(L(У ДАНОМУ ПРІДЕЛЬНО ПРІМ), РЕЧЕННЯ АРХ(LДАННО ПРІМ) АРХ(L(У ДАННОМ ПРИМАННЯ)) ВИКОРИСТОВУЄМОСЯ

Варіант 9 Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а cos(; б l(Рішення а За формулою тригонометрії cos(-cos cos(s s(Скористаємося формулами зв'язку між тригонометричними)

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

лекція.7. Розширення поняття числа. Комплексні числа, дії з них Анотація: У лекції вказується необхідність узагальнення поняття числа від натурального до комплексного. Вводяться алгебраїчна,

ВАРІАНТ ЗАДАЧА ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch б РІШЕННЯ А ВИЧИСЛЮВАТИМ ARH ПО ФОРМУЛІ ? МСЯ

лекція..3. Невизначений інтеграл Анотація: Невизначений інтеграл визначається як безліч першорядних функцій підінтегральної функції. Розглядаються властивості невизначеного інтегралу, наводиться

«знак дії» a+(-b)=a-b 1) Навіщо вводяться негативні числа? «знак кількості») Чому над ними чинять дії за такими правилами, а не за іншими? Чому при множенні та розподілі негативного

Практичне заняття Аналітичні функції Умови Коші-Рімана Похідна та диференціал функції комплексної змінної Умови Коші-Рімана 3 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної 4 Конформне

Лекція 2 2.1 Послідовності комплексних чисел Комплексне число a називається межею послідовності комплексних чисел (z n ), якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться такий номер n 0 n 0 (ε), що

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а cos(; б l(Рішення а За формулою тригонометрії cos(cos cos(-s s(Скористаємося формулами зв'язку між тригонометричними)))

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти "Уральський державний педагогічний університет" Математичний факультет Кафедра

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Комсомольський-на-Амурі державний технічний

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ О.Г. Іларіонова, І.В. Платонова ВИЩА МАТЕМАТИКА Навчально-методичний посібник із виконання практичних завдань для студентів II

Поняття комплексного змінного Межа та безперервність комплексного змінного Нехай дано дві множини комплексних чисел D і Δ і кожному числу z D поставлено у відповідність число ω Δ яке позначається

Комплексний аналіз Приклади функцій комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

лекція N34. Числові лави з комплексними членами. Ступінні ряди в комплексній галузі. Аналітичні функції. Зворотні функції..числові ряди з комплексними членами.....ступеневі ряди в комплексній області....

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКА ДЕРЖАВНА

Введення 1 Число записати в формі алгебри Знайти, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Рішення Помножимо і розділимо число на число, пов'язане до знаменника: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Комплексні функції 1.1 Комплексні числа Нагадаємо, що комплексні числа можна визначити як безліч упорядкованих пар дійсних чисел C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, де i уявна одиниця (i

Основні поняття 1 КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА Комплексним числом називається вираз виду i, де і дійсні числа, i уявна одиниця, яка задовольняє умову i 1 Число називається дійсною частиною комплексного

Лекція 3. Невизначений інтеграл. Первісна і невизначений інтеграл У диференціальному обчисленні вирішується завдання: за цією функцією f() знайти її похідну (або диференціал). Інтегральне числення

РОЗДІЛ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ Поняття функції комплексної змінної Безперервність фкп Визначення фкп багато в чому аналогічне визначенню фдп Кажуть, що на деякій безлічі комплексної змінної

Функції Диференціювання функцій 1 Правила диференціювання Оскільки похідна функції визначається, як й у цій галузі, тобто. у вигляді межі, то, використовуючи це визначення та властивості меж,

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а Arctg; б (Рішення а Взагалі Arctg arctg + kπ Знайдемо інші значення в комплексній + площині Обчислюватимемо Arctg за формулою

Функції кількох змінних Функції кількох змінних Екстремум функції кількох змінних. Знаходження максимального та мінімального значення функції у замкнутій області Умовний екстремум Комплексні

БАНК ЗАВДАННЯ для вступних випробувань до магістратури (базова частина) Завдання квитка, 4 5 Розділи, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Кількість балів 5 б б 5 б Зміст Розділ Похідна, приватна

Лекція 5 Похідні основних елементарних функцій Анотація: Даються фізична та геометрична інтерпретації похідної функції однієї змінної Розглядаються приклади диференціювання функції та правила

Самостійна робота Завдання Визначити вид кривої, задану параметрично, і зобразити криву t t t t 5 7 t t б) e e, 0 t π в) t t t 5 Відповіді замкнутий промінь y, 0, y, обхідний двічі, промінь зображений

СА Зотова, ВБ Світлична ПРАКТИЧНЕ КЕРІВНИЦТВО З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенти- дф-мн, проф Горяїнов ВВ до ф-мн, доц Кульков ВГ ЗГ

7 ПОКАЗНІ ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРАВЕНСТВА 7. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ФОРМУЛИ. Рівності log a b та a b рівносильні при a > 0, a, b > 0. log. Основна логарифмічна тотожність: a a b b, a > 0,

Похідні основних елементарних функцій Похідна функції може бути знайдена за наступною схемою: аргументом х даємо прирощення для функції y знайдемо відповідне прирощення y y складемо відношення знаходимо

ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ВИДАВНИЦТВО ТДТУ Міністерство освіти і науки Російської Федерації ГОУ ВПО «Тамбовський державний технічний університет» ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичні

Питання для іспиту Питання для перевірки рівня навчання «ЗНАТИ» Основні поняття теорії рядів Критерій Коші збіжності числового ряду Необхідна ознака збіжності числових рядів Достатні ознаки

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА Методичні вказівки

Комплексний аналіз Геометрія комплексних чисел Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету 2015 Комплексний аналіз 1 / 31 Числова пряма R Комплексний

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: s(; б а РІШЕННЯ А ПО ФОРМУЛІ ТРИГОНОМЕТРІЇ SIN(ISIN OSIOS SINI ВИКОРИСТОВУЄТЬСЯ ФОРМУВАННЯ) КИМИ І ГІПЕРБОЛИЧНИМИ

Світлична Ст Б., Агішева Д. К., Матвєєва Т. А., Зотова С. А. Спеціальні глави математики. Теорія функцій комплексного змінного Волгоград 0 м. Міністерство освіти і науки РФ Волзький політехнічний

ТИПІВНИЙ РОЗРАХУНОК «Теорія функцій комплексного змінного» Практичні завдання Завдання. Дано число с. Знайти з arg с і записати число з у тригонометричній та показовій формах:))))) 8 6) 7) 8) 9)

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичний посібник Упорядники: МДУлимжієв ЛІІНХЄЄВА ІБЮМІВ СЖЮМОВА Рецензія На методичний посібник з теорії функцій

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна форма запису компл числа Головне значення аргументу

Тема: Похідна. Короткі теоретичні відомості. Таблиця похідних. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg)

Математичний аналіз Розділ: Теорія функцій комплексного змінного Тема: Неалгебраїчні операції на C. Основні елементарні функції у C. Б.б. послідовності комплексних чисел Лектор Янущик О.В.

Тема. функція. Методи завдання. Неявна функція. Зворотній функції. Класифікація функцій Елементи теорії множин. Основні поняття Одним із основних понять сучасної математики є поняття множини.

Контрольна робота У проміжку між сесіями студенти повинні провести самостійну підготовку.

МИРЕА. Типовий розрахунок з математичного аналізу Контрольні завдання на тему Комплексні числа, ТФКП. Завдання 1. Розв'язати рівняння, множину рішенні зобразити на комплексній площині А) 4 i + 81i 0 Б)

ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Перетворення Лапласа і формула звернення Нехай у проміжку Діріхлі а саме: Інтеграл Фур'є (l l) а) обмежена на цьому відрізку; функція задовольняє умовам б) кусково-безперервна

Функції комплексного змінного Аналітичні функції Як і раніше, якщо це не обумовлено спеціально, ми маємо справу з однозначною функцією w = f(z). Визначення 1. Функція f(z) називається аналітичною

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ АНГАРСЬКА ДЕРЖАВНА ТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ Іванова СВ, Євсєвлєєва ЛМ, Бикова ЛМ, Добриніна НН ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ЗМІНИ І ОПЕРАЦІЇ

Нехай функція W = f(Z) задана на деякій множині і Z 0 , що належить E, гранична точка цієї множини. Надамо Z 0 = x 0 + i· y 0 приріст Δ Z = Δ x+ i· Δ y, щоб крапка Z = Z 0 + Δ Zналежала безлічі Е. Тоді функція W = u+ i· v = f(Z) = u(x, y)+ i· v(x, y). Отримаємо збільшення Δ W = Δ u+ i· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

Якщо існує кінцева межа
, то він називається похідної функціїf(Z) у точціZ 0 по безлічіE, і позначається
,
,
, W" .

Формально похідна функція комплексного змінного визначається так само як і похідна функції речовинного змінного, але зміст їх по-різному.

У визначенні похідної функції f(x) речової змінної в точці х 0 , x→ х 0 вздовж прямої. У разі функції комплексного змінного f(Z), Zможе прагнути до Z 0 по будь-якому шляху площині, що веде до точки Z 0 .

Тому вимога існування похідної функції комплексного змінного дуже жорстка. Цим і пояснюється, що навіть прості функції комплексного змінного немає похідної.

приклад.

Розглянемо функцію W = = x- i· y. Покажемо, що ця функція не має похідної в жодній точці. Візьмемо будь-яку точку Z 0 = x 0 + i· y 0 , надамо їй збільшення Δ Z = Δ x+ i· Δ yтоді функція отримає збільшення . Значить

,
,

Спочатку розглядатимемо Δ Z = Δ x + i· Δ yтакі, що Δ x → 0 , а Δ y = 0 , тобто точка Z 0 + Δ Z → Z 0 по горизонтальній прямій. При цьому ми отримаємо, що

Тепер розглядатимемо приріст ∆ Zтакими, що ∆ x = 0 , а ∆ y → 0 , тобто. коли Z 0 + ∆ Z→ Z 0 по вертикальній прямій, при цьому очевидно буде
.

Отримані межі різні, тому відношення не має межі при ∆ Z → 0 , тобто функція
не має похідної в будь-якій точці Z 0 .

З'ясуємо сенс похідної по множині. Нехай E- дійсна вісь, і W = f(Z) = x, тоді це є звичайна речова функція речової змінної f(x) = xі її похідна дорівнюватиме 1 (
).

Нехай тепер Е– це вся площина (Z). Покажемо, що функція f(Z) = xу цьому випадку немає похідної в жодній точці. Справді, у цьому випадку
.Звідси видно, що якщо
а
, то
. Якщо ж
, а
, то
. Отже, ставлення не має межі при
тому функція f(Z) = xне має похідної в жодній точці
.

Зазначимо, що й розглядається комплексно-значна функція речовинної змінної , те з визначення похідної безпосередньо випливає, що
, Отже, (це похідна по речовій осі).

Формула для збільшення функцій.

Нехай функція W = f(Z) має в точці Z 0 похідну
. Покажемо, що має місце уявлення(1), де величина
, коли
.

Справді, за визначенням похідної маємо
, отже, величина
, коли
. Тому має місце уявлення (1) (помножимо обидві частини на
і перенесемо
у ліву частину).

Лекція №8 Диференційність та диференціал функції комплексного змінного

Функція W = f(Z) називається що диференціюється в точціZ 0 , якщо в цій точці має місце уявлення (2), де A - Фіксоване комплексне число, а величина
прагне до нуля, коли
.

Якщо функція W = f(Z) диференційована в точці Z 0 , то головна лінійна щодо
її частина A·
приріст
у точці Z 0 називається диференціалом функції f(Z) у точці і позначається
.

Має місце теорема.

Теорема.

Для того, щоб функціяW = f(Z) була диференційована в точціZ 0 необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну
, у своїй завжди виявляється, що у поданні (2)
.

Доведення.

Необхідність.Нехай функція диференційована у точці Z 0 . Покажемо, що вона має в цій точці кінцеву похідну, і що ця похідна дорівнює числу А. Через диференціацію f(Z) у точці Z 0 має місце уявлення (2), значить
(3). Виробляючи тут граничний перехід при
отримаємо, що
, значить
.

Достатність.Нехай функція f(Z) має в точці Z 0 кінцеву похідну
. Покажемо, що має місце уявлення (2). Через існування похідної
має місце уявлення (1), але це і є уявлення (2), в якому A =
. Достатність встановлено.

Як ми знаємо, диференціал , приймаючи як диференціал незалежної змінної Z її приріст
тобто, вважаючи
, ми можемо записати
і тому
(це ставлення диференціалів, а чи не єдиний символ).

Нехай функція = u(x,y)+iv(x,y) визначена в околиці точки z = x+iy. Якщо змінною zнадати збільшення  z= x+i y, то функція
отримає приріст


= (z+ z)–
=u(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, y+ y) –

– u(x,y)] + i[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =

= u(x,y) + i v(x,y).

Визначення. Якщо існує межа

=

,

то ця межа називається похідною від функції
у точці zі позначається через f(z) або
. Таким чином, за визначенням,

=

=

. (1.37)

Якщо функція
має похідну в точці z, то кажуть, що функція
диференційована в точці z. Очевидно, для диференціювання функції
необхідно, щоб функції u(x,y) та v(x,y) були диференційовані. Однак цього мало для існування похідної f(z). Наприклад, для функції w== x–iyфункції u(x,y)=x

і v(x,y)=–yдиференційовані у всіх точках M( x,y), але межа відносини
при  x0,  y0 не існує, оскільки, якщо  y= 0,  x 0, то  w/ z= 1,

якщо ж  x = 0,  y 0, то  w/z = -1.

Єдиної межі немає. Це означає, що функція

w= не має похідну в жодній точці z. Для існування похідної від функції комплексного змінного потрібні додаткові умови. Які саме? Відповідь це питання дає така теорема.

Теорема.Нехай функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані в точці M( x,y). Тоді для того, щоб функція

= u(x,y) + iv(x,y)

мала похідну в точці z = x+iyнеобхідно і достатньо, щоб виконувались рівності

Рівності (1.38) називаються умовами Коші-Рімана.

Доведення. 1) Необхідність. Нехай функція
має похідну в точці z, тобто існує межа

=

=
.(1.39)

Межа, що стоїть у правій частині рівності (1.39) не залежить від того, яким шляхом точка  z =  x+i yпрагне

до 0. Зокрема, якщо y = 0, x  0 (рис. 1.10), то

Якщо ж x = 0, y  0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис.1.10 Мал. 1.11

Ліві частини у рівностях (1.40) та (1.41) рівні. Значить рівні та праві частини

Звідси слідує що

Таким чином, із припущення про існування похідної f(z) слідує виконання рівностей (1.38), тобто умови Коші-Рімана необхідні для існування похідної f(z).

1) Достатність. Припустимо, що рівності (1.38) виконані:

і доведемо, що у цьому випадку функція
має похідну в точці z= x+iy, тобто межа (1.39)

=

існує.

Оскільки функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані у точці M( x,y), то повне збільшення цих функцій у точці M( x,y) можна уявити у вигляді

,

де  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 при  x0, y0.

Тому що, в силу (1.38),

Отже,

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 при z =  x+iy0.

Таким чином,

Оскільки  z 2 =  x 2 + y 2 , то  x/ z1,  y/z1. Тому

при  z  0.

Звідси випливає, що права частина рівності (1.42) має межу при  z 0, отже, і ліва частина має межу при  z 0, причому ця межа не залежить від того, яким шляхом  zпрагне до 0. Таким чином, доведено, що якщо у точці M(x,y) виконані умови (1.38), то функція
має похідну в точці z = x+iy, причому

.

Теорему доведено повністю.

У процесі доказу теореми отримано дві формули (1.40) та (1.42) для похідної від функції комплексного змінного

,

.

За допомогою формул (1.38) можна отримати ще дві формули

, (1.43)

. (1.44)

Якщо функція f(z) має похідну у всіх точках області D, то кажуть, що функція
диференційована області D. Для цього необхідно і достатньо, щоб умови Коші-Рімана виконувались у всіх точках області D.

приклад.Перевірити умови Коші-Рімана для

функції e z .

Так як e z = e x+iy = e x(cos y + i sin y),

то u(x, y) = Re e z = e x cos y, v(x, y) = Im e z = e x sin y,

,
,

,
,

отже,

Умови Коші - Рімана для функції e zвиконані у всіх точках z. Таким чином, функція e zдиференційована на всій площині комплексної змінної, причому

Так само доводиться диференційність

функцій z n , cos z, sin z, ch z, sh z, Ln z, і справедливість формул

(z n) = n z n-1, (cos z) = -sin z, (sin z) = cos z,

(ch z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Для функцій комплексного змінного залишаються чинними всі правила диференціювання функцій дійсного змінного. p align="justify"> Доказ цих правил випливає з визначення похідної так само, як і для функцій дійсного змінного.