Багаточлени. Багаточлени від однієї змінної Багаточлен та його члени – визначення та приклади

§ 13. Цілі функції (багаточлени) та їх основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел 165

13.1. Основні визначення 165

13.2. Основні властивості цілих багаточленів 166

13.3. Основні властивості коренів рівняння алгебри 169

13.4. Розв'язання основних рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел 173

13.5. Вправи для самостійної роботи 176

Питання для самоперевірки 178

Глосарій 178

1. Основні визначення

Цілою алгебраїчною функцією або алгебраїчним багаточленом (поліномом )аргументу xназивається функція наступного виду

Тут n–ступінь багаточлена (натуральне число або 0), x - Змінна (дійсна або комплексна), a 0 , a 1 , …, a n –коефіцієнти многочлена (дійсні чи комплексні числа), a 0  0.

Наприклад,

;
;
,
- Квадратний тричлен;

,
;.

Число х 0 таке, що P n (x 0)0, називається нулем функції P n (x) або коренем рівняння
.

Наприклад,

його коріння
,
,
.

так як
і
.

Зауваження (до визначення нулів цілої функції алгебри)

У літературі часто нули функції
називаються її корінням. Наприклад, числа
і
називаються корінням квадратичної функції
.

1. Основні властивості цілих багаточленів

 Тотожність (3) справедливо при  x 
(або x  ), отже, воно справедливе при
; підставляючи
, отримаємо а n = b n. Взаємно знищимо в (3) доданки а nі b nі поділимо обидві частини на x:

Ця тотожність теж вірна при  x, у тому числі при x= 0, тому вважаючи x= 0, отримаємо а n – 1 = b n – 1 .

Взаємно знищимо в (3") доданки а n- 1 і b n- 1 і поділимо обидві частини на x, в результаті отримаємо

Аналогічно продовжуючи міркування, отримаємо, що а n – 2 = b n –2 , …, а 0 = b 0 .

Таким чином, доведено, що з тотожної рівності двох цілих багаточленів випливає збіг їх коефіцієнтів за однакових ступенів. x.

Зворотне твердження справедливо очевидно, тобто якщо два многочлени мають однакові всі коефіцієнти, то вони є однакові функції, визначені на множині
отже, їх значення збігаються при всіх значеннях аргументу
що означає їх тотожну рівність. Властивість 1 доведено повністю.

Приклад (тотожна рівність багаточленів)

.

 Запишемо формулу поділу із залишком: P n (x) = (x – х 0)∙Q n – 1 (x) + A,

де Q n – 1 (x) - багаточлен ступеня ( n – 1), A- залишок, який є числом унаслідок відомого алгоритму поділу багаточлена на двочлен «у стовпчик».

Ця рівність вірна при  x, у тому числі при x = х 0; вважаючи
, отримаємо

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A  A = P n (х 0) 

Наслідком доведеної властивості є твердження про поділ без залишку многочлена на двочлен, відоме як теорема Безу.

 Доказ теореми Безу можна провести без використання раніше доведеної властивості про поділ цілого багаточлена
на двочлен
. Справді, запишемо формулу поділу багаточлену
на двочлен
із залишком А=0:

Тепер врахуємо, що - це нуль багаточлена
, і запишемо останню рівність при
:

Приклади (розкладання многочлена на множники з допомогою т. безу)

1), оскільки P 3 (1)0;

2), оскільки P 4 (–2)0;

3), оскільки P 2 (–1/2)0.

Доказ цієї теореми виходить за межі нашого курсу. Тому ухвалимо теорему без доказу.

Попрацюємо з цієї теореми і з теореми Безу з многочленом P n (x):

після n-кратного застосування цих теорем отримаємо, що

де a 0 - це коефіцієнт при x nу записі багаточлена P n (x).

Якщо у рівності (6) kчисел із набору х 1 ,х 2 , …х nзбігаються між собою і з числом, то у творі праворуч виходить множник ( x–) k. Тоді число x=називається k-кратним коренем багаточлена P n (x ) , або коренем кратності k . Якщо k= 1, то число
називається простим коренем багаточлена P n (x ) .

Приклади (розкладання многочлена на лінійні множники)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - простий корінь, x 2 = 4 – триразовий корінь;

2) P 4 (x) = (x – i) 4  x = i- Корінь кратності 4.

Відповідно до визначення, многочлен це алгебраїчне вираз являє собою суму одночленів.

Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона перестав бути сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.

Комплексне поняття багаточлена

Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять усі на свої місця.

І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.

Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якому всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.

Стандартний вид багаточлену

Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного вигляду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання подібних членів багаточлена називають приведенням подібних.
Наприклад, наведемо подібні доданки в багаточлені 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.

З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, випливає також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.

Коли багаточлен приведено до стандартного вигляду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем многочлена називається найбільша ступінь одночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, тому що максимальний ступінь одночлена входить до багаточлену (5*x^3*y^2) п'ятий.

Наприклад, вирази:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- багаточлени.

Одночлени, що входять до складу багаточлена, називаються членами багаточлена. Розглянемо багаточлен:

7a + 2b - 3c - 11

вирази: 7 a, 2b, -3cі -11 – це члени многочлена. Зверніть увагу на член -11. Він не містить змінної. Такі члени, що складаються лише з числа, називаються вільними.

Прийнято вважати, що будь-який одночлен - це окремий випадок багаточлена, що складається з одного члена. І тут одночлен є назвою для многочлена з одним членом. Для багаточленів, що складаються з двох і трьох членів, також є спеціальні назви - двочлен і тричлен відповідно:

7a- одночлен

7a + 2b- двочлен

7a + 2b - 3c- тричлен

Подібні члени

Подібні члени- одночлени, що входять до багаточленів, які відрізняються один від одного тільки коефіцієнтом, знаком або зовсім не відрізняються (протилежні одночлени теж можна назвати подібними). Наприклад, у багаточлені:

члени 3 a 2 b, 2a 2 bі 2 a 2 b, так само як і члени 5 abc 2 та -7 abc 2 – це подібні члени.

Приведення таких членів

Якщо многочлен містить подібні члени, його можна призвести до більш простого вигляду шляхом з'єднання подібних членів на один. Така дія називається приведенням подібних членів. Насамперед укладемо в дужки окремо всі подібні члени:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Щоб поєднати кілька подібних одночленів в один, треба скласти їх коефіцієнти, а літерні множники залишити без змін:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Приведення таких членів - це операція заміни алгебраїчної суми кількох подібних одночленів одним одночленом.

Багаточлен стандартного вигляду

Багаточлен стандартного вигляду- це багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, серед яких немає таких членів.

Щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, достатньо зробити приведення таких членів. Наприклад, подайте у вигляді багаточлена стандартного виду вираз:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Спочатку знайдемо такі члени:

Якщо всі члени многочлена стандартного виду містять одну й ту саму змінну, його члени прийнято розташовувати від більшою мірою до меншою. Вільний член багаточлена, якщо він є, ставиться на останнє місце – праворуч.

Наприклад, багаточлен

3x + x 3 - 2x 2 - 7

має бути записано так:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Дивно, що робиться рівність між поліномом та багаточленом. Хоча, наскільки я пам'ятаю це різні речі. Багаточлен це те, про що тут пишуть. А поліном це ставлення двох багаточленів. Подивився у словнику переклад на англійську слова багаточлен побачив, що перекладається як polynomial чому був чимало здивований…. Виходить, вони навіть не бачать різницю. Щодо одного прикладу… Це все добре, але чи є спосіб безпосереднього перетворення без введення невідомих коефіцієнтів? Цей метод занадто химерний… Про багаточленів можна говорити багато. Це виходить далеко за рамки СР школи. Дослідження ведуться досі! Тобто. тема багаточленів не завершено. Можу відповісти на питання про коріння в радикалах. У випадку доведено, що многочлены ступеня вище 4 немає рішення у радикалах. І взагалі не наважуються аналітично. Хоча деякі види цілком вирішуються. Але не все ... Рівняння 3-го ступеня має рішення Кардано. Рівняння 4-го ступеня має 2 види формул. Вони досить складні і втім заздалегідь незрозуміло чи є дійсні рішення, вони можуть бути комплексними. У многочлена непарної міри завжди є хоча б 1 дійство корінь. Теоретично формули на вирішення рівнянь навіть 3-го чи 4-го ступеня особливого поширення не отримали через їх складності. І виникає питання з тим, які з коренів розглядати. Адже у рівняння n-ого ступеня рівно n коренів з урахуванням їхньої кратності. Ось наприклад можна вирішувати шляхом Ньютона чисельне рівняння. Там просто все. Пишеться ітераційна формула, і немає проблем. Лінійне наближення. З віссю OX пряма перетинається лише у 1-ой точці. Може не перетинатися, тоді корінь комплексний. Але теж перший. Ну зрозуміло, що й многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь, він так само має як і комплексно пов'язаний. Однак вже в квадратичному наближенні (цей метод називається як метод парабол та ін варіанти цього методу Мюллера по 2-х попередніх точках і т.п) виникають проблеми. У перших там 2 кореня (мб якщо дискримінант > 0) який з них вибирати? Хоча рівняння квадратне. Можна піти далі взяти кубічне наближення (4-й член у ряді Тейлора, для кв береться 3) І навіть наближення 4-го ступеня взявши 5 членів ряду Тейлора. Східність буде супер швидка. Аналітично все вирішується! Але я ніде у математичній літературі не зустрічав таких методів. Як правило, користуються методом Ньютона тому що він безпроблемний! І скрізь де теоретично зустрічаються кубічні чи рівняння четвертого ступеня таке має місце. Бажаєте, самі спробуйте! Не думаю, що ви будете в захваті. Хоча повторюю, все вирішується аналітично. Просто формули будуть дуже складні. Але не в цьому річ. Виникають маси інших проблем, не пов'язаних із складністю.

- багаточленами. У цій статті ми викладемо всі початкові та необхідні відомості про багаточлени. До них, по-перше, відноситься визначення багаточлена з супутніми визначеннями членів багаточлена, зокрема вільного члена та подібних членів. По-друге, зупинимося на багаточленах стандартного виду, дамо відповідне визначення та наведемо їх приклади. Нарешті, введемо визначення ступеня многочлена, розберемося, як його визначити, і скажемо про коефіцієнти членів многочлена.

Навігація на сторінці.

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

У 7 класі багаточлени вивчаються відразу після одночленів, це і зрозуміло, оскільки визначення багаточленадається через одночлени. Дамо це визначення, що пояснює, що таке багаточлен.

Визначення.

Багаточлен- Це сума одночленів; одночлен вважається окремим випадком многочлена.

Записане визначення дозволяє навести скільки завгодно прикладів багаточленів. Будь-який з одночленів 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , і т.п. є багаточлен. Також за визначенням 1+x , a 2 +b 2 і це багаточлени.

Для зручності опису многочленів запроваджується визначення члена многочлена.

Визначення.

Члени багаточлена– це складові багаточленів одночлени.

Наприклад, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 складається з чотирьох членів: 3·x 4 , −2·x·y , 3 та −y 3 . Одночлен вважається багаточленом, що складається з одного члена.

Визначення.

Багаточлени, які складаються з двох та трьох членів, мають спеціальні назви – двочлені тричленвідповідно.

Так x + y - це двочлен, а 2 · x 3 · q-q · x · x +7 · b - тричлен.

У школі найчастіше доводиться працювати з лінійним двочленом a x + b , де a і b – деякі числа, а x – змінна, а також з квадратним тричленом a x 2 + b x x c , де a , b і c - деякі числа, а x - змінна. Ось приклади лінійних двочленів: x+1 , x·7,2−4 , а приклади квадратних тричленів: x 2 +3·x−5 і .

Багаточлени у своєму записі можуть мати подібні доданки. Наприклад, в многочлені 1+5·x−3+y+2·x подібними доданками є 1 та −3 , а також 5x і 2x. Вони мають свою особливу назву – такі члени багаточлена.

Визначення.

Подібними членами багаточленуназиваються подібні доданки в многочлен.

У попередньому прикладі 1 і -3, як і пара 5 x і 2 x, є подібними членами многочлена. У багаточленах, які мають подібні члени, можна спрощення їх виду виконувати приведення подібних членів .

Багаточлен стандартного вигляду

Для многочленів, як й у одночленів, існує так званий стандартний вид. Озвучимо відповідне визначення.

Виходячи з цього визначення, можна навести приклади багаточленів стандартного вигляду. Так багаточлени 3·x 2 −x·y+1 та записані у стандартному вигляді. А вирази 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z та x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не є багаточленами стандартного виду, так як у першому з них містяться подібні члени 3· x 2 і −x 2 , а у другому – одночлен x y 3 x z 2 , вид якого відмінний від стандартного.

Зауважимо, що за потреби завжди можна привести багаточлен до стандартного вигляду.

До многочленів стандартного виду належить ще одне поняття – поняття вільного члена многочлена.

Визначення.

Вільним членом багаточленаназивають членом багаточлена стандартного вигляду без буквеної частини.

Інакше кажучи, якщо запису многочлена стандартного виду є число, його називають вільним членом. Наприклад, 5 – це вільний член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 немає вільного члена.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Ще одним важливим супутнім визначенням є визначення ступеня багаточлену. Спочатку визначимо ступінь багаточлена стандартного виду, це визначення базується на ступенях одночленів, що у його складі.

Визначення.

Ступінь багаточлена стандартного вигляду– це найбільший із ступенів одночленів, що входять до його запису.

Наведемо приклади. Ступінь многочлена 5·x 3 −4 дорівнює 3 , оскільки одночлени 5·x 3 і −4, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0 відповідно, найбільше з цих чисел є 3 , воно і є ступенем многочлена за визначенням. А ступінь багаточлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·xдорівнює найбільшому з чисел 2+3=5 , 4+1=5 та 1 , тобто 5 .

Тепер з'ясуємо, як знайти рівень багаточлена довільного вигляду.

Визначення.

Ступенем багаточлена довільного виглядуназивають ступінь відповідного йому багаточлен стандартного виду.

Отже, якщо багаточлен записаний над стандартному вигляді, і потрібно знайти його ступінь, потрібно привести вихідний многочлен до стандартного вигляду, і знайти ступінь отриманого многочлена – вона й буде шуканою. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть ступінь багаточлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12.

Рішення.

Спочатку потрібно подати багаточлен у стандартному вигляді:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2.

В отриманий многочлен стандартного виду входять два одночлени −2·a 2 ·b 2 ·c 2 та y 2 ·z 2 . Знайдемо їх ступеня: 2+2+2=6 та 2+2=4 . Очевидно, найбільша з цих ступенів дорівнює 6 вона за визначенням є ступенем багаточлена стандартного виду −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2, Отже, і ступенем вихідного многочлена., 3 x і 7 многочлена 2 x -0,5 x x y +3 x +7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.