Системи лінійних однорідних рівнянь
Постановка задачі. Знайти якийсь базис та визначити розмірність лінійного простору рішень системи
План розв'язання.
1. Записуємо матрицю системи:
і з допомогою елементарних перетворень перетворимо матрицю трикутному виду, тобто. до такого виду, коли всі елементи, що знаходяться нижче за головну діагональ дорівнюють нулю. Ранг матриці системи дорівнює числулінійно незалежних рядків, тобто, у нашому випадку, числу рядків, у яких залишилися ненульові елементи:
Розмірність простору рішень дорівнює. Якщо , то однорідна система має єдине нульове рішення, якщо , то система має безліч рішень.
2. Вибираємо базисних та вільних змінних. Вільні змінні позначаємо. Потім базисні змінні виражаємо через вільні, отримавши таким чином загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь.
3. Записуємо базис простору рішень системи вважаючи послідовно одну з вільних змінних рівної одиниці, інші ж нулю. Розмірність лінійного простору рішень системи дорівнює кількості векторів базису.
Примітка. До елементарних перетворень матриці відносять:
1. множення (розподіл) рядка на множник, відмінний від нуля;
2. додаток до будь-якого рядка іншого рядка, помноженого на будь-яке число;
3. перестановка рядків місцями;
4. перетворення 1–3 для стовпців (у разі розв'язання систем лінійних рівнянь елементарні перетворення стовпців не використовуються).
Завдання 3.Знайти якийсь базис і визначити розмірність лінійного простору рішень системи.
Виписуємо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наводимо її до трикутного вигляду:
Вважаємо, тоді
Підмножина лінійного простору утворює підпростір, якщо він замкнутий щодо складання векторів та множення на скаляри.
П р і м е р 6.1. Чи утворює підпростір у площині безліч векторів, кінці яких лежать: а) у першій чверті; б) на прямій, яка проходить через початок координат? (початки векторів лежать на початку координат)
Рішення.
а) ні, оскільки множина не замкнута щодо множення на скаляр: при множенні на від'ємне число кінець вектора потрапляє у третю чверть.
б) так, оскільки при додаванні векторів і множенні їх на будь-яке число їхні кінці залишаються на тій же прямій.
У п р а ж н е н ня 6.1. Чи утворять підпростір такі підмножини відповідних лінійних просторів:
а) безліч векторів площини, кінці яких лежать у першій чи третій чверті;
б) безліч векторів площини, кінці яких лежать на прямій, яка не проходить через початок координат;
в) множина координатних рядків ((x 1 , x 2 , x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0);
г) безліч координатних рядків ((x 1 , x 2 , x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 1);
д) безліч координатних рядків ((x 1 , x 2 , x 3) x 1 = x 2 2 ).
Розмірністю лінійного простору L називається число dim L векторів, що входять у будь-який його базис.
Розмір суми та перетину підпросторів пов'язані співвідношенням
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U V).
П р і м е р 6.2. Знайти базис та розмірність суми та перетину підпросторів, натягнутих на наступні системи векторів:
Рішення. Кожна з систем векторів, Що породжують підпростору Uі V, лінійно незалежна, отже, є базисом відповідного підпростору. Побудуємо матрицю з координат даних векторів, розташувавши їх по шпальтах і відокремивши межею одну систему від іншої. Наведемо матрицю, що вийшла, до ступінчастого вигляду.
~
~
~
.
Базис U+V утворюють вектори 
,
,
, Яким у ступінчастій матриці відповідають провідні елементи. Отже, dim (U + V) = 3. Тоді
dim (UV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
Перетин підпросторів утворює безліч векторів, що задовольняють рівняння (які стоять у лівій та правій частинах цього рівняння). Базис перетину отримаємо за допомогою фундаментальної системи розв'язків системи лінійних рівнянь, що відповідає цьому векторному рівнянню. Матриця цієї системи вже наведена до ступінчастого вигляду. Виходячи з нього укладаємо, що y 2 - вільна змінна, і вважаємо y 2 = c. Тоді 0 = y1 - y2, y1 = c,. і перетин підпросторів утворює безліч векторів виду 
= з (3, 6, 3, 4). Отже, базис UV утворює вектор (3, 6, 3, 4).
Заміна. 1. Якщо продовжити вирішувати систему, знаходячи значення змінних х, то отримаємо x 2 = c, x 1 = c, і в лівій частині векторного рівняння вийде вектор 
, рівний отриманому вище.
2. Зазначеним методом можна отримати базис суми незалежно від того, чи є системи векторів, що породжують, лінійно незалежними. Але базис перетину буде отримано правильно, тільки якщо хоча б система, що породжує другий підпростір, є лінійно незалежною.
3. Якщо буде встановлено, що розмірність перетину дорівнює 0, то перетин не має базису і шукати його не потрібно.
У п р а ж н е н ня 6.2. Знайти базис та розмірність суми та перетину підпросторів, натягнутих на наступні системи векторів:
а) 
б) 
Лінійний простір V називається n-мірнимякщо в ньому існує система з n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з більшої кількості векторів лінійно залежна. Число n називається розмірністю (числом вимірів)лінійного простору V і позначається \operatorname(dim)V. Іншими словами, розмірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів цього простору. Якщо така кількість існує, то простір називається кінцевим. Якщо ж для будь-кого натурального числап у просторі V знайдеться система, що складається з n лінійно незалежних векторів, такий простір називають нескінченномірним (записують: \operatorname(dim)V=\infty). Далі, якщо не обумовлено неприємне, розглядатимуться кінцеві простори.
Базисом n-вимірного лінійного простору називається впорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів ( базисних векторів).
Теорема 8.1 про розкладання вектора за базисом. Якщо - базис n-вимірного лінійного простору V , то будь-який вектор \mathbf(v)\in V може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
і до того ж єдиним чином, тобто. коефіцієнти \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nвизначаються однозначно.Іншими словами, будь-який вектор простору може бути розкладений по базису і до того ж єдиним чином.
Справді, розмірність простору V дорівнює n. Система векторів \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nлінійно незалежна (це базис). Після приєднання до базису будь-якого вектора \mathbf(v) отримуємо лінійно залежну систему \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(оскільки ця система складається з (n+1) векторів n-мірного простору). За якістю 7 лінійно залежних та лінійно незалежних векторів отримуємо висновок теореми.
Наслідок 1. Якщо \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- базис простору V , то V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), тобто. Лінійний простір є лінійною оболонкою базисних векторів.
Насправді, для доказу рівності V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)двох множин досить показати, що включення V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)та виконуються одночасно. Справді, з одного боку, будь-яка лінійна комбінація векторів лінійного простору належить самому лінійному простору, тобто. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. З іншого боку, будь-який вектор простору за теоремою 8.1 можна як лінійної комбінації базисних векторів, тобто. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Звідси випливає рівність розглянутих множин.
Наслідок 2. Якщо \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- лінійно незалежна система векторів лінійного простору V і будь-який вектор \mathbf(v)\in V може бути представлений у вигляді лінійної комбінації (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, то простір V має розмірність n, а система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nє його базисом.
Насправді, у просторі V є система n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nз більшої кількості векторів (k>n) лінійно залежна, оскільки кожен вектор цієї системи лінійно виражається через вектори \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Значить, \operatorname(dim) V=nі \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- Базис V.
Теорема 8.2 щодо доповнення системи векторів до базису. Будь-яку лінійно незалежну систему k векторів n-мірного лінійного простору (1\leqslant k Насправді, нехай - лінійно незалежна система векторів n-вимірного простору V~(1\leqslant k Зауваження 8.4 1. Базис лінійного простору визначається неоднозначно. Наприклад, якщо \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n- базис простору V, то система векторів \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nза будь-якого \lambda\ne0 також є базисом V . Кількість базисних векторів у різних базисах однієї й тієї ж кінцевомірного простору, очевидно, одне й те саме, оскільки ця кількість дорівнює розмірності простору. 2. У деяких просторах, які часто зустрічаються в додатках, один з можливих базисів, найбільш зручний з практичної точки зору, називають стандартним. 3. Теорема 8.1 дозволяє говорити, що базис - це повна система елементів лінійного простору, тому, що будь-який вектор простору лінійно виражається через базисні вектори. 4. Якщо множина \mathbb(L) є лінійною оболонкою \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), то вектори \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kназивають утворюючими множини \mathbb(L) . Наслідок 1 теореми 8.1 в силу рівності V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)дозволяє говорити, що базис - це мінімальна система утворюючихлінійного простору V , тому що не можна зменшити кількість утворюючих (видалити хоча б один вектор з набору \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) без порушення рівності V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Теорема 8.2 дозволяє говорити, що базис – це максимальна лінійно незалежна система векторівлінійного простору, оскільки базис - це лінійно незалежна система векторів, і її не можна доповнити будь-яким вектором без втрати лінійної незалежності. 6. Наслідок 2 теореми 8.1 зручно застосовувати для знаходження базису та розмірності лінійного простору. У деяких підручниках воно береться за визначення базису, а саме: лінійно незалежна система \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nвекторів лінійного простору називається базисом, якщо будь-який вектор простору лінійно виражається через вектори \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Кількість базисних векторів визначає розмірність простору. Вочевидь, що це визначення еквівалентні наведеним вище. Вкажемо розмірність і базис для прикладів лінійних просторів, розглянутих вище. 1. Нульовий лінійний простір \(\mathbf(o)\) не містить лінійно незалежних векторів. Тому розмірність цього простору вважають рівною нулю: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Цей простір немає базису. 2. Простори V_1,\,V_2,\,V_3 мають розмірності 1, 2, 3 відповідно. Дійсно, будь-який ненульовий вектор простору V_1 утворює лінійно незалежну систему (див. пункт 1. зауважень 8.2), а будь-які два ненульові вектори простору V_1 колінеарні, тобто. лінійно залежні (див. приклад 8.1). Отже, \dim(V_1)=1 а базисом простору V_1 є будь-який ненульовий вектор. Аналогічно доводиться, що \dim(V_2)=2 і \dim(V_3)=3. Базисом простору V_2 служать будь-які два неколлінеарні вектори, взяті в певному порядку (один з них вважається першим базисним вектором, інший - другим). Базисом простору V_3 є будь-які три некомпланарні (не лежать в одній або паралельних площинах) вектора, взяті в певному порядку. Стандартним базисом V_1 є одиничний вектор \vec(i) на прямий. Стандартним базисом у V_2 вважається базис \vec(i),\,\vec(j)що складається з двох взаємно перпендикулярних одиничних векторів площини. Стандартним базисом у просторі V_3 вважається базис \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), Складений з трьох одиничних попарно перпендикулярних векторів, що утворюють праву трійку. 3. Простір \mathbb(R)^n містить не більше, ніж n лінійно незалежних векторів. Справді, візьмемо k стовпців \mathbb(R)^n і складемо з них матрицю розмірів n\times k . Якщо k>n то стовпці лінійно залежні за теоремою 3.4 про ранг матриці. Отже, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. У просторі \mathbb(R)^n не важко знайти лінійно незалежних стовпців. Наприклад, стовпці одиничної матриці \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. лінійно незалежні. Отже, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Простір \mathbb(R)^n називається n-мірним речовим арифметичним простором. Зазначений набір векторів вважається стандартним базисом простору \mathbb(R)^n. Аналогічно доводиться, що \dim(\mathbb(C)^n)=nтому простір \mathbb(C)^n називають n-вимірним комплексним арифметичним простором. 4. Нагадаємо, що будь-яке рішення однорідної системи Ax=o можна подати у вигляді x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), де r=\operatorname(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)– фундаментальна система рішень. Отже, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), тобто. базисом простору \(Ax=0\) рішень однорідної системи служить її фундаментальна система рішень, а розмірність простору \dim\(Ax=o\)=n-r, де n - кількість невідомих, а r - ранг матриці системи. 5. У просторі M_(2\times3) матриць розмірів 2\times3 можна вибрати 6 матриць: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_4+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) дорівнює нульовій матриці лише у тривіальному випадку \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_6=0. Прочитавши рівність (8.5) праворуч наліво, укладаємо, що кожна матриця з M_(2\times3) лінійним чином виражається через вибрані 6 матриць, тобто. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Отже, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, а матриці \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6є базисом (стандартним) цього простору. Аналогічно доводиться, що \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. Для будь-якого натурального n у просторі P(\mathbb(C)) багаточленів з комплексними коефіцієнтами можна знайти лінійно незалежних елементів. Наприклад, багаточлени \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)лінійно незалежні, оскільки їхня лінійна комбінація a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) дорівнює нульовому багаточлену (o(z) \ equiv0) тільки в тривіальному випадку a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Оскільки ця система багаточленів лінійно незалежна за будь-якого натурального л, простір P(\mathbb(C)) нескінченномірний. Аналогічно робимо висновок про нескінченну розмірність простору P(\mathbb(R)) багаточленів з дійсними коефіцієнтами. Простір P_n(\mathbb(R)) багаточленів ступеня не вище, ніж n кінцеве. Справді, вектори \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nутворюють базис (стандартний) цього простору, так як вони лінійно незалежні і будь-який многочлен з P_n(\mathbb(R)) можна представити у вигляді лінійної комбінації цих векторів: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Приклади базисів лінійних просторів
які лінійно незалежні. Справді, їхня лінійна комбінація
7. Простір C(\mathbb(R)) безперервних функцій є нескінченно мірним. Дійсно, для будь-якого натурального n багаточлени 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), Які розглядаються як безперервні функції, утворюють лінійно незалежні системи (див. попередній приклад).
В просторі T_(\omega)(\mathbb(R))тригонометричних двочленів (частоти \omega\ne0 ) з дійсними коефіцієнтами базис утворюють одночлени \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Вони лінійно незалежні, оскільки тотожна рівність a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0можливо лише у тривіальному випадку (a=b=0). Будь-яка функція виду f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tлінійно виражається через базисні: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Простір \mathbb(R)^X дійсних функцій, визначених на множині X, в залежності від області визначення X може бути кінцевим або нескінченним. Якщо X - кінцева множина, то простір \mathbb(R)^X кінцевий (наприклад, X = \ (1,2, \ ldots, n \)). Якщо X - безліч, то простір \mathbb(R)^X нескінченномірний (наприклад, простір \mathbb(R)^N послідовностей).
9. У просторі \mathbb(R)^(+) будь-яке позитивне число \mathbf(e)_1 , не рівне одиниці, може бути базисом. Візьмемо, наприклад, число \mathbf(e)_1=2. Будь-яке позитивне число r можна сказати через \mathbf(e)_1 , тобто. подати у вигляді \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, де \alpha_1=log_2r . Отже, розмірність цього простору дорівнює 1, а \mathbf(e)_1=2 є базисом.
10. Нехай \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- базис речового лінійного простору V. Визначимо на V лінійні скалярні функції, поклавши:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
При цьому в силу лінійності функції \mathcal(E)_i для довільного вектора отримуємо \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Отже, визначено n елементів (ковекторів) \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nпов'язаного простору V^(\ast) . Доведемо, що \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- Базис V^(\ast).
По-перше, покажемо, що система \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nлінійно незалежна. Справді, візьмемо лінійну комбінацію цих ковекторів (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=та прирівняємо її нульовій функції
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\in V.
Підставляючи в цю рівність \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, отримуємо \alpha_1=\alpha_2\cdot=\alpha_n=0. Отже, система елементів \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nпростору V^(\ast) лінійно незалежна, тому що рівність \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)можливо лише у тривіальному випадку.
По-друге, доведемо, що будь-яку лінійну функцію f\in V^(\ast) можна подати у вигляді лінійної комбінації ковекторів \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Дійсно, для будь-якого вектора \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nчерез лінійність функції f отримуємо:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n(\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf (v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
тобто. функція f представлена у вигляді лінійної комбінації f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nфункцій \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(числа \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- Коефіцієнти лінійної комбінації). Отже, система ковекторів \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nє базисом сполученого простору V^(\ast) і \dim(V^(\ast))=\dim(V)(Для кінцевого простору V ).
Якщо помітили помилку, друкарську помилку або є пропозиції, напишіть у коментарях.
1. Нехай підпростір L = L(а 1 , а 2 , …, а m) , тобто L- Лінійна оболонка системи а 1 , а 2 , …, а m; вектори а 1 , а 2 , …, а m- Система утворюють цього підпростору. Тоді базисом Lє базис системи векторів а 1 , а 2 , …, а m, тобто базис системи утворюють. Розмірність Lдорівнює рангу системи утворюючих.
2. Нехай підпростір Lє сумою підпросторів L 1 та L 2 . Систему утворюють суми підпросторів можна отримати об'єднанням систем утворюють підпросторів, після чого знаходиться базис суми. Розмір суми знаходиться за такою формулою:
dim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim(L 1 Ç L 2).
3. Нехай сума підпросторів L 1 та L 2 пряма, тобто L = L 1 Å L 2 . При цьому L 1 Ç L 2 = {про) та dim(L 1 Ç L 2) = 0. Базис прямої суми дорівнює об'єднанню базисів доданків. Розмірність прямої суми дорівнює сумі розмірностей доданків.
4. Наведемо важливий приклад підпростору та лінійного різноманіття.
Розглянемо однорідну систему mлінійних рівнянь з nневідомими. Безліч рішень М 0 цієї системи є підмножиною множини R nі замкнуто щодо складання векторів та множення їх на дійсне число. Це означає, що це безліч М 0 – підпростір простору R n. Базисом підпростору є фундаментальний набір рішень однорідної системи, розмірність підпростору дорівнює кількості векторів у фундаментальному наборі рішень системи.
Безліч Мрішень загальної системи mлінійних рівнянь з nневідомими так само є підмножиною множини R nі дорівнює сумі множини М 0 і вектор а, де а- Деяке приватне рішення вихідної системи, а безліч М 0 – безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь, супутньої даній системі (вона відрізняється від вихідної лише вільними членами),
М = а + М 0 = {а = m, m Î М 0 }.
Це означає, що безліч Мє лінійним різноманіттям простору R nз вектором зсуву ата напрямком М 0 .
Приклад 8.6.Знайти базис та розмірність підпростору, заданого однорідною системою лінійних рівнянь:
Рішення. Знайдемо загальне рішення цієї системи та її фундаментальний набір рішень: 
з 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), з 2 = (12, –8, 0, 1, 0), з 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Базис підпростору утворюють вектори з 1 , з 2 , з 3 його розмірність дорівнює трьом.
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Лінійна алгебра
Костромський державний університет імені н а некрасова.
Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
ББК 22.174я73-5
М350 Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради КМУ ім. Н. А. Некрасова Рецензент А. В. Чередніков
ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матицина, Є. К. Коржевіна 2013 ã КДУ ім. Н. А. Некрасова, 2013
Об'єднання (або сума)
Визначення 1.9.Об'єднанням множин А і В називається безліч A È B, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча
Перетин (або твір)
Визначення 1.10. Перетином множин А і В називається безліч A Ç B, яке складається з тих і тільки тих елементів, що належать
Різниця
Визначення 1.11.Різністю множин А і В називається безліч А В, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А
Декартовий твір (або прямий твір)
Визначення 1.14. Упорядкованою парою (або парою) (a, b) називається два елементи a, b взяті у визначеному порядку. Пари (a1
Властивості операцій над множинами
Властивості операцій об'єднання, перетину та доповнення іноді називають законами алгебри множин. Перелічимо основні властивості операцій над множинами. Нехай задана універсальна множина U
Метод математичної індукції
p align="justify"> Метод математичної індукції використовується для доказу тверджень, у формулюванні яких бере участь натуральний параметр n. Метод математичної індукції – метод доказу математики
Комплексні числа
Поняття числа одна із основних завоювань людської культури. Спочатку з'явилися натуральні числа N = (1, 2, 3, …, n, …) потім цілі Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), раціональні Q
Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Відомо, що негативні числа були введені у зв'язку з розв'язуванням лінійних рівнянь із однією змінною. У конкретних завданнях негативна відповідь тлумачилася як значення спрямованої величини (
Тригонометрична форма комплексного числа
Вектор можна задати не тільки координатами в прямокутній системі координат, але і довжиною
Дії над комплексними числами у тригонометричній формі
Додавання і віднімання зручніше робити над комплексними числами в алгебраїчній формі, а множення і поділ - у тригонометричній формі. 1. Множення.Нехай дані два до
Зведення в ступінь
Якщо z = r (cosj + i x sinj), то zn = rn (cos (nj) + i x sin (nj)), де n Î
Показова форма комплексного числа
З математичного аналізу відомо, що e = e – ірраціональне число. Ейле
Поняття відносини
Визначення 2.1. n-арним (або n-місцевим) ставленням на множинах A1, A2, …, An називається будь-яке підмноження
Властивості бінарних відносин
Нехай бінарне відношення Р задано на непорожній множині А, тобто РІ А2. Визначення 2.9.Бінарне відношення P на множині
Відношення еквівалентності
Визначення 2.15. Бінарне відношення на множині А називається ставленням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне. Відношення еквівал
Функції
Визначення 2.20.Бінарне відношення ƒ Í A ´ B називається функцією з множини A до множини B, якщо для будь-якого x
Загальні поняття
Визначення 3.1. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить m рядків та n стовпців. Числа m і n називають порядком (або
Складання однотипних матриць
Складати можна лише однотипні матриці. Визначення 3.12. Сумою двох матриць А = (aij) та B = (bij), де i = 1,
Властивості додавання матриць
1) комутативність: А, В: А + В = В + А; 2) асоціативність: А, В, С: (А + В) + С = А
Розмноження матриці на число
Визначення 3.13. Добутком матриці А = (aij) на дійсній число k називається матриця С = (сij), для якої з
Властивості множення матриці на число
1) "А: 1×А = А; 2)" α, β Î R, "А: (αβ)×А = α×(β×А) = β×
Розмноження матриць
Визначимо множення двох матриць; для цього необхідно запровадити деякі додаткові поняття. Визначення 3.14. Матриці А та В називаються узгодженими
Властивості множення матриць
1) Множення матриць не комутативно: A×B ≠ B×A. Продемонструвати цю властивість можна на прикладах. Приклад 3.6. а)
Транспонування матриць
Визначення 3.16. Матриця Аt, отримана з даної заміною кожного її рядка стовпцем з тим самим номером, називається транспонованою до даної матриці А
Визначники матриць другого та третього порядку
Кожній квадратній матриці А порядку n ставиться у відповідність число, яке називається визначником цієї матриці. Позначення: D, |A|, det A,
Визначення 4.6.
1. При n = 1 матриця складається з одного числа: |A| = А11. 2. Нехай для матриці порядку (n – 1) визначник відомий. 3. Визнач
Властивості визначників
Щоб обчислювати визначники порядків, більших, ніж 3, використовують властивості визначників і теорему Лапласа. Теорема 4.1 (Лапласа). Визначник квадратної матриці
Практичне обчислення визначників
Один із способів обчислення визначників порядку вище трьох - розкладання його по якомусь стовпцю або рядку. Приклад 4.4. Обчислити визначник D =
Поняття рангу матриці
Нехай А - матриця розмірності m n. Виберемо в цій матриці довільно k рядків і k стовпців, де 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Знаходження рангу матриці методом облямівки мінорів
Один із методів методом знаходження рангу матриці є метод перебору мінорів. Цей спосіб ґрунтується на визначенні рангу матриці. Суть методу у наступному. Якщо є хоча б один елемент ма
Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень
Розглянемо ще один спосіб знаходження рангу матриці. Визначення 5.4. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення: 1.
Поняття зворотної матриці та способи її знаходження
Нехай дано квадратну матрицю А. Визначення 5.7. Матриця А–1 називається зворотною для матриці А, якщо А×А–1
Алгоритм знаходження зворотної матриці
Розглянемо один із способів знаходження зворотної матриці до даної за допомогою додатків алгебри. Нехай дано квадратну матрицю А. 1. Знаходимо визначник матриці |A|. Ес
Знаходження зворотної матриці за допомогою елементарних перетворень
Розглянемо спосіб знаходження зворотної матиці за допомогою елементарних перетворень. Сформулюємо необхідні поняття та теореми. Визначення 5.11.Матриця У назив
Метод Крамера
Розглянемо систему лінійних рівнянь, у якій число рівнянь дорівнює кількості невідомих, тобто m = n і система має вигляд:
Метод зворотної матриці
Метод зворотної матриці застосовується для систем лінійних рівнянь, у яких число рівнянь дорівнює числу невідомих і визначник основної матриці не дорівнює нулю. Матрична форма запису системи
Метод Гауса
Для опису цього, який годиться на вирішення довільних систем лінійних рівнянь, необхідні деякі нові поняття. Визначення 6.7. Рівняння виду 0×
Опис методу Гауса
Метод Гаусса – метод послідовного виключення невідомих – у тому, що з допомогою елементарних перетворень вихідна система наводиться до рівносильної їй системі ступінчастого чи т
Дослідження системи лінійних рівнянь
Дослідити систему лінійних рівнянь – це, не вирішуючи систему, відповісти питанням: спільна система чи ні, і якщо спільна, то, скільки в неї рішень. Відповісти на цей
Однорідні системи лінійних рівнянь
Визначення 6.11. Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо її вільні члени дорівнюють нулю. Однорідна система m лінійних рівнянь
Властивості розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь
1. Якщо вектор а = (a1, a2, …, an) є рішенням однорідної системи, то вектор k×а = (k×a1, k&t
Фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь
Нехай М0 – безліч розв'язків однорідної системи (4) лінійних рівнянь. Визначення 6.12.Вектори с1, с2, …, с
Лінійна залежність та незалежність системи векторів
Нехай а1, а2, …, аm множина з m штук n-мірних векторів, про який прийнято говорити – система векторів, і k1
Властивості лінійної залежності системи векторів
1) Система векторів, що містить нульовий вектор, лінійно залежна. 2) Система векторів лінійно залежна, якщо якась її підсистема лінійно залежна. Слідство. Якщо сі
Поодинока система векторів
Визначення 7.13. Системою одиничних векторів простору Rn називається система векторів e1, e2, …, en
Дві теореми про лінійну залежність
Теорема 7.1. Якщо велика система векторів лінійно виражається через меншу, велика система лінійно залежна. Сформулюємо цю теорему докладніше: нехай а1
Базис та ранг системи векторів
Нехай S – система векторів простору Rn; вона може бути як кінцевою, так і нескінченною. S" – підсистема системи S, S" Ì S. Дамо два
Ранг системи векторів
Дамо два рівносильні визначення рангу системи векторів. Визначення 7.16. Рангом системи векторів називається кількість векторів у будь-якому базисі цієї системи.
Практичне знаходження рангу та базису системи векторів
З цієї системи векторів складаємо матрицю, розташувавши вектори як рядки цієї матриці. Наводимо матрицю до ступінчастого виду за допомогою елементарних перетворень над рядками цієї матриці. При
Визначення векторного простору над довільним полем
Нехай P – довільне поле. Відомі приклади полів – поле раціональних, дійсних, комплексних чисел. Визначення 8.1. Безліч V називається в
Найпростіші властивості векторних просторів
1) про – нульовий вектор (елемент), визначений єдиним чином у довільному векторному просторі над полем. 2) Для будь-якого вектора a V існує єдиний вектор
Підпростору. Лінійні різноманіття
Нехай V – векторний простір, L Ì V (L підмножина V). Визначення 8.2. Підмножина L векторного про
Перетин та сума підпросторів
Нехай V – векторний простір над полем P, L1 та L2 – його підпростору. Визначення 8.3. Перетином підпитування
Лінійні різноманіття
Нехай V – векторний простір, L – підпростір, a – довільний вектор із простору V. Визначення 8.6. Лінійним різноманіттям
Звичайні векторні простори
Визначення 8.7. Векторний простір V називається n-мірним, якщо в ньому існує лінійно незалежна система векторів, що складається з n векторів, і при
Базис кінцевого векторного простору
V – кінцевий векторний простір над полем P, S – система векторів (кінцева або нескінченна). Визначення 8.10. Базисом системи S
Координати вектора щодо даного базису
Розглянемо кінцевий векторний простір V розмірності n, вектори e1, e2, ..., en утворюють його базис. Нехай a – вир
Координати вектора в різних базисах
Нехай V - n-вимірний векторний простір, в якому задані два базиси: e1, e2, …, en - старий базис, e"1, e
Векторні Евклідові простору
Дано векторний простір V над полем дійсних чисел. Цей простір може бути як кінцевим векторним простором розмірності n, так і нескінченномірним.
Скалярний твір у координатах
У векторному евклідовому просторі V розмірності n заданий базис e1, e2, …, en. Вектори x та y розкладені за векторами
Метричні поняття
В евклідових векторних просторах від введеного скалярного твору можна перейти до понять норми вектора та кута між векторами. Визначення 8.16. Нормою (
Властивості норми
1) ||a|| = 0 u a = о. 2) | | la | | = |l|×||a||, тому що ||la|| =
Ортонормований базис евклідова векторного простору.
Визначення 8.21. Базис евклідова векторного простору називається ортогональним, якщо вектори базису попарно ортогональні, тобто якщо а1, а
Процес ортогоналізації
Теорема 8.12. У кожному n-мірному евклідовому просторі існує ортонормований базис. Доведення. Нехай а1, а2
Скалярний твір в ортонормованому базисі
Даний ортонормований базис e1, e2, …, en евклідового простору V. Оскільки (ei, ej) = 0 при i
Ортогональне доповнення підпростору
V – евклідово векторний простір, L – його підпростір. Визначення 8.23. Говорять, що вектор а ортогональний підпростором L , якщо вектор
Зв'язок між координатами вектора та координатами його образу
У просторі V заданий лінійний оператор j, а також у деякому базисі e1, e2, …, en знайдено його матрицю M(j). Нехай у цьому базис
Подібні матриці
Розглянемо безліч Рn квадратних матриць порядку n з елементами з довільного поля P. Введемо на цій множині відно
Властивості відношення подібності матриць
1. Рефлексивність. Будь-яка матриця подібна сама собі, т. Е. А ~ А. 2. Симетричність. Якщо матриця A подібна до B, то і B подібна до A, тобто
Властивості власних векторів
1. Кожен власний вектор належить лише одного власного значення. Доведення. Нехай x власний вектор із двома власними значеннями
Характеристичний багаточлен матриці
Дано матрицю A Î Рn'n (або A Î Rn'n). Визнач
Умови, за яких матриця подібна до діагональної матриці
Нехай A – квадратна матриця. Можна вважати, що це матриця деякого лінійного оператора заданого в якомусь базисі. Відомо, що в іншому базисі матриця лінійного опера
Жорданова нормальна форма
Визначення 10.5. Жорданової клітиною порядку k, що відноситься до l0, називається матриця порядку k, 1 ≤ k ≤ n,
Приведення матриці до жерданової (нормальної) форми
Теорема 10.3. Жорданову нормальна форма визначається для матриці однозначно з точністю до порядку розташування жерданових клітин на головній діагоналі. Пр
Білінійні форми
Визначення 11.1. Білінійною формою називається функція (відображення) f: V ´ V ® R (або C), де V – довільне векторне п
Властивості білінійних форм
Будь-яку білінійну форму можна подати у вигляді суми симетричної кососиметричної форм. При обраному базисі e1, e2, …, en вектор
Перетворення матриці білінійної форми під час переходу до нового базису. Ранг білінійної форми
Нехай у векторному просторі V задані два базиси e = (e1, e2, …, en) та f = (f1, f2,
Квадратичні форми
Нехай A(x, y) – симетрична білінійна форма, задана на векторному просторі V. Визначення 11.6.
Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду
Дано квадратичну форму (2) A(x, x) = , де x = (x1
Закон інерції квадратичних форм
Встановлено, що кількість відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів квадратичної форми дорівнює її рангу і не залежить від вибору невиродженого перетворення, за допомогою якого форма A(x
Необхідна та достатня умова знаковизначеності квадратичної форми
Твердження 11.1. Для того щоб квадратична форма A(x, x), задана в n-вимірному векторному просторі V, була знаковизначеною, необхідно
Необхідна і достатня умова квазізнакозмінності квадратичної форми
Твердження 11.3. Для того щоб квадратична форма A(x, x), задана в n-вимірному векторному просторі V, була квазізнакозмінною (тобто
Критерій Сильвестра знаковизначеності квадратичної форми
Нехай форма A(x, x) у базисі e = (e1, e2, …, en) визначається матрицею A(e) = (aij)
Висновок
Лінійна алгебра є обов'язковою частиною будь-якої програми з вищої математики. Будь-який інший розділ передбачає наявність знань, умінь та навичок, закладених під час викладання цієї дисциплі
бібліографічний список
Бурмістрова Є.Б., Лобанов С.Г. Лінійна алгебра з елементами аналітичної геометрії. - М.: Вид-во ВШЕ, 2007. Беклемішев Д.В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри.
Лінійна алгебра
Навчально-методичний посібник Редактор та коректор Г. Д. Неганова Комп'ютерний набір Т. Н. Матицін, Є. К. Коржевіна
Згідно з визначенням лінійного простору, щоб Aбуло підпростором треба перевірити здійсненність у Aоперацій:
1) : 
;
2) 
: 
;
і перевірити, що операції в Aпідпорядковані восьми аксіом. Однак останнє буде зайвим (через ці аксіоми виконуються в L) тобто. справедлива наступна
Теорема.Нехай L лінійний простір над полем P і 
. Безліч A тоді і тільки тоді є підпростором L, коли виконуються такі вимоги:
Твердження.Якщо L – n-мірний лінійний простір та Aйого підпростір, то Aтакож кінцевий лінійний простір і його розмірність не перевищує n.
П 
ример 1.
Чи є підпростором простору векторів-відрізків V 2 безліч S всіх векторів площини, кожен з яких лежить на одній із осей координат 0x або 0y?
Рішення: Нехай 
, 
і 
, 
. Тоді 
. Отже, S не є підпростором 
.
приклад 2.Чи є лінійним підпростором лінійного простору V 2 векторів-відрізків площини безліч Sвсіх векторів площини, початку та кінці яких лежать на даній прямій lцій площині?
Рішення.
Е 
слі вектор 
помножити на дійсне число k, то отримаємо вектор 
, також належить S. Якщо 
і 
– два вектори з S, то 
(За правилом складання векторів на прямий). Отже, S є підпростором 
.
приклад 3.Чи є лінійним підпростором лінійного простору V 2 безліч Aвсіх векторів площини, кінці яких лежать на даній прямій l, (Припустити, що початок будь-якого вектора збігається з початком координат)?
Р 
ешение.
У разі, коли пряма lне проходить через початок координат безліч Алінійним підпростором простору V 2
не є, т.к. 
.
У разі, коли пряма l
проходить через початок координат, безліч Ає лінійним підпростором простору V 2
,
т.к. 
та при множенні будь-якого вектора 
на дійсне число α
з поля Ротримаємо 
. Таким чином , вимоги лінійного простору для множини Авиконані.
приклад 4.Нехай дана система векторів 
з лінійного простору Lнад полем P. Довести, що безліч різноманітних лінійних комбінацій 
з коефіцієнтами 
з Pє підпростором L(це підпростір Aназивають підпростором, породженим системою векторів або лінійною оболонкою цієї системи векторів, і позначають так: 
або 
).
Рішення. Дійсно, так як , то для будь-яких елементів x,
y
Aмаємо: 
, 
, де 
, 
. Тоді
Оскільки , то 
тому 
.
Перевіримо здійсненність другої умови теореми. Якщо x– будь-який вектор з Aі t– будь-яке число з P, то. Оскільки 
і 
,, то 
, тому 
. Таким чином, згідно з теореми, A- Підпростір лінійного простору L.
Для кінцевих лінійних просторів справедливе і зворотне твердження.
Теорема.Будь-який підпростір Алінійного простору Lнад полем 
є лінійною оболонкою певної системи векторів.
При розв'язанні задачі знаходження базису та розмірності лінійної оболонки використовують наступну теорему.
Теорема.Базис лінійної оболонки 
збігається з базисом системи векторів. Розмірність лінійної оболонки збігається з рангом системи векторів.
приклад 4.Знайти базис та розмірність підпростору 
лінійного простору Р 3
[
x]
, якщо 
, 
, 
, 
.
Рішення. Відомо, що вектори та їх координатні рядки (стовпці) мають однакові властивості (щодо лінійної залежності). Складаємо матрицю A=
з координатних стовпців векторів 
у базисі 
.
Знайдемо ранг матриці A.
. М 3
=
. 
.
Отже, ранг r(A)=
3. Отже, ранг системи векторів дорівнює 3. Отже, розмірність підпростору S дорівнює 3, яке базис складається з трьох векторів 
(т.к. в базисний мінор 
входять координати цих векторів).
Приклад 5.Довести, що безліч Hвекторів арифметичного простору 
, у яких перша та остання координати дорівнюють 0, становить лінійний підпростір. Знайти його базис та розмірність.
Рішення. Нехай 
.
Тоді, і. Отже, 
для будь-яких. Якщо 
, 
, то. Таким чином, згідно з теоремою про лінійний підпростір, безліч Hє лінійним підпростором простору. Знайдемо базис H. Розглянемо наступні вектори з H: 
, 
, . Ця система векторів є лінійно незалежною. Справді, нехай.
