Говоритимемо, що натуральне число а більше, ніж натуральне число b(і позначати а > b), якщо є таке натуральне k, що а = b + k.

Теорема 1. Одиниця не більша за жодне натуральне число.

Дійсно, умова 1 > a спричиняє 1 = а + k, що неможливо: для k = 1 отримаємо 1 = а / , що суперечить першій аксіомі натуральних чисел; для k ¹ 1 знайдемо для нього попередній і знову прийдемо до того ж протиріччя.

Дане відношення «більше» є антирефлексивним(не вірно, що а > a) і транзитивним(а > b /\ b > c => a > c), тобто є ставленням суворого порядку. Більше того, це ставлення є ставленням лінійного порядку, тобто для безлічі натуральних чисел справедлива теорема про трихотомію:

Теорема про трихотомію:Для будь-яких двох натуральних чисел справедливе одне і лише одне з наступних трьох тверджень:

Доведення: Спочатку покажемо, що жодні дві з трьох умов не виконуються одночасно. Припустимо, що виконані умови 1 та 2. Тоді

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

що суперечить антирефлексивності відносини «більше». Аналогічно встановлюється несумісність умов 2 та 3, умов 1 та 3.

Тепер доведемо, що одна з трьох умов обов'язково має місце для будь-яких чисел а та b. Використовуємо математичну індукцію з b. При b = 1, залежно від а: або а = 1 = b, або а є попередній, тоді

а = с / = с + 1 = 1 + с = b + c => a> b.

Отже, для b = 1 твердження теореми справедливе. Зробимо індукційне припущення про те, що теорема справедлива для деякого х, а саме, що х порівняємо з числом а, тобто можливі три варіанти: або a > x або x > a, або х = а. Тоді доведемо, що і х/так само порівняємо з а. У першому випадку a> x, тобто а = х + k. Залежно від того, буде дане k дорівнює 1 чи ні, отримаємо

а) а = х + 1 = х / (теорема справедлива)

б) а = х + с / = х + с + 1 = х + 1 + с = х / + с => a > x /.

У другому випадку x > a, але тоді

х / = (а + m) +1 = a + (m + 1),

тобто x/> a. Аналогічно за х = а, х / = х + 1 = а + 1, тобто знову x / > a. Теорему повністю доведено.

Тепер можна запровадити поняття<, £, ³.

a< b ó b >a;

a £ b ó a< b \/ a = b

a b a > b \/ a = b.

Властивості монотонності:

Для операції складання:

1) а > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => а > b;

3) а > b / c > d = > a + c > b + d.

<, £, ³.

Для операції множення:

4) а > b => a×c > b×c;

5) Закон скорочення: ас = bc => a = b

6) ac > bc => а > b;

7) а > b / c > d=> ac > bd.

Ті ж властивості мають місце і для інших знаків<, £, ³.

Наведемо як приклад докази властивостей 4 і 5. Оскільки а > b, за визначенням а = b + k, тоді а×с = (b + k)×c = b×c + k×c, що означає, що a ×c > b×c, та властивість 4 доведено. Властивість 5 доведемо шляхом протилежного. Нехай ас = bc, але припустимо, що а ≠ b, але тоді, за теоремою про трихотомію, або а > b, або b > a, але це означає, відповідно до властивості 4, що ас > bс, або bс > aс, що суперечить умові (ас = BC).

Теорема про дискретність.Між двома сусідніми натуральними числами не можна вставити натуральне число:

("а, х Î N) не вірно, що а< x < a /

Доведення(Методом від протилежного). Нехай а< x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

Остання рівність неможлива, тому що суперечить теоремі про те, що одиниця не більше ніякого натурального числа.

Терема Архімеда.Для будь-яких натуральних чисел а та b існує таке натуральне n, що a< bn.

Доказ проведемо індукцією з b. Для b = 1, n = a/. Зробимо індукційне припущення, що для b = k необхідне n існує, тобто a< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

Найменшим елементом множини Мназиватимемо такий елемент з Î М, що для будь-яких елементів m Î M виконано нерівність: з ≤ m.

Теорема про найменший елемент. Будь-яке непусте підмножина безлічі натуральних чисел має найменший елемент.

Доведення: Якщо М – підмножина N, що містить у собі 1, то 1 якраз і буде найменшим шуканим елементом. Якщо ж 1 не входить до множини М, то розглянемо допоміжну множину А, що складається з усіх натуральних чисел менших, ніж усі натуральні числа з множини М:

А = (a Î N| (" m Î M) a< m}.

З цієї побудови, зокрема випливає, що множини А та М не мають загальних елементів. Крім того, А – не порожньо, тому що 1 Î А. В А є також елемент b, що b / Ï А. Справді, якби такого елемента не було, то за аксіомою індукції можна було б довести, що А = NАле тоді М було б порожньо, що не відповідає умові теореми. Елемент b / = з якраз і буде найменшим елементом у множині М. Дійсно, з £ m для будь-якого m ÎМ (якби це було не так, то нерівність з > m виконувалася б хоча б при одному натуральному m, але b Î A тому b< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

Зауважимо, що не всяке підмножина множини натуральних чисел має найбільший елемент, але якщо це підмножина звичайно, то в ньому є і найбільший елемент. Правильне і зворотне. Якщо підмножина безлічі натуральних чисел має найбільший елемент, це підмножина звичайно. Можна довести навіть більш загальне твердження: непусте підмножина безлічі натуральних чисел обмежена зверху і тоді, коли воно звичайно (має найбільший елемент).

Завдання для самостійного рішення

№1.8. Доведіть антирефлексивність та транзитивність відношення «більше» на безлічі натуральних чисел.

№1.9. Доведіть властивості монотонності 1, 2, 3, 6, 7 цього параграфа.

№1.10. Доведіть нерівності для всіх натуральних n

а) 5n> 7n - 3;

б) 2n+2> 2n+5;

Як відомо, безліч натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою відношення "менше". Але правила побудови аксіоматичної теорії вимагають, щоб це ставлення було не лише визначено, а й зроблено це на основі вже визначених у цій теорії понять. Зробити це можна, визначивши відношення "менше" через додавання.

Визначення. Число а менше числа b (а< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

За цих умов говорять також, що число bбільше ата пишуть b > а.

Теорема 12.Для будь-яких натуральних чисел аі bмає місце одне і лише одне із трьох відносин: а = b, а > b, а < b.

Доказ цієї теореми ми опускаємо. З цієї теореми випливає, що якщо

а ¹ b,те чи а< b, або а > b,тобто. відношення «менше» має властивість пов'язаності.

Теорема 13.Якщо а< b і b< с. то а< с.

Доведення. Ця теорема виражає властивість транзитивності відношення «менше».

Так як а< b і b< с. то, за визначенням відношення «менше», знайдуться такі натуральні числа доі що b = а + і с = b + I.Але тоді з = (а + к)+ / і на підставі якості асоціативності складання отримуємо: з = а + (до +/). Оскільки до + I -натуральне число, то, згідно з визначенням «менше», а< с.

Теорема 14. Якщо а< b, то невірно, що b< а. Доведення. Ця теорема виражає властивість антисиметричністьвідносини «менше».

Доведемо спочатку, що для жодного натурального числа ане ви-!>! ■ ) її відношення а< а.Припустимо неприємне, тобто. що а< а має місце. Тоді, за визначенням відношення «менше», знайдеться таке натуральне число с,що а+ з= а,а це суперечить теоремі 6.

Доведемо тепер, що якщо а< b, то невірно, що b < а.Припустимо неприємне, тобто. що якщо а< b , то b< а виконується. Але з цих рівностей з теореми 12 маємо а< а, що неможливо.

Оскільки певне нами ставлення «менше» антисиметрично і транзитивно і має властивість зв'язаності, воно є ставленням лінійного порядку, а безліч натуральних чисел лінійно впорядкованою безліччю.

З визначення «менше» та його властивостей можна вивести відомі властивості множини натуральних чисел.

Теорема 15.Зі всіх натуральних чисел одиниця є найменшим числом, тобто. I< а для любого натурального числа а¹1.

Доведення. Нехай а -будь-яке натуральне число. Тоді можливі два випадки: а = 1 та а ¹ 1. Якщо а = 1, то існує натуральне число b,за яким слідує а: а = b " = b + I = 1+ b,тобто, за визначенням відносини «менше», 1< а.Отже, будь-яке натуральне дорівнює 1 чи більше 1. Або, одиниця є найменшим натуральним числом.

Відношення «менше» пов'язане зі складанням та множенням чисел властивостями монотонності.

Теорема 16.

а = b => а + с = b + с та а с = b с;

а< b =>а + с< b + с и ас < bс;

а > b => а + с > b + с та ас > bс.

Доведення. 1) Справедливість цього твердження випливає з єдиності складання та множення.

2) Якщо а< b, то існує таке натуральне число k,що а + k = b.
Тоді b+ с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с+ к)= (а+с)+к.Рівність b+ с = (а + с) + доозначає, що а + с< b + с.

Так само доводиться, що а< b =>ас< bс.

3) Доводиться аналогічно.

Теорема 17(Зворотна теоремі 16).

1) а+ с = Ь + сабо ас ~ Ьс-Þ а = Ь

2) а + с< Ь + с або ас< ЬсÞ а< Ь:

3) а + с > Ь+ з або ас > ЬсÞ а > Ь.

Доведення. Доведемо, наприклад, що з ас< bс слід а< b Припустимо неприємне, тобто. що висновок теореми не виконується. Тоді не може бути, що а = b.тому що тоді б виконувалася рівність ас = bс(Теорема 16); не може бути і а> b,бо тоді б ас > bс(Теорема!6). Тому, відповідно до теореми 12, а< b.

З теорем 16 та 17 можна вивести відомі правила почленного складання та множення нерівностей. Ми їх опускаємо.

Теорема 18. Для будь-яких натуральних чисел аі b; існує таке натуральне число n, що п а.

Доведення. Для будь-кого азнайдеться таке число п, що п > а.Для цього достатньо взяти п = а + 1. Перемножуючи почленно нерівності п> аі b> 1, отримуємо пb > а.

З розглянутих властивостей відносини «менше» випливають важливі особливості множини натуральних чисел, які ми наводимо без доказу.

1. Ні для одного натурального числа ане існує такого натурального числа п,що а< п < а + 1. Ця властивість називається властивістю
дискретностібезлічі натуральних чисел, а числа аі а + 1 називають сусідніми.

2. Будь-яке непусте підмножина натуральних чисел містить
найменше число.

3. Якщо М- Непорожня підмножина безлічі натуральних чисел
і існує таке число b,що для всіх чисел х з Мвиконується не
рівність х< b,то в безлічі Мє найбільша кількість.

Проілюструємо властивості 2 та 3 на прикладі. Нехай М- безліч двоцифрових чисел. Так як Мє підмножина натуральних чисел і для всіх чисел цієї множини виконується нерівність х< 100, то в множестве Мє найбільше число 99. Найменше число, що міститься в даній множині М, -Число 10.

Таким чином, відношення «менше» дозволило розглянути (і в ряді випадків довести) значну кількість властивостей множини натуральних чисел. Зокрема, воно є лінійно впорядкованим, дискретним, у ньому є найменше 1.

Зі ставленням «менше» («більше») для натуральних чисел молодші школярі знайомляться на самому початку навчання. І часто, поряд з його теоретико-множинним трактуванням, неявно використовується визначення, дане нами в рамках аксіоматичної теорії. Наприклад, учні можуть пояснити, що 9 > 7, оскільки 9 - це 7+2. Нерідко і неявне використання властивостей монотонності складання та множення. Наприклад, діти пояснюють, що «6+2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Вправи

1, Чому безліч натуральних чисел не можна впорядкувати за допомогою відносини «безпосередньо слідувати за»?

Сформулюйте визначення відносин а > bі доведіть, що воно транзитивне та антисиметричне.

3. Доведіть, що якщо а, b, с- натуральні числа, то:

а) а< b Þ ас < bс;

б) а+ з< b + сÞ> а< Ь.

4. Які теореми про монотонність додавання та множення можуть
використовувати молодші школярі, виконуючи завдання «Порівняй, не виконуючи обчислень»:

а) 27+8...27+18;

б) 27-8...27-18.

5. Які властивості множини натуральних чисел неявно використовують молодші школярі, виконуючи такі завдання:

А) Запиши числа, які більші, ніж 65, і менші, ніж 75.

Б) Назви попереднє та наступне числа по відношенню до числа 300 (800,609,999).

В) Назви найменше та найбільше тризначне число.

Віднімання

При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел віднімання зазвичай визначається як операція, зворотна до складання.

Визначення. Відніманням натуральних чисел а і b називається операція, що задовольняє умові: а - b = з тоді і тільки тоді, коли b + с = а.

Число а - bназивається різницею чисел а і b,число а- зменшуваним, а число b -віднімається.

Теорема 19.Різниця натуральних чисел а- bіснує тоді і лише тоді, коли b< а.

Доведення. Нехай різниця а- bІснує. Тоді, за визначенням різниці, знайдеться таке натуральне число с,що b + с = а,а це означає, що b< а.

Якщо ж b< а, то, за визначенням відношення «менше», існує таке натуральне число, що b + с = а.Тоді, за визначенням різниці, с = а - b,тобто. різниця а - bІснує.

Теорема 20. Якщо різниця натуральних чисел аі bіснує, вона єдина.

Доведення. Припустимо, що існує два різні значення різниці чисел аі b;: а - b= с₁і а - b= с₂, причому с₁ ¹ с₂ .Тоді за визначенням різниці, маємо: а = b + с₁,і а = b + с₂ : .Звідси слідує що b+ з ₁ = b + с₂ :і на підставі теореми 17 укладаємо, с₁ = с₂.Прийшли до протиріччя з припущенням, отже, воно неправильне, а вірна ця теорема.

Виходячи з визначення різниці натуральних чисел та умови її існування, можна обґрунтувати відомі правила віднімання числа із суми та суми з числа.

Теорема 21. Нехай а. bі з- натуральні числа.

а якщо а > с, то (а + b) – с = (a – с) + b.

б) Якщо b > с. то (а + b) – з – а + (b – с).

в) Якщо а > c та b > с.то можна використовувати будь-яку з даних формул.
Доведення. У разі а) різниця чисел аі cіснує, оскільки а > с.Позначимо її через х: а – с = х.звідки а = с + х. Якщо (а+ b) – с = у.то, за визначенням різниці, а+ b = з+ у. Підставимо в цю рівність замість авираз з + х:(з + х) + b = с + у.Скористаємося властивістю асоціативності додавання: с + (х + b) = с+ у. Перетворимо цю рівність на основі властивості монотонності додавання, отримаємо:

х + b = у.. Замінивши в даній рівності х на вираз а - с,будемо мати (а -г) + b = у.Таким чином, ми довели, що якщо а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b

Аналогічно проводиться доказ у разі б).

Доведену теорему можна сформулювати у вигляді правила, зручного для запам'ятовування: для того, щоб відняти число із суми, достатньо відняти це число з одного складового суми і до отриманого результату додати інше доданок.

Теорема 22.Нехай а, b і с -натуральні числа. Якщо а > b+ с, то а- (b + с) = (а - b) - сабо а – (b + с) = (а – c) – b.

Доказ цієї теорії аналогічний доказу теореми 21.

Теорему 22 можна сформулювати у вигляді правила, для того щоб відняти з числа суму чисел, достатньо відняти від цього числа послідовно кожне доданок одне за одним.

У початковому навчанніматематики визначення віднімання як дії, зворотного додавання, загальному вигляді, зазвичай, не дається, але їм постійно користуються, починаючи з виконання дій над однозначними числами. Учні повинні добре розуміти, що віднімання пов'язане зі складанням, і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Віднімаючи, наприклад, з числа 40 число 16, учні міркують так: «Відняти з 40 число 16 - що означає знайти таке число, при складанні якого з числом 16 виходить 40; таким числом буде 24, тому що 24 + 16 = 40. Значить. 40 – 16 = 24».

Правила віднімання числа із суми та суми з числа у початковому курсі математики є теоретичною основоюрізних прийомів обчислень. Наприклад, значення виразу (40 + 16) - 10 можна знайти, не тільки обчисливши суму в дужках, а потім відняти з неї число 10, але і таким чином;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.

Вправи

1. Чи правильно, що кожне натуральне число виходить із безпосередньо наступного відніманням одиниці?

2. У чому особливість логічної структури теореми 19? Чи можна її сформулювати, використовуючи слова «необхідне та достатньо»?

3. Доведіть, що:

а якщо b > с,то (а + b) – с = а + (b – с);

б) якщо а > b + с, то а - (b+ с) = (а – b) – с.

4. Чи можна, не виконуючи обчислень, сказати, значення яких виразів дорівнюватимуть:

а) (50 + 16) - 14; г) 50+ (16 -14 ),

б) (50 – 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 – 14) – 16, е) (50 + 14) – 16.

а) 50 – (16 + 14); г) (50 – 14) + 16;

б) (50 – 16) + 14; д) (50 – 14) – 16;

в) (50 – 16) – 14; е) 50 - 16-14.

5. Які властивості віднімання є теоретичною основою наступних прийомів обчислення, що вивчаються у початковому курсі математики:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - П;

в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

г) 48 – 3 = (40 + 8) – 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишіть можливі методи обчислення значення виразу виду. а - b- зта проілюструйте їх на конкретних прикладах.

7. Доведіть, що за b< а і будь-яких натуральних c вірна рівність (a - b) с = ас - bс.

Вказівка. Доказ ґрунтується на аксіомі 4.

8. Визначте значення виразу, не виконуючи письмових обчислень. Відповіді обґрунтуйте.

а) 7865 × 6 - 7865 × 5: б) 957 × 11 - 957; в) 12×36 – 7×36.

Поділ

При аксіоматичному побудові теорії натуральних чисел розподіл зазвичай визначається як операція, обернена до множення.

Визначення. Поділом натуральних чисел а і b називається операція, що задовольняє умові: а: b = з тоді і тільки тоді,до коли b× з = а.

Число а:bназивається приватнимчисел аі b,число аділимим, число b- дільником.

Як відомо, розподіл на безлічі натуральних чисел існує не завжди, і такої зручної ознаки існування приватної, яка існує для різниці, немає. Є лише необхідна умова існування приватного.

Теорема 23.Для того, щоб існувало приватне двох натуральних чисел аі bнеобхідно, щоб b< а.

Доведення. Нехай приватне натуральних чисел аі bіснує, тобто. є таке натуральне число c, що bс = а.Оскільки для будь-якого натурального числа 1 справедлива нерівність 1 £ с,то, помноживши обидві його частини на натуральне число b, отримаємо b£ bс.Але bс = а,отже, b£ а.

Теорема 24.Якщо приватне натуральних чисел аі bіснує, воно єдине.

Доказ цієї теореми аналогічний доказу теореми про єдиність різниці натуральних чисел.

Виходячи з визначення частки натуральних чисел та умов його існування, можна обґрунтувати відомі правила поділу суми (різниці, твори) на число.

Теорема 25.Якщо числа аі bділяться на число с,то та їх сума а + bділиться на с, причому приватне, що отримується при розподілі суми а+ bна число с,одно сумі приватних, одержуваних при розподілі ана зі bна з, тобто. (а + b):с = а: с + b:с.

Доведення. Оскільки число аділиться на с,то існує таке натуральне число х = а;з, що а = сх.Аналогічно існує таке натуральне число у = b:с,що

b= су.Але тоді а + b = сх+ су = - з (х + у).Це означає що а + bділиться на c, причому приватне, що отримується при розподілі суми а+ bна число c, що дорівнює х + у,тобто. ах + b: с.

Доведену теорему можна сформулювати як правила поділу суми на число: щоб розділити суму число, досить розділити цього число кожне доданок і отримані результати скласти.

Теорема 26.Якщо натуральні числа аі bділяться на число зі а > b,то різниця а - bділиться на c, причому приватне, одержуване при розподілі різниці на число c, дорівнює різниці приватних, що отримуються при розподілі ана зі bна c, тобто. (а - b): с = а: с - b: с.

Доказ цієї теореми проводиться аналогічно доказу попередньої теореми.

Цю теорему можна сформулювати як правила поділу різниці на число: длятого, щоб розділити різницю на число, достатньо розділити на це число зменшуване і віднімається і від першого відняти частину друге.

Теорема 27.Якщо натуральне число аділиться на натуральне число с, то для будь-якого натурального числа bтвір аbділиться на с. При цьому приватне, що отримується при розподілі твору аbна число з , одно добутку приватного, одержуваного при розподілі ана с,і числа b: (а × b): с - (а: с) × b.

Доведення. Так як аділиться на с,то існує таке натуральне число х, що а:с= х, звідки а = сх.Помноживши обидві частини рівності на b,отримаємо аb = (сх) b.Оскільки множення асоціативно, то (сх) b = с(х b).Звідси (а b): с = х b = (а: с) b.Теорему можна сформулювати як правила поділу твори на число: щоб розділити твір на число, досить розділити цього число один із множників і отриманий результат помножити другий множник.

У початковому навчанні математики визначення поділу як операції зворотній множенню, у загальному вигляді, зазвичай, не дається, але ним постійно користуються, починаючи з перших уроків ознайомлення з поділом. Учні повинні добре розуміти, що поділ пов'язаний з множенням і використовувати цей взаємозв'язок при обчисленнях. Виконуючи розподіл, наприклад, 48 на 16, учні міркують так: «Розділити 48 на 16 - це означає знайти таке число, при множенні якого на 16 вийде 48; таким числом буде 3, оскільки 16×3 = 48. Отже, 48: 16 = 3.

Вправи

1. Доведіть, що:

а) якщо частка натуральних чисел а та bіснує, то воно єдине;

б) якщо числа а та bподіляються на зі а > b,то (а – b): с = а: с – b: с.
2. Чи можна стверджувати, що всі дані рівності вірні:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850: 170 = 850: 10:17.

Яке правило є узагальнення даних випадків? Сформулюйте його та доведіть.

3. Які властивості поділу є теоретичною основою для
виконання наступних завдань, пропонованих школярам початкових класів:

чи можна, не виконуючи поділу, сказати, значення яких виразів будуть однаковими:

а) (40 + 8): 2; в) 48:3; д) (20 + 28): 2;

б) (30 + 16): 3; г) (21 +27): 3; е) 48:2;

Чи вірні рівності:

а) 48:6:2 = 48: (6:2); б) 96:4:2 = 96: (4-2);

в) (40 – 28): 4 = 10-7?

4. Опишіть можливі способи обчислення значення виразу
виду:

а) (а+ b):с;б) а:b: с; в) ( а × b): з .

Запропоновані методи проілюструйте на конкретних прикладах.

5. Знайдіть значення вираження раціональним способом; свої
дії обґрунтуйте:

а) (7 × 63): 7; в) (15 × 18):(5× 6);

б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Обґрунтуйте наступні прийоми поділу на двозначне число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.

7. Не виконуючи поділу куточком, знайдіть найбільш раціональний
способом приватне; вибраний спосіб обґрунтуйте:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.

Лекція 34. Властивості множини цілих невід'ємних чисел

1. Безліч цілих невід'ємних чисел. Властивості множини цілих невід'ємних чисел.

2. Поняття відрізка натурального ряду чисел та рахунки елементів кінцевої множини. Порядкові та кількісні натуральні числа.

Вправи

1.. Використовуючи визначення множення, знайдіть значення виразів:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.

2. Запишіть властивість дистрибутивності множення ліворуч щодо додавання і доведіть його. Які перетворення виразів можливі з його основі? Чому виникла потреба у розгляді дистрибутивності множення зліва та справа щодо додавання?

3. Доведіть властивість асоціативності множення натуральних чисел. Які перетворення виразів можливі з його основі? Чи вивчається ця властивість у початковій школі?

4. Доведіть властивість комутативності множення. Наведіть приклади його використання у початковому курсі математики.

5. Які властивості множення можуть бути використані при знаходженні значення виразу:

а) 5 (10+4); 6) 125 15 6; в) (8379) 125?

6. Відомо, що 37 3 = 111. Використовуючи цю рівність, обчисліть:

а) 37-18; 6) 185 12.

Усі виконані перетворення обґрунтуйте.

7. Визначте значення виразу, не виконуючи письмових обчислень. Відповідь обґрунтуйте:

а) 89628 + 89622; б) 63 402 3 + 63 402 97; в) 849+849 9.

8. Які властивості множення будуть використовувати учні початкових класів, виконуючи наступні завдання:

Чи можна, не враховуючи, сказати, значення яких виразів будуть однаковими:

а) 37 + 35; 6) 7 (5+3): в) (7+5) 3?

Чи вірні рівності:

а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 56 + 57 = (6 + 7) 5;

б) (310) 17 = 31017; г) 8 (7+9) = 8 7 + 9 8?
Чи можна, не виконуючи обчислень, порівняти значення виразів:

а) 70 32 + 9 32 ... 79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

лекція 33. Віднімання та розподіл цілих невід'ємних чисел

1. Упорядкованість множини натуральних чисел.

2. Визначення віднімання цілих невід'ємних чисел

3. Розподіл цілих невід'ємних чисел. Неможливість поділу на нуль. Поділ із залишком.

Як відомо, безліч натуральних чисел можна впорядкувати за допомогою відношення "менше". Але правила побудови аксіоматичної теорії вимагають, щоб це ставлення було не лише визначено, а й зроблено це на основі вже визначених у цій теорії понять. Зробити це можна, визначивши відношення "менше" через додавання.

Визначення. Число а менше числа b (а< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

За цих умов говорять також, що число bбільше ата пишуть b > а.

Теорема 12.Для будь-яких натуральних чисел аі bмає місце одне і лише одне із трьох відносин: а = b, а > b, а < b.

Доказ цієї теореми ми опускаємо. З цієї теореми випливає, що якщо

а ¹ b,те чи а< b, або а > b,тобто. відношення «менше» має властивість пов'язаності.

Теорема 13.Якщо а< b і b< с. то а< с.

Доведення. Ця теорема виражає властивість транзитивності відношення «менше».

Так як а< b і b< с. то, за визначенням відношення «менше», знайдуться такі натуральні числа доі що b = а + і с = b + I.Але тоді з = (а + к)+ / і на підставі якості асоціативності складання отримуємо: з = а + (до +/). Оскільки до + I -натуральне число, то, згідно з визначенням «менше», а< с.

Теорема 14. Якщо а< b, то невірно, що b< а. Доведення. Ця теорема виражає властивість антисиметричністьвідносини «менше».

Доведемо спочатку, що для жодного натурального числа ане ви-!>! ■ ) її відношення а< а.Припустимо неприємне, тобто. що а< а має місце. Тоді, за визначенням відносини «менше», знайдеться таке натуральне число с,що а+ з= а,а це суперечить теоремі 6.

Доведемо тепер, що якщо а< b, то невірно, що b < а.Припустимо неприємне, тобто. що якщо а< b , то b< а виконується. Але з цих рівностей з теореми 12 маємо а< а, що неможливо.

Оскільки певне нами ставлення «менше» антисиметрично і транзитивно і має властивість зв'язаності, воно є ставленням лінійного порядку, а безліч натуральних чисел лінійно впорядкованою безліччю.

З визначення «менше» та його властивостей можна вивести відомі властивості множини натуральних чисел.

Теорема 15.Зі всіх натуральних чисел одиниця є найменшим числом, тобто. I< а для любого натурального числа а¹1.

Доведення. Нехай а -будь-яке натуральне число. Тоді можливі два випадки: а = 1 та а ¹ 1. Якщо а = 1, то існує натуральне число b,за яким слідує а: а = b " = b + I = 1+ b,тобто, за визначенням відносини «менше», 1< а.Отже, будь-яке натуральне дорівнює 1 чи більше 1. Або, одиниця є найменшим натуральним числом.

Відношення «менше» пов'язане зі складанням та множенням чисел властивостями монотонності.

Упорядковані множини

Визначення 1.Безліч Mназивається упорядкованим, якщо між його елементами встановлено певне відношення a b (" aпередує b"), що має наступні властивості: 1) між будь-якими двома елементами aі bіснує одне і лише одне із трьох співвідношень: a = b, a b, b a; 2) для будь-яких трьох елементів a, bі cз a b, b c слідує a c.

Порожня множина вважається впорядкованою.

Зауваження.Знак = ми завжди розуміємо у сенсі тотожності, збігу елементів. Запис a = bпросто означає, що літерами aі bпозначений один і той же елемент множини M. Тому з властивості 1) випливає, що між двома різними елементами виконується одне і лише одне із двох співвідношень a b або b a.

Якщо aпередує b, то кажуть, що bслід за aі пишуть: b > a.

Ставлення a > bмає, як легко перевірити, властивості, аналогічні 1) і 2). Його можна вважати основним, визначивши тоді через нього ставлення a b.

Якщо у впорядкованій множині Mпоміняти ролями відносини, тобто замість a b писати a > b, і навпаки, то вийде нова впорядкована безліч M", порядок якого називається зворотним щодо порядку M. Наприклад, для наведеного вище порядку у безлічі натуральних чисел оберненим буде порядок:

Дві впорядковані множини, складені з одних і тих же елементів, але розташовані в різному порядку, вважаються різними. Тому при заданні впорядкованої множини через його елементи необхідно вказати їхній порядок. Вважатимемо, що запис ліворуч праворуч відповідає порядку елементів, і збережемо колишнє позначення фігурними дужками. Одна й та сама безліч можна впорядкувати по-різному (якщо вона містить не менше двох елементів). Так, безліч натуральних чисел можна впорядкувати звичайним чином або у зворотному порядку, можна непарні числа поставити попереду парних або навпаки, маючи ті та інші у зростаючому чи спадному порядку. Отримаємо впорядковані множини