Метод кінцевих обсягів. Метод кінцевих обсягів Побудова сіток для методу кінцевих обсягів

Чисельне вирішення завдань математичної фізики одна із основних методів дослідження реальних явищ. Спільне використання обчислювального та фізичного експериментів при аналізі будь-якого явища дозволяє, з одного боку, зменшити кількість дорогих експериментальних вимірювань, а з іншого боку – провести верифікацію та удосконалення математичних моделей.

Зі збільшенням швидкодії обчислювальних систем нові вимоги пред'являються до чисельним методам вирішення завдань математичної фізики. Розробка та вдосконалення сучасних методів дискретизації законів збереження, що надають можливість моделювання нових класів завдань та отримання суттєво кращих результатів при вирішенні відомих, є важливим напрямом досліджень.

Сучасні обчислювальні алгоритми повинні надавати можливість найточнішого опису областей зі складною геометрією. Це можливо з використанням неортогональних та неструктурованих сіток. У порівнянні з довільними неортогональними сітками для неструктурованих симпліціальних сіток (тріангуляція в двовимірному випадку і розбиття на тетраедри в тривимірному) легше реалізуються локальні згущення (наприклад, за зворотним уступом, в зоні раптового звуження, в околиці точки приєднання), а також , адаптація розрахункової сітки залежно від поведінки рішення Таким чином, навіть при дискретизації законів збереження в геометрично простих областях, які можуть бути точно представлені сукупністю прямокутних елементів, неструктуровані сімпліційні сітки мають ряд переваг. Незважаючи на очевидні переваги неструктурованих сіток при апроксимації довільних областей і можливості автоматичної побудови симпліціальних розбиття, вони практично не використовувалися в обчислювальній гідродинаміці, і лише в останні 15 років набувають все більшої популярності. Відповідно до свідчення Б. Стоуффлетга та інших. , причиною тому є різко зростаючий під час переходу до неструктурованим підходам час розрахунків. Справа в тому, що положення ненульових елементів у матрицях дискретних аналогів залежить від суміжності вузлів сітки та довільно, матриці зберігаються з використанням універсальних форматів та структур даних. Набагато «дорожчими» стають операції множення розрідженої матриці на вектор та неповної факторизації. У той самий час системи рівнянь обчислювальної гідродинаміки - взаємопов'язані нелінійні системи рівнянь, неявні схеми вирішення яких мають багаторівневий ітераційний характер, отже кожної з «глобальних» ітерацій необхідно вирішити кілька систем лінійних рівнянь алгебри. Саме з появою потужних обчислювальних систем, а також завдяки розвитку адаптивних та багатосіткових методів стало можливим використання неструктурованих сіток та відповідних схем просторової дискретизації для моделювання гідрогазодинамічних процесів.

Найбільш поширеним методом дискретизації у неструктурованому випадку є метод кінцевих елементів (МКЕ). Відзначимо такі переваги методу, як збереження симетричної природи самосполученої частини диференціальних операторів в їх дискретних аналогах (це досягається спеціальним вибором простору тестових функцій, що збігається з простором пробних функцій), можливість підвищення точності апроксимації за рахунок підвищення ступеня інтерполяційних поліномів локального представлення. р і h-p версії МКЕ, ), природний облік граничних умов другого та третього роду. Метод кінцевих елементів має технологічну основу, що встановилася, зокрема

Способи апроксимації внутрішніх творів у припущенні про кусково-поліноміальне подання рішення та параметрів крайового завдання, а саме: використання розкладання по базису відповідного кінцевого елементного простору, класи інтегральних формул, що дозволяють точно інтегрувати довільні твори базисних функцій за елементами розбиття та ребрів (гран

Стандартний апарат інтерполяції.

Технології методу дозволяють просто і однаково будувати дискретні аналоги початково-крайових завдань, з різними типами граничних умов у припущенні про певний ступінь гладкості розв'язання та кусково-поліноміальну поведінку коефіцієнтів рівнянь та крайових умов.

У ряді додатків, таких як моделювання надзвукових і трансзвукових течій газів, розрахунки з використанням моделей дрібної води, дуже важлива локальна консервативність схем, що використовуються для дискретизації законів збереження. Метод кінцевих елементів не дозволяє з задовільною точністю відстежити особливості розривних рішень, що виникають, і традиційним підходом до вирішення таких завдань є метод кінцевих обсягів. При дискретизації системи законів збереження методом кінцевих обсягів розрахункова область апроксимується безліччю відкритих кінцевих обсягів, потім дослідник робить "крок назад", переходячи до інтегральної форми вихідної системи рівнянь; з використанням формули Остроградського-Гаусса від інтегрування за обсягом переходять до інтегралу по межі, так що спосіб апроксимації потоків через межі кінцевих обсягів повністю визначає обчислювальну схему. Згідно з монографією С. Патанкара, "для більшості дослідників, що працюють у галузі гідродинаміки та теплообміну, звичайно-елементний метод все ще здається оповитим покривом таємничості. Варіаційне формулювання і навіть метод Галеркіна не піддаються простої фізичної інтерпретації". У той самий час кінцевооб'ємні схеми мають певний фізичний сенс балансу потоків і джерельних членів у кожному кінцевих обсягів, апроксимирующих розрахункову область, що робить метод кінцевих обсягів привабливішим. «Простота» МКО одна із причин відсутності загальної технологічної основи методу.

Отже, до переваг класичного варіанта МКО (метод кінцевих обсягів/кінцевих різниць, FVDM) відносять локальну консервативність дискретних схем, велику простоту і наочність, можливість природного обліку граничних умов другого роду. Крім того, у разі вирішення завдань з переважанням конвекції, спрощується реалізація протиструмових схем, оскільки потоки через межі кінцевих обсягів є одночасно і аналізованими, і апроксимуються величинами.

Спроби систематизації кінцевооб'ємних апроксимацій призвели до часткового поєднання технологій МКЕ та принципу інтегрування за кінцевими обсягами; найраніші з них сягають робіт Б. Р. Баліги, К. Пракаша і С. Патанкара і відомі як методи CVFEM (control-volume-based finite element methods), далі - методи кінцевих об'ємів/кінцевих елементів (МКО/КЕ). Автори методу мали на меті побудови консервативних схем методу кінцевих обсягів, що використовують одну з основних переваг МКЕ - можливість апроксимації складних геометрій з використанням неструктурованих сіток. Функції профілю у даному класі методів " носять допоміжний характер " , належність рішення кінцевоелементним просторам не підкреслюється. Як подвійне розбиття використовуються барицентричні множини.

Вперше проблема відсутності універсальних технологічних принципів методу кінцевих обсягів/кінцевих різниць (МКО/КР, FVDM), обговорюється у роботі 3. Кая "Про метод кінцевих обсягів/елементів". Автор звертає увагу читача на "безсистемність методу кінцевих обсягів/кінцевих різниць"; при апроксимації систем законів збереження методом кінцевих обсягів/кінцевих різниць у межах роботи можуть використовуватися аппроксимації різних класів, що значно ускладнює аналіз збіжності подібних схем. Пропонується вирішення даної проблеми - спільне використання ідей методу кінцевих елементів (пошук рішення в деякому кінцевому елементному просторі та використання шматково-поліноміальної поведінки рішення для обчислення потоків) та інтегральної форми законів збереження. Таким чином, методи кінцевих обсягів/елементів (МКО/Е, "бокс-методи", FVE) виникли при спробі створення "більш систематизованих кінцевих технологій". Відсутність загальних технологічних принципів методів кінцевих обсягів/кінцевих різниць відзначається також у роботах Я. JI. Гур'євої та В. П. Ільїна.

Методи кінцевих обсягів/елементів (FVE) та методи кінцевих обсягів/кінцевих елементів (CVFEM) використовують узгоджені кінцеві елементні простори лінійних на симплексах функцій і належать класу методів кінцевих обсягів з розрахунком змінних у вузлах (cell-vertex finite volume schemes), рис. 1, a.

Ряд схем обчислювальної гідродинаміки (моделювання в'язких несжимаемых течій) використовує неузгоджені кінець ноелементного простору, зокрема, простір Крузея-Равьяра лінійних на елементах, безперервних у центрах ребер пробних функцій. Методи кінцевих обсягів, що використовують неузгоджені кінцевоелементні простори, були запропоновані С. Чоєм і Д. Кваком, досліджені в ряді робіт інших авторів (т.з.

Найбільш поширеними при вирішенні завдань газової динаміки та моделюванні антропогенних катастроф з використанням рівнянь дрібної води є схеми з розрахунком невідомих у центрах осередків (cell-centered finite volume schemes), рис. 1, е. Їх популярність обумовлена ​​тим, що у разі розрахунку невідомих у центроїдах більшість схем газової динаміки (схеми С. К. Годунова, TVD-схеми) можуть бути перенесені на неструктуровані сітки без принципових технологічних змін. о а в

Рис.1. Розташування розрахункових точок стосовно вузлів сітки КЕ.

У цій роботі переважно розглядаються класи методів кінцевих обсягів з розрахунком невідомих у вузлах тріангуляції (МКО/Е, МКО/КЕ) та центрах ребер (методи підходів), надалі будемо також говорити "методи кінцевих обсягів, що використовують кінцевеелементні простори". Дані класи методів, згідно з низкою досліджень (, ), для задач конвекції-дифузії дають кращі наближення до розв'язання, ніж методи з розрахунком невідомих центрів осередків. Одна з основних причин полягає в тому, що для вище перерахованих методів зберігається безперервність перших похідних пробних функцій на елементах подвійної сітки.

Ефективним підходом до вирішення задач з переважанням конвекції є використання методу Галеркіна з симетричними тестовими функціями для самосполученої частини диференціальних операторів та протипотокових схем МКО - для несиметричної їх частини, т.з. змішаних методів кінцевих елементів/об'ємів (МКЕ/О, MEV, mixed element/volume method).

Дисертаційну роботу присвячено, зокрема, удосконаленню технологій методу кінцевих обсягів для зазначених класів методів (МКО/Е, МКО/КЕ, МКЕ/О, методи підйомів). На даний момент дані методи не мають усталених технологій обліку кусково-поліноміального поліноміального поведінки рішення, джерельних членів і коефіцієнтів переносу. Можна перерахувати такі причини недосконалості апарату точного інтегрування поліномів у методах кінцевих обсягів, що використовують кінцеві елементні простори:

1. На відміну від методу кінцевих елементів, метод кінцевих обсягів не має р-версії, оскільки з введенням додаткових вузлів та кількох типів подвійних сіток порушується локальна консервативність ряду змінних системи законів збереження по відношенню до "чужих" кінцевих обсягів. Таким чином, апроксимації обмежені кінцево-елементними просторами молодших порядків.

2. У порівнянні з методом кінцевих елементів, для методів кінцевих обсягів характерна велика свобода у виборі просторів тестових функцій, які в цьому випадку виявляються пов'язаними з розташуванням точок розрахунку невідомих по відношенню до вузлів дискретизації (схеми з розташуванням невідомих у вузлах, серединах ребер, центроїдів симплексів) та способом побудови подвійної сітки (використання барицентричних, ортоцентричних, циркумцентричних множин). У поєднанні з можливістю використання сполучених (collocated) або рознесених (staggered) сіток це дає все різноманіття існуючих схем МКО у кожному з додатків.

Для МКО-методів дискретизації законів збереження, що використовують кінцево-ноелементні простори, ретельний вибір цих просторів для розв'язання, коефіцієнтів рівнянь та джерельних членів частково втрачає сенс, якщо метод не володіє розвиненими засобами обліку кусково-поліноміальних уявлень, зокрема, апаратом точного інтегрування полі елементам двоїстої сітки, підобластям елементів та відрізкам прикордонних ребер. Як наслідок, результати розрахунків за побудованими схемами повинні розглядатися з погляду ефектів чисельного інтегрування, з урахуванням різних способів їх реалізації; суттєво ускладнюється порівняння результатів досліджень із роботами інших авторів тощо.

Отже, ця робота присвячена перегляду існуючих МКО/МКЕ-технологій побудови дискретних аналогів завдань конвективно-дифузійного типу.

Технологія обліку кусково-поліноміального подання рішення, коефіцієнтів рівняння та вхідних у граничні умови, а також джерельних членів у методах кінцевих обсягів, що використовують кінцеві елементні простори, повинна задовольняти наступним вимогам:

1) допускати довільні поєднання поліноміальних уявлень коефіцієнтів та рішення на елементах розбиття, а також підвищення ступеня інтерполяційних поліномів локального подання рішення;

2) використовувати єдині принципи апроксимації при розрахунку вкладів елементів, що відповідають різним членам рівняння (дифузійних, конвективних, реакційних доданків, джерельних членів), а також вкладів від ребер, що апроксимують частини кордонів із заданими на них різного типу граничними умовами;

3) допускати однорідне узагальнення на тривимірний випадок;

4) враховувати досвід добре розроблених кінцевоелементних технологій, зокрема, використання розкладання по базису кінцевоелементних просторів та переваги точного інтегрування шматково-поліноміальних уявлень рішення та коефіцієнтів перенесення;

5) доставляти єдину технологічну основу змішаним апроксимаціям МКЕ/О, що використовують дві множини тестових функцій - кінцевооб'ємних і кінцевоелементних - для апроксимації одного рівняння;

6) принципи технології повинні залишатися незмінними при переході від використання узгоджених кінцевих елементів (методи кінцевих обсягів/кінцевих елементів з розрахунком невідомих у вузлах) до використання неузгоджених кінцевих елементів (методи з розрахунком невідомих у центрах ребер тріангуляції);

7) технологія може бути використана при апроксимації різних класів фізичних завдань.

З існуючих технологій методів кінцевих обсягів, що використовують кінцевоелементні простори (методи кінцевих обсягів/елементів (FVE), методи кінцевих обсягів/кінцевих елементів (CVFEM), методи підйомів (covolume methods), змішані методи обсягів/елементів (MEV), одна не задовольняє переліченим вище вимогам. Таким чином, створення нових технологій для даних класів методів, що використовують симпліціальні розбиття і барицентричні множини як двоїстих, представляється актуальною темою дослідження.

У разі суттєвого переважання конвекції порівняння різних схем МКО-дискретизації, а також порівняння розрахунків за методом кінцевих елементів і методом кінцевих обсягів фактично зводиться до порівняння відповідних протипоточних схем.

Найбільш дослідженими і часто застосовуваними у неструктурованому випадку є протипотокові схеми класу методів кінцевих обсягів із розрахунком змінних у центрах осередків. Незважаючи на те, що грані елементів розбиття не паралельні більш координатним осям, дані схеми в більшості випадків мають одновимірну природу, оскільки зводяться до розв'язання задачі про розпад розриву на лініях, що з'єднують центроїди симплексів. Розрахунки за подібними схемами не відтворюють багатовимірну структуру потоку і мають надмірну чисельну дифузію. Для побудови протипотокових схем другого порядку апроксимації необхідно суттєве розширення шаблону, що у неструктурованому випадку призводить до значного ускладнення відповідних структур даних.

Протипотокові схеми для схем з розрахунком невідомих у вузлах тріангуляції та серединах її ребер зараз нечисленні (див. ). У ряді випадків протипотоковий принцип апроксимації зводиться до використання одного значення скалярної субстанції - у вузлі симплексу, що лежить проти потоку, або двох зважених значень - на кінцях ребра симплексу, що лежить проти потоку. Лише одна з відомих схем - схема, що враховує напрямок потоку (FLO, Flow Oriented Upwind Scheme), розроблена К. Пракашем і С. Патанкаром, - використовує перевагу розрахунку невідомих у вузлах - можливість побудови асиметричних функцій профілю. Але розрахунки за цією схемою визнані незадовільними, оскільки схема не має властивості позитивності, і ітераційні процеси часто розходяться.

Оцінювання чисельної дифузії, яка привноситься використанням протипотокових схем на симпліціальних сітках, є самостійною проблемою. Існуючі роботи у цьому напрямі, надають теоретичні оцінки показників збіжності, обмежені безліччю схем розрахунком змінних у центрах осередків . Тому оцінювання швидкості збіжності протипоточних схем МКО/КЕ з використанням серій чисельних експериментів набуває особливого значення.

Отже, побудова та порівняльний аналіз протипоточних схем МКО/КЕ на неструктурованих сітках є актуальною темою досліджень.

Метою роботи є розробка обчислювальних технологій методів кінцевих обсягів, що використовують кінцеві елементні простори, для апроксимації завдань конвективно-дифузійного типу. Для досягнення поставленої мети було сформульовано такі завдання дослідження:

1) удосконалення технологій дискретизації систем законів збереження методом кінцевих обсягів/кінцевих елементів на симпліціальних сітках, що використовують барицентричні розбиття як двоїстих;

2) розробка технологій апроксимації завдань конвективно-дифузійного типу із суттєвими першими похідними; побудова, реалізація та порівняльний аналіз протипоточних схем на неструктурованих сітках, зокрема, проведення обчислювальних експериментів для оцінки порядку апроксимації пропонованих та найбільш точних відомих схем, а також порівняння характеристик протипоточних схем на базі МКО/КЕ та МКЕ;

3) створення на основі розроблених технологій комплексів програм, що дозволяють адекватно моделювати в'язкі нестримні течії рідин та газів у геометрично складних областях, у стаціонарному та нестаціонарному випадках.

Методи дослідження. Методи обчислювальної математики. Порівняльний аналіз технологій точного інтегрування поліномів у методах кінцевих елементів, кінцевих обсягів/елементів, розподілених нев'язок. Експериментальне оцінювання швидкості збіжності протипоточних схем для завдань, що мають аналітичне рішення. Розрахунки на безлічі згущуються кінцевоелементних розбиття, з наступним аналізом збіжності до експериментальних даних.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

1. Пропонується нова технологія обліку кусково-поліноміального подання рішення, коефіцієнтів перенесення та джерельних членів при дискретизації початково-крайових завдань методами кінцевих об'ємів/елементів, кінцевих об'ємів/кінцевих елементів та підходів. Технологія заснована на використанні розкладання по базису кінцевоелементних просторів у термінах барицентричних симпліціальних координат, з подальшим точним інтегруванням їх одночленів. Для схем МКО/КЕ, МКО/Е з розрахунком змінних у вузлах тріангуляцій запропоновано три класи формул точного інтегрування одночленів барицентричних координат: відрізками двоїстої сітки в елементі, барицентричним підобластям і відрізкам граничних ребер. Для методів підходів, що використовують неузгоджені кінцеві елементні простори, пропонується використовувати принцип точного інтегрування базисних функцій та отримані відповідні інтегральні формули.

2. Запропоновано спосіб побудови протипотокових схем МКО/КЕ на симпліціальних сітках, заснований на роздільній апроксимації потоків маси та значень скалярної субстанції на відрізках двоїстої сітки. Введені поняття локальної матриці вагових коефіцієнтів протиструмової схеми, внутрішніх по відношенню до елементів схем, локальної позитивності схем. Запропоновано протипотокову схему експоненційного класу, побудовано її аналог для МКО з розрахунком невідомих у барицентрах симплексів.

3. Отримано експериментальні оцінки швидкості збіжності протипотокової схеми зі зважуванням потоків мас і пропонованої схеми експоненційного класу. На рішеннях прикордонного типу проведено аналіз стійкості побудованих схем та їх порівняння з протипотоковими схемами МКЕ.

4. З використанням запропонованих технологій апроксимацій задач конвективно-дифузійного типу створено комплекс програм для моделювання в'язких стисливих течій у природних змінних швидкість-тиск і проведено ряд обчислювальних експериментів, що підтверджують ефективність побудованих схем.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури, додатка та містить 173 сторінок, включаючи 10 таблиць та 51 малюнок. Список використаної літератури містить 117 найменувань.

Висновок

Справжня робота присвячена розробці обчислювальних технологій методів кінцевих обсягів на симпліціальних сітках, що використовують кінцевоелементні простори та барицентричні розбиття як двоїсті, для апроксимації завдань конвективно-дифузійного типу! У роботі отримані такі основні результати, що виносяться на захист:

1. Запропоновано нову технологію обліку кусково-поліноміального подання рішення, коефіцієнтів перенесення та джерельних членів при дискретизації початково-крайових завдань методами кінцевих об'ємів/елементів, кінцевих об'ємів/кінцевих елементів та підходів. Технологія заснована на використанні розкладання базису кінцевоелементних просторів у термінах барицентричних симпліціальних координат, з подальшим точним інтегруванням їх одночленів. Для схем МКО/КЕ, МКО/Е з розрахунком змінних у вузлах тріангуляцій запропоновано три класи формул точного інтегрування одночленів барицентричних координат: відрізками двоїстої сітки в елементі, барицентричним підобластям і відрізкам граничних ребер. Для методів підходів, що використовують неузгоджені кінцевоелементні простори, пропонується використовувати принцип точного інтегрування базисних функцій та отримані відповідні інтегральні формули.

2. Запропоновано спосіб побудови протипотокових схем МКО/КЕ на симпліціальних сітках, заснований на роздільній апроксимації потоків маси та значень скалярної субстанції на відрізках двоїстої сітки. Введено поняття локальної матриці вагових коефіцієнтів протипотокової схеми, внутрішніх стосовно елементів схем, локальної позитивності схем. Запропоновано протипотокову схему експоненційного класу, побудовано її аналог для МКО з розрахунком невідомих у барицентрах симплексів.

3. Отримано експериментальні оцінки швидкості збіжності протипотікової схеми зі зважуванням потоків мас і пропонованої схеми експоненційного класу. На рішеннях прикордонного типу проведено аналіз стійкості побудованих схем та їх порівняння з протипотоковими схемами МКЕ. Показано, що добудовані схеми МКО/КЕ дозволяють значно точніше відстежити особливості прикордонних шарів рішень, ніж схеми методу Петрова-Галеркіна з асиметричними базисними функціями (поліноми Лежандра), кінцевоелементні схеми Райса і Шнипке, а також комбіновані кінцеві елементи схеми підвищеної напруги. Шеу, С. Вангом та С. Цаєм.

4. З використанням запропонованих схем апроксимації задач конвективно-дифузійного типу створено комплекс програм для моделювання в'язких несжимаемих течій у природних змінних швидкість-тиск, на суміщених сітках, з використанням інтерполяційних поліномів тиску та швидкості одного порядку; проведено низку обчислювальних експериментів, що підтверджують ефективність побудованих схем.

5. Для еталонної течії в каналі за зворотним уступом вперше показано взаємодію вхідного ефекту та ефекту використання протипотокових апроксимацій.

Отже, запропонована в роботі технологія дискретизації початково-крайових завдань методом кінцевих елементів/кінцевих обсягів на симпліціальних сітках є ефективним способом апроксимації систем законів збереження, розроблені протипотокові схеми мають хороші характеристики збіжності, а використання методів дискретизації системи рівнянь Нав'є-Сто-кса з однаковим інтерполяції для компонент вектора швидкості-тиску дозволяє отримати результати, що добре узгоджуються з експериментальними даними. Класи методів кінцевих об'ємів/кінцевих елементів на симпліціальних сітках, технологічною основою яких є точне інтегрування одночленів барицентричних координат, є ефективними методами моделювання в'язких нестисканих течій в областях зі складною геометрією кордонів.

1. Білоцерківський О.М., Чисельне моделювання в механіці суцільних середовищ. М: Наука. Глав. ред. фіз-мат. літератури, 1984.

2. А. С. Болдарєв, В. А- Гасілов. О. Г. Ольховська, До вирішення гіперболічних рівнянь на неструктурованих сітках // Математичне моделювання. 1996. Т. 8 №3. З. 51-78.

3. П. А. Войнович, Д. М. Шаров, Моделювання розривних течій газу на неструктурованих сітках // Математичне моделювання. 1993. Т. 5. № 7, С.86-114.

4. Я. J1. Гур'єва, Обчислювальна технологія методу кінцевих обсягів //Дис. на здобуття наукового ступеня канд. ф.-м. наук. Новосибірськ. 1997. – 115с.

5. Жуков М. Ф., Солоненко О. П., Високотемпературні запилені струмені у процесах обробки порошкових матеріалів. Новосибірськ. ІТ З РАН. 1990.

6. В. П. Ільїн, Балансні різницеві схеми підвищеної точності на нерівномірних прямокутних сітках. Новосибірськ. 1994. - 31 с-(Препринт/ВЦ СО РАН № 1031).

7. Ільїн В. П., Туракулов А. А., Про інтегро-балансні апроксимації тривимірних крайових завдань. Новосибірськ, 1993. – 24 с. - (Препринт/ВЦ З РАН:. № 986).

8. В. М. Ковеня, Н. Н. Яненко, Метод розщеплення у завданнях газової динаміки. Новосибірськ, наука. 1989.

9. А. Ладиженська, Математичні питання динаміки в'язкої стисливої ​​рідини. М: Tqc. вид-во ф.-м. літ.- 1961.

10. Д. Оден, Кінцеві елементи в нелінійній механіці суцільних середовищ. М.: Світ, 1976.

11. Патанкар С., Чисельні методи вирішення задач теплообміну та динаміки рідини. -М.:. Вища школа, 1984.

12. Н. Пісанецькі С. Технологія розріджених матриць. М: Світ. 1988.

13. Препарату Ф. Шеймос М. Обчислювальна геометрія; Вступ. М. "Світ, 1984.

14. А. А. Самарський, Введення в теорію різницевих схем. М: Наука, 1971.

15. Л Сегерлінд, Застосування методу кінцевих елементів М: Мир. 1979

16. Н. К. Суканек, Р. П. Родес, Формулювання умови на осі симетрії при чисельному розрахунку симетричних течій // Ракетна техніка та космонавтика, 1978. Т. 16. № 10). С. 96-98.

17. Р. Темам, Рівняння Навье-Стокса, Теорія та чисельний аналіз // М.: Світ. 1981.

18. К. Флетчер, Чисельні методи виходячи з методу Галеркіна II М.: Мир, 1991

19. Д. Ши, Чисельні методи завдання теплообміну. М.; Світ, 1988.

20. Г. Шліхтінг, Теорія прикордонного шару. М: Вид-во іностр. літ. 1956.

21. Е. П. Шуріна, Т. В. Войтович, Аналіз алгоритмів методів кінцевих елементів та кінцевого обсягу на неструктурованих сітках при вирішенні рівнянь Нав'є-Стокса // Обчислювальні технології. 1997. Т. 2. № 4. С. 84104.

22. Е. П. Шуріна, О. П. Солоненко, Т. В. Войтович, Нова технологія методу кінцевих обсягів на симпліційних сітках для задач конвективно-дифузійного типу. Новосибірськ. 1999. -51 е.- (Препринт / ІТПМ СО РАН; № 8-99).

23. І. Ю. Чумаков, Використання різних умов для тиску на вихідний кордоні при розрахунку складних внутрішніх течій стисливої ​​рідини на суміщених сітках // Вісн. мовляв. вчених. Сер. Прикладна математика та механіка. 1997. Т 1. З. 55-62.

24. М. М. Яненко, Метод дробових кроків розв'язання багатовимірних завдань математичної фізики. Новосибірськ: Наука, 1967.

25. A Finite Element Primer. National Agency for Finite Element Methods & Standarts //NEL. Glasgow, 1986.

26. К. Ajmani, W-F Ng. M-S. Ліон, зумовлений аспектом gradient методів для Navier-Stokes Equations//J. Comput. Phys. 1994. Vol. 1 10. P. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Деякий explicit трианглярські finite element schemes для Euler equations//Int. J. forNumer. Методи в Fluids. 1984. Vol. 4. P. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Construction of TVD-Hke Artificial Viscosities on Two-Dimensional Arbitrary FEM Grids // J. Comput. Phys., 1993. Vol. 106. P. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow //J. Fluid Mech. 1983. Vol. 127. 473496.

30. F. Babuska, Error bounds for finite element methods//Numer. Math. 1971 р. Vol.16. P. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, p-version of finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18. P. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Analysis of cell-vertex finite volume method for hyperbolic problems with variable coefficients // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Vol. 34. P. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori error estimates for Stokes problem // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 591-623.

34. Т. J. Barth, D. C. Jespersen, Design і application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numerical study of flow over confined backward-facing step // Int. J. ForNumer. Методи в Fluids. 1995. Vol. 21. P. 653-665.

36. E. Barton, Вступ ефекту ламінованого випромінювання над backward-facing step geometry // Int. J. forNumer. Методи в Fluids. 1995. Vol. 25. P. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, numerical viscosity і конvergence finite volume methods for conservation laws with boundary conditions // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Vol. 32. P 775-796.

38. Z. Cai, На finite volume element method //Numer. Math. 1991 Vol. 58 P. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, На свідомості finite volume element method for diffusion equations on composite grids // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. P. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick. Anal. 1991 Vol 28. P. 392402.

41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Decomposition Algorithms and Finite Volume/Finite Element Approximation for Advection-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, Finite volume method based on Crouzeix-Raviart element for elliptic PDE "s two dimensions //Num. Math. 1999, Vol. 82. P. 409-432.

43. К. H. Chen, R H. Pletcher, Primitive variable- strongly implicit calculation procedure for viscous flows all speeds //AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, mixed Covolume методів для elliptic проблем на triangular grids // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1850-1861.

45. Christie, D.F. J. Numer. Methods Eng. 1976. Vol. 10. 1389-1396.

46. ​​J.-P. Croisille, Finite Volume Box Schemes // Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 July., 1999, Duisburg, Germany. HERMES Science Publications, Paris, 1999.

47. Ст Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Convergence of finite volume method for multidimensional conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Vol. 32. 687-705.

48. L. Davidson, A pressure correction method for unstructured meshs with arbitrary control volumes // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1998. Vol. 22. P. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, К. Мег, B. Nkonga, Computation of unsteady flows with mixed finite volume/finite element upwind methods // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1998. Vol. 27. P. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Мінімальна сфера scheme for Compressible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. P. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using unstuctured meshes // VKI Lectures series. 1985. № 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., On finite element integration in natural coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng. 1973. Vol. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Class of implicit upwind schemes for Euler simulations with unstructured meshes//J. співр. Phys. 1989. Vol. 84. P. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element/finite volume approach for solving biodegradation transport in groundwater // Int. J. for Numer. Methods in Fluids.1998. Vol. 26. P. 533-556.

55. Т. Gallouet, J. P. Vila, Finite volume schemes for conservation laws of mixed type // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified finite element method for solving the time-dependent. Унеможливі Navier-Stokes equations. Part 2: Applications // Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 1984. Vol. 4. P. 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariant integration formulas for I-simplex by combinatonal methods // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, P. 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. Vol. 41. P. 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Numerical predictions of flows over backward-facing steps // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1984. Vol. 4. P. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, An implicit mixed finite volume-finite-element method for solving 3D turbulent compressible flows // Int. J. for Numer Methods in Fluids, 1997. Vol. 25. P. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, numerical calculation time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Adaptive finite element method for 2-equation turbulence model in wall-bounded flows // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1997. Vol. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler і Navier-Stokes Solver на Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Vol. 34. P. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. ​​Fiveland, Cel-vertex algoritm for incompressible Navier-Stokes equations on non-ortogonal grids // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1996. Vol. 23. P. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., На finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding за volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. P. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Exact integration polynomials and symmetric quadrature formulas over arbitrary polyhedral grids // J. Comput. Phys. 1998. Vol. 140. P. 122-147.

68. D. Marcum, Turbulence models for unstructured finite element calculations // Int. J. ForNumer. Методи в Fluids. 1995, Vol. 20. P. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located еqual-order control-volume finite element метод для двох-dimensional axisymmetric incompressible fluid flow // Int J. For Numer. Методи в Fluids. 1994. Vol. 18. P. 1-26.

70. С. Mattiussi, An Analysis of Finite Volume. Finite Element and Finite Difference Methods Using Some Concepts from Algebraic Topology // J. Comput. Phys. 1997. Vol. 133. P. 289-309.

71. D. Mavriplis, Multigrid solution of 2-dimensional Euler equations on unstructured triangular meshes // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, Fully coupled finite volume solutions of incompressible Navier-Stpkes and energy equations using inexact Newton method // Int. J. For Numer. Методи в Fluids. 1994. Vol. 19. P. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodic flow and heat transfer using structured meshes // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1997. Vol. 25. P. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Процедура та Adaptive Error Control Стратеги з Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. Phys., 1997, Vol. 138. P. 766-787

75. P. Nithiarasu, О. C. Zienkiewlcz, В. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities для загальних fluid mechanics algorithm // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1998. Vol. 28. P. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, technique of upstream typ applied to linear nonconforming finite element approximation of convective diffusion equations // R.A.I.R.O. Anal. Номер.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind finite volume Navier-Stokes Computations on Uns-ructured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. P. 1618-1625.

78. Ст. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications. 19-22 липня, 1999. Дуїсбург, Німеччина. - HERMES Science Publications. Париж. 1999. P. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, керуючий обсягом-базований finite-element метод для розв'язання еквівалентів Navier-Stokes з використанням еквівалентної pressure interpolation//Numer. Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 259-280.

80. С. Ramadhyani, S. V. Patankar, Вирішення еquation Poisson: comparison galerkin і control-volume methods // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. Vol. 15.1395–1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., Отриманий контрольний рівень системи для неструктурованих тріангічних grids // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1995. Vol. 25. P. 697-717.

82. P. L. Roe, Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes//! співр. Phys. 1981. Vol. 43. P. 357-372.

83. C. Rohde, Upwind Finite volume schemes for weakly coupled hyperbolic systems of conservation laws in 2D // Numer. Math. 1998. Vol. 81. P. 85-123.

84. Tony W.H. Phys. 1998. Vol. 144. P. 1-16.

85. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.

86. В. V. K. S. Sai, О. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, General purpose versus спеціальні algorithms для високих швидких потоків з шоками // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. Vol. 27. P. 57-80.

87. J. L. Sohn, Evaluation of FIDAP на деякі класичні laminar і turbulent benchmarks // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1988. Vol. 8. P. 1469-1490.

88. У Stoufflet, Investigation of generalized flux vector splitting for compressible flows on triangular meshes // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1995. Vol. 20. P. 1047-1059.

89. B. Stoufflet. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, numerical simulation of 3-D hypersonic Euler flows around space vehicles using adapted finite elements // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, numerical solution of Navier-Stokes equations за допомогою finite element technique // Computers and Fluids. 1973. Vol. 1. P. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., A pressure-correction метод для вирішення неспроможних viscous flows на unstructured grids // Int .J. for Numer Methods in Fluids. -1996. Vol. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Overlapping control volume approach for convection-diffusion problems // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1996. Vol. 23. P. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, На компактному mixed-order finite element for solving three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. for Numer. Методи в Fluids. 1997. Vol. 25. P. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementation of free boundary condition to Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Методи Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. P. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version least squares finite element formulation for 2-dimensional, incompressible fluid flow // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994. Vol. 18. P. 43-69.

96. A. M. Winslow, numerical solution of quasilinear Poisson ecuation in nonuniform triangle mesh // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. 149-172.

97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, Нова formulation mixed finite element метод для розв'язання elliptic and parabolic PDE with triangular elements // J. Comput. Phys., 1999. Vol. 149. P. 148-167.

98. P.J. Zwart, G.D. Raithby, M.J. Phys. 1999. Vol. 154. P. 497-519.

99. О. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, General algoritm for compressible and incompressible flow. Part 1: The split, characteristic based scheme // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. Vol. 20. P. 869-885.

101. С. M. Rhie і W. L. Chow, numerical study of turbulent flow past isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, Вирішення implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting//J. Comput. Phys. Vol. 62. P. 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step // Journal of Fluids Eng., Vol. 102, P. 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar