Паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей. Площа паралелограма. Завдання для самостійного вирішення

Завдання 4.

Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 про. Знайти другу діагональ.

Рішення.

1. АТ = 2√6.

2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів.

АТ/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про.

ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Відповідь: 12.

Завдання 5.

У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей.

Рішення.

Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф.

1. Порахуємо двома різними
способами його площу.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Складемо систему:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140).

Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим.

Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24.

Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24.

Відповідь: 24.

Завдання 6.

Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма.

Рішення.

1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями.

АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогічно запишемо співвідношення трикутника АОD.

Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Маємо систему
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).

Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей.

Відповідь: 10.

Завдання 7.

Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі.

Рішення.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу.

Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5.

2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5.

3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Відповідь: 145.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Теорема 1.Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту:

Теорема 2.Діагоналі трапеції ділять її на чотири трикутники, два з яких подібні, а два інші мають однакову площу.

Теорема 3.Площа паралелограма дорівнює добутку підстави на висоту, опущену на дану підставу, або добутку двох сторін на синус кута між ними:

Теорема 4.У паралелограмі сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін:

Теорема 5.Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними:

Теорема 6.Площа чотирикутника, описаного біля кола, дорівнює добутку напівпериметра цього чотирикутника на радіус цього кола:

Теорема 7.Чотирьохкутник, вершинами якого є середини сторін довільного опуклого чотирикутника, є паралелограм, площа якого дорівнює половині площі вихідного чотирикутника:

Теорема 8.Якщо у опуклого чотирикутника діагоналі взаємно перпендикулярні, то суми квадратів протилежних сторін цього чотирикутника дорівнюють:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Статтю опубліковано за підтримки компанії "ДКРОСТ". Гірки дитячі, будиночки, пісочниці та багато іншого - виготовлення та продаж дитячих майданчиків оптом та в роздріб. Найнижчі ціни, знижки, стислі терміни виготовлення, виїзд та консультація спеціаліста, гарантія якості. Дізнатися докладніше про компанію, переглянути каталог товарів, ціни та контакти Ви зможете на сайті, який знаходиться за адресою: http://dkrost.ru/.

Докази деяких теорем

Доказ теореми 2. Нехай ABCD - дана трапеція, AD та BC - її основи, O - точка перетину діагоналей AC та BD цієї трапеції. Доведемо, що трикутники AOB та COD мають однакову площу. Для цього опустимо з точок B та C на пряму AD перпендикуляри BP та CQ. Тоді площа трикутника ABD дорівнює

А площа трикутника ACD дорівнює

Оскільки BP = CQ, то й S∆ABD = S∆ACD . Але площа трикутника AOB є різницею площ трикутників ABD та AOD, а площа трикутника COD – різниця площ трикутників ACD та AOD. Отже, площі трикутників AOB і COD рівні, що потрібно було довести.

Доказ теореми 4. Нехай ABCD – паралелограм, AB = CD = a AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° - α. Застосуємо до трикутника ABD теорему косінусів:

Застосувавши тепер теорему косінусів до трикутника ACD, отримаємо:

Складаючи почленно отримані рівності, отримуємо, що що й потрібно було довести.

Доказ теореми 5. Нехай ABCD – довільний опуклий чотирикутник, E – точка перетину його діагоналей, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180 ° - ϕ. Маємо:

що й потрібно було довести.

Доказ теореми 6. Нехай ABCD – довільний чотирикутник, описаний біля кола, O – центр цього кола, OK, OL, OM та ON – перпендикуляри, опущені з точки O на прямі AB, BC, CD та AD відповідно. Маємо:

де r – радіус кола, а p – напівпериметр чотирикутника ABCD.

Доказ теореми 7. Нехай ABCD - довільний опуклий чотирикутник, K, L, M та N - середини сторін AB, BC, CD та AD відповідно. Так як KL - середня лінія трикутника ABC, то пряма KL паралельна прямій AC і Аналогічно, пряма MN паралельна прямій AC і Отже, KLMN - паралелограм. Розглянемо трикутник KBL. Його площа дорівнює чверті площі трикутника ABC. Площа трикутника MDN також дорівнює чверті площі трикутника ACD. Отже,

Аналогічно,

Це означає що

звідки випливає, що

Доказ теореми 8. Нехай ABCD - довільний опуклий чотирикутник, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні, нехай E - точка перетину його діагоналей,
AE = a, BE = b, CE = c, DE = d. Застосуємо до трикутників ABE та CDE теорему Піфагора:
AB2 = AE2 + BE2 = a 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2
отже,
AB2 + CD2 = a 2 + b2 + c2 + d2.
Застосувавши теорему Піфагора до трикутників ADE і BCE, отримаємо:
AD2 = AE2 + DE2 = a 2 + d2
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
звідки випливає, що
AD2 + BC2 = a 2 + b2 + c2 + d2.
Отже, AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , що потрібно було довести.

Розв'язання задач

Завдання 1. Біля кола описана трапеція з кутами на основі α і β. Знайти відношення площі трапеції до площі кола.

Рішення. Нехай ABCD - дана трапеція, AB та CD - її основи, DK та CM - перпендикуляри, опущені з точок C та D на пряму AB. Шукане відношення не залежить від радіусу кола. Тому вважатимемо, що радіус дорівнює 1. Тоді площа кола дорівнює π, знайдемо площу трапеції. Оскільки трикутник ADK прямокутний, то

Аналогічно, з прямокутного трикутника BCM знаходимо, що Оскільки цю трапецію можна вписати коло, то суми протилежних сторін рівні:
AB + CD = AD + BC,
звідки знаходимо

Значить, площа трапеції є

і шукане відношення одно
Відповідь:

Завдання 2. У опуклому чотирикутнику ABCD кут A дорівнює 90°, а кут C не перевищує 90°. З вершин B та D на діагональ AC опущені перпендикуляри BE та DF. Відомо, що AE = CF. Довести, що кут C прямий.

Доведення. Оскільки кут A дорівнює 90°,
а кут C вбирається у 90°, то точки E і F лежать на діагоналі AC. Без обмеження спільності ми можемо вважати, що AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Нам достатньо довести, що α+β+γ+δ=π. Так як

звідки отримуємо, що і потрібно довести.

Завдання 3. Периметр рівнобічної трапеції, описаної біля кола, дорівнює p. Знайти радіус цього кола, якщо відомо, що гострий кут на підставі трапеції дорівнює α.
Рішення. Нехай ABCD – дана рівнобічна трапеція з основами AD і BC, нехай BH – висота цієї трапеції, опущена з вершини B.
Так як в цю трапецію можна вписати коло, то

Отже,

З прямокутного трикутника ABH знаходимо,

Відповідь:

Завдання 4. Дана трапеція ABCD з основами AD та BC. Діагоналі AC і BD перетинаються у точці O, а прямі AB і CD - у точці K. Пряма KO перетинає сторони BC і AD у точках M і N відповідно, а кут BAD дорівнює 30°. Відомо, що у трапеції ABMN і NMCD можна вписати коло. Знайти відношення площ трикутника BKC та трапеції ABCD.

Рішення. Як відомо, для довільної трапеції пряма, що з'єднує точку перетину діагоналей і точку перетину продовжень бічних сторін, ділить кожну з підстав навпіл. Отже, BM = MC та AN = ND. Далі, оскільки в трапеції ABMN і NMCD можна вписати коло, то
BM + AN = AB + MN,
MC+ND=CD+MN.
Звідси випливає, що AB = CD, тобто трапеція ABCD – рівнобока. Шукане відношення площ не залежить від масштабу, тому ми можемо прийняти, що KN = x, KM = 1. З прямокутних трикутників AKN і BKM отримуємо, що Записуючи знову вже використане вище співвідношення
BM + AN = AB + MN ⇔

Нам потрібно обчислити ставлення:

Тут ми використали той факт, що площі трикутників AKD та BKC відносяться як квадрати сторін KN та KM, тобто як x2.

Відповідь:

Завдання 5.У опуклому чотирикутнику ABCD точки E, F, H, G є серединами сторін AB, BC, CD, DA відповідно та O - точка перетину відрізків EH та FG. Відомо, що EH = a, FG = b, Знайти довжини діагоналей чотирикутника.

Рішення. Відомо, що якщо послідовно з'єднати середини сторін довільного чотирикутника, то вийде паралелограм. У нашому випадку EFHG – паралелограм та O – точка перетину його діагоналей. Тоді

Застосуємо до трикутника FOH теорему косінусів:

Оскільки FH - середня лінія трикутника BCD, то

Аналогічно, застосувавши теорему косінусів до трикутника EFO, отримаємо, що

Відповідь:

Завдання 6.Бічні сторони трапеції дорівнюють 3 і 5. Відомо, що в трапецію можна вписати коло. Середня лінія трапеції ділить її на дві частини, відношення площ яких дорівнює Знайти основи трапеції.

Рішення. Нехай ABCD - ця трапеція, AB = 3 і CD = 5 - її бічні сторони, точки K і M - середини сторін AB і CD відповідно. Нехай, для певності, AD > BC, тоді площа трапеції AKMD буде більшою за площу трапеції KBCM. Так як KM – середня лінія трапеції ABCD, то трапеції AKMD та KBCM мають рівні висоти. Оскільки площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту, то вірна наступна рівність:

Далі, оскільки в трапецію ABCD можна вписати коло, AD + BC = AB + CD = 8. Тоді KM = 4 як середня лінія трапеції ABCD. Нехай BC = x тоді AD = 8 – x. Маємо:
Отже, BC = 1 та AD = 7.

Відповідь: 1 та 7.

Завдання 7. Основа AB трапеції ABCD вдвічі довша за основу CD і вдвічі довша за бічну сторону AD. Довжина діагоналі AC дорівнює a, А довжина бокової сторони BC дорівнює b. Знайти площу трапеції.

Рішення. Нехай E – точка перетину продовжень бічних сторін трапеції та CD = x, тоді AD = x, AB = 2x. Відрізок CD паралельний відрізку AB і вдвічі коротший, отже, CD є середньою лінією трикутника ABE. Отже, CE = BC = b та DE = AD = x, звідки AE = 2x. Отже, трикутник ABE рівнобедрений (AB = AE) та AC - його медіана. Тому AC є і висотою цього трикутника, і отже,

Оскільки трикутник DEC подібний до трикутника AEB з коефіцієнтом подібності то

Відповідь:

Завдання 8. Діагоналі трапеції ABCD перетинаються в точці E. Знайти площу трикутника BCE, якщо довжини основ трапеції AB = 30, DC = 24, збоку AD = 3 і кут DAB дорівнює 60°.

Рішення. Нехай DH – висота трапеції. З трикутника ADH знаходимо, що

Оскільки висота трикутника ABC, опущена з вершини C, дорівнює висоті DH трапеції, маємо:

Відповідь:

Завдання 9. У трапеції середня лінія дорівнює 4, а кути при одному з основ дорівнюють 40° і 50°. Знайти основи трапеції, якщо відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює 1.

Рішення. Нехай ABCD - дана трапеція, AB та CD - її основи (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Продовжимо бічні сторони DA і CB до перетину в точці E. Розглянемо трикутник ABE, в якому ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40 °,
отже, ∠AEB = 90°. Медіана EM цього трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: EM = AM. Нехай EM = х, тоді AM = х, DN = 4 - х. Відповідно до умови завдання MN = 1, отже,
EN = x + 1. З подоби трикутників AEM та DEN маємо:

Це означає, що AB = 3 та CD = 5.

Відповідь: 3 та 5.

Завдання 10. Випуклий чотирикутник ABCD описаний біля кола з центром у точці O, при цьому AO = OC = 1, BO = OD = 2. Знайти периметр чотирикутника ABCD.

Рішення. Нехай K, L, M, N - точки дотику кола зі сторонами AB, BC, CD, DA відповідно, r - радіус кола. Оскільки дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання, то трикутники AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO - прямокутні. Застосувавши до цих трикутників теорему Піфагора, отримаємо, що

Отже, AB = BC = CD = DA, тобто ABCD – ромб. Діагоналі ромба перпендикулярні один одному, і точка їхнього перетину є центром вписаного кола. Звідси легко знаходимо, що сторона ромба дорівнює і, отже, периметр ромба дорівнює

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення

З 1.У кола радіуса r описана рівнобічна трапеція ABCD. Нехай E і K - точки торкання цього кола з бічними сторонами трапеції. Кут між основою AB та боковою стороною AD трапеції дорівнює 60°. Доведіть, що EK паралельний AB і знайдіть площу трапеції ABEK.
З-2.У трапеції діагоналі дорівнюють 3 і 5, а відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює 2. Знайдіть площу трапеції.
С-3. Чи можна довкола чотирикутника ABCD описати коло, якщо ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
З-4.У трапеції ABCD (AB - основа) величини кутів DAB, BCD, ADC, ABD та ADB утворюють арифметичну прогресію (у тому порядку, в якому вони написані). Знайдіть відстань від вершини C до діагоналі BD, якщо висота трапеції дорівнює h.
З-5.Дано рівнобедрену трапецію, в яку вписано коло і біля якої описано коло. Відношення висоти трапеції до радіусу описаного кола дорівнює Знайдіть кути трапеції.
С-6.Площа прямокутника ABCD дорівнює 48, а довжина діагоналі дорівнює 10. На площині, в якій розташований прямокутник, вибрано точку O так, що OB = OD = 13. Знайдіть відстань від точки O до найбільш віддаленої від неї вершини прямокутника.
С-7. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 26. Розмір кута ABC дорівнює 120°. Радіус кола, вписаного в трикутник BCD, дорівнює Знайдіть довжини сторін паралелограма, якщо відомо, що AD > AB.
С-8.Чотирикутник ABCD вписаний у коло з центром у точці O. Радіус OA перпендикулярний радіусу OB, а радіус OC перпендикулярний радіусу OD. Довжина перпендикуляра, опущеного з точки C на пряму AD, дорівнює 9. Довжина відрізка BC вдвічі менша за довжину відрізка AD. Знайдіть площу трикутника AOB.
С-9.У опуклому чотирикутнику ABCD вершини A і C протилежні, а довжина сторони AB дорівнює 3. Кут ABC дорівнює кут BCD дорівнює Знайдіть довжину сторони AD, якщо відомо, що площа чотирикутника дорівнює

З-10.У опуклому чотирикутнику ABCD проведені діагоналі AC та BD. Відомо що
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, і відстань між точкою перетину бісектрис трикутника ABD і точкою перетину бісектрис трикутника ACD дорівнює Знайдіть довжину сторони BC.
З-11.Нехай M - точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCD, у якому сторони AB, AD та BC рівні між собою. Знайдіть кут CMD, якщо відомо, що DM = MC,
а ∠CAB ≠ ∠DBA.
З-12.У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠A = 74°, ∠D = 120°. Знайдіть кут між бісектрисами кутів B та C.
З-13.У чотирикутник ABCD можна вписати коло. Нехай K – точка перетину його діагоналей. Відомо, що AB > BC > KC, а периметр та площа трикутника BKC рівні відповідно 14 та 7. Знайдіть DC.
З-14.У трапеції, описаній біля кола, відомо, що BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45 °. Знайдіть AB, якщо площа трапеції ABCD дорівнює 10.
З-15.У трапеції ABCD з основами AB і CD відомо, що ∠CAB = 2∠DBA. Знайдіть площу трапеції.
З-16.У паралелограмі ABCD відомо, що AC = a, ∠CAB = 60 °. Знайдіть площу паралелограма.
С-17. У чотирикутнику ABCD діагоналі AC та BD перетинаються у точці K. Точки L та M є відповідно серединами сторін BC та AD. Відрізок LM містить точку K. Чотирикутник ABCD такий, що можна вписати окружність. Знайдіть радіус цього кола, якщо AB = 3 і LK: KM = 1: 3.
З-18.У опуклому чотирикутнику ABCD проведені діагоналі AC та BD. При цьому ∠BAC =
= ∠BDC, а площа кола, описаного біля трикутника BDC, дорівнює
а) Знайдіть радіус кола, описаного біля трикутника ABC.
б) Знаючи, що BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, знайдіть площу чотирикутника ABCD.

Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ паралелограм). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореня в розв'язках задач використовується символ або sqrt(), причому в дужках зазначено підкорене вираз.

Теоретичний матеріал

Пояснення до формул знаходження площі паралелограма:

1. Площа паралелограма дорівнює добутку довжини однієї з його сторін на висоту, опущену на цей бік
2. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними
3. Площа паралелограма дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними

Завдання на перебування площі паралелограма

Рішення.
Позначимо меншу висоту паралелограма ABCD, опущену з точки B більшу основу AD як BK.
Знайдемо значення катета прямокутного трикутника ABK, утвореного меншою висотою, меншою стороною та частиною більшої основи. За теоремою Піфагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Продовжимо верхню основу паралелограма BC і опустимо на неї висоту AN з його нижньої основи. AN = BK як сторони прямокутника ANBK. У прямокутного трикутника ANC, що вийшов, знайдемо катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 – 81
NC 2 = √144
NC = 12

Тепер знайдемо більшу основу BC паралелограма ABCD.
BC = NC - NB
Врахуємо, що NB = AK як сторони прямокутника, тоді
BC = 12 - 1 = 11

Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту до цієї основи.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Відповідь: 99 см 2 .

Завдання

Рішення.
Опустимо на діагональ АС додатково ще один перпендикуляр DK.
Відповідно, трикутники AOB і DKC, COB та AKD попарно рівні. Одна зі сторін є протилежною стороною паралелограма, один з кутів - прямий, так як є перпендикуляром до діагоналі, а один із кутів, що залишилися, є внутрішнім навхрест лежачим для паралельних сторін паралелограма і січної діагоналі.

Таким чином, площа паралелограма дорівнює площі вказаних трикутників. Тобто
Sпарал = 2S AOB +2S BOC

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів. Звідки
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Відповідь: 56 см 2 .