Як знайти периметр трикутника
Можете покликати на допомогу Яндекс. Впишіть у пошуковий рядок:
периметр трикутника
Яндекс вам запропонує ось такий інтерфейс, куди потрібно буде просто підставити значення.
Периметр – це сума довжин усіх сторін будь-якого багатокутника. Тому, не замислюючись над тим, яка перед вами геометрична фігура, сміливо виміряйте лінійкою довжину всіх сторін і підсумовуйте. Ось і отримаєте периметр.
Якщо говоримо про основи геометрії, то периметр це сума всіх сторін трикутника: Р=а+b+с.
Однак, якщо йдеться про більш складні геометричні та тригонометричні завдання, коли нам дано певні дані, тобто кілька інших формул, для обчислення периметра трикутника:
Якщо відомі радіус вписаної в трикутник кола та його площу, то периметр обчислюється за формулою: P=2S/r.
Якщо відомі два кути, наприклад, amp; # 945; і amp;#946;, що прилягають до однієї сторони, і довжина цієї сторони, то формула для периметра наступна: Р=а+sinamp;#945;amp;#8729;а/(sin(180-amp;#945;- amp;#946;)) + sinamp;#946;amp;#8729;а/(sin(180-amp;#945;-amp;#946;)).
Якщо є довжини суміжних сторін і кут 946; між ними, то периметр обчислюється за допомогою формули теореми косінусів: P=a+b+amp;#8730;(а2+b2-2amp;#8729;aamp;#8729;bamp;#8729;cosamp;#946;), де а2 та b2 квадрати довжин суміжних сторін. Вираз під коренем довжина третьої невідомої сторони, виражена через теорему косінусів.
Периметр рівнобедреного трикутника має наступний вигляд P=2a+b, де бічні сторони, а b його основа.
Периметр правильного трикутника: P = 3a.
Формула периметра для рівностороннього трикутник, якщо відомий радіус вписаного в нього кола P=6ramp;#8730;3, або радіус описаного біля нього кола Р=3Ramp;#8730;3, де r і R відповідно радіуси вписаного або описаного кола.
Для рівнобедреного трикутника є формула: P=2R(2sinamp;#945;+sinamp;#946;), де amp;#945; кут при підставі, 946; кут, що протилежить основі.
Дивлячись на те, що вам відомо з постановки завдання.
Найпростіший варіант – скласти довжини всіх сторін.
У рівносторонньому трикутнику довжина сторони множиться на три.
За формулою P=2S/r, якщо відомі S - площа і r - радіус вписаного кола.
Також є формули для знаходження площі трикутника, якщо відомі його кути.
Якщо трикутник рівносторонній, то щоб знайти його периметр, потрібно довжину однієї сторони помножити на три. А якщо трикутник різнобічний, тоді, щоб знайти його периметр, потрібно скласти довжини всіх його сторін.
Щоб знайти периметр рівностороннього трикутника, потрібно довжину однієї сторони помножити на три.
Щоб знайти периметр рівнобедреного трикутника, потрібно взяти довжину однієї з рівних по довжині сторін, помножити на дві і додати довжину основи.
Взяти до рук лінійку, виміряти кожну сторону трикутника (якщо він рівносторонній, можна виміряти лише одну) і скласти довжини його сторін. У разі рівностороннього трикутника довжину його сторони множимо на 3.
В розумі, в стовпчик, на калькуляторі - як зможете, в залежності від математичних здібностей і наявності-відсутності калькулятора.
Знайти периметр трикутникаякщо відома довжина кожної з його сторін, просто потрібно скласти довжини сторін і отримаємо периметр: (P=a+b+c).
Ще простіше знайти периметр рівностороннього трикутникапотрібно просто помножити довжину його боку на 3: (P=3a).
Але частіше потреба розрахунку периметра виникає тоді, коли відома довжина не всіх його сторін.
Тому якщо відома одна сторона трикутника c і прилеглі до неї кути, то формула розрахунку периметравиглядатиме так:
Периметр трикутника просто. Периметр це довжина трьох сторін трикутника. Треба скласти перший бік, другий бік і третій бік — загальний довжина трьох сторін і буде периметром трикутника.
Периметр – це сума довжин сторін. Потрібно підсумувати довжини всіх сторін трикутника. Чи я щось неправильно зрозуміла? Які вихідні дані?
Щоб знайти периметр трикутника, необхідно скласти довжини всіх трьох його сторін. Якщо трикутник рівнобедрений, можна довжину одного ребра помножити на 2 і додати довжину основи, таким чином вийде периметр рівнобедреного трикутника.
Попередні відомості
Периметр будь-якої плоскої геометричної фігур на площині визначається як сума довжин усіх сторін. Винятком із цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, і навіть види трикутників залежно від сторін.
Визначення 1
Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).
Визначення 2
Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.
Визначення 3
Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.
Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.
Залежно від відношення сторін один до одного, трикутники поділяються на різнобічні, рівнобіжні та рівносторонні.
Визначення 4
Трикутник називатимемо різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює жодній іншій.
Визначення 5
Трикутник називатимемо рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні один одному, але не дорівнюють третій стороні.
Визначення 6
Трикутник називатимемо рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють одна одній.
Усі види цих трикутників Ви можете побачити малюнку 2.
Як знайти периметр різностороннього трикутника?
Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін дорівнюватимуть $α$, $β$ і $γ$.
Висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба всі довжини його сторін скласти між собою.
Приклад 1
Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $34$ см, $12$ см та $11$ см.
$ P = 34 +12 +11 = 57 $ см
Відповідь: $57$ див.
Приклад 2
Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $6$ і $8$ див.
Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника за теоремою Піфагора. Позначимо її через $α$, тоді
$α=10$ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо
$ P = 10 +8 +6 = 24 $ см
Відповідь: $24$ див.
Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?
Нехай нам дано рівнобедрений трикутник, у якого довжини бічних сторін дорівнюватимуть $α$, а довжина основи дорівнює $β$.
За визначенням периметра плоскою геометричної фігури, отримаємо, що
$P=α+α+β=2α+β$
Висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутника треба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його основи.
Приклад 3
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють $12$ см, а основа $11$ см.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$P=2\cdot 12+11=35$ см
Відповідь: $35$ див.
Приклад 4
Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на основу, дорівнює $8$ см, а основа $12$ см.
Розглянемо малюнок за умовою задачі:
Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BD$ також і медіаною, отже, $AD=6$ див.
За теоремою Піфагора, з трикутника $ADB$ знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $α$, тоді
За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо
$P=2\cdot 10+12=32$ см
Відповідь: $32$ див.
Як знайти периметр рівностороннього трикутника?
Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін дорівнюватимуть $α$.
За визначенням периметра плоскої геометричної фігури отримаємо, що
$P=α+α+α=3α$
Висновок:Для знаходження периметра рівностороннього трикутника треба довжину сторони трикутника помножити на $3$.
Приклад 5
Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $12$ див.
За розглянутим вище прикладом, бачимо, що
$ P = 3 \ cdot 12 = 36 $ см
Як знайти периметр трикутника? Таким питанням ставився кожен із нас, навчаючись у школі. Спробуємо згадати все, що ми знаємо про цю дивовижну фігуру, а також відповісти на це запитання.
Відповідь на питання про те, як знайти периметр трикутника, зазвичай є досить-таки простим - потрібно лише виконати процедуру складання довжин всіх його сторін. Однак є ще кілька простих методів шуканої величини.
Поради
У тому випадку, якщо радіус (r) кола, яке вписано в трикутник, та його площа (S) відомі, то відповісти на питання про те, як знайти периметр трикутника, досить просто. Для цього вам необхідно скористатися звичайною формулою:
Якщо відомі два кути, припустимо, α і β, які прилягають до сторони, і сама довжина сторони, то периметр можна знайти за допомогою дуже популярної формули, яка має вигляд:
sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а
Якщо ви знаєте довжини суміжних сторін та кут β, що знаходиться між ними, то для того, щоб знайти периметр, потрібно скористатися. Периметр обчислюється за формулою:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
де b2 та а2 є квадратами довжин суміжних сторін. Підкорене вираз - це довжина третьої сторони, яка невідома, виражена у вигляді теореми косінусів.
Якщо ви не знаєте, як знайти периметр, то тут, насправді, немає нічого складного. Обчисліть його за такою формулою:
де b - основа трикутника, а - його бічні сторони.
Для знаходження периметра правильного трикутника слід скористатися найпростішою формулою:
де а - Довжина сторони.
Як знайти периметр трикутника, якщо відомі лише радіуси кіл, які описані біля нього або вписані в нього? Якщо трикутник є рівностороннім, тоді слід застосувати формулу:
P = 3R√3 = 6r√3,
де R і r є радіусами описаного та вписаного кола відповідно.
Якщо трикутник є рівнобедреним, то для нього застосовується формула:
P=2R (sinβ + 2sinα),
де α - це кут, що лежить біля основи, а β - кут, який протилежить основі.
Найчастіше для вирішення математичних завдань потрібно глибокий аналіз і специфічне вміння знаходити і виводити необхідні формули, а це, як відомо, досить непроста робота. Хоча деякі завдання можна вирішити лише за допомогою однієї-єдиної формули.
Давайте розглянемо формули, які є базовими для відповіді на питання про те, як знайти периметр трикутника по відношенню до найрізноманітніших типів трикутників.
Безумовно, головне правило для знаходження периметра трикутника - це твердження: для знаходження периметра трикутника потрібно скласти довжини всіх його сторін за відповідною формулою:
де b, a і з – це довжини сторін трикутника, а Р – периметр трикутника.
Є кілька окремих випадків цієї формули. Припустимо, ваше завдання формулюється так: «як знайти периметр прямокутного трикутника?» У такому разі вам слід скористатися такою формулою:
P = b + a + √ (b2 + a2)
У цій формулі b а є безпосередніми довжинами катетів прямокутного трикутника. Нескладно здогадатися, що замість боку з (гіпотенузи) використовується вираз, отриманий за теоремою великого вченого давнини - Піфагора.
Якщо потрібно вирішити завдання, де трикутники є подібними, то логічно було б скористатися цим твердженням: відношення периметрів відповідає коефіцієнту подібності. Припустимо, у вас є два подібні трикутники - ABC і A1B1C1. Тоді для знаходження коефіцієнта подібності необхідно розділити периметр ABC на периметр A1B1C1.
На закінчення можна відзначити, що периметр трикутника можна знайти за допомогою різних методик, в залежності від тих вихідних даних, які у вас є. Необхідно додати, що є деякі окремі випадки для прямокутних трикутників.
Периметрфігури – сума довжин її сторін. Відповідно, щоб виявити периметр трикутника, Треба знати, чому дорівнює довжина будь-якої з його сторін. Для пошуку сторін застосовуються властивості трикутника та основні теореми геометрії.
Інструкція
1. Якщо всі три сторони трикутника вже дано за умови завдання, просто складіть їх. Тоді периметр дорівнюватиме: P = a + b + c.
2. Нехай дані дві сторони a, b і кут між ними? Тоді третю сторону можна знайти по теоремі косінусів: c? = a? + b? - 2 a b cos (?). Пам'ятайте, що довжина сторони може бути лише позитивною.
3. Окремий випадок теореми косінусів - теорема Піфагора, яка застосовується для прямокутних трикутників. Кут? у разі дорівнює 90°. Косинус прямого кута перетворюється на одиницю. Тоді c? = a? + b?.
4. Якщо в умові дана тільки одна зі сторін, але при цьому відомі кути трикутника, дві інші сторони можна знайти по теоремі синусів. До речі, кути можуть бути задані не всі, тому благотворно пам'ятати, що сума всіх кутів трикутника дорівнює 180 °.
5. Виходить, нехай дана сторона a, кут? між a та b, ? між a та c. 3-й кут? між сторонами b та c легко виявити з теореми про суму кутів трикутника: ? = 180 ° -? -?. По теоремі синусів, a / sin (?) = b / sin (?) = c / sin (?) = 2 R, де R - радіус кола, описаного біля трикутника. Щоб виявити сторону b, можна виразити її з цієї рівності через кути і сторону a: b = a sin(?) / sin(?). Подібно виражається і сторона c: c = sin(?) / sin(?). Якщо, скажімо, дано радіус описаного кола, але не дана довжина жодній із сторін, завдання також можна вирішити.
6. Якщо задачі дана площа фігури, потрібно записати формулу для площі трикутника через сторони. Вибір формули залежить від того, що відомо. Якщо, крім площі, задано дві сторони, допоможе використання формули Герона. Площа можна виразити також через дві сторони і синус кута між ними: S = 1/2 a b sin(?), де? – кут між сторонами a та b.
7. У деяких завданнях може бути задана площа та радіус кола, вписаного в трикутник. У такому разі виручить формула r = S / p, де r – радіус вписаного кола, S – площа, p – напівпериметр трикутника. Напівпериметр із цієї формули висловити легко: p = S/r. Залишилося виявити периметр: P = 2 p.
Трикутник – це багатокутник, що має три сторони та три кути. Як же визначити його периметр?
Інструкція
1. Периметр трикутника – це сума довжин усіх його 3 сторін. Позначимо сторони трикутника а, b, c. Периметр у математичних формулах позначається латинською літерою Р. Отже, виходячи з правила, Р = а + b + c Допустимо, наші сторони трикутника мають такі довжини: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 см Щоб виявити периметр цього трикутника – необхідно скласти довжини всіх його сторін. Р = 3 + 4 + 5Р = 12 см. Не важке завдання, чай правда?
Відео на тему
Відео на тему
Однією з основних геометричних фігур є трикутник. Він утворюється при перетині трьох відрізків прямих. Дані відрізки прямих утворюють сторони фігури, а точки їх перетину називаються вершинами. Кожен школяр, вивчає курс геометрії, повинен вміти шукати периметр цієї постаті. Отримане вміння буде корисним для багатьох і в дорослого життя, наприклад, стане в нагоді студенту, інженеру, будівельнику,
Існують різні способизнайти периметр трикутника. Вибір необхідної вам формули залежить від наявних вихідних даних. Щоб записати цю величину в математичній термінології використовують спеціальне позначення - Р. Розглянемо, що таке периметр, основні способи розрахунку для трикутних фігур різних видів.
Найпростішим способом знайти периметр фігури, якщо є дані всіх сторін. У цьому випадку використовується така формула:
Літерою «P» позначається сама величина периметра. У свою чергу "a", "b" і "c" - це довжини сторін.
Знаючи розмір трьох величин, достатньо буде отримати їхню суму, яка є периметром.
Альтернативний варіант
У математичних завданнях усі дані довжини рідко бувають відомі. У разі рекомендується скористатися альтернативним способом пошуку потрібної величини. Коли в умовах зазначена довжина двох прямих, а також кут, що знаходиться між ними, розрахунок проводиться через пошук третьої. Для пошуку цього числа необхідно видобути квадратний корінь за формулою:
.
Периметр з обох боків
Для розрахунку периметра не обов'язково знати усі дані геометричної фігури. Розглянемо способи розрахунку з обох боків.
Рівнобедрений трикутник
Рівностегновим називається такий трикутник, що не менше двох сторін якого мають однакову довжину. Вони називаються бічними, а третя сторона – основою. Рівні прямі утворюють кут вершини. Особливістю в рівнобедреному трикутнику є наявність однієї осі симетрії. Вісь - вертикальна лінія, що виходить з вершинного кута і закінчується посередині основи. За своєю суттю вісь симетрії включає такі поняття:
- бісектриса вершинного кута;
- медіана до основи;
- висота трикутника;
- серединний перпендикуляр.
Щоб визначити периметр рівнобедреного виду трикутної фігури, скористайтесь формулою.
В даному випадку вам необхідно знати лише дві величини: основу та довжину однієї сторони. Позначення "2а" має на увазі множення довжини бічної сторони на 2. До отриманої цифри потрібно додати величину основи - "b".
У винятковому випадку, коли довжина основи рівнобедреного трикутника дорівнює його бічній прямій, можна скористатися більш простим способом. Він виявляється у такій формулі:
Для отримання результату достатньо помножити число на три. Ця формула використовується у тому, щоб знайти периметр правильного трикутника.
Корисне відео: завдання на периметр труєгольника
Трикутник прямокутний
Головною відмінністю прямокутного трикутника з інших геометричних фігур цієї категорії є наявність кута 90°. За цією ознакою визначається вид фігури. Перш ніж визначити, як знайти периметр прямокутного трикутника, варто зауважити, що дана величина для будь-якої плоскої геометричної фігури складає суму всіх сторін. Так і в цьому випадку найпростіший спосіб дізнатися результат - підсумувати три величини.
У науковій термінології ті сторони, які прилягають до прямому куту, мають назву «катети», а протилежна до кута 90 º – гіпотенуза. Особливості цієї постаті досліджувалися ще давньогрецьким вченим Піфагор. Відповідно до теорії Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.
.
На підставі даної теореми виведено ще одну формулу, яка пояснює, як знайти периметр трикутника з двох відомих сторін. Розрахувати периметр при зазначеній довжині катетів можна за допомогою наступного способу.
.
Щоб дізнатися периметр, маючи інформацію про розмір одного катета та гіпотенузи, потрібно визначити довжину другої гіпотенузи. З цією метою використовують такі формули:
.
Також периметр описаного виду фігури визначається і без даних розмірів катетів.
Вам знадобиться довжина гіпотенузи, а також кут, прилеглий до неї. Знаючи довжину одного з катетів, якщо є кут, що прилягає до нього, периметр фігури розраховують за формулою:
.
