Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини. Математичне очікування безперервної випадкової величини. Приклад рішення Випадкова величина x задана функцією

Поняття математичного очікування М(Х) та дисперсії D(X), введені раніше для дискретної випадкової величини, можна поширити на безперервні випадкові величини.

· Математичне очікування М(Х) безперервної випадкової величини Х визначається рівністю:

за умови, що це інтеграл сходиться.

· Дисперсія D(X) безперервної випадкової величини Хвизначається рівністю:

· Середнє квадратичне відхиленняσ( Х) безперервної випадкової величини визначається рівністю:

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання 5.3.Випадкова величина Хзадана диференціальною функцією f(x):

Знайти M(X), D(X), σ( Х), а також P(1 < х< 5).

Рішення:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Завдання

5.1. Х

f(x), а також

Р(‒1/2 < Х< 1/2).

5.2. Безперервна випадкова величина Хзадана функцією розподілу:

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π /9< Х< π /2).

5.3. Безперервна випадкова величина Х

Знайти: а) число з; б) М(Х), D(X).

5.4. Безперервна випадкова величина Хзадана щільністю розподілу:

Знайти: а) число з; б) М(Х), D(X).

5.5. Х:

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ( Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях величина Хнабуде рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

5.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ( Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Хприйме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

5.7. Функція f(х) Задано у вигляді:

з Х; б) функцію розподілу F(x).

5.8. Функція f(x) Задано у вигляді:

Знайти: а) значення постійної з, при якій функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

5.9. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= Хприйме значення: а) менше 5; б) не менше 7.

5.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення: а) менше 2; б) менше 4.

5.11.

Знайти: а) число з; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х > М(Х)).

5.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х ≤ М(Х)).

5.13. Розподіл Рем'я задається щільністю ймовірності:

Довести, що f(x) дійсно є щільністю розподілу ймовірностей.

5.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

Знайти число з.

5.15. Випадкова величина Хрозподілена за законом Сімпсона (рівностегнового трикутника) на відрізку [-2; 2] (рис. 5.4). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.

Мал. 5.4 Мал. 5.5

5.16. Випадкова величина Хрозподілено згідно із законом " прямокутного трикутникав інтервалі (0; 4) (рис. 5.5). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.

Відповіді

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<Х< π /2)=1/2.

5.3. а) з= 1/6, б) М(Х)=3 , в) D(X)=26/81.

5.4. а) з=3/2, б) М(Х)=3/5, в) D(X)=12/175.

б) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( Х)= /3.

б) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( Х)= 1,893.

5.7. а) з =; б)

5.8. а) з= 1/2; б)

5.9. а) 1/4; б) 0.

5.10. а) 3/5; б) 1.

5.11. а) з= 2; б) М(Х)= 2; в 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(Х)= π /2; б) 1/2

Випадковою величиноюНазивається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на гральній кістці, число дефектних виробів в партії, відхилення точки падіння снаряда від мети, час безвідмовної роботи пристрою і т. п. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. ДискретноюНазивається випадкова величина, можливі значення якої утворюють лічильна множина, кінцева або нескінченна (тобто така множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

БезперервнийНазивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал числової осі. Число значень безперервної випадкової величини завжди нескінченне.

Випадкові величини будемо позначати великими літерами кінця латинського алфавіту: X, Y, ...; значення випадкової величини - малими літерами: Х, у,.... Таким чином, X Позначає всю сукупність можливих значень випадкової величини, а Х -Деяке її конкретне значення.

Законом розподілудискретної випадкової величини називається відповідність у будь-якій формі відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Нехай можливими значеннями випадкової величини X Є . Через війну випробування випадкова величина прийме одне з цих значень, тобто. Відбудеться одна подія з повної групи попарно несумісних подій.

Нехай також відомі ймовірності цих подій:

Закон розподілу випадкової величини X Може бути записаний у вигляді таблиці, яку називають Поруч розподілуДискретної випадкової величини:

Для низки розподілу має місце рівність (умова нормування).

Приклад 3.1.Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини X - Число появ «орла» при двох киданнях монети.

Функція розподілу є універсальною формою завдання закону розподілу дискретних, і безперервних випадкових величин.

Функцією розподілу випадкової величиниX Називається функція F(X), Визначена на всій числовій осі наступним чином:

F(X)= Р(Х< х ),

Т. е. F(X) є ймовірність того, що випадкова величина X Прийме значення менше, ніж X.

Функцію розподілу можна уявити графічно. Для дискретної випадкової величини графік має ступінчастий вигляд. Побудуємо, наприклад, графік функції розподілу випадкової величини, заданої наступним рядом (рис. 3.1):

Мал. 3.1. Графік функції розподілу дискретної випадкової величини

Стрибки функції відбуваються у точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини, і дорівнюють ймовірностям цих значень. У точках розриву функція F(X) безперервна зліва.

Графік функції розподілу безперервної випадкової величини є безперервною кривою.

Мал. 3.2. Графік функції розподілу безперервної випадкової величини

Функція розподілу має такі очевидні властивості:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

Будемо називати подію, яка полягає в тому, що випадкова величина X Приймає значення Х,Належне деякому напівзамкнутому інтервалу A£ х< B, Попаданням випадкової величини на інтервал [ A, B).

Теорема 3.1. Імовірність потрапляння випадкової величини на інтервал [ A, B) дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі:

Якщо зменшувати інтервал [ A, B), Вважаючи, що в межах формула (3.1) замість ймовірності попадання на інтервал дає ймовірність попадання в точку, тобто ймовірність того, що випадкова величина прийме значення A:

Якщо функція розподілу має розрив у точці A, Та межа (3.2) дорівнює значенню стрибка функції F(X) у точці Х=A, Т. е. ймовірності того, що випадкова величина прийме значення A (Рис. 3.3, А). Якщо ж випадкова величина безперервна, тобто безперервна функція F(X), то межа (3.2) дорівнює нулю (рис. 3.3, Б)

Таким чином, ймовірність будь-якого конкретного значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю. Однак це не означає неможливості події Х =A, А лише говорить про те, що відносна частота цієї події буде прагнути нуля при необмеженому збільшенні числа випробувань.

А)
Б)

Мал. 3.3. Стрибок функції розподілу

Для безперервних випадкових величин поруч із функцією розподілу використовується ще одне форма завдання закону розподілу – щільність розподілу.

Якщо - ймовірність попадання на інтервал, то відношення характеризує щільність, з якою ймовірність розподілена на околиці точки X. Межа цього відношення при ,т. е. похідна , називається Щільністю розподілу(Щільністю розподілу ймовірностей, щільністю ймовірності) випадкової величини X. Умовимося щільність розподілу позначити

Таким чином, щільність розподілу характеризує ймовірність попадання випадкової величини в околицю точки. Х.

Графік густини розподілу називають Кривий расПоділи(Мал. 3.4).

Мал. 3.4. Вид густини розподілу

Виходячи з визначення та властивостей функції розподілу F(X), неважко встановити такі властивості щільності розподілу F(X):

1) F(X)³0

Для безперервної випадкової величини через те, що ймовірність попадання в точку дорівнює нулю, мають місце такі рівності:

Приклад 3.2.Випадкова величина X Задана щільністю розподілу

Потрібно:

А) визначити значення коефіцієнта А;

Б) визначити функцію розподілу;

В) знайти можливість попадання випадкової величини на інтервал (0, ).

Функція розподілу або густина розподілу повністю описують випадкову величину. Часто, однак, при вирішенні практичних немає потреби у повному знанні закону розподілу, достатньо знати лише деякі його характерні риси. Для цього теоретично ймовірностей використовуються числові характеристики випадкової величини, що виражають різні властивості закону розподілу. Основними числовими характеристиками є МатематичнеОчікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Математичне очікуванняХарактеризує положення випадкової величини на числовій осі. Це деяке середнє значення випадкової величини, біля якого групуються її можливі значення.

Математичне очікування випадкової величини X Позначають символами М(Х) або Т. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень:

Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається за допомогою невласного інтегралу:

Виходячи з визначень, неважко переконатися у справедливості таких властивостей математичного очікування:

1. (математичне очікування невипадкової величини ЗТак само невипадковій величині).

2. Якщо ³0, то ³0.

4. Якщо і Незалежні, то.

приклад 3.3.Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини, заданої поряд розподілу:

Рішення.

= 0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1 = 1.3.

Приклад 3.4.Знайти математичне очікування випадкової величини, заданої щільністю розподілу:

Рішення.

Дисперсія та середнє квадратичне відхиленняЄ характеристиками розсіювання випадкової величини, вони характеризують розкид її можливих значень щодо математичного очікування.

Дисперсією D(X) Випадкової величини X Називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

(3.3)

А для безперервної – інтегралом

(3.4)

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини. Характеристика розсіювання, Збігається по розмірноСті з випадковою величиноюслужить середнє квадратичне відхилення.

Властивості дисперсії:

1) - постійні. Зокрема,

Зокрема,

Зауважимо, що обчислення дисперсії за формулою (3.5) часто виявляється зручнішим, ніж за формулою (3.3) або (3.4).

Величина називається Коваріацієювипадкових величин.

Якщо то величина

Називається Коефіцієнт кореляціївипадкових величин.

Можна показати, що якщо , то величини лінійно залежні: де

Зазначимо, що якщо незалежні, то

Приклад 3.5.Знайти дисперсію випадкової величини, заданої поряд розподілу з прикладу 1.

Рішення. Щоб визначити дисперсію, необхідно знати математичне очікування. Для цієї випадкової величини вище було знайдено: M=1.3. Обчислюємо дисперсію за формулою (3.5):

Приклад 3.6.Випадкова величина задана щільністю розподілу

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Рішення. Знаходимо спочатку математичне очікування:

(як інтеграл від непарної функції за симетричним проміжком).

Тепер обчислюємо дисперсію та середнє квадратичне відхилення:

1. Біноміальний розподіл. Випадкова величина , що дорівнює числу «УСПІХІВ» у схемі Бернуллі, має біномний розподіл: , .

Математичне очікування випадкової величини, розподіленої за біномінальним законом, дорівнює

Дисперсія цього розподілу дорівнює.

2. Розподіл Пуассона ,

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини з розподілом Пуассона.

Розподіл Пуассона часто використовується, коли ми маємо справу з кількістю подій, що з'являються в проміжку часу або простору, наприклад: кількість машин, що прибули на автомийку протягом години, кількість зупинок верстатів на тиждень, кількість дорожніх пригод і т.д.

Випадкова величина має Геометричний розподілз параметром , якщо набуває значення з ймовірностями . Випадкова величина з таким розподілом має сенс Номери першого успішного випробуванняу схемі Бернуллі з ймовірністю успіху. Таблиця розподілу має вигляд:

3. Нормальний розподіл. Нормальний закон розподілу ймовірностей посідає особливе місце серед інших законів розподілу. Теоретично ймовірності доводиться, що щільність ймовірності суми незалежних чи Слабко залежних, Поступово малих (тобто грають приблизно однакову роль) доданків при необмеженому збільшенні їх числа як завгодно близько наближається до нормального закону розподілу незалежно від того, які закони розподілу мають ці доданки (центральна гранична теорема А. М. Ляпунова).

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

приклад 2.1.Випадкова величина Xзадана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xприйме значення, укладені у проміжку (2,5; 3,6).

Рішення: Ху проміжок (2,5; 3,6) можна визначити двома способами:

приклад 2.2.При яких значеннях параметрів Аі Уфункція F(x) = A + Be - xможе бути функцією розподілу для невід'ємних значень випадкової величини Х.

Рішення:Оскільки всі можливі значення випадкової величини Хналежать інтервалу , то для того, щоб функція була функцією розподілу для Х, має виконуватися властивість:

Відповідь: .

приклад 2.3.Випадкова величина X задана функцією розподілу

Знайти ймовірність того, що внаслідок чотирьох незалежних випробувань величина Xрівно 3 рази набуде значення, що належить інтервалу (0,25; 0,75).

Рішення:Імовірність влучення величини Ху проміжок (0,25; 0,75) знайдемо за формулою:

Приклад 2.4.Імовірність влучення м'ячем у кошик при одному кидку дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа влучень за трьох кидків.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість попадань у кошик при трьох кидках – може набувати значень: 0, 1, 2, 3. Імовірність того, що Х

Х:

приклад 2.5.Два стрільці роблять по одному пострілу в ціль. Імовірність потрапляння до неї першим стрільцем дорівнює 0,5, другим – 0,4. Скласти закон розподілу числа влучень у мета.

Рішення:Знайдемо закон розподілу дискретної випадкової величини Х- Числа попадань у мету. Нехай подія - попадання в ціль першим стрільцем, а - попадання другим стрільцем, і - відповідно їх промахи.

Складемо закон розподілу ймовірностей СВ Х:

приклад 2.6.Випробовуються 3 елементи, що працюють незалежно один від одного. Тривалість часу (у годинах) безвідмовної роботи елементів мають функції щільності розподілу: для першого: F 1 (t) =1-e - 0,1 t, для другого: F 2 (t) = 1-e - 0,2 tдля третього: F 3 (t) =1-e - 0,3 t. Знайти ймовірність того, що в інтервалі від 0 до 5 годин: відмовить тільки один елемент; відмовить лише два елементи; відмовить усі три елементи.

Рішення:Скористаємося визначенням функції ймовірностей :

Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у першому з яких ймовірність появи події Адорівнює , у другому і т. д., подія Аз'явиться рівно раз, дорівнює коефіцієнту при розкладанні виконує функції за ступенями . Знайдемо ймовірність відмови та невідмови відповідно першого, другого та третього елемента в інтервалі часу від 0 до 5 годин:

Складемо функцію, що виробляє:

Коефіцієнт дорівнює ймовірності того, що подія Аз'явиться рівно тричі, тобто ймовірність відмови всіх трьох елементів; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовлять рівно два елементи; коефіцієнт при дорівнює ймовірності того, що відмовить лише один елемент.

приклад 2.7.Дана щільність імовірності f(x)випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(x).

Рішення:Використовуємо формулу:

Таким чином, функція розподілу має вигляд:

приклад 2.8.Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили, в одному досвіді.

Рішення:Випадкова величина Х- Число елементів, які відмовили в одному досвіді - може приймати значення: 0, 1, 2, 3. Імовірності того, що Хприйме ці значення, знайдемо за формулою Бернуллі:

Таким чином, отримуємо наступний закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х:

Приклад 2.9.У партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

Рішення:Випадкова величина Х- Число стандартних деталей серед відібраних - може приймати значення: 1, 2, 3 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Х

де -- число деталей у партії;

-- число стандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість стандартних деталей серед відібраних.

Приклад 2.10.Випадкова величина має щільність розподілу

причому і не відомі, але , а і . Знайдіть і .

Рішення:У разі випадкова величина Xмає трикутний розподіл (розподіл Сімпсона) на відрізку [ a, b]. Числові характеристики X:

Отже, . Вирішуючи цю систему, отримаємо дві пари значень: . Оскільки за умовою завдання , то маємо: .

Відповідь: .

Приклад 2.11.У середньому по 10% договорів страхова компанія сплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Обчислити математичне очікування та дисперсію числа таких договорів серед навмання обраних чотирьох.

Рішення:Математичне очікування та дисперсію можна знайти за формулами:

Можливі значення СВ (кількість договорів (з чотирьох) із настанням страхового випадку): 0, 1, 2, 3, 4.

Використовуємо формулу Бернуллі, щоб обчислити ймовірності різного числа договорів (з чотирьох), за якими було виплачено страхові суми:

Ряд розподілу СВ (кількість договорів із настанням страхового випадку) має вигляд:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Відповідь: , .

Приклад 2.12.З п'яти троянд дві білі. Скласти закон розподілу випадкової величини, що виражає число білих троянд серед двох одночасно взятих.

Рішення:У вибірці з двох троянд може або не виявитись білої троянди, або може бути одна або дві білі троянди. Отже, випадкова величина Хможе приймати значення: 0, 1, 2. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- число троянд;

-- кількість білих троянд;

– число одночасно взятих троянд;

-- кількість білих троянд серед взятих.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.13.Серед 15 зібраних агрегатів 6 потребують додаткового мастила. Скласти закон розподілу числа агрегатів, які потребують додаткового мастила, серед п'яти навмання обраних із загального числа.

Рішення:Випадкова величина Х- Число агрегатів, що потребують додаткової мастилі серед п'яти обраних - може приймати значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 і має гіпергеометричний розподіл. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

де -- кількість зібраних агрегатів;

-- кількість агрегатів, що потребують додаткового мастила;

– кількість обраних агрегатів;

-- число агрегатів, що потребують додаткового мастила серед обраних.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Приклад 2.14.З надійшли в ремонт 10 годин 7 потребують загального чищення механізму. Годинник не розсортований за видом ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинник, що потребує чищення, розглядає його по черзі і, знайшовши такий годинник, припиняє подальший перегляд. Знайти математичне очікування та дисперсію числа переглянутих годин.

Рішення:Випадкова величина Х– кількість агрегатів, які потребують додаткового мастила серед п'яти обраних – може набувати значень: 1, 2, 3, 4. Імовірність того, що Хнабуде цих значень, знайдемо за формулою:

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким:

Тепер обчислимо числові характеристики величини:

Відповідь: , .

приклад 2.15.Абонент забув останню цифру потрібного номера телефону, проте пам'ятає, що вона непарна. Знайти математичне очікування та дисперсію числа зроблених ним наборів номера телефону до попадання на потрібний номер, якщо останню цифру він набирає навмання, а набрану цифру надалі не набирає.

Рішення:Випадкова величина може набувати значення: . Так як набрану цифру абонент надалі не набирає, то ймовірність цих значень дорівнює .

Складемо ряд розподілу випадкової величини:


	0,2

Обчислимо математичне очікування та дисперсію числа спроб набору номера:

Відповідь: , .

Приклад 2.16.Імовірність відмови за час випробувань на надійність для кожного приладу серії дорівнює p. Визначити математичне очікування кількості приладів, які дали відмову, якщо випробування зазнали Nприладів.

Рішення:Дискретна випадкова величина X - кількість приладів, що відмовили в Nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи відмови дорівнює p,розподілено за біноміальним законом. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

Приклад 2.17.Дискретна випадкова величина Xприймає 3 можливі значення: з ймовірністю; з ймовірністю та з ймовірністю . Знайти і знаючи, що M( X) = 8.

Рішення:Використовуємо визначення математичного очікування та закону розподілу дискретної випадкової величини:

Знаходимо: .

приклад 2.18.Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування випадкової величини X– числа партій, у кожній з яких міститься рівно 4 стандартні вироби, якщо перевірці підлягають 50 партій.

Рішення:В даному випадку всі досліди, що проводяться, незалежні, а ймовірності того, що в кожній партії міститься рівно 4 стандартні вироби, однакові, отже, математичне очікування можна визначити за формулою:

де – число партій;

Імовірність того, що в партії міститься рівно 4 стандартні вироби.

Імовірність знайдемо за формулою Бернуллі:

Відповідь: .

Приклад 2.19.Знайти дисперсію випадкової величини X– числа події Aу двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірності появи події у цих випробуваннях однакові та відомо, що M(X) = 0,9.

Рішення:Завдання можна вирішити двома способами.

1) Можливі значення СВ X: 0, 1, 2. За формулою Бернуллі визначимо ймовірність цих подій:

, , .

Тоді закон розподілу Xмає вигляд:

З визначення математичного очікування визначимо ймовірність:

Знайдемо дисперсію СВ X:

2) Можна використовувати формулу:

Відповідь: .

Приклад 2.20.Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Xвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Xнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 25).

Рішення:Імовірність влучення нормальної випадкової величини Хна ділянку від до виражається через функцію Лапласа:

Приклад 2.21.Дана функція:

При якому значенні параметра Cця функція є щільністю розподілу деякої безперервної випадкової величини X? Знайти математичне очікування та дисперсію випадкової величини X.

Рішення:Для того, щоб функція була щільністю розподілу деякої випадкової величини, вона повинна бути невід'ємною, і вона повинна задовольняти властивості:

Отже:

Обчислимо математичне очікування за такою формулою:

Обчислимо дисперсію за такою формулою:

T дорівнює p. Необхідно знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення:Закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа події у незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , називають біномним. Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події А одному випробуванні:

Приклад 2.25.Здійснюється три незалежні постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.25. Визначити середнє квадратичне відхилення числа влучень за трьох пострілів.

Рішення:Оскільки виробляється три незалежних випробування, і можливість появи події А (попадання) у кожному випробуванні однакова, вважатимемо, що дискретна випадкова величина X - число влучень у мета – розподілена по биномиальному закону.

Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні:

Приклад 2.26.Середня кількість клієнтів, які відвідують страхову компанію за 10 хв., дорівнює трьох. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 5 хвилин прийде хоча б один клієнт.

Середня кількість клієнтів, що прийшли за 5 хвилин: . .

Приклад 2.29.Час очікування заявки у черзі на процесор підпорядковується показовому закону розподілу із середнім значенням 20 секунд. Знайти ймовірність того, що чергова (довільна) заявка чекатиме на процесор більше 35 секунд.

Рішення:У цьому прикладі математичне очікування , а інтенсивність відмов дорівнює.

Тоді ймовірність:

Приклад 2.30.Група студентів у кількості 15 осіб проводить збори у залі, у яких 20 рядів по 10 місць у кожному. Кожен студент займає місце у залі випадковим чином. Якою є ймовірність того, що не більше трьох осіб будуть на сьомому місці ряду?

Рішення:

Приклад 2.31.

Тоді згідно з класичним визначенням ймовірності:

де -- число деталей у партії;

-- число нестандартних деталей у партії;

– кількість відібраних деталей;

-- кількість нестандартних деталей серед відібраних.

Тоді закон розподілу випадкової величини буде таким.

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :

Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»

Завдання 1.

Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.

Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.

Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:

Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Завдання 3.

Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має такі можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).

Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі . Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:

По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.

3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.

Графік функції F(x)

4. Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Завдання 1. Щільність розподілу безперервної випадкової величини Х має вигляд:
Знайти:
а) параметр A;
б) функцію розподілу F(x);
в) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал;
г) математичне очікування MX та дисперсію DX.
Побудувати графік функцій f(x) та F(x) .

Завдання 2. Знайти дисперсію випадкової величини X заданої інтегральної функцією.

Завдання 3. Знайти математичне очікування випадкової величини Х заданою функцією розподілу.

Завдання 4. Щільність ймовірності деякої випадкової величини задана в такий спосіб: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Знайти коефіцієнт A, функцію розподілу F(x), математичне очікування та дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина набуде значення в інтервалі. Побудувати графіки f(x) та F(x) .

Завдання. Функція розподілу деякої безперервної випадкової величини задана таким чином:

Визначити параметри a і b знайти вираз для щільності ймовірності f(x) , математичне очікування і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина набере значення в інтервалі . Побудувати графіки f(x) та F(x).

Знайдемо функцію щільності розподілу як похідну від функції розподілу.
F′=f(x)=a
Знаючи, що знайдемо параметр a:

або 3a=1, звідки a = 1/3
Параметр b знайдемо з таких властивостей:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 звідки b = -1/3
Отже, функція розподілу має вигляд: F(x) = (x-1)/3

Математичне очікування.

Дисперсія.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина набуде значення в інтервалі
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Приклад №1. Задана густина розподілу ймовірностей f(x) безперервної випадкової величини X . Потрібно: