Презентація таблиці похідних основних елементарних функцій. Похідні деяких функцій. ІІІ. Закріплення здобутих знань

ВИРОБНИЧА

МОУ Середньосантимирська ЗОШ

Виконана вчителем математики

Сінгатулової Г.Ш.


  • Визначення похідної.
  • Фізичний зміст похідної.
  • .
  • Основні правила диференціювання.
  • Похідна складна функція.
  • Приклади розв'язання задач на тему похідна.

Визначення похідної

Нехай на деякому інтервалі (a, b) визначено функцію y= f(x).Візьмемо будь-яку точку x 0 з цього інтервалу і задамо аргументу x у точці x 0 довільне збільшення ∆ x таке, що точка x 0 + ∆ x належить цьому інтервалу. Функція отримає збільшення

Похіднийфункції y= f(x)у точці x = x 0 називається межа відношення збільшення функції ∆y у цій точці до збільшення аргументу ∆x , при прагненні збільшення аргументу до нуля.

Геометричний зміст похідної

Нехай функція y= f(x)визначено на деякому проміжку (a, b). Тоді тангенс кута нахилу січе МР до ​​графіку функції.

Де  - кут нахилу дотичної функції f(x)у точці (x 0 f (x 0)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у будь-якій точці.

Рівняння щодо кривої:

Фізичний зміст похідної 1. Завдання про визначення швидкості руху матеріальної частки

Нехай уздовж деякої прямої рухається точка за законом s = s (t), де s-пройдений шлях, t-час, і необхідно знайти швидкість точки в момент t0.

На момент часу t 0 пройдений шлях дорівнює s 0 = s (t 0), а на момент (t 0 + ∆t) - шлях s 0 + ∆s = s (t 0 + ∆t).

Тоді за проміжок ∆t середня швидкість буде

Що менше ∆t, то краще середня швидкість характеризує рух точки в момент t 0 . Тому під швидкістю точки в момент t 0 слід розуміти межу середньої швидкості проміжок від t 0 до t 0 +∆t, коли ∆t⇾0 , тобто.

2. ЗАВДАННЯ ПРО ШВИДКІСТЬ ХІМІЧНОЇ РЕАКЦІЇ

Нехай деяка речовина входить у хімічну реакцію. Кількість цієї речовини Q змінюється протягом реакції залежно від часу t є функцією від часу. Нехай за час ∆t кількість речовини змінюється на ∆Q, тоді відношення виражатиме середню швидкість хімічної реакції за час ∆t, а межа цього відношення

Швидкість хімічної реакції на даний момент

часу t.

3. ЗАВДАННЯ ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ РАДІОАКТИВНОГО РОЗПАДУ

Якщо m-маса радіоактивної речовини та t-час, то явище радіоактивного розпаду в момент часу t за умови, що маса радіоактивної речовини з часом зменшується, характеризується функцією m= m(t).

Середня швидкість розпаду за час ∆t виражається відношенням

а миттєва швидкість розпаду в момент часу t

АЛГОРИТМ обчислення похідної

Похідна функції y= f(x) може бути знайдена за наступною схемою:

1. Дамо аргументу x збільшення ∆x≠0 і знайдемо нарощене значення функції y+∆y= f(x+∆x).

2. Знаходимо збільшення функції ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Складаємо відношення

4. Знаходимо межу цього відношення при ∆x⇾0, тобто.

(якщо ця межа існує).

Основні правила диференціювання

Нехай u=u(x)і v = v (x) -диференційовані функції у точці x.

1) (u v) = u v

2) (uv) = u v +uv

(Cu) = cu

3) , якщо v 0

Похідна складної функції

Теорема. Якщо функція диференційована у точці x, а функція

диференційована у відповідній точці, то складна функція диференційована у точці x, причому:

тобто. похідна складної функції дорівнює добутку похідної функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Завдання 1.

Завдання 2 .

Завдання 3 .

Завдання 4 .

Завдання 5 .

Завдання 6 .

Завдання 7 .

Завдання 8 .

Подібні документи

    Поняття, межа та безперервність функції двох змінних. Приватні похідні першого ладу, знаходження повного диференціалу. Приватні похідні вищих порядків та екстремум функції кількох змінних. Необхідні умови існування екстремуму.

    контрольна робота, доданий 02.02.2014

    Кути та їх вимір. Відповідність між кутами та числовим рядом. Геометричний зміст тригонометричних функцій. Властивості тригонометричних функцій. Основне тригонометричне тотожність та наслідки з нього. Універсальна тригонометрична підстановка.

    навчальний посібник, доданий 18.04.2012

    Сутність поняття "похідна". Прискорення як друга похідна функції, що описує рух тіла. Розв'язання задачі на визначення миттєвої швидкості руху точки на момент часу. Похідна у реакціях, її роль та місце. Загальний вигляд формули.

    презентація, доданий 22.12.2013

    Кути та їх вимір, тригонометричні функції гострого кута. Властивості та знаки тригонометричних функцій. Парні та непарні функції. Зворотні тригонометричні функції. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей за допомогою формул.

    навчальний посібник, доданий 30.12.2009

    Здійснення інтерполяції за допомогою полінома Ньютона. Уточнення значення кореня на заданому інтервалі трьома ітераціями та знаходження похибки обчислення. Застосування методів Ньютона, Сампсона та Ейлера при вирішенні завдань. Обчислення похідної функції.

    контрольна робота, доданий 02.06.2011

    Поняття похідної, її геометричний та фізичний зміст, диференціал. Дослідження функцій та побудова графіків. Розкладання на множники, спрощення виразів. Розв'язання нерівностей, систем рівнянь та доказ тотожностей. Обчислення меж функції.

    контрольна робота, доданий 16.11.2010

    Визначення похідної функції, геометричний зміст її збільшення. Геометричний зміст заданого відношення. Фізичний зміст похідної функції у цій точці. Число, якого прагне задане ставлення. Аналіз прикладів обчислення похідної.

    презентація, додано 18.12.2014

    Огляд таблиці похідних функцій. Концепція проміжного аргументу. Правила диференціювання складних функцій. Спосіб зображення траєкторії точки як зміни її проекцій по осях. Диференціювання параметрично заданої функції.

    контрольна робота, доданий 11.08.2009

    Історичний огляд формування тригонометрії як науки від давнини донині. Введення поняття тригонометричних функцій на уроках алгебри та почав аналізу за підручниками А.Г. Мордковіча, М.І. Башмакова. Вирішення лінійних диференціальних рівнянь.

    дипломна робота, доданий 02.07.2011

    Історичний огляд формування тригонометрії як науки. Різні способи запровадження поняття тригонометричних функцій. Аналіз шкільних підручників М.І. Башмакова та А.Г. Мордковича з цієї тематики. Перспективи використання матеріалу для викладання.

Цілі уроку:

  • Освітні:познайомити учнів із формулами знаходження похідних елементарних функцій; вивчати знаходити похідні елементарних функцій.
  • Розвиваючі:розвивати комунікативність, пізнавальність, здатність приймати самостійне рішення, уміння володіти собою.
  • Виховні:створення умов ситуації успіху, як наслідок підтримки інтересу до предмета, виховувати пізнавальну активність, комунікативні навички, мобільність, вміння спілкуватися, загальної культури.

Обладнання:комп'ютери, інтерактивні ради.

Хід уроку

I. Організаційний момент

- Стали все рівненько, всі готові до уроку. Здрастуйте хлопці. Сідайте на місце.

ІІ. Актуалізація знань

Презентація «Виробна деяких елементарних функцій»(Додаток 1)

На екрані слайд 1

- Подивіться хлопці на слайд. Що ви тут бачите?

– Опції.

– статечна, тригонометрична, логарифмічна та показова (назви функцій з'являються по клацанню)

– Як можна назвати ці функції одним словом?

– елементарні.

- Добре. Який розділ алгебри ми з вами зараз вивчаємо? (слайд 2)

– « Похідна та її застосування».

– Що ми вже вміємо?

– Знаходити похідну статечної функції, використовувати правила диференціювання, знаходити миттєву швидкість.

- Подивіться на слайд і визначник, що ми ще не знаємо? (Слайд 3)

– Ми не знаємо, як знаходити похідні інших елементарних функцій.

– Отже, тема нашого уроку як звучатиме?

– Похідні деяких функцій.

– Визначте кожен для себе мету уроку і спробуйте сформулювати її.

– Познайомитись з формулами знаходження похідних деяких елементарних функцій та вчитися їх застосовувати.

– Відкрийте зошити та запишіть сьогоднішнє число та тему уроку.

– Сьогодні ви працюватимете з листами самооцінки, вони лежать перед вами, на кожному етапі уроку оцініть свою роботу та оцінку поставте в лист самооцінки ( Додаток 2).

– Для того, щоб успішно пройшло засвоєння теми уроку, виконаємо вправи на повторення. Прошу вас сісти за комп'ютери, відкрити програму MyTest, отримайте тест по мережі та виконайте його.

(Програму MyTest можна завантажити з Інтернету, вона вільно розповсюджується, зручно її використовувати тому, що ви самі можете створити будь-який тест, після закінчення учень автоматично отримує оцінку і на комп'ютер вчителя приходить результат кожного учня, ці результати діти бачать усі)

Тест.

Вписати правильну відповідь.

Варіант 1.

  1. Похідної функції s(t) називають …
  2. Похідна суми дорівнює ….
  3. Знайти похідну функції f(x) = 3x2 - 5х + 6.
  4. Знайти похідну функції f(x) = -x 2 + 3х + 1.
  5. Знайти похідну функції f(x) = (х - 2) 2 х 3 .

Варіант 2.

  1. Похідної функції s(t) називають...
  2. Постійний множник можна винести...
  3. Знайти похідну функції у = 5x2 + 6х - 7.
  4. Знайти похідну функції у = x 2 + x + 1.
  5. Знайти похідну функції у = (x 2 + 2х) (х - 5).

- Добре. За результатами тесту видно і, я думаю, ви усвідомлюєте, що взагалі нам є ще над чим працювати.

– Отже, ми з вами сказали, що сьогодні ми познайомимося з формулами знаходження похідних деяких елементарних функцій. Перед вами лежать аркуші із завданнями ( Додаток 3), пропоную вам дослідити дані завдання та спробувати самостійно визначити формули знаходження похідних деяких елементарних функцій. Роботу пропоную виконати у парах.

– Отже хлопці, я бачу, ви вже впоралися, давайте аналізувати і робити висновки.

Передбачувана відповідь дітей:

Визначте похідну функції y = sin x.

Завдання 1

Знайдіть похідну функції

Рішення:
(x) =cosx +6x + 6

Завдання 2

Знайдіть похідну функції

Рішення:

Висновок: (sinx)’ =___________________

– Проаналізувавши дане завдання та його рішення можна сказати наступне: ми вже вміємо знаходити похідну статечної функції і бачимо, що похідна від 3x 2 дорівнює 6х, похідна від 6х дорівнює 6, похідна від константи дорівнює 0, значить можна зробити висновок, що похідна відsinx дорівнюєcosx. Аналогічно цей висновок ми можемо зробити, проаналізувавши Завдання 2.

Діти аналізують, використовуючи інтерактивну дошку, підкреслюють на слайді потрібну інформацію. У процесі відповіді вчитель вносить корективи, якщо вони необхідні. Аналогічна робота з кожного завдання. (Слайд 5–12).

- Молодці, хлопці. Ви самі визначили формули знаходження похідних деяких елементарних функцій. У робочі зошити запишіть всі ці формули, спробуйте на згадку, а якщо не виходить, дивіться на слайд (слайд 13).

ІІІ. Закріплення здобутих знань

– Отже, ми вже знаємо формули знаходження похідних деяких елементарних функцій, давайте вчитися застосовувати їх при виконанні вправ. І це я пропоную вам зробити за допомогою тестів ЦОР самостійно. Шлях до тесту на дошці.

Тема: “15. Правила обчислення похідних».

Учні виконують завдання наступним шляхом: Правила обчислення похідної/Контроль/Завдання 6, Завдання 7.

В результаті виконання завдання учні автоматично отримую оцінку, вони можуть повернутися до тих завдань, які вони виконали неправильно, розібратися в чому помилка та виправити її.

IV. Рефлексія

- Поставте собі підсумкову оцінку в аркуш самооцінки.

– Чи виникли у вас якісь проблеми під час вирішення вправ?

– Так. Як знайти похідну функціїy =tgx? Ми сьогодні цієї формули не вивчали, а завдання було такий приклад.

- Добре. А що таке tgx?

- Це ставленняsinx доcosx.

- Формулу знаходження похідної sinxзнаємо? (Так). Похідну cosx?Так, вдома виведіть самі формулу знаходження похідної функції y =tgx.

V. Підсумок уроку

Виставлення оцінок за роботу на уроці. Порівняти із самооцінкою.

VI. Домашнє завдання

§ 5, № 53, 54, інд. завдання.

І ще хлопці залишилося у нас із вами одне питання. Пам'ятайте, ви мені запитали: Навіщо ми вивчаємо цю тему? Усім було зрозуміло, що завдання, де використовується похідна, є в тестах ЄДІ, а де застосовується похідна? І я вам запропонувала самостійно знайти відповідь на це запитання. Ви готові сьогодні відповісти на нього? Вислухати виступи учнів.

Самоаналіз уроку

Клас, у якому проводився урок – 11 клас. Рівень знань учнів середній. Тільки одна учениця Орєхова Наталія можна сказати «сильна», дівчинка збирається вступати до РІНХ на факультет Фінанси та кредит, решта займається посередньо.

Тип уроку – вивчення нового матеріалу. На уроці використовувала різні форми та методи, технології діяльного підходу. Протягом уроку було побудовано мотивацію. При актуалізації знань, за допомогою того, що ми вже знаємо і чого ще не знаємо, хлопці визначили самі тему уроку і кожен із них визначив для себе мету уроку. З метою повторення та перевірки домашнього завдання я використовувала програму MyTest. Тести складала сама, і в завданнях необхідно було вписати правильну відповідь.

При вивченні нового матеріалу хлопці працювали в парах, шляхом аналізу та синтезу були визначені формули знаходження похідних деяких елементарних функцій.

На етапі закріплення використовувала ЦОР, тест із вибором відповіді. Вважаю, що на початковому етапі вивчення цієї теми доцільно використовувати тести саме з вибором відповіді, надалі ми будемо вчитися застосовувати формули для інших завдань.

Проводилася рефлексія, використовуючи у роботі листи із самооцінкою, оцінки за урок було виставлено та прокоментовано. Домашнє завдання, задано диференційовано та деякі учні отримали індивідуальне завдання.

Намагаємось визначати мету вивчення цієї теми в житті.


Правила диференціювання ТЕОРЕМУ 1. Диференціювання суми, твору та приватного. Якщо функції f і g диференційовані в точці х, то цій точці диференційовані f + g, f g, f / g (якщо g(x) 0) і при цьому Нехай у = f g. 1) (f(х) + g(х))" = f "(х) + g "(х); 2) (f(х) g(х))" = f "(х)g(x) + f(x)g"(х); Доведення. Наведемо доказ якості 2. f = f (x + x) - f (x) f (x + x) = f (x) + f; g = g (x + x) - g (x) g (x + x) = g (x) + g. g "(х) f "(х) 0 при х 0 (В силу непр. диф-мої функції.)


ТЕОРЕМА 2. Диференціювання складної функції Нехай функція у = f(u) диференційована у точці u 0, у 0 = f(u 0), а функція u = (x) диференційована у точці x 0, u 0 = (x 0). Тоді складна функція у = f ((x)) диференційована в точці x 0 і f "((x 0)) = f "(u 0) · " (x 0) або ПРИМІТКА. Правило обчислення похідної складної функції поширюється на композицію будь-якого кінцевого числа функцій. Наприклад: (f((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(x). Наслідок. Якщо f(х) диференційована у точці х і З = const, то (З f(x))" = З f "(x); (f(x)/С)" = f "(x)/С.


Приклад 1. y = cosx, х R. (cosx) = (sin (/2 - x)) = cos (/2 - x) · (/2 - x) = - sinx. y = tgx, x / 2 + k, k Z. Використовуючи теореми 1 і 2, знайдемо похідні тригонометричних функцій y = ctgx, x + k, k Z.


ТЕОРЕМА 3. Диференціювання зворотної функції. Якщо у = f(x) безперервна і строго монотонна на відрізку і має похідну f"(x 0), тоді зворотна до неї функція x = g(y) диференційована в точці у 0 = f(x 0), причому g "( y 0) = 1 / f "(x 0). = g(y 0 + у) – g(y 0) Потрібно довести, що існує 0 Доказ: Нехай f(x) строго зростає на .Нехай = f(x 0 -), = f(x 0 +) на [, ] визначена зворотна функція x = g(y), безперервна і строго зростаюча, причому f(x 0) (,) Якщо у 0, то і х 0, в силу суворої монотонності функції, тому маємо право записати тотожність у, то й х, тому що x = g(y) безперервна в точці 0.


Приклад 2. Знайдемо похідні зворотних тригонометричних функцій


0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG:Таблиця похідних елементарних функцій 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x) ' = x -1, R, x> 0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1 / cos 2" class="link_thumb"> 8 !}Таблиця похідних елементарних функцій 1) (С) = 0, C = const; 2) (x) ' = x -1, R, x> 0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/cos 2 x, х π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n; 9) 10) 11) 12) 0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; (e x) = e x, x R; 4) 5) (sin x) = cos x, x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; cos 2 x, х π/2 + πn, n; 8) (ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG:Таблиця похідних елементарних функцій 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x) ' = x -1, R, x> 0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1 / cos 2"> title="Таблиця похідних елементарних функцій 1) (С) = 0, C = const; 2) (x) ' = x -1, R, x> 0; (x n) '= n x n-1, n N, x R; 3)(a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x) '= e x, x R; 4). 5) (sin x) = cos x x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1 / cos 2"> !}




Похідна n-ого порядку ВИЗНАЧЕННЯ. Нехай f(x) визначена U (x 0) і має похідну f (x) в кожній точці цього інтервалу. Якщо в точці х 0 існує похідна від f(x), то вона називається другою похідною від функції f(x) у цій точці і позначається Аналогічно визначається похідна f(n)(x) будь-якого порядку n = 1, 2, … Якщо в U(x0) існує f(n-1)(x) (при цьому під похідною нульового порядку мається на увазі сама функція), то n = 1, 2, 3, …. Функцію, що має в кожній точці множини Х похідні до n-ого порядку включно, називають n разів, що диференціюється на множині Х.


Нехай функції f(x) та g(x) мають у точці х похідні n-ого порядку. Тоді функція Аf(x) + Вg(x), де А і постійні, також має похідну в точці х, причому (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) (x) + Вg (n) (x). При обчисленні похідних будь-якого порядку часто використовують такі основні формули. y = x; y (n) = (-1) ... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 … Зокрема, якщо = m N, то y = a x; y(n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, … Зокрема (е x) (n) = е х. y " = ((x + a) - 1)" = - (x + a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y "" = (x + a) - 4, …


Y = ln(x+а); y(n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+а) –n. y = (x + а) -1, y = - (x + а) -2, y = 2 (x + а) -3, y (4) = - 2 · 3 (x + а) - 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2·/2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...


N-а похідна твори двох функцій (формула Лейбніца), де ця формула називається формулою Лейбніца. Вона може бути записана у вигляді де нехай функції f(x) і g(x) мають у точці х похідні n-ого порядку. По індукції можна довести, що (f(x), g(x)) (n) = ?
Приклад 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Застосуємо формулу Лейбніца, поклавши у ній f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тоді