Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).
Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.
Властивості лінійної залежності та незалежності.
10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.
Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .
20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.
Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.
30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.
Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, можна вважати, що a1 ¹ 0. Тоді існує і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.
Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.
Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.
Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. В іншому випадку система (**) називається Лінійно незалежною.
40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно висловити через інші її вектори.
50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.
60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.
Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна у вигляді лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).
Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.
Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).
Нехай і – дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.
Доведення.Припустимо, що N> S.За умовою теореми
|
|
Оскільки система лінійно незалежна, то рівність (18) Х1 = х2 = ... = хN = 0.Підставимо сюди вирази векторів: …+=0 (19). Звідси (20). Умови (18), (19) та (20), очевидно, еквівалентні. Але (18) виконується тільки за Х1 = х2 = ... = хN = 0.Знайдемо, коли правильна рівність (20). Якщо його коефіцієнти дорівнюють нулю, воно, зрозуміло, правильно. Прирівнявши їх нулю, отримаємо систему (21). Так як ця система має нульове, то вона |
(21)спільна. Так як число рівнянь більше від кількості невідомих, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.
Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.
Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.
Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.
Доведеннявипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .
Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.
Приклади:
1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.
2. У багатьох всіх компланарних геометричних векторів будь-які два неколлінеарних вектори становлять максимальну лінійно незалежну систему.
3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.
4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.
5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є
а) 1, х, х2, …, хn, …;
б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …
6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .
Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.
Вектори, їх властивості та дії з ними
Векторні дії з векторами, лінійний векторний простір.
Вектори-упорядкована сукупність кінцевої кількості дійсних чисел.
Дії: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х 1 , лямда*х 2 … лямда*х n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)
2.Складання векторів (належать тому самому векторному простору) вектор х+вектор у = (х 1 +у 1, х 2 +у 2, … х n +у n ,)
3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-вимірний (лінійний простір) вектор х +вектор 0 = вектор х
Теорема. Для того щоб система n векторів, n-мірного лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб один із векторів були лінійною комбінацією іншим.
Теорема. Будь-яка сукупність n+ 1ого вектора n-мірного лінійного простору явл. лінійно залежною.
Додавання векторів, множення векторів на числа. Віднімання векторів.
Сумою двох векторів називається вектор, спрямований з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок збігається з кінцем вектора. Якщо вектори задані їх розкладаннями по базисним ортам, при складанні векторів складаються їх відповідні координати.
Розглянемо це з прикладу декартової системи координат. Нехай
Покажемо, що
З малюнка 3 видно, що 
Сума будь-якого кінцевого числа векторів може бути знайдена за правилом багатокутника (рис. 4): щоб побудувати суму кінцевого числа векторів, достатньо поєднати початок кожного наступного вектора з кінцем попереднього та побудувати вектор, що з'єднує початок першого вектора з кінцем останнього.
Властивості операції складання векторів:
У цих виразах m, n – числа.
Різницею векторів називають вектор Друге доданок є вектором, протилежним вектору за напрямом, але рівним йому по довжині.
Таким чином, операція віднімання векторів замінюється на операцію складання
Вектор, початок якого знаходиться на початку координат, а кінець - у точці А (x1, y1, z1) називають радіус-вектором точки А і позначають або просто. Оскільки його координати збігаються з координатами точки А, його розкладання по ортам має вигляд
Вектор, що має початок у точці А(x1, y1, z1) та кінець у точці B(x2, y2, z2), може бути записаний у вигляді 
де r 2 - радіус-вектор точки; r 1 – радіус-вектор точки А.
Тому розкладання вектора по ортах має вигляд
Його довжина дорівнює відстані між точками А та В
УМНОЖЕННЯ
Так, у разі плоскої задачі добуток вектор на a = (ax; ay) на число b знаходиться за формулою
a · b = (ax · b; ay · b)
Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2) на 3.
3 · a = (3 · 1; 3 · 2) = (3; 6)
Так, у разі просторового завдання добуток вектора a = (ax; ay; az) на число b знаходиться за формулою
a · b = (ax · b; ay · b; az · b)
Приклад 1. Знайти добуток вектора a = (1; 2; -5) на 2.
2 · a = (2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)) = (2; 4; -10)
Скалярний добуток векторів та 
де - Кут між векторами і; якщо або , то
З визначення скалярного твору випливає, що 
де, наприклад, є величина проекції вектора напрям вектора .
Скалярний квадрат вектор:
Властивості скалярного твору:
Скалярний твір у координатах
Якщо 
то 
Кут між векторами
Кут між векторами – кут між напрямками цих векторів (найменший кут).
Векторний твір (Векторний твір двох векторів)це псевдовектор, перпендикулярний до площини, побудованої по двох співмножниках, що є результатом бінарної операції «векторне множення» над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Твір не є ні коммутативним, ні асоціативним (він є антикомутативним) і відрізняється від скалярного твору векторів. У багатьох завданнях інженерії та фізики потрібно мати можливість будувати вектор, перпендикулярний двом наявним – векторний твір надає цю можливість. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - довжина векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх довжин, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.
Векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.
На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного твору в тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного твору залежить від орієнтації прямокутної системи координат або інакше її «хіральності»
Колінеарність векторів.
Два ненульові (не рівні 0) вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Допустимо, але не рекомендується синонім - «паралельні» вектори. Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямовані ("соннаправлені") або протилежно спрямовані (в останньому випадку їх іноді називають "антиколлінеарними" або "антипаралельними").
Змішане вироблення векторів( a, b, c)- скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів b і c:
(a, b, c) = a ⋅ (b × c)
іноді його називають потрійним скалярним твором векторів, мабуть через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).
Геометричний зміст: Модуль змішаного твору чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, утвореного векторами (a, b, c) .
Властивості
Змішане твір кососиметрично по відношенню до всіх своїх аргументів:т. е. перестановка будь-яких двох співмножників змінює знак твору. Звідси випливає, що Змішаний добуток у правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів і:
Змішаний добуток у лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів і взятому зі знаком "мінус":
Зокрема,
Якщо будь-які два вектори паралельні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють змішаний твір, що дорівнює нулю.
Якщо три вектори лінійно залежні (тобто компланарні, лежать у одній площині), їх змішаний твір дорівнює нулю.
Геометричний зміст - Змішане твір за абсолютним значенням дорівнює обсягу паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами і; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів правою чи лівою.
Компланарність векторів.
Три вектори (або більше) називаються компланарними, якщо вони, будучи приведеними до загального початку, лежать в одній площині
Властивості компланарності
Якщо хоча б один із трьох векторів - нульовий, то три вектори теж вважаються компланарними.
Трійка векторів, що містить пару колінеарних векторів, є компланарною.
Змішане твір компланарних векторів. Це критерій компланарності трьох векторів.
Компланарні вектори – лінійно залежні. Це – також критерій компланарності.
У 3-мірному просторі 3 некомпланарні вектори утворюють базис
Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори.
Лінійно залежні та незалежні системи векторів.Визначення. Система векторів називається лінійно залежноюякщо існує хоча б одна нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює нульовому вектору. Інакше, тобто. якщо тільки тривіальна лінійна комбінація даних векторів дорівнює нульовому вектору, вектори називаються лінійно незалежними.
Теорема (критерій лінійної залежності). Для того щоб система векторів лінійного простору була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб, принаймні, один із цих векторів був лінійною комбінацією інших.
1) Якщо серед векторів є хоча б один нульовий вектор, то вся система векторів є лінійно залежною.
Справді, якщо, наприклад, то, вважаючи, маємо нетривіальну лінійну комбінацію.
2) Якщо серед векторів деякі утворюють лінійно залежну систему, то вся система лінійно залежна.
Справді, нехай вектори , лінійно залежні. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нульовому вектору. Але тоді, гадаючи 
отримаємо також нетривіальну лінійну комбінацію , рівну нульовому вектору.
2. Базис та розмірність. Визначення. Система лінійно незалежних векторів 
векторного простору називається базисомцього простору, якщо будь-який вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, тобто. для кожного вектора існують дійсні числа 
такі, що має місце рівність Ця рівність називається розкладання вектораза базисом , а числа називаються координатами вектора щодо базису(або у базисі) .
Теорема (про єдиність розкладання за базисом). Кожен вектор простору може бути розкладений за базисом. єдиним чином, тобто. координати кожного вектора у базисі визначаються однозначно.
Нехай L- довільний лінійний простір, a i Î L,- Його елементи (вектори).
Визначення 3.3.1.Вираз де , - довільні речові числа, що називається лінійною комбінацією векторів a 1 , a 2 ,…, a n.
Якщо вектор р = , то кажуть, що р розкладений за векторами a 1 , a 2 ,…, a n.
Визначення 3.3.2.Лінійна комбінація векторів називається нетривіальноюякщо серед чисел є хоча б одне відмінне від нуля. В іншому випадку, лінійна комбінація називається тривіальною.
Визначення 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a nназиваються лінійно залежними, якщо існують їхня нетривіальна лінійна комбінація, така що
= 0 .
Визначення 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,..., a nназиваються лінійно незалежними, якщо рівність = 0 можливо лише у випадку, коли всі числа l 1, l 2,…, l nодночасно дорівнюють нулю.
Зазначимо, що будь-який ненульовий елемент a 1 можна розглядати як лінійно незалежну систему, бо рівність l a 1 = 0 можливо лише за умови l= 0.
Теорема 3.3.1.Необхідною та достатньою умовою лінійної залежності a 1 , a 2 ,…, a nє можливість розкладання, принаймні, одного з цих елементів щодо інших.
Доведення. Необхідність. Нехай елементи a 1 , a 2 ,…, a nлінійно залежні. Це означає, що = 0 , причому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, l nна відміну від нуля. Нехай для певності l 1 ¹ 0. Тоді
тобто елемент a 1 розкладений за елементами a 2 , a 3 , …, a n.
Достатність. Нехай елемент a 1 розкладений елементами a 2 , a 3 , …, a n, Т. е. a 1 = . Тоді = 0 , отже, існує нетривіальна лінійна комбінація векторів a 1 , a 2 ,…, a n, рівна 0 тому вони є лінійно залежними .
Теорема 3.3.2. Якщо хоча б один із елементів a 1 , a 2 ,…, a nнульовий, ці вектори лінійно залежні.
Доведення . Нехай a n= 0 тоді = 0 що означає лінійну залежність зазначених елементів.
Теорема 3.3.3. Якщо серед n векторів будь-які p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Доведення. Нехай для визначеності елементи a 1 , a 2 ,..., a pлінійно залежні. Це означає, що існує така нетривіальна лінійна комбінація, що = 0 . Зазначена рівність збережеться, якщо додати до обох його частин елемент . Тоді + = 0 при цьому хоча б одне з чисел l 1, l 2,…, lpна відміну від нуля. Отже, вектори a 1 , a 2 ,..., a nє лінійно залежними.
Наслідок 3.3.1.Якщо n елементів лінійно незалежні, то будь-які з них лінійно незалежні (k< n).
Теорема 3.3.4. Якщо вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1 лінійно незалежні, а елементи a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то вектор a n можна розкласти за векторами a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .
Доведення.Оскільки за умовою a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n лінійно залежні, то існує їхня нетривіальна лінійна комбінація = 0 , причому (інакше, виявляться лінійно залежними вектори a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Але тоді вектор
що й потрібно було довести.
Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність. >.
Якщо ж ця рівність виконується тільки в тому випадку, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.
Теорема.Система векторів буде лінійно залежноютоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших.
приклад 1.Багаточлен 
є лінійною комбінацією багаточленів. Багаточлени становлять лінійно незалежну систему, так як багаточлен https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
приклад 2.Система матриць , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" є лінійно незалежною, так як лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці тільки в тому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" лінійно залежною.
Рішення.
Складемо лінійну комбінацію даних векторів https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.
Прирівнюючи однойменні координати рівних векторів, отримуємо width="289" height="69">
Остаточно отримаємо
і
Система має єдине тривіальне рішення, тому лінійна комбінація даних векторів дорівнює нулю лише у випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому система векторів лінійно незалежна.
приклад 4.Вектори лінійно незалежні. Якими будуть системи векторів
a).
;
b).
?
Рішення.
a).Складемо лінійну комбінацію та прирівняємо її до нуля
Використовуючи властивості операцій з векторами в лінійному просторі, перепишемо останню рівність у вигляді
Так як вектори лінійно незалежні, то коефіцієнти повинні бути дорівнюють нулю, тобто gif.
Отримана система рівнянь має єдине тривіальне рішення 
.
Оскільки рівність (*) виконується тільки при - лінійно незалежні;
b).Складемо рівність https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)
Застосовуючи аналогічні міркування, отримаємо
Вирішуючи систему рівнянь методом Гауса, отримаємо
або
Остання система має безліч рішень https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким чином, існує, ненульовий набір коефіцієнтів, для якого виконується рівність (**)
. Отже, система векторів - Лінійно залежна.
Приклад 5Система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна. gif. (***)
У рівності (***) . Дійсно, система була б лінійно залежною.
Зі співвідношення (***)
отримуємо 
або 
Позначимо 
.
Отримаємо 
Завдання для самостійного вирішення (в аудиторії)
1. Система, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.
2. Система, що складається з одного вектора а, лінійно залежна тоді і лише тоді, коли, а=0.
3. Система, що складається з двох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли вектори пропорційні (тобто один з них виходить з іншого множенням на число).
4. Якщо до лінійно залежної системи додати вектор, то вийде лінійно залежна система.
5. Якщо з лінійно незалежної системи видалити вектор, отримана система векторів лінійна незалежна.
6. Якщо система Sлінійно незалежна, але стає лінійно залежною при додаванні вектора b, то вектор bлінійно виражається через вектори системи S.
c).Система матриць , у просторі матриць другого порядку.
10. Нехай система векторів a,b,cвекторного простору лінійно незалежно. Доведіть лінійну незалежність наступних систем векторів:
a).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–довільне число
c).a+b, a+c, b+c.
11. Нехай a,b,c– три вектори на площині, у тому числі можна скласти трикутник. Чи ці вектори будуть лінійно залежні?
12. Дано два вектори a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Підібрати ще два чотиривимірні вектори a3 таa4так, щоб система a1,a2,a3,a4була лінійно незалежною .
Введені нами лінійні операції над векторамидають можливість складати різні вирази для векторних величинта перетворювати їх за допомогою встановлених для цих операцій властивостей.
З заданого набору векторів а 1 , ..., а n , можна скласти вираз виду
де а 1 ..., а n - довільні дійсні числа. Цей вираз називають лінійною комбінацією векторіва 1, ..., а n. Числа α i , i = 1, n , являють собою коефіцієнти лінійної комбінації. Набір векторів називають ще системою векторів.
У зв'язку з введеним поняттям лінійної комбінації векторів виникає задача опису безлічі векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації даної системи векторів а 1 ..., а n . Крім того, закономірні питання про умови, за яких існує уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації, та про єдиність такого уявлення.
Визначення 2.1.Вектори а 1 ..., а n називають лінійно залежнимиякщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , ... , α n , що
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий. Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.
Якщо α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Маючи це на увазі, можемо сказати так: вектори а 1 , ..., а n лінійно незалежні, якщо з рівності (2.2) випливає, що всі коефіцієнти 1, ... , n рівні нулю.
Наступна теорема пояснює, чому нове поняття названо терміном "залежність" (або "незалежність") і дає простий критерій лінійної залежності.
Теорема 2.1.Щоб вектори а 1 , ..., а n , n > 1, були лінійно залежні, потрібно й достатньо, щоб одне із них був лінійної комбінацією інших.
◄ Необхідність. Припустимо, що вектори а 1 ..., а n лінійно залежні. Згідно з визначенням 2.1 лінійної залежності, в рівності (2.2) зліва є хоча б один ненульовий коефіцієнт, наприклад, α 1 . Залишивши перший доданок в лівій частині рівності, перенесемо інші в праву частину, змінюючи, як завжди, у них знаки. Розділивши отриману рівність на α 1 , отримаємо
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
тобто. подання вектора a 1 як лінійної комбінації інших векторів а 2 , ..., а n .
Достатність. Нехай, наприклад, перший вектор а 1 можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n. Перенісши всі складові з правої частини ліву, отримаємо а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, тобто. лінійну комбінацію векторів а 1 , ..., а n з коефіцієнтами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , рівну нульовий вектор.У цій лінійній комбінації не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Відповідно до визначення 2.1, вектори а 1 ..., а n лінійно залежні.
Визначення та критерій лінійної залежності сформульовані так, що мають на увазі наявність двох або більше векторів. Однак можна також говорити про лінійну залежність одного вектора. Щоб реалізувати таку можливість, потрібно замість "вектори лінійно залежні" говорити "система векторів лінійно залежна". Неважко переконатися, що вираз "система з одного вектора лінійно залежна" означає, що цей єдиний вектор є нульовим (у лінійній комбінації є лише один коефіцієнт, і він не повинен дорівнювати нулю).
Поняття лінійної залежності має просту геометричну інтерпретацію. Цю інтерпретацію проясняють такі три твердження.
Теорема 2.2.Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.
◄ Якщо вектори а і b лінійно залежні, один із них, наприклад а, виражається через інший, тобто. а = b для деякого дійсного числа . Відповідно до визначення 1.7 творивектора на число, вектори і b є колінеарними.
Нехай тепер вектори а та b колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то очевидно, що вони лінійно залежні, тому що будь-яка їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору. Нехай один із цих векторів не дорівнює 0, наприклад вектор b. Позначимо через λ відношення довжин векторів: λ = |а|/|b|. Колінеарні вектори можуть бути односпрямованимиабо протилежно спрямованими. В останньому випадку у λ змінимо знак. Тоді, перевіряючи визначення 1.7, переконуємось, що а = b. Відповідно до теореми 2.1, вектори а та b лінійно залежні.
Зауваження 2.1.У разі двох векторів, враховуючи критерій лінійної залежності, доведену теорему можна переформулювати так: два вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли один з них представляється як твір іншого на число. Це є зручним критерієм колінеарності двох векторів.
Теорема 2.3.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.
◄ Якщо три вектори а, Ь, з лінійно залежними, то згідно з теоремою 2.1 один з них, наприклад а, є лінійною комбінацією інших: а = βb + γс. Сумісний початок векторів b і с у точці A. Тоді вектори βb, γс матимуть загальний початок у точці A і по правилу паралелограма їх сума,тобто. вектор а, буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах-доданків. Отже, всі вектори лежать у одній площині, т. е. компланарны.
Нехай вектори а, b, компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початкуцих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A і O, B. Позначивши точки перетину через A" та B", отримаємо паралелограм OA"CB", отже, OC" = OA" + OB" . OA" і ненульовий вектор а=OA колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на дійсне число α:OA" = αOA . Аналогічно OB" = βOB , β ∈ R. В результаті отримуємо, що OC" = α OA + βOB , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів а і b. Відповідно до теореми 2.1, вектори a, b, з є лінійно залежними.
Теорема 2.4.Будь-які чотири вектори лінійно залежні.
◄ Доказ проводимо за тією самою схемою, що й у теоремі 2.3. Розглянемо довільні чотири вектори a, b, c і d. Якщо один із чотирьох векторів є нульовим, або серед них є два колінеарні вектори, або три з чотирьох векторів компланарні, то ці чотири вектори лінійно залежні. Наприклад, якщо вектори а і b колінеарні, то ми можемо скласти їх лінійну комбінацію αa + βb = 0 з ненульовими коефіцієнтами, а потім до цієї комбінації додати два вектори, взявши в якості коефіцієнтів нулі. Отримаємо рівну 0 лінійну комбінацію чотирьох векторів, де є ненульові коефіцієнти.
Таким чином, ми можемо вважати, що серед обраних чотирьох векторів немає нульових, жодні два не колінеарні і ніякі три не є компланарними. Виберемо як їхній загальний початок точку О. Тоді кінцями векторів a, b, с, d будуть деякі точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведемо три площини, паралельні площин ОВС, OCA, OAB, і нехай A", B", С" - точки перетину цих площин з прямими OA, OB, ОС відповідно. Ми отримуємо паралелепіпед OA"C"B"C" B"DA", і вектори a, b, з лежать на його ребрах, що виходять з вершини О. Так як чотирикутник OC"DC" є паралелограмом, то OD = OC" + OC". У свою чергу, відрізок ОС є діагоналлю паралелограма OA"C"B", тому OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .
Залишається помітити, що пари векторів OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC колінеарні, і, отже, можна підібрати коефіцієнти α, β, γ так, що OA" = αOA , OB" = βOB і OC" = γOC. Остаточно отримуємо OD = αOA + βOB + γOC. Отже, вектор OD виражається через решту трьох векторів, а всі чотири вектори, згідно з теоремою 2.1, лінійно залежні.
