Державна бюджетна освітня установа
Гімназія №000
Проектна робота з геометрії.
Вісім способів побудови дотичної до кола.
9 біолого-хімічний клас
Науковий керівник: ,
заступник директора з навчальної роботи,
викладач математики.
Москва 2012
Вступ
Глава 1. ………………………………………………………………4
Висновок (висновок)
Вступ
Найвищий вияв духу – це розум.
Найвищий прояв розуму – це геометрія.
Клітина геометрії – трикутник. Він також
невичерпний, як і всесвіт. Окружність – душа геометрії.
Пізнайте коло, і ви не тільки пізнаєте душу
геометрії, але й піднесіть душу свою.
Клавдій Птолемей
Завдання.
Побудувати дотичну до кола з центром Про і радіусом R, що проходить через точку А, що лежить поза коло
Глава 1.
Побудови дотичної до кола, що не вимагають обґрунтування, що спирається на теорію паралельних прямих.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">АВО =90°. Для кола (О; r) ОВ – радіус. ОВ АВ, отже, АВ – дотична за ознакою дотичної.
Аналогічно, АС – дотична до кола.
Побудова № 1 ґрунтується на факті, що свідчить, що дотична кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику.
Для прямої є лише одна точка торкання з колом.
Через дану пряму точку можна провести лише одну перпендикулярну пряму.
Побудова №2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> АВО = 90°
5. ОВ - радіус, АВО = 90 °, отже, АВ - дотична за ознакою.
6. Аналогічно в рівнобедреному трикутнику AON АС – дотична (АСО = 90°, ОС – радіус)
7. Отже, АВ та АС – дотичні
Побудова №3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ОРМ =ОВА= 90° (як відповідні кути в рівних трикутниках), отже, АВ - дотична за ознакою дотичної.
4. Аналогічно, АС – дотична
Побудова №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Побудова №6.
Побудова:
2. Проведу через точку А довільну пряму, що перетинає коло(О, r) у точках М і N.
6. АВ і ПС – шукані дотичні.
Доведення:
1. Оскільки трикутники PQN і PQM вписані в коло і сторона PQ є діаметром кола, то ці трикутники прямокутні.
2. У трикутнику PQL відрізки PM і QN - висоти, що перетинаються в точці До, тому KL - третя висота. ="> AQS = AMS = 180 ° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β.Тому |PA|: |AQ|= ctg α: ctg β (2).
5. Зіставляючи (1) і (2) отримаю |PD| : | PA | = | DQ | : |AQ|, або
(|OD|+R)(|OA|-R)=(R-|OD|)(|OA|+R).
Після розкриття дужок та спрощень знаходжу, що |OD|·|OA|=R².
5. Зі співвідношення |OD|·|OA|=R² випливає, що |OD|:R=R: |OA|, тобто трикутники ODB і OBA подібні. OBA = 90 °. Отже, пряма АВ - шукана дотична, що і потрібно довести.
Побудова №6. 
Побудова:
1. Просту окружність (A; | OA |).
2. Знайду розчин циркуля, що дорівнює 2R, для чого виберу на колі (О; R) точку S і відкладу три дуги, що містять по 60 º: SP = PQ = QT = 60 °. Точки S та T діаметрально протилежні.
3. Будую коло (О; ST), що перетинає w 1Що це за коло? у точках М та N.
4. Тепер побудую середину МО. Для цього строю кола (O; OM) і (М; МО), а потім для точок М та Про знаходимо на них діаметрально протилежні точки U та V.
6. Нарешті, побудую коло (К; КМ) і (L; LM), що перетинаються в точці В, що шукається, – середині МО.
Доведення:
Трикутники КМВ та UMK рівнобедрені та подібні. Тому, що КМ= 0,5МU, випливає, що МВ=0,5МК=0,5R. Отже, точка В – точка торкання. Аналогічно можна знайти точку дотику С.
Розділ 3.
Побудови дотичної до кола, засновані на властивостях січучих, бісектрис.
Побудова №7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Побудова №8
Побудова:
1. Побудую коло (А;АР), що присікає пряму АР у точці D.
2. Побудую коло w на діаметрі QD
3. Перетну її перпендикуляром до прямої АР у точці А і отримаю точки М і N.
Доведення:
Вочевидь, що АМ²=А²=АD·AQ=AP·AQ. Тоді коло (А; АМ) перетинає (О; R) у точках дотику В і С. АВ і АС - дотичні, що шукаються.
Інший спосіб знаходження центру (напр., точених виробів) - допомогою особливого інструменту, "центрошукача" - заснований на властивостях так зв. дотичних ліній. p align="justify"> Кастельний до кола називається всяка пряма лінія, яка в точці зустрічі з окружністю перпендикулярна радіусу, проведеному до цієї точки. Наприклад, на рис. 174 прямі АВ, CDі EF– дотичні до кола АСЕ. Крапки А, С, Еназиваються "точками торкання". Особливість дотичної, лінії та, що вона має с крюжностю т о л к о д н у вд ч у т о ч к у. Справді, якби у дотичної AB(чорт. 175) була з колом, крім цієї ще одна загальна точка, напр., З, то, з'єднавши її з центром, ми отримали б рівнобедрений трикутник СОАз двома прямими кутами СА,а це, ми знаємо, неможливо (чому?).
З лініями, що стосуються кола, ми зустрічаємося дуже часто в практичному житті. Мотузка, перекинута через блок, займає у своїх натягнутих частинах положення дотичних прямих до кола блоку. Ремені талей (поєднання кількох блоків, рис. 176) розташовуються по лінії загальних дотичних до кола коліс. Передавальні ремені шківів теж займають становище загальних дотичних до кіл шківів «зовнішніх» дотичних до так зв. відкритої передачі та «внутрішніх» – у закритій.
Як через цю точку поза колом провести до неї дотичну? Іншими словами: як через точку А(чорт. 177) провести пряму АВ, щоб кут АВОбув прямий? Виконується це в такий спосіб. З'єднують Аз центром Про(Креслення 178). Пряму ділять навпіл і навколо її середини У, як центру, описують коло радіусом ВО. Інакше кажучи, на ОАбудують коло, як у діаметрі. Точки перетину Зі Dобох кіл з'єднують з АПрямими лініями: це і будуть дотичні.
Щоб у цьому переконатися, проведемо із центру до точок Зі Dдопоміжні прямі ОСі ОD. Кути ОСАі ODA- Прямі, так як вони вписані в півколо. А це означає, що ОСі OD- дотичні до кола.
Розглядаючи нашу побудову, ми бачимо, між іншим, що з кожної точки поза колом можна провести до неї дєдокальні. Неважко переконатися, що обидві ці дотичні од і н а к о в й д л і н, тобто, що AC= AD. Справді, точка Прооднаково віддалена від сторін кута А; значить ОА- рівнодільна, а отже, трикутники ОАСі OADрівні ( СУС).
Принагідно ми встановили, що пряма, яка ділить навпіл кут між обома дотичними, проходить через центр кола. На цьому засновано пристрій приладу для розшуку центру точених виробів – центру та с к а т е л я (чорт. 179). Він складається з двох лінійок АВі АС, укріплених під кутом, та третьої лінійки BD, край якої BDділить навпіл кут між краями
перших двох лінійок. Прилад прикладають до круглого виробу так, щоб краї лінійок, що прилягають до нього. АВі НДстикалися з колом виробу. Краї будуть при цьому мати з колом тільки по одній спільній точці, тому край лінійки повинен, згідно з нині зазначеною властивістю дотичних, пройти через центр кола. Прокресливши на виробі лінійкою діаметр кола, прикладають центрошукач до виробу в іншому положенні і прокреслюють інший діаметр. Шуканий центр опиниться на перетині обох діаметрів.
Якщо потрібно провести загальну дотичну до двох кіл, тобто провести пряму лінію, яка стосувалася б одночасно двох кіл, то надходять таким чином. Біля центру одного кола, наприклад, біля У(чорт. 180), описують допоміжне коло радіусом, що дорівнює різниці радіусів обох кіл. Потім з точки Апроводять дотичні АСі ADдо цього допоміжного кола. З точок Аі Упроводять прямі, перпендикулярні до АСі AD, до перетину з цими колами в точках E, F, Hі G. Прямі, що з'єднують Ез F, Gз H, будуть загальні, що стосуються даних кіл, оскільки вони перпендикулярні до радіусів. AE, CF, AGі DH.
Крім тих двох дотичних, які зараз були проведені і які називаються зовнішніми, можливо ще провести дві інші дотичні, розташовані так, як на чорт. 181 (внутрішні дотичні). Щоб виконати цю побудову, описують навколо центру одного з цих кіл – наприклад, навколо У- Допоміжне коло радіусом, рівним з розуму радіусів обох кіл. З точки Апроводять до цього допоміжного кола дотичні. Подальший перебіг побудови читачі зможуть знайти самі.
Повторювальні питання
Що називається дотичною? Скільки загальних точок у дотичній та колі? – Як провести дотичну до кола через точку, що лежить поза коло? – Скільки можна провести таких щодо? - Що таке центрошукач? – На чому ґрунтується його пристрій? – Як провести спільну дотику до двох кіл? – Скільки таких дотичних?
У цьому розділі ми повернемося до однієї з основних геометричних фігур- До кола. Будуть доведені різні теореми, пов'язані з колами, у тому числі теореми про кола, вписані в трикутник, чотирикутник, та кола, описані біля цих фігур. Крім того, будуть доведені три твердження про чудові точки трикутника - точку перетину бісектрис трикутника, точку перетину його висот і точку перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Перші два твердження були сформульовані ще в 7 класі, і тепер ми зможемо провести їх докази.
З'ясуємо, скільки загальних точок можуть мати пряма та коло залежно від їхнього взаємного розташування. Зрозуміло, що якщо пряма проходить через центр кола, то вона перетинає коло у двох точках - кінцях діаметра, що лежить на цій прямій.
Нехай пряма р не проходить через центр Про коло радіуса р. Проведемо перпендикуляр ВІН до прямої р і позначимо буквою d довжину цього перпендикуляра, тобто відстань від центру даного кола до прямої (рис. 211).
Мал. 211
Досліджуємо взаємне розташуванняпрямий і кола залежно від співвідношення між d і r. Можливі три випадки.
1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора
Отже, точки А і В лежать на колі і, отже, є загальними точками прямого р і даного кола.
Доведемо, що пряме рідене дане коло не мають інших загальних точок. Припустимо, що вони мають ще одну загальну точку С. Тоді медіана OD рівнобедреного трикутника АС, проведена до основи АС, є висотою цього трикутника, тому OD ⊥ р. Відрізки OD і ОН не збігаються, оскільки середина D відрізка АС не збігається з точкою Н - серединою відрізка АВ. Ми отримали, що з точки Про проведено два перпендикуляри (відрізки ВІН та OD) до прямої р, що неможливо.
Отже, якщо відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . У цьому випадку пряма називається січею по відношенню до кола.
2) d = r. У цьому випадку ВІН = r, тобто точка Н лежить на колі і, отже, є загальною точкою прямої та кола (рис. 211,6). Пряма р і окружність немає інших загальних точок, оскільки будь-якої точки М прямий р, відмінної від точки Н, ОМ > ОН = r (похила ОМ більше перпендикуляра ОН), і, отже, точка М лежить на окружности.
Отже, якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола, то пряма та коло мають тільки одну загальну точку .
3) d> r. В цьому випадку ОН > г, тому для будь-якої точки М прямий р ОМ ≥ ОН > r (рис. 211, в). Отже, точка М не лежить на колі.
Отже, якщо відстань від центру кола до прямої більша за радіус кола, то пряма і коло не мають спільних точок .
Стосовно кола
Ми довели, що пряма та коло можуть мати одну або дві спільні точки і можуть не мати жодної спільної точки.
Пряма, що має з колом лише одну загальну точку, називається дотичною до кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола. На малюнку 212 пряма р - дотична до кола з центром, А - точка дотику.
Доведемо теорему про властивість дотичної до кола.
Теорема
Доведення
Нехай р - дотична до кола з центром, А - точка дотику (див. рис. 212). Доведемо, що дотична р перпендикулярна до радіусу ОА.
Мал. 212
Припустимо, що це негаразд. Тоді радіус ОА є похилою до прямої р. Так як перпендикуляр, проведений з точки Про до прямої р, менше похилої ОА, то відстань від центру Про кола до прямої р менше радіусу. Отже, пряма р і коло мають дві загальні точки. Але це суперечить умові: пряма р – дотична.
Таким чином, пряма р перпендикулярна до радіусу ОА. Теорему доведено.
Розглянемо дві дотичні до кола з центром О, які проходять через точку А і стосуються кола в точках В і С (рис. 213). Відрізки АВ та АС назвемо відрізками дотичних, проведеними з точкиА. Вони мають таку властивість:
Мал. 213
Для доказу цього твердження звернемося до рисунка 213. За теоремою про властивість дотичної кути 1 і 2 прямі, тому трикутники АВО та АСО прямокутні. Вони рівні, оскільки мають загальну гіпотенузу ОА та рівні катети ОВ та ОС. Отже, АВ = АС і ∠3 = ∠4, що потрібно було довести.
Доведемо тепер теорему, обернену до теореми про властивість дотичної (ознака дотичної).
Теорема
Доведення
З умови теореми випливає, що цей радіус є перпендикуляром, проведеним із центру кола до цієї прямої. Тому відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу, і, отже, пряма та коло мають тільки одну загальну точку. Але це і означає, що ця пряма є дотичною до кола. Теорему доведено.
На цій теоремі засновано розв'язання задач на побудову дотичної. Вирішимо одне з таких завдань.
Завдання
Через дану точку А кола з центром Про провести дотичну до цього кола.
Рішення
Проведемо пряму О А, а потім побудуємо пряму р, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої О А. За ознакою дотичної пряма р є дотичною.
Завдання
631. Нехай d - відстань від центру кола радіусу r до прямої р. Яке взаємне розташування прямого р і кола, якщо: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см; d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, (2 = 3,7 дм; г) r = 8 см, d = 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?
632. Відстань від точки А до центру кола менша за радіус кола. Доведіть, що будь-яка пряма, яка проходить через точку А, є січею по відношенню до даного кола.
633. Наведено квадрат О АВС, сторона якого дорівнює 6 см, і коло з центром у точці О радіуса 5 см. Які з прямих ОА, АВ, ВС та АС є січними по відношенню до цього кола?
634. Радіус ОМ кола з центром Про поділяє хорду АВ навпіл. Доведіть, що дотична, проведена через точку М, паралельна хорді АВ.
635. Через точку А кола проведено дотичну і хорду, що дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут між ними.
636. Через кінці хорди АВ, рівної радіусукола, проведено дві дотичні, що перетинаються в точці С. Знайдіть кут АС В.
637. Кут між діаметром АВ та хордою АС дорівнює 30°. Через точку С проведено дотичну, яка перетинає пряму АВ у точці D. Доведіть, що трикутник ACD рівнобедрений.
638. Пряма АВ стосується кола з центром О радіусу r у точці В. Знайдіть АВ, якщо ОА = 2 см, а r = 1,5 см.
639. Пряма АВ стосується кола з центром О радіусу r у точці В. Знайдіть АВ, якщо ∠AOB = 60°, а r = 12 см.
640. Дано коло з центром О радіуса 4,5 см і точку А. Через точку А проведено дві дотичні до кола. Знайдіть кут між ними, якщо ОА = 9 см.
641. Відрізки АВ та АС є відрізками дотичних до кола з центром О, проведеними з точки А. Знайдіть кут ВАС, якщо середина відрізка АВ лежить на колі.
642. На малюнку 213 ОВ = 3см, ДИ. = 6 см. Знайдіть АВ, АС, ∠3 та ∠4.
643. Прямі АВ і АС стосуються кола з центром О в точках В і С. Знайдіть ВС, якщо ∠OAB = 30°, АВ = 5 см.
644. Прямі МА і МВ стосуються кола з центром О в точках А і В. Точка С симетрична точці О щодо точки В. Доведіть, що ∠AMC = 3∠BMC.
645. З кінців діаметра АВ даного кола проведені перпендикуляри АА 1 і BB 1 до дотичної, яка не перпендикулярна до діаметра АВ. Доведіть, що точка торкання є серединою відрізка A1B1.
646. У трикутнику АВС кут В прямий. Доведіть, що: а) пряма ПС є дотичною до кола з центром А радіуса АВ; б) пряма АВ є дотичною до кола з центром С радіусу СВ; в) пряма АС не є дотичною до кіл з центром В і радіусами В А і ВС.
647. Відрізок АН - перпендикуляр, проведений з точки А до прямої, що проходить через центр О кола радіуса 3 см. Чи є пряма АН дотичною до кола, якщо: а) СМ. = 5 см; АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 см; в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?
648. Побудуйте дотичну до кола з центром О: а) паралельну даній прямій; б) перпендикулярну до цієї прямої.
Відповіді до завдань
Геометричні побудови
Побудова дотичних до кіл
Розглянемо завдання, що лежить в основі розв'язання інших завдань на проведення дотичних до кіл.
Нехай із крапкиА(рис. 1) необхідно провести дотичні до кола з центром у точціПро.
Для точної побудови дотичних необхідно визначити точки дотику прямих до кола. Для цього точкуАслід з'єднати стіпкоюПрота розділити відрізокОАнавпіл. Із середини цього відрізка – точкиЗ, як з центру, описати коло, діаметр якого повинен дорівнювати відрізкуОА. КрапкиДо1 іДо2 перетину кіл з центром у точціЗта з центром у точціПроє точками торкання прямихАК1 іАК2 до заданого кола.
Правильність вирішення поставленого завдання підтверджується тим, що радіус кола, проведений у точку торкання, перпендикулярний до кола. КутиОК1 АіОК2 Ає прямими, оскільки спираються на діаметрАТкола з центром у точціЗ.
Мал. 1.
При побудові дотичних до двох кіл розрізняють дотичнівнутрішніізовнішні. Якщо центри заданих кіл розташовуються по одну сторону від дотичної, то її вважають зовнішньою, а якщо центри кіл знаходяться по різні боки від дотичної, - внутрішні.
Про1 іПро2 R1 іR2 . Потрібно провести зовнішні дотичні до заданих кіл.
Для точної побудови слід визначити точки торкання прямих та заданих кіл. Якщо радіуси кіл з центрамиПро1 іПро2 почати послідовно зменшувати на те саме значення, то можна отримати ряд концентричних кіл менших діаметрів. При цьому в кожному випадку зменшення радіусу до менших кіл будуть паралельні шуканим. Після зменшення обох радіусів на розмір меншого радіусуR2 коло з центромПро2 звернеться до точки, а коло з центромПро1 перетвориться на концентричну коло радіусомR3 , рівним різниці радіусівR1 іR2 .
Використовуючи описаний раніше спосіб, з точкиПро2 проведемо зовнішні дотичні до кола радіусомR3 , з'єднаємо точкиПро1 іПро2 , розділимо крапкоюЗвідрізокПро1 Про2 навпіл і проведемо радіусомСО1 дугу, перетин якої з заданим колом визначить точки торкання прямихПро2 До1 іПро2 До2 .
КрапкаА1 іА2 торкання шуканих прямих з більшим колом розташовується на продовженні прямихПро1 До1 іПро1 До2 . КрапкиУ1 іУ2 торкання прямих з меншим колом знаходяться на перпендикулярах з основоюПро2 відповідно до допоміжних дотичнихПро2 До1 іПро2 До2 . Розташовуючи точками торкання можна провести прямі шуканіА1 У1 іА2 У2 .
Мал. 2.
Нехай задані два кола з центрами в точкахПро1 іПро2 (рис. 2), що мають радіуси відповідноR1 іR2 . Потрібно провести внутрішні дотичні до заданих кіл.
Для визначення точок торкання прямих з колами використовуємо міркування, аналогічні наведеним під час вирішення попередньої задачі. Якщо зменшити радіусR2 до нуля, то коло з центромПро2 звернутися до точки. Однак у цьому випадку для збереження паралельності допоміжних дотичних з радіус шуканимиR1 слід збільшити на розмірR2 і провести коло радіусомR3 , рівним сумірадіусівR1 іR2 .
З точкиПро2 проведемо дотичні до кола радіусомR3 , для чого з'єднаємо точкиПро1 іПро2 , розділимо крапкоюЗвідрізокПро1 Про2 навпіл і проведемо дугу кола з центром у точціЗта радіусомСО1 . Перетин дуги з колом радіусомR3 визначить положення точокДо1 іДо2 торкання допоміжних прямихПро2 До1 іПро2 До2 .
КрапкаА1 іА2 R1 знаходиться на перетині цього кола з відрізкомПро1 До1 іПро1 До2 . Для визначення точокВ 1іВ 2торкання шуканих прямих з колом радіусомR2 слід з точкиО2поставити перпендикуляри до допоміжних прямихО2К1іО2К2до перетину із заданим колом. Розташовуючи точками торкання прямих і заданих кіл, що шукаються, проведемо пряміА1В1іА2В2.
Мал. 3.
Пряма ( MN), що має з колом лише одну загальну точку ( A), називається дотичної до кола.
Загальна точка називається у цьому випадку точкою торкання.
Можливість існування дотичної, і до того ж проведеної через будь-яку точку кола, як точку торкання, доводиться наступною теорема.
Нехай потрібно провести до колаз центром O дотичнучерез точку A. Для цього з точки A,як із центру, описуємо дугурадіусом AO, а з точки O, як центру, перетинаємо цю дугу в точках Bі Зрозчином циркуля, що дорівнює діаметру даного кола.
Провівши потім хорди OBі OС, з'єднаємо точку Aз точками Dі E, у яких ці хорди перетинаються з цим колом. Прямі ADі AE - дотичні до кола O. Справді, з побудови видно, що трикутники AOBі AOС рівнобедрені(AO = AB = AС) з основами OBі OС, рівними діаметру кола O.
Так як ODі OE- радіуси, то D - середина OB, а E- середина OС, значить ADі AE - медіани, Проведені до основ рівнобедрених трикутників, і тому перпендикулярні до цих основ. Якщо ж прямі DAі EAперпендикулярні до радіусів ODі OE, то вони - дотичні.
Слідство.
Дві дотичні, проведені з однієї точки до кола, рівні та утворюють рівні кути з прямою, що з'єднує цю точку з центром.
Так AD=AEта ∠ OAD = ∠OAEтому що прямокутні трикутники AODі AOE, що мають загальну гіпотенузу AOта рівні катети ODі OE(Як радіуси), рівні. Зауважимо, що тут під словом "стосовна" мається на увазі власне " відрізок дотичної” від цієї точки до точки дотику.
