Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Ми знаємо, що дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої рівні відповідні кути, або внутрішні, або зовнішні навхрест кути, що лежать, або сума внутрішніх, або сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d. Доведемо, що вірні та зворотні теореми, а саме:
Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то:
1. відповідні кути рівні;
2. внутрішні навхрест лежачі кути рівні;
3. зовнішні навхрест лежачі кути рівні;
4. сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d;
5. сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2d.
Доведемо, наприклад, якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямої, то відповідні кути рівні.
Нехай прямі АВ та СD паралельні, а МN – їх січна (рис.). Доведемо, що відповідні кути 1 та 2 рівні між собою.
Припустимо, що ∠1 та ∠2 не рівні. Тоді при точці можна побудувати ∠МОК, відповідний і рівний ∠2 (рис.).
Але якщо ∠МОК = ∠2, то пряма ОК буде паралельна СD.
Отримали, що через точку проведені дві прямі АВ і ОК, паралельні прямий СD. Але цього не може бути.
Ми дійшли суперечності, тому що припустили, що ∠1 і ∠2 не рівні. Отже, наше припущення є неправильним і ∠1 має дорівнювати ∠2, тобто відповідні кути рівні.
Встановимо співвідношення між рештою кутів. Нехай прямі АВ та СD паралельні, а МN – їх січна (рис.).
Ми щойно довели, що у цьому випадку відповідні кути рівні. Припустимо, що якісь два з них мають по 119°. Обчислимо величину кожного з решти шести кутів. На основі властивостей суміжних та вертикальних кутівми отримаємо, що чотири кути з восьми матимуть по 119 °, а решта - по 61 °.
Виявилося, що як внутрішні, так і зовнішні навхрест кути, що лежать, попарно рівні, а сума внутрішніх або зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (або 2d).
Те саме матиме місце і при будь-якому іншому значенні рівних відповідних кутів.
Наслідок 1. Якщо кожна з двох прямих АВ і СD паралельна одній і тій же третій прямій МN, то перші дві прямі паралельні між собою .
Справді, провівши січу ЕF (рис.), отримаємо:
а) ∠1 = ∠3, оскільки АВ || МN; б) ∠ 2 = ∠3, оскільки СО || МN.
Значить, ∠1 = ∠2, а це кути відповідні при прямих АВ та СD та січній ЕF, отже, прямі АВ та СD паралельні.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої .
Справді, якщо ЕF ⊥ АВ, то ∠1 = d; якщо АВ | СD, то ∠1 = ∠2.
Отже, ∠2 = dтобто ЕF ⊥ СD.
Якщо при перетині двох прямих січної сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180 °, то прямі не паралельні, тобто при достатньому продовженні перетинаються.
Доведення.Якби ці прямі не перетиналися, вони були б паралельні, і тоді сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнювала б 180°, що суперечить умові. Теорему доведено.
Сформулюйте зворотну теорему.
3.3. Взаємне розташування чотирьох прямих.
Ми вивчили різні випадки взаємного розташування двох та трьох прямих на площині. Тепер вивчимо взаємне розташування чотирьох прямих на площині. Зобразимо різні випадки.
а) дві перетинаються прямі перетинають дві інші прямі:
б) кожна з двох прямих, що перетинаються, перетинає дві паралельні прямі:
в) дві паралельні прямі перетнуті двома паралельними прямими:
г) три паралельні прямі перетнуті третьою прямою:
д) всі чотири прямі паралельні:
Які фігури можна побачити на цих малюнках? Наприклад, на рис.3.23, ліворуч, видно фігуру, що складається з чотирьох відрізків, два з яких паралельні. На рис.3.23 видно, що з перетині двох паралельних прямих двома іншими паралельними прямими вийшла постать, в якої протилежні боку попарно паралельні і рівні. Доведемо це.
Лемма 1. При перетині двох паралельних прямих двома іншими паралельними між собою прямими виходить фігура, у якої протилежні сторони паралельні.
Доведення.Нехай паралельні між собою прямі a,bта паралельні між собою прямі c,dперетинаються у точках A,B,C,D(Рис.3.26).
Доведемо, що АВ=СDі АD = НД.Проведемо відрізок АС(Рис.3.27, а). Для початку доведемо, що АВ=СD.
Кути Ð ACDіÐ ЗAB aі bта сікучою AC.Кути Ð DACі Ð ACBрівні як внутрішні навхрест що лежать при паралельних прямих cі dта сікучою AC.
На промені АВвідкладемо відрізок АЕ, рівний відрізку CD(Рис.3.27, б) .
Кути Ð ACDіÐ ЗAEрівні, отже, їх відповідні поперечки ADі CEрівні. Тобто АЕі DC- Відповідні поперечки кутів Ð DACі Ð
ACB,але вони рівні по побудові, а значить, кут Ð
ACЕдорівнює куту Ð DAC.Але кут Ð DACдорівнює куту Ð
ACB.Це означає, що рівні кути Ð
ACЕі Ð
ACB,тобто точка Ележить на промені СВ. По побудові крапка Ележить на промені АВ. Але ці промені перетинаються у точці В,тобто точки Уі Езбігаються і АВ=АЕ=CD.
Отже, ми довели, що рівні відрізки АВі ЗD. Відрізки ADі CBрівні як відповідні поперечки рівних кутів. Твердження леми 1 доведено.
Наслідок 5: Протилежні кути фігури ABCD рівні (Рис.3.27) .
Визначення:
Дві прямі на-зи-ва-ють-ся пара-лель-ни-ми, Якщо вони не пе-ре-се-ка-ють-ся (Рис. 1). Обозна-ча-ється це так: .
Через точку, що не лежить на даній пря мій, проходить тільки одна пря-мая, параллельна даною (Рис. 2) .
Слідства з аксіоми
Слідство1:
Якщо пря-мая пе-ре-се-ка-є одну з парал-лель-них пря-мих, то вона пе-ре-се-ка-є і іншу.
Дано:
.
Доказати:.
Доведення:
Будемо до-казати від проти-ного. Припустимо, що зне пе-ре-се-ка-є пря-му b(Мал. 4).
Тоді: (за умовою), (за перед-по-ло-жен-ня). Тобто через точку Мпроходять дві прямі ( аі c), параллельні пря-мий b. А це проти-ре-чит ак-сіоме. Значить, наше передпо-ло-ження невірне. Тоді пряма cпе-ре-се-чет пря-му b.
Наслідок 2:
Якщо дві прямі парал-лель-ни третьої пря-мий, то вони парал-лель-ни(Мал. 5) .
Дано:.
Доказати:.
Доведення:
Будемо до-казати від проти-ного. Перед-по-ложим, що прямі aі bпе-ре-се-ка-ють-ся в деякій точці М(Мал. 6).
Таким чином, по-лучаю про-ти-во-ре-чіе з ак-сі-о-мою: через точку Мпроходять дві пря-ми, од-но-вре-мен-но парал-лель-ние третьої прямою.
Слі-до-ва-тель-но, наше перед-по-ло-же-ня невір-но. Тоді.
Теореми про властивості паралельних прямі
Теорема 1:
Якщо дві прямі пе-ре-се-че-ни се-ку-щей, то на-хрест лежа-щі-кути рівні(Мал. 7).
Дано:.
Доказати:.
Доведення:
Будемо до-казати від проти-ного. Припустимо, що: .
Тоді від променя MNможна відкладати єдиний кут ∠ PMN, який буде дорівнювати ∠ 2 (Мал. 7). Але тоді ∠ PMNі ∠ 2 - Нахрест лежать і рівні. Тоді прямі PMі b- Парал-лель-ни. Тоді через точку Мпроходять дві прямі, паралельні третій. А саме:
По-лу-ча-єм про-ти-во-ре-чіе з ак-сі-о-мою. Значить, наше передпо-ло-ження невірно. Тобто: .
Слідство:
Якщо пря-мая пер-пен-ді-ку-ляр-на одній з парал-лель-них пря-мих, то вона пер-пен-ді-ку-ляр-на і другий.
Дано:
Доказати:
Доведення:
1. зпе-ре-се-ка-є а, а значить, і пе-ре-се-ка-є парал-лель-ну їй пряму, тобто b. Тоді з- се-ку-ща по відношенню до аі b.
2. по-скільки вони яв-ля-ють-ся на-хрест ле-жа-щи-ми. Тоді. Тобто .
Тео-ре-ма 2:
Якщо дві парал-лель-ные пря-мі пе-ре-се-че-ни се-ку-щей, то відповідні кути рівні.
Дано:- се-ку-ча.
Доказати:(Мал. 9).
Доведення:
Якщо , то з попередньої теореми слід, що на-хрест лежать кути рівні. Тобто .
Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.
Навігація на сторінці.
Паралельні прямі основні відомості.
Визначення.
Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.
Визначення.
Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.
Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.
Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.
Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .
Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .
Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.
Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).
Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.
Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.
Ознакою паралельності прямихє достатня умова паралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.
Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.
Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».
З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.
Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.
Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.
При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.
Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.
Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.
Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.
Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.
Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.
Теорема.
Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.
Проілюструємо озвучені теореми.
Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.
Теорема.
Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.
Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.
Теорема.
Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.
Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.
Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується на уроках геометрії в середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.
Паралельність прямих у прямокутній системі координат.
У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні рішенняхарактерних завдань.
Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.
Теорема.
Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.
Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а 
і 
- нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як 
, або 
, або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.
Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду 
, а пряму b - 
то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .
Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду 
. Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнтиПрямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.
Якщо пряму a та пряму b у прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду 
і 
, або параметричні рівняння прямої на площині виду 
і 
відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .
Розберемо рішення кількох прикладів.
приклад.
Чи паралельні прямі 
і?
Рішення.
Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівнянняпрямий: 
. Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t , для якого правильна рівність ( 
). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.
Відповідь:
Ні, прямі не паралельні.
приклад.
Чи є прямі та паралельними?
Рішення.
Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.
