Сформулюйте теорему руху центру мас системи.

Центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка масою, що дорівнює масі всієї системи, до якої прикладені всі сили, що діють на систему.

Яке рух твердого тіла можна як рух матеріальної точки, має масу даного тіла, і чому?

Поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом однієї з його точок. Отже, розв'язавши завдання про рух центру мас тіла як матеріальної точки з масою тіла, можна визначити поступальний рух всього тіла.

За яких умов центр мас системи перебуває у стані спокою і яких умовах він рухається рівномірно і прямолінійно?

Якщо головний вектор зовнішніх сил залишається рівним нулю і початкова швидкість центру мас дорівнює нулю, то центр мас перебуває у спокої.

Якщо головний вектор зовнішніх сил залишається весь час рівним нулю та початкова швидкість
, Центр мас рухається рівномірно і прямолінійно.

За яких умов центр ваги системи не переміщається вздовж деякої осі?

Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил якусь вісь залишається весь час рівної нулю і проекція швидкості цієї вісь дорівнює нулю, то координата центру мас цієї осі залишається постійної.

Яку дію на вільне тверде тіло має пара сил, що додається до нього?

Якщо прикласти пару сил до вільного твердого тіла, що перебуває в спокої, то під дією цієї пари сил тіло почне обертатися навколо центру мас.

Теорема про зміну кількості руху.

Як визначається імпульс змінної сили протягом кінцевого проміжку часу? Що характеризує імпульс сили?

Імпульс змінної сили за кінцевий проміжок часу
дорівнює

.

Імпульс сили характеризує передачу тілу механічного руху з боку тіл, що діють на неї, за даний проміжок часу.

Чому рівні проекції імпульсу постійної та змінної сили на осі координат?

Проекції імпульсу змінної сили на осі координат дорівнюють

,
,
.

Проекції імпульсу постійної сили на осі координат за проміжок часу рівні

,
,
.

Чому дорівнює імпульс рівнодіючої?

Імпульс рівнодіючої кількох сил за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів складових сил за цей же проміжок часу

.

Як змінюється кількість руху точки, що рухається рівномірно по колу?

При рівномірному русі точки по колу змінюється напрямок кількості руху
, але зберігається його модуль
.

Що називається кількістю руху механічної системи?

Кількість руху механічної системи називається вектор рівний геометричній сумі (головному вектору) кількостей рухів усіх точок системи

.

Чому дорівнює кількість руху маховика, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр тяжіння?

Кількість руху маховика, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр тяжіння, дорівнює нулю, т.к.
.

Сформулюйте теореми про зміну кількості руху матеріальної точки та механічної системи у диференціальній та кінцевій формах. Виразіть кожну з цих теорем векторним рівнянням та трьома рівняннями у проекціях на осі координат.

Диференціал кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сил, що діють на точку,

.

Зміна кількості рухів точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, прикладених до точки за той самий проміжок часу

.

У проекціях ці теореми мають вигляд

,
,

,
,
.

Похідна за часом від кількості руху механічної системи геометрично дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему

.

Похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції головного вектора зовнішніх сил на ту ж вісь

,
,
.

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, доданих до системи, за той самий проміжок

.

Зміна проекції кількості руху системи на будь-яку вісь дорівнює сумі проекцій імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють на систему, на ту ж вісь

,
,
.

За яких умов кількість руху механічної системи не змінюється? За яких умов не змінюється його проекція на певну вісь?

Якщо головний вектор зовнішніх сил за проміжок часу дорівнює нулю, то кількість руху системи постійно.

Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху цього вісь постійна.

Чому відбувається відкат зброї при пострілі?

Відкат зброї під час пострілу по горизонтальному напрямку обумовлений тим, що проекція кількості руху на горизонтальну вісь не змінюється за відсутності горизонтальних сил

,
.

Чи можуть внутрішні сили змінити кількість руху системи чи кількість її частини?

Оскільки головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю, то вони не можуть змінити кількість руху системи.

(МЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ) - IV варіант

1. Основне рівняння динаміки матеріальної точки, як відомо, виражено рівнянням. Диференціальні рівняння руху довільних точок невільної механічної системи відповідно до двох способів поділу сил можна записати у двох формах:

(1) , де k = 1, 2, 3, ..., n - кількість точок матеріальної системи.

де - маса k-тої точки; - радіус вектор k-тої точки, - задана (активна) сила, що діє на k-ту точку або рівнодіє всіх активних сил, що діють на k-ту точку. - рівнодіюча сил реакцій зв'язків, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча внутрішніх сил, що діє на k-ту точку; - рівнодіюча зовнішніх сил, що діє на k-ту точку.

За допомогою рівнянь (1) та (2) можна прагнути вирішувати як перше, так і друге завдання динаміки. Проте рішення другого завдання динаміки для системи дуже ускладнюється як з математичної погляду, а й оскільки ми стикаємося з важливими труднощами. Вони полягають у тому, що як системи (1), так системи (2) число рівнянь значно менше числа невідомих.

Так, якщо використовувати (1), то відомими для другого (зворотного) завдання динаміки будуть і , а невідомими будуть і . Векторних рівнянь буде « n», а невідомих – «2n».

Якщо ж виходити із системи рівнянь (2), то відомі і частина зовнішніх сил. Чому частина? Справа в тому, що до зовнішніх сил входять і зовнішні реакції зв'язків, які невідомі. До того ж, невідомими будуть ще й .

Отже, як система (1), і система (2) НЕЗАМКНУТА. Потрібно додавати рівняння, враховуючи рівняння зв'язків і, можливо, ще потрібно накладати деякі обмеження на самі зв'язки. Що робити?

Якщо з (1), можна піти шляхом складання рівнянь Лагранжа першого роду. Але такий шлях не раціональний тому, що чим простіше завдання (менше ступенів свободи), тим важче з погляду математики його вирішувати.

Тоді звернемо увагу на систему (2), де завжди невідомі. Перший крок під час вирішення системи – це треба виключити ці невідомі. Слід мати на увазі, що нас, як правило, не цікавлять внутрішні сили при русі системи, тобто під час руху системи не потрібно знати, як рухається кожна точка системи, а достатньо знати як рухається система в цілому.

Отже, якщо різними способами виключити з системи (2) невідомі сили , отримуємо деякі співвідношення, т. е. з'являються деякі загальні характеристики системи, знання яких дозволяють судити у тому, як рухається система загалом. Ці характеристики вводяться за допомогою так званих загальних теорем динаміки. Таких теорем чотири:

1. Теорема про рух центру мас механічної системи;

2. Теорема про зміні кількості руху механічної системи;

3. Теорема про зміні кінетичного моменту механічної системи;

4. Теорема про зміні кінетичної енергії механічної системи.

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти

"Кубанський державний технологічний університет"

Теоретична механіка

Частина 2 динаміка

Затверджено Редакційно-видавничим

порадою університету як

навчального посібника

Краснодар

УДК 531.1/3 (075)

Теоретична механіка. Частина 2. Динаміка: Навчальний посібник/Л.І.Драйко; Кубан. держ. технол.ун-т. Краснодар, 2011. 123 с.

ISBN 5-230-06865-5

Викладається в короткій формі теоретичний матеріал, дано приклади вирішення завдань, більшість з яких відображає реальні питання техніки, приділено увагу вибору раціонального способу вирішення.

Призначено для бакалаврів заочної та дистанційної форм навчання будівельних, транспортних та машинобудівних напрямків.

Табл. 1 Ілл. 68 Бібліогр. 20 назв.

Науковий редактор канд. техн. наук, доц. В.Ф.Мельников

Рецензенти: зав. кафедрою теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету проф. Ф.М. Канарьов; доцент кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету М.Є. Мултих

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради Кубанського державного технологічного університету.

Перевидання

ISBN 5-230-06865-5 КубДТУ 1998р.

Передмова

Даний навчальний посібник призначений для студентів заочної форми навчання будівельних, транспортних та машинобудівних спеціальностей, але може бути використаний для вивчення розділу «Динаміка» курсу теоретичної механіки студентами заочниками інших спеціальностей, а також студентами денної форми навчання при самостійній роботі.

Посібник складено відповідно до чинної програми курсу теоретичної механіки, що охоплює всі питання основної частини курсу. Кожен розділ містить короткий теоретичний матеріал, з ілюстраціями та методичними рекомендаціями для його використання при вирішенні завдань. У посібнику розібрано рішення 30 завдань, що відображають реальні питання техніки та відповідні контрольним завданням для самостійного вирішення. Для кожного завдання представлена ​​розрахункова схема, що наочно ілюструє рішення. Оформлення рішення відповідає вимогам до оформлення контрольних робіт студентів-заочників.

Автор висловлює глибоку вдячність викладачам кафедри теоретичної механіки та теорії механізмів та машин Кубанського аграрного університету за велику працю з рецензування навчального посібника, а також викладачам кафедри теоретичної механіки Кубанського державного технологічного університету за цінні зауваження та поради щодо підготовки навчального посібника до видання.

Всі критичні зауваження та побажання будуть прийняті автором з подякою та надалі.

Вступ

Динаміка є найважливішим розділом теоретичної механіки. Більшість конкретних завдань, які припадає на інженерну практику, належить до динаміці. Використовуючи висновки статики та кінематики, динаміка встановлює загальні закони руху матеріальних тіл під дією доданих сил.

Найпростішим матеріальним об'єктом є матеріальна точка. За матеріальну точку можна прийняти матеріальне тіло будь-якої форми, розмірами якого в розглянутій задачі можна знехтувати. За матеріальну точку можна приймати тіло кінцевих розмірів, якщо відмінність у русі його точок для цього завдання не суттєво. Це буває у разі, коли розміри тіла малі порівняно з відстанями, що проходять точки тіла. Кожну частинку твердого тіла вважатимуться матеріальною точкою.

Сили, прикладені до точки чи матеріальному тілу, у поступовій динаміці оцінюються з їхньої динамічному впливу, т. е. по тому, як змінюють характеристики руху матеріальних об'єктів.

Рух матеріальних об'єктів з часом відбувається у просторі щодо певної системи відліку. У класичній механіці, що спирається на аксіоми Ньютона, простір вважається тривимірним, його властивості не залежать від матеріальних об'єктів, що рухаються в ньому. Положення точки у такому просторі визначається трьома координатами. Час пов'язані з простором і рухом матеріальних об'єктів. Воно вважається однаковим всім систем відліку.

Закони динаміки описують рух матеріальних об'єктів стосовно абсолютним осям координат, умовно прийнятим за нерухомі. Початок абсолютної системи координат приймається у центрі Сонця, а осі прямують на віддалені, умовно не рухливі зірки. При вирішенні багатьох технічних завдань умовно не рухомими вважатимуться координатні осі, що з Землею.

Параметри механічного руху матеріальних об'єктів у поступовій динаміці встановлюються шляхом математичних висновків з основних законів класичної механіки.

Перший закон (закон інерції):

Матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, доки дія будь-яких сил не виведе її з цього стану.

Рівномірний та прямолінійний рух точки називають рухом за інерцією. Спокій є окремим випадком руху за інерцією, коли швидкість точки дорівнює нулю.

Будь-яка матеріальна точка має інертність, тобто прагне зберегти стан спокою або рівномірного прямолінійного руху. Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною, а рух, що спостерігається стосовно цієї системи, називається абсолютним. Будь-яка система відліку, яка здійснює щодо інерційної системи поступальний прямолінійний та рівномірний рух, буде також інерційною системою.

Другий закон (основний закон динаміки):

Прискорення матеріальної точки щодо інерційної системи відліку пропорційно доданій до точки сили та збігається з силою за напрямом:
.

З основного закону динаміки випливає, що за сили
прискорення
. Маса точки характеризує ступінь опірності точки зміни її швидкості, тобто є мірою інертності матеріальної точки.

Третій закон (закон дії та протидії):

Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

Сили, іменовані процесом і протидією, прикладені до різних тіл і тому врівноваженої системи не утворюють.

Четвертий закон (закон незалежності дії сил):

При одночасному дії кількох сил прискорення матеріальної точки дорівнює геометричній сумі прискорень, які б точка при дії кожної сили окремо:

, де
,
,…,
.

Розглянемо рух деякої системи матеріальних томен щодо нерухомої системи координат Коли система невільна, її можна розглядати як вільну, якщо відкинути накладені на систему зв'язку і замінити їх дію відповідними реакціями.

Розіб'ємо всі сили, прикладені до системи, на зовнішні та внутрішні; в ті та інші можуть входити реакції відкинутих

зв'язків. Через і позначимо головний вектор і момент зовнішніх сил щодо точки А.

1. Теорема про зміну кількості руху.Якщо - кількість руху системи, то (див.)

т. е. справедлива теорема: похідна за часом кількості руху системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил.

Замінюючи вектор через його вираз де - маса-системи - швидкість центру мас, рівняння (4.1) можна надати іншу форму:

Ця рівність означає, що центр мас системи рухається, як матеріальна точкащ маса якої дорівнює масі системи і до якої прикладена сила, геометрично рівна головному вектору всіх зовнішніх сил системи. Останнє твердження називають теоремою про рух центру мас (центру інерції) системи.

Якщо з (4.1) випливає, що вектор кількості руху постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо три скалярні перші інтеграли, диференціальні рівняння дзвнзкепня системи:

Ці інтеграли носять назву інтегралів кількості руху. При швидкість центру мас постійна, тобто рухається рівномірно і прямолінійно.

Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на якусь одну вісь, наприклад, на вісь дорівнює нулю, то маємо один перший інтеграл або якщо ж рівні нулю» дві проекції головного вектора, то існує два інтеграли кількості руху.

2. Теорема про зміну кінетичного моменту.Нехай А - деяка довільна точка простору (яка рухається або нерухома), яка не обов'язково збігається з якоюсь певною матеріальною точкою системи під час руху. Її швидкість у нерухомій спстемі координат позначимо через Теорему про зміну кінетичного моменту матеріальної системи щодо точки А має вигляд

Якщо точка А нерухома, то й рівність (4.3) набуває більш простого вигляду:

Ця рівність виражає теорему про пзмепении кінетичного моменту системи щодо нерухомої точки: похідна за часом від кінетичного моменту системи, обчисленого відносно деякої нерухомої точки, дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил щодо цієї точки.

Якщо згідно (4.4) вектор кінетичного моменту постійний за величиною і напрямом. Проектуючи його на осі координат, отримаємо перші скалярні інтеграли диференціальних рівнянь двпжеиия системи:

Ці інтеграли займають назву інтегралів кінетичного моменту або інтегралів площ.

Якщо точка А збігається з центром мас системи, то перше доданок у правій частині рівності (4.3) звертається в нуль і теорема про зміну кінетичного моменту має ту ж форму запису (4.4), що і у разі нерухомої точки А. Зазначимо (див. п. 4 § 3), що в даному випадку абсолютний кінетичний момент системи в лівій частині рівності (4.4) може бути замінений рівний йому кінетичний момент системи в її русі щодо центру мас.

Нехай - деяка незмінна вісь або вісь постійного напрямку, що проходить через центр мас системи, а - кінетичний момент системи щодо цієї осі. З (4.4) випливає, що

де - момент зовнішніх сил щодо осі. Якщо під час руху то маємо перший інтеграл

У роботах С. А. Чаплигіна отримано кілька узагальнень теореми про зміну кінетичного моменту, які потім застосовані при вирішенні низки завдань про кочення куль. Подальші узагальнення теореми про зміну концептуального моменту та їх застосування в завданнях динаміки твердого тіла містяться в роботах. Основні результати цих робіт пов'язані з теоремою про зміну кінетичного моменту щодо рухомої , що постійно проходить через деяку точку А, що рухається. Нехай - одиничний вектор, спрямований уздовж цієї осі. Помноживши скалярно на обидві частини рівності (4.3) і додавши до його обох частин доданок одержимо

При виконанні кінематичної умови

з (4.7) випливає рівняння (4.5). І якщо весь час руху і виконується умова (4.8), існує перший інтеграл (4.6).

Якщо зв'язки системи ідеальні і допускають серед віртуальних переміщень обертання системи як твердого тіла навколо осі і, то головний момент реакцій щодо осі і дорівнює нулю , і тоді величина у правій частині рівняння (4.5) являє собою головний момент всіх зовнішніх активних сил щодо осі і . Рівність нулю цього моменту і здійсненність співвідношення (4.8) будуть у разі достатніми умовами існування інтеграла (4.6).

Якщо напрямок осі і незмінна то умова (4.8) запишеться у вигляді

Ця рівність означає, що проекції швидкості центру мас та швидкості точки А осі та на площину, перпендикулярну до цієї є паралельними. Діяльність З. А. Чаплыгина замість (4.9) потрібно виконання менш загальної умови де X - довільна стала величина.

Зауважимо, що умова (4.8) залежить від вибору точки на . Справді, нехай Р-довільна точка на осі. Тоді

і, отже,

На закінчення відзначимо геометричну інтерпретацію Резалю рівнянь (4.1) і (4.4): вектори абсолютних швидкостей кінців векторів і рівні відповідно до головного вектора і головного моменту всіх зовнішніх сил щодо точки А.

Використання ОЗМС під час вирішення завдань пов'язані з певними труднощами. Тому зазвичай встановлюють додаткові співвідношення між характеристиками руху та сил, які зручніші для практичного застосування. Такими співвідношеннями є загальні теореми динаміки.Вони, будучи наслідками ОЗМС, встановлюють залежності між швидкістю зміни деяких спеціально введених заходів руху та характеристиками зовнішніх сил.

Теорема про зміну кількості руху. Введемо поняття вектора кількості руху (Р. Декарт) матеріальної точки (рис. 3.4):

Я і = т V г (3.9)

Мал. 3.4.

Для системи вводимо поняття головного вектора кількості руху системияк геометричної суми:

Q = Y, m "V r

Відповідно до ОЗМС: Хю,-^=я) , або X

R(E).

З урахуванням того /w, = const отримаємо: -Ym,! R (E) ,

або в остаточному вигляді

дО/ді = А (Е (3.11)

тобто. перша похідна часу головного вектора кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил.

Теорема про рух центру мас. Центром мас системиназивають геометричну точку, положення якої залежить від т,і. від розподілу мас /г/, у системі та визначається виразом радіуса-вектора центру мас (рис. 3.5):

де г з -радіус-вектор центру мас.

Мал. 3.5.

Назвемо = т із масою системи.Після множення вираз-

ня (3.12) на знаменник та диференціювання обох частин напів-

цінної рівності матимемо: г с т с = ^т.у. = 0, або 0 = т з У с.

Таким чином, головний вектор кількості руху системи дорівнює добутку маси системи та швидкості центру мас. Використовуючи теорему про зміну кількості руху (3.11), отримаємо:

т з дУ з /ді = А (Е) ,або

Формула (3.13) висловлює теорему про рух центру мас: центр мас системи рухається як матеріальна точка, що має масу системи, на яку діє головний вектор зовнішніх сил.

Теорема про зміну моменту кількості руху. Введемо поняття моменту кількості руху матеріальної точки як векторний добуток її радіуса-вектора та кількості руху:

до о, = блх т, У, (3.14)

де до ОІ -момент кількості руху матеріальної точки щодо нерухомої точки Про(Рис. 3.6).

Тепер визначимо момент кількості руху механічної системи як геометричну суму:

К() = X ко, = ЩУ, ? О-15>

Продиференціювавши (3.15), отримаємо:

Ґ сік--- х т і У. + г юх т і

Враховуючи що = У Г У іх т і У і= 0, та формулу (3.2), отримаємо:

сіК а /с1ї - ї 0 .

На підставі другого виразу (3.6) остаточно будемо мати теорему про зміну моменту кількості руху системи:

Перша похідна за часом від моменту кількості руху механічної системи щодо нерухомого центру дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на цю систему, щодо того ж центру.

При виведенні співвідношення (3.16) передбачалося, що Про- Нерухлива точка. Однак можна показати, що і в інших випадках вид співвідношення (3.16) не зміниться, зокрема, якщо при плоскому русі моментну точку вибрати в центрі мас, миттєвому центрі швидкостей або прискорень. Крім цього, якщо точка Прозбігається з матеріальною точкою, що рухається, рівність (3.16), записана для цієї точки звернеться в тотожність 0 = 0.

Теорема про зміну кінетичної енергії. Під час руху механічної системи змінюється як «зовнішня», і внутрішня енергія системи. Якщо характеристики внутрішніх сил, головний вектор та головний момент, не позначаються на зміні головного вектора та головного моменту кількості прискорень, то внутрішні сили можуть входити до оцінки процесів енергетичного стану системи.Тому при розгляді змін енергії системи доводиться розглядати рухи окремих точок, до яких додано також внутрішні сили.

Кінетичну енергію матеріальної точки визначають як величину

Т^туЦг. (3.17)

Кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи:

Зауважимо, що Т > 0.

Визначимо потужність сили, як скалярний добуток вектора сили на вектор швидкості: