Прості диференціальні рівняння.

Розв'язання різних геометричних, фізичних та інженерних завдань часто призводять до рівнянь, які пов'язують незалежні змінні, що характеризують ту чи іншу задачу, з якоюсь функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків.

Як приклад можна розглянути найпростіший випадок рівноприскореного руху матеріальної точки.

Відомо, що переміщення матеріальної точки при рівноприскореному русі є функцією часу і виражається за такою формулою:

У свою чергу, прискорення aє похідною за часом tвід швидкості V, яка також є похідною за часом tвід переміщення S. Тобто.

Тоді отримуємо:
- рівняння пов'язує функцію f(t) із незалежною змінною t і похідною другого порядку функції f(t).

Визначення. Диференціальним рівняннямназивається рівняння, що пов'язує незалежні змінні, їх функції та похідні (або диференціали) цієї функції.

Визначення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, воно називається звичайним диференціальним рівняннямЯкщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням у приватних похідних.

Визначення. Найвищий порядок похідних, що входять до рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

приклад.

- звичайне диференціальне рівняння 1 – го порядку. Загалом записується
.

- звичайне диференціальне рівняння 2 - го порядку. Загалом записується

- диференціальне рівняння у приватних похідних першого порядку.

Визначення. Загальним рішеннямдиференціального рівняння називається така функція, що диференціюється y = (x, C), яка при підстановці у вихідне рівняння замість невідомої функції звертає рівняння в тотожність.

Властивості загального рішення.

1) Т.к. постійна З – довільна величина, то взагалі диференціальне рівняння має безліч рішень.

2) За будь-яких початкових умов х = х 0 , у(х 0) = у 0 існує таке значення С = С 0 , при якому розв'язком диференціального рівняння є функція у = (х, С 0).

Визначення. Рішення виду у = (х, С0) називається приватним рішеннямдиференціального рівняння.

Визначення. Завданням Коші(Огюстен Луї Коші (1789-1857) - французький математик) називається знаходження будь-якого окремого рішення диференціального рівняння виду у =  (х, С 0), що задовольняє початковим умовам у (х 0) = у 0 .

Теорема Коші. (теорема про існування та єдиність розв'язання диференціального рівняння 1-го порядку)

Якщо функціяf(x, y) безперервна в деякій областіDу площиніXOYі має у цій галузі безперервну приватну похідну
, то яка б не була точка (х 0 , у 0 ) в областіD, існує єдине рішення
рівняння
, визначене в деякому інтервалі, що містить точку х 0 приймає при х = х 0 значення (х 0 ) = у 0 , тобто. Існує єдине рішення диференціального рівняння.

Визначення. ІнтеграломДиференціальне рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є наслідком.

приклад.Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Загальне рішення диференціального рівняння шукається за допомогою інтегрування лівої та правої частин рівняння, яке попередньо перетворено таким чином:

Тепер інтегруємо:

- це загальне рішення вихідного диференціального рівняння.

Допустимо, задані деякі початкові умови: x 0 = 1; y 0 = 2, тоді маємо

При підстановці отриманого значення постійної у загальне рішення отримуємо окреме рішення за заданих початкових умов (вирішення завдання Коші).

Визначення. Інтегральної кривоїназивається графік y = (x) розв'язання диференціального рівняння на площині ХОY.

Визначення. Особливим рішеннямдиференціального рівняння називається таке рішення, у всіх точках якого умова єдиності Коші (див. Теорема Коші.) не виконується, тобто. в околиці деякої точки (х, у) існує не менше двох інтегральних кривих.

Особливі рішення залежить від постійної З.

Особливі рішення не можна отримати із загального рішення ні при яких значеннях постійної С. Якщо побудувати сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння, то особливе рішення зображуватиметься лінією, яка в кожній своїй точці стосується принаймні однієї інтегральної кривої.

Зазначимо, що кожне диференціальне рівняння має особливі рішення.

приклад.
Знайти особливе рішення, якщо воно є.

Дане диференціальне рівняння має також особливе рішення у= 0. Це рішення неможливо отримати із загального, однак при підстановці у вихідне рівняння отримуємо тотожність. Думка, що рішення y = 0 можна отримати із загального рішення при З 1 = 0 помилково, адже C 1 = e C  0.

Диференціальні рівняння першого ладу.

Визначення. Диференціальним рівнянням першого порядкуназивається співвідношення, що пов'язує функцію, її першу похідну та незалежну змінну, тобто. співвідношення виду:

Якщо таке співвідношення перетворити на вигляд
то це диференціальне рівняння першого порядку називатиметься рівнянням, дозволеним щодо похідної.

Функцію f(x,y) представимо у вигляді:
тоді при підстановці отримане вище рівняння маємо:

це так звана диференційна формарівняння першого порядку.

Рівняння видуy ’ = f ( x ).

Нехай функція f(x) – визначена та безперервна на деякому інтервалі

a< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
. Якщо задані початкові умови х 0 і 0 , можна визначити постійну З.

Рівняння з змінними, що розділяються

Визначення. Диференціальне рівняння
називається рівнянням з змінними, що розділяютьсяякщо його можна записати у вигляді

.

Таке рівняння можна також у вигляді:

Перейдемо до нових позначень

Отримуємо:

Після знаходження відповідних інтегралів виходить загальне рішення диференціального рівняння з змінними, що розділяються.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальне рішення знаходиться постійна величина, а, відповідно, і приватне рішення.

приклад.Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

Інтеграл, що стоїть у лівій частині, береться частинами (див. Інтегрування частинами.):

це загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, т.к. потрібна функція і не виражена через незалежну змінну. У цьому полягає відмінністьзагального (приватного) інтегралавід загального (приватного) рішення.

Щоб перевірити правильність отриманої відповіді, продиференціюємо її по змінній х.

- вірно

приклад.Знайти рішення диференціального рівняння
за умови у(2) = 1.

при у(2) = 1 отримуємо

Разом:
або
- Приватне рішення;

Перевірка:
, разом

- вірно.

приклад.Вирішити рівняння

- загальний інтеграл

- загальне рішення

приклад.Вирішити рівняння

приклад.Вирішити рівняння
за умови у (1) = 0.

Інтеграл, що стоїть у лівій частині, будемо брати частинами (див. Інтегрування частинами.).

Якщо у (1) = 0, то

Отже, приватний інтеграл:
.

приклад.Вирішити рівняння .

Для знаходження інтеграла, що стоїть у лівій частині рівняння див. Таблиця головних інтегралів.п.16. Отримуємо загальний інтеграл:

приклад.Вирішити рівняння

Перетворимо задане рівняння:

Здобули загальний інтеграл даного диференціального рівняння. Якщо з цього співвідношення висловити потрібну функцію у, то отримаємо загальне рішення.

приклад.Вирішити рівняння
.

;
;

Припустимо, задані деякі початкові умови х 0 і 0 . Тоді:

Отримуємо приватне рішення

Однорідні рівняння.

Визначення. Функція f(x, y) називається одноріднийn– го вимірущодо своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (крім нуля) виконується тотожність:

приклад.Чи є однорідною функція

Таким чином, функція f(x, y) є однорідною 3-го порядку.

Визначення. Диференціальне рівняння виду
називається однорідним, якщо його права частина f(x, y) є однорідною функцією нульового вимірювання щодо своїх аргументів.

Будь-яке рівняння виду є однорідним, якщо функції P(x, y) і Q(x, y) – однорідні функції однакового виміру.

Рішення будь-якого однорідного рівняння засноване на приведенні цього рівняння до рівняння з змінними, що розділяються.

Розглянемо однорідне рівняння

Т.к. функція f(x, y) – однорідна нульового виміру, можна записати:

Т.к. параметр t взагалі кажучи довільний, припустимо, що . Отримуємо:

Права частина отриманої рівності залежить фактично лише від одного аргументу
, тобто.

Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:

таким чином, отримали рівняння з змінними, що розділяються, відносно невідомої функції u.

приклад.Вирішити рівняння
.

Введемо допоміжну функцію u.

.

Зазначимо, що введена нами функція uзавжди позитивна, т.к. в іншому випадку втрачає сенс вихідне диференціальне рівняння, що містить
.

Підставляємо у вихідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Інтегруючи, отримуємо:

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальне рішення:

Рівняння, що приводяться до однорідних.

Крім рівнянь, описаних вище, існує клас рівнянь, які за допомогою певних підстановок можуть бути приведені до однорідних.

Це рівняння виду
.

Якщо визначник
то змінні можуть бути розділені підстановкою

де  та  - розв'язання системи рівнянь

приклад.Вирішити рівняння

Отримуємо

Знаходимо значення визначника
.

Вирішуємо систему рівнянь

Застосовуємо підстановку у вихідне рівняння:

Замінюємо змінну
при підстановці у вираз, записане вище, маємо:

Розглянуто метод розв'язання диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються. Даний приклад докладного рішення диференціального рівняння з змінними, що розділяються.

Визначення

Нехай s (x), q (x)- функції від змінної x;
p (y), r (y)- функції від змінної y.

Диференціальне рівняння з змінними, що розділяються - це рівняння виду

Метод вирішення диференціального рівняння з змінними, що розділяються.

Розглянемо рівняння:
(i) .
Виразимо похідну y через диференціали.
;
.
Помножимо на dx.
(ii)
Розділимо рівняння на s (x) r(y). Це можна зробити, якщо s (x) r(y) ≠ 0. При s (x) r(y) ≠ 0маємо
.
Інтегруючи, отримуємо загальний інтеграл у квадратурах
(iii).

Оскільки ми ділили на s (x) r(y), то отримали інтеграл рівняння у s (x) ≠ 0та r (y) ≠ 0. Далі потрібно вирішити рівняння
r (y) = 0.
Якщо це рівняння має коріння, то вони є рішеннями рівняння (i). Нехай рівняння r (y) = 0. має n коріння a i , r (a i) = 0, i = 1, 2, ..., n. Тоді постійні y = a i є рішення рівняння (i). Частина цих рішень може вже утримуватися у загальному інтегралі (iii).

Зауважимо, що якщо вихідне рівняння задано у формі (ii), слід також вирішити рівняння
s (x) = 0.
Його коріння b j , s (b j ) = 0 j = 1, 2, ..., m. дають рішення x = bj.

Приклад вирішення диференціального рівняння з змінними, що розділяються.

Вирішити рівняння

Виразимо похідну через диференціали:


Помножимо на dx та розділимо на . За y ≠ 0 маємо:

Інтегруємо.

Обчислюємо інтеграли, застосовуючи формулу .



Підставляючи, отримуємо загальний інтеграл рівняння
.

Тепер розглянемо випадок, y = 0 .
Очевидно, що y = 0 є рішенням вихідного рівняння. Воно не входить у загальний інтеграл.
Тому додамо його до остаточного результату.

; y = 0 .

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Диференціальне рівняння з розділеними змінними записується як: (1). У цьому рівнянні один доданок залежить тільки від x, а другий від y. Проінтегрувавши почленно це рівняння, отримуємо:
- Його загальний інтеграл.

приклад: знайти загальний інтеграл рівняння:
.

Рішення: це рівняння – диференціальне рівняння з розділеними змінними. Тому
або
Позначимо
. Тоді
- Загальний інтеграл диференціального рівняння.

Рівняння з змінними, що розділяються, має вигляд (2). Рівняння (2) легко зводитися до рівняння (1) шляхом почленного поділу його на
. Отримуємо:

- Загальний інтеграл.

Приклад:Вирішити рівняння .

Рішення: перетворимо ліву частину рівняння: . Ділимо обидві частини рівняння на


Рішенням є вираз:
тобто.

Однорідні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого ладу.

Рівняння виду називається однорідним, якщо
і
- Однорідні функції одного порядку (вимірювання). Функція
називається однорідною функцією першого порядку (вимірювання), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник вся функція помножитися на , тобто.
=
.

Однорідне рівняння може бути приведене до вигляду
. За допомогою підстановки
(
)однорідне рівняння приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, по відношенню до нової функції .

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійнимякщо його можна записати у вигляді
.

Метод Бернуллі

Вирішення рівняння
шукається як твори двох інших функцій, тобто. за допомогою підстановки
(
).

Приклад:проінтегрувати рівняння
.

Вважаємо
. Тоді, тобто. . Спочатку вирішуємо рівняння
=0:


.

Тепер вирішуємо рівняння
тобто.


. Отже, загальне рішення даного рівняння є
тобто.

Рівняння Я. Бернуллі

Рівняння виду , де
називається рівнянням Бернуллі. Це рівняння вирішується за допомогою методу Бернуллі.

Однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами

Однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду (1) , де і постійні.

Приватні рішення рівняння (1) шукатимемо у вигляді
, де до- Деяке число. Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази
в рівняння (1), отримаємот.
(2) (
).

Рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

При розв'язанні характеристичного рівняння (2) можливі три випадки.

Випадок 1.Коріння і рівняння (2) дійсні та різні:

і

.

Випадок 2Коріння і рівняння (2) дійсні та рівні:
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд
.

Випадок 3.Коріння і рівняння (2) комплексні:
,
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд

приклад.Вирішити рівняння
.

Рішення:складемо характеристичне рівняння:
. Тоді
. Загальне рішення даного рівняння
.

Екстремум функції кількох змінних. Умовний екстремум.

Екстремум функції кількох змінних

Визначення.Точка М (х о ,у о ) називаєтьсяточкою максимуму (мінімуму) функціїz= f(x, у), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (х, у) з цієї околиці виконується нерівність
(
)

На рис. 1 точка А
- є точка мінімуму, а точка У
- точка максимуму.

НеобхіднеУмова екстремуму - багатовимірний аналог теореми Ферма.

Теорема.Нехай крапка
– є точка екстремуму функції, що диференціюєтьсяz= f(x, у). Тоді приватні похідні
і
вцій точці дорівнюють нулю.

Точки, в яких виконані необхідні умови екстремуму функції z= f(x, у),тобто. приватні похідні z" x і z" y рівні нулю, називаються критичнимиабо стаціонарними.

Рівність приватних похідних нулю висловлює лише необхідну, але недостатню умову екстремуму функції кількох змінних.

На рис. зображено так звану сідлова точка М (х о ,у о ). Приватні похідні
і
рівні нулю, але, очевидно, ніякого екстремуму в точці М(х о ,у о ) ні.

Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функцій однієї змінної. Завдання полягає в тому, щоб відокремити їх від точок екстремуму. Іншими словами, потрібно знати достатняумова екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму функції двох змінних).Нехай функціяz= f(x, у):а) визначена в деякій околиці критичної точки (х о ,у о ), в якій
=0 і
=0 ;

б) має у цій точці безперервні приватні похідні другого порядку
;

;
Тоді, якщо ∆=АС-В 2 >0, то в точці (х о ,у о ) функціяz= f(x, у) має екстремум, причому якщоА<0 - максимум, якщоА>0 - мінімум. У разі ∆=АС-В 2 <0, функция z= f(x, у) екстремуму немає. Якщо ∆=АС-В 2 =0, то питання наявності екстремуму залишається відкритим.

Дослідження функції двох змінних на екстремумрекомендується проводити за наступною схемою:

Знайти приватні похідні функції z" x і z" y .

Розв'язати систему рівнянь z" x =0, z" y =0 та знайти критичні точки функції.

Знайти приватні похідні другого порядку, обчислити їх значення у кожній критичній точці та за допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.

Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

приклад.Знайти екстремуми функції

Рішення. 1. Знаходимо приватні похідні

2. Критичні точки функції знаходимо із системи рівнянь:

має чотири рішення (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

3. Знаходимо приватні похідні другого порядку:

;
;
обчислюємо їх значення в кожній критичній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

Наприклад, у точці (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; =0; С = -1. Так як ∆ =АС-В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 та А=-1<0, то точка (1; 1) є точка максимуму.

Аналогічно встановлюємо, що (-1; -1) - точка мінімуму, а в точках (1; -1) та (-1; 1), в яких ∆ =АС-В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Знаходимо екстремуми функції zmax = z(l; 1) = 2, zmin = z(-l; -1) = -2,

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, що задовольняє певну умову.

Нехай розглядається функція z = f(x, y), аргументи хі уякої задовольняють умові g(х,у)= З,званому рівнянням зв'язку.

Визначення.Крапка
називається точкоюумовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок (х,у) з цієї околиці задовольняють умовіg (x, y) = С, виконується нерівність

(
).

На рис. зображено точку умовного максимуму
. Вочевидь, що вона є точкою безумовного екстремуму функції z = f(x, y) (на рис. це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку g (x, y) = Звдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити учерез х:
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо z = f(x, y) =
, тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції z = f(x, y).

приклад. х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11.

Рішення. Виразимо з рівняння 3х +2у = 11 змінну y через змінну x і підставимо отримане
у функціюz. Отримаємо z= x 2 +2
або z =
. Ця функція має єдиний мінімум при = 3. Відповідне значення функції
Таким чином, (3; 1) – точка умовного екстремуму (мінімуму).

У розглянутому прикладі рівняння зв'язку g(x, у) = Свиявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається.

Для пошуку умовного екстремуму у випадку використовується метод множників Лагранжа.

Розглянемо функцію трьох змінних

Ця функція називається функцією Лагранжа,а - множником Лагранжа.Вірна наступна теорема.

Теорема.Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функціїz = f(x, y) за умовиg (x, y) = С, то існує значення таке, що крапка
є точкою екстремуму функціїL{ x, y, ).

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції z = f(х,у)за умови g(x, y) = Спотрібно знайти рішення системи

На рис. показаний геометричний зміст умов Лагранжа. Лінія g(х,у)= З пунктирною, лінія рівня g(x, y) = Q функції z = f(x, y) суцільні.

З рис. випливає, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції z = f(x, y) стосується лініїg(x, y) = З.

приклад.Знайти точки максимуму та мінімуму функції z = х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11, використовуючи метод множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа L= х 2 + 2у 2 +

Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь

Її єдине рішення (х=3, у=1, =-2). Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція z= f(x, y) має умовний мінімум.

Диференційне рівняння.

Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння.

Визначення 1.Звичайним диференціальним рівнянням n- го порядку для функції y аргументу x називається співвідношення виду

де F - Задана функція своїх аргументів. У назві цього класу математичних рівнянь термін «диференціальне» наголошує, що до них входять похідні. (функції, утворені як наслідок диференціювання); термін – «звичайне» свідчить, що потрібна функція залежить лише від одного дійсного аргументу.

Звичайне диференціальне рівняння може не містити у явному вигляді аргумент x, шукану функцію та будь-які її похідні, але старша похідна повинна входити до рівняння n-го порядку. Наприклад

а) - Рівняння першого порядку;

б) - Рівняння третього порядку.

При написанні звичайних диференціальних рівнянь часто використовуються позначення похідних через диференціали:

в) - Рівняння другого порядку;

г) – рівняння першого порядку,

що утворює після поділу на dxеквівалентну форму завдання рівняння: .

Функція називається рішенням звичайного диференціального рівняння, якщо при підстановці до нього воно перетворюється на тотожність.

Наприклад, рівняння 3-го порядку

Має рішення .

Знайти тим чи іншим прийомом, наприклад, підбором, одну функцію, яка задовольняє рівняння, означає вирішити його. Вирішити звичайне диференціальне рівняння - значить знайти Усефункції, що утворюють при підстановці рівняння тотожність. Для рівняння (1.1) сімейство таких функцій утворюється за допомогою довільних постійних і називається загальним рішенням звичайного диференціального рівняння n-го порядку, причому число констант збігається з порядком рівняння: Загальне рішення може бути, і не дозволено явно щодо y(x): У цьому випадку рішення прийнято називати загальним інтегралом рівняння (1.1)

Наприклад, загальним рішенням диференціального рівняння є наступне вираз: , причому другий доданок може бути записаний і як , так як довільна постійна , поділена на 2, може бути замінена новою довільною постійною .

Задаючи деякі допустимі значення всім довільним постійним у загальному рішенні або у загальному інтегралі, отримуємо певну функцію, яка вже не містить довільних констант. Ця функція називається приватним рішенням чи приватним інтегралом рівняння (1.1). Для відшукання значень довільних постійних, отже, і приватного рішення, використовуються різні додаткові умови рівняння (1.1). Наприклад, можуть бути задані так звані початкові умови (1.2)

У правих частинах початкових умов (1.2) задані числові значення функції та похідних, причому, загальна кількість початкових умов дорівнює числу довільних констант, що визначаються.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (1.1) за початковими умовами називається завданням Коші.

§ 2. Прості диференціальні рівняння 1-го порядку – основні поняття.

Просте диференціальне рівняння 1-го порядку ( n=1) має вигляд: або, якщо його вдається дозволити щодо похідної: . Загальне рішення y=y(x,С) або загальний інтеграл рівняння 1-го порядку містять одну довільну постійну. Єдина початкова умова для рівняння 1-го порядку дозволяє визначити значення константи із загального рішення чи загального інтеграла. Таким чином, буде знайдено приватне рішення або, що також, буде вирішено завдання Коші. Питання існування та єдиності рішення завдання Коші одна із центральних у загальній теорії звичайних диференціальних рівнянь. Для рівняння 1-го порядку, зокрема, справедлива теорема, яка тут приймається без доказу.

Теорема 2.1.Якщо у рівнянні функція та її приватна похідна безперервні у певній області D площині XOY , і в цій галузі задана точка , то існує і до того ж єдине рішення , що задовольняє як рівнянню , так і початковій умові .

Геометрично загальне рішення рівняння 1-го порядку є сімейством кривих на площині. XOY, що не мають спільних точок і відрізняються один від одного одним параметром - значенням константи C. Ці криві називаються інтегральними кривими даного рівняння. Інтегральні криві рівняння мають очевидну геометричну властивість: у кожній точці тангенс кута нахилу дотичної до кривої дорівнює значенню правої частини рівняння в цій точці: . Іншими словами, рівняння задається у площині XOYполе напрямів, що стосуються інтегральних кривих. Примітка:Необхідно відзначити, що до рівняння наводиться рівняння та так зване рівняння у симетричній формі .

Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.

Визначення.Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду (3.1)

або рівняння виду (3.2)

А, щоб у рівнянні (3.1) розділити змінні, тобто. привести це рівняння до так званого рівняння з розділеними змінними, зробити такі дії:

;

Тепер треба вирішити рівняння g(y)= 0. Якщо воно має речове рішення y=a, то y=aтакож буде рішенням рівняння (3.1).

Рівняння (3.2) наводиться до рівняння з розділеними змінними поділом на твір:

що дозволяє отримати загальний інтеграл рівняння (3.2): . (3.3)

Інтегральні криві (3.3) будуть доповнені рішеннями, якщо такі рішення існують.

Вирішити рівняння: .

Розділяємо змінні:

.

Інтегруючи, отримуємо

Диференціальне рівняння з розділеними змінними записується як: (1). У цьому рівнянні один доданок залежить тільки від x, а другий від y. Проінтегрувавши почленно це рівняння, отримуємо:
- Його загальний інтеграл.

приклад: знайти загальний інтеграл рівняння:
.

Рішення: це рівняння – диференціальне рівняння з розділеними змінними. Тому
або
Позначимо
. Тоді
- Загальний інтеграл диференціального рівняння.

Рівняння з змінними, що розділяються, має вигляд (2). Рівняння (2) легко зводитися до рівняння (1) шляхом почленного поділу його на
. Отримуємо:

- Загальний інтеграл.

Приклад:Вирішити рівняння .

Рішення: перетворимо ліву частину рівняння: . Ділимо обидві частини рівняння на


Рішенням є вираз:
тобто.

Однорідні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого ладу.

Рівняння виду називається однорідним, якщо
і
- Однорідні функції одного порядку (вимірювання). Функція
називається однорідною функцією першого порядку (вимірювання), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник вся функція помножитися на , тобто.
=
.

Однорідне рівняння може бути приведене до вигляду
. За допомогою підстановки
(
)однорідне рівняння приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, по відношенню до нової функції .

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійнимякщо його можна записати у вигляді
.

Метод Бернуллі

Вирішення рівняння
шукається як твори двох інших функцій, тобто. за допомогою підстановки
(
).

Приклад:проінтегрувати рівняння
.

Вважаємо
. Тоді, тобто. . Спочатку вирішуємо рівняння
=0:


.

Тепер вирішуємо рівняння
тобто.


. Отже, загальне рішення даного рівняння є
тобто.

Рівняння Я. Бернуллі

Рівняння виду , де
називається рівнянням Бернуллі. Це рівняння вирішується за допомогою методу Бернуллі.

Однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами

Однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду (1) , де і постійні.

Приватні рішення рівняння (1) шукатимемо у вигляді
, де до- Деяке число. Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази
в рівняння (1), отримаємот.
(2) (
).

Рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

При розв'язанні характеристичного рівняння (2) можливі три випадки.

Випадок 1.Коріння і рівняння (2) дійсні та різні:

і

.

Випадок 2Коріння і рівняння (2) дійсні та рівні:
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд
.

Випадок 3.Коріння і рівняння (2) комплексні:
,
. У цьому випадку частковими рішеннями рівняння (1) є функції
і
. Отже, загальне рішення рівняння (1) має вигляд

приклад.Вирішити рівняння
.

Рішення:складемо характеристичне рівняння:
. Тоді
. Загальне рішення даного рівняння
.

Екстремум функції кількох змінних. Умовний екстремум.

Екстремум функції кількох змінних

Визначення.Точка М (х о ,у о ) називаєтьсяточкою максимуму (мінімуму) функціїz= f(x, у), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (х, у) з цієї околиці виконується нерівність
(
)

На рис. 1 точка А
- є точка мінімуму, а точка У
- точка максимуму.

НеобхіднеУмова екстремуму - багатовимірний аналог теореми Ферма.

Теорема.Нехай крапка
– є точка екстремуму функції, що диференціюєтьсяz= f(x, у). Тоді приватні похідні
і
вцій точці дорівнюють нулю.

Точки, в яких виконані необхідні умови екстремуму функції z= f(x, у),тобто. приватні похідні z" x і z" y рівні нулю, називаються критичнимиабо стаціонарними.

Рівність приватних похідних нулю висловлює лише необхідну, але недостатню умову екстремуму функції кількох змінних.

На рис. зображено так звану сідлова точка М (х о ,у о ). Приватні похідні
і
рівні нулю, але, очевидно, ніякого екстремуму в точці М(х о ,у о ) ні.

Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функцій однієї змінної. Завдання полягає в тому, щоб відокремити їх від точок екстремуму. Іншими словами, потрібно знати достатняумова екстремуму.

Теорема (достатня умова екстремуму функції двох змінних).Нехай функціяz= f(x, у):а) визначена в деякій околиці критичної точки (х о ,у о ), в якій
=0 і
=0 ;

б) має у цій точці безперервні приватні похідні другого порядку
;

;
Тоді, якщо ∆=АС-В 2 >0, то в точці (х о ,у о ) функціяz= f(x, у) має екстремум, причому якщоА<0 - максимум, якщоА>0 - мінімум. У разі ∆=АС-В 2 <0, функция z= f(x, у) екстремуму немає. Якщо ∆=АС-В 2 =0, то питання наявності екстремуму залишається відкритим.

Дослідження функції двох змінних на екстремумрекомендується проводити за наступною схемою:

Знайти приватні похідні функції z" x і z" y .

Розв'язати систему рівнянь z" x =0, z" y =0 та знайти критичні точки функції.

Знайти приватні похідні другого порядку, обчислити їх значення у кожній критичній точці та за допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.

Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

приклад.Знайти екстремуми функції

Рішення. 1. Знаходимо приватні похідні

2. Критичні точки функції знаходимо із системи рівнянь:

має чотири рішення (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

3. Знаходимо приватні похідні другого порядку:

;
;
обчислюємо їх значення в кожній критичній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

Наприклад, у точці (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; =0; С = -1. Так як ∆ =АС-В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 та А=-1<0, то точка (1; 1) є точка максимуму.

Аналогічно встановлюємо, що (-1; -1) - точка мінімуму, а в точках (1; -1) та (-1; 1), в яких ∆ =АС-В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Знаходимо екстремуми функції zmax = z(l; 1) = 2, zmin = z(-l; -1) = -2,

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, що задовольняє певну умову.

Нехай розглядається функція z = f(x, y), аргументи хі уякої задовольняють умові g(х,у)= З,званому рівнянням зв'язку.

Визначення.Крапка
називається точкоюумовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок (х,у) з цієї околиці задовольняють умовіg (x, y) = С, виконується нерівність

(
).

На рис. зображено точку умовного максимуму
. Вочевидь, що вона є точкою безумовного екстремуму функції z = f(x, y) (на рис. це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку g (x, y) = Звдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити учерез х:
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо z = f(x, y) =
, тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції z = f(x, y).

приклад. х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11.

Рішення. Виразимо з рівняння 3х +2у = 11 змінну y через змінну x і підставимо отримане
у функціюz. Отримаємо z= x 2 +2
або z =
. Ця функція має єдиний мінімум при = 3. Відповідне значення функції
Таким чином, (3; 1) – точка умовного екстремуму (мінімуму).

У розглянутому прикладі рівняння зв'язку g(x, у) = Свиявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається.

Для пошуку умовного екстремуму у випадку використовується метод множників Лагранжа.

Розглянемо функцію трьох змінних

Ця функція називається функцією Лагранжа,а - множником Лагранжа.Вірна наступна теорема.

Теорема.Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функціїz = f(x, y) за умовиg (x, y) = С, то існує значення таке, що крапка
є точкою екстремуму функціїL{ x, y, ).

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції z = f(х,у)за умови g(x, y) = Спотрібно знайти рішення системи

На рис. показаний геометричний зміст умов Лагранжа. Лінія g(х,у)= З пунктирною, лінія рівня g(x, y) = Q функції z = f(x, y) суцільні.

З рис. випливає, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції z = f(x, y) стосується лініїg(x, y) = З.

приклад.Знайти точки максимуму та мінімуму функції z = х 2 + y 2 за умови 3х +2у = 11, використовуючи метод множників Лагранжа.

Рішення. Складаємо функцію Лагранжа L= х 2 + 2у 2 +

Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь

Її єдине рішення (х=3, у=1, =-2). Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція z= f(x, y) має умовний мінімум.