Габриел Крамер е швейцарски математик, ученик и приятел на Йохан Бернули, един от създателите на линейната алгебра. Крамър разглежда система от произволен брой линейни уравнения с квадратна матрица. Той представи решението на системата като колона от дроби с общ знаменател – детерминантата на матрицата. Методът на Cramer се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения, което значително ускорява процеса на решаване. Този метод може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Основното е, че детерминантата на системата не е равна на „0“, тогава методът на Cramer може да се използва в решението, ако „0“ - този метод не може да се използва. Този метод може да се използва и за решаване на системи от линейни уравнения с уникално решение.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Да предположим, че ни е даден SLAE от този тип:
\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]
Според теоремата на Крамър получаваме:
Отговор: \
Къде мога да реша уравнение, използвайки метода на Cramer, използвайки онлайн програма за решаване?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
Методи КрамерИ Гаус- един от най-популярните методи за решение СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес ще разгледаме решението с помощта на метода на Cramer. В крайна сметка решаването на система от линейни уравнения с помощта на метода на Крамър е много полезно умение.
Системи линейни алгебрични уравнения
Система от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:
Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в идентичности, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена наум или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (xes) в SLAE и тук прости училищни манипулации не са достатъчни. Какво да правя? Например, решете SLAE с помощта на метода на Cramer!
И така, нека системата се състои от н уравнения с н неизвестен.
Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма
Тук А – основната матрица на системата, х И б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.
Решаване на SLAE по метода на Cramer
Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.
Според метода на Крамер решението се намира по формулите:
Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х nth – детерминанта, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.
Това е цялата същност на метода Крамер. Заместване на стойностите, намерени с горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем бързо да разберете същността, по-долу даваме пример за подробно решение на SLAE, използвайки метода на Cramer:
Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да чупите SLAU като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се занимавате с тетрадка, да решавате тромави изчисления и да записвате ядрото. Можете лесно да решите SLAE, като използвате метода на Cramer онлайн, просто като замените коефициентите в готовата форма. Можете да изпробвате онлайн калкулатор за решение, използвайки метода на Cramer, например на този уебсайт.
И ако системата се окаже упорита и не се предаде, винаги можете да се обърнете за помощ към нашите автори, например към. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и навреме!
Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.
Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамър може да се използва в решението, но ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.
Определение. Детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни, се нарича детерминанта на системата и се обозначава (делта).
Детерминанти
се получават чрез заместване на коефициентите на съответните неизвестни със свободни членове:
;
.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Пример 1.Решете система от линейни уравнения:
Според Теорема на Крамърние имаме:
И така, решението на система (2):
онлайн калкулатор, метод на решаване на Cramer.
Три случая при решаване на системи от линейни уравнения
Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:
Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение
(системата е последователна и категорична)
Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения
(системата е последователна и несигурна)
** 
,
тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.
Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения
(системата е непоследователна)
Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи неставни, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.
Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Нека се даде системата
.
Въз основа на теоремата на Крамър
………….
,
Където 
-
системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:
Пример 2.
Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите
Използвайки формулите на Cramer намираме:
И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.
Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
.
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните
Използвайки формулите на Cramer намираме:
И така, решението на системата е (2; -1; 1).
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
Най-горе на страницата
Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Cramer
Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите на неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.
Пример 6.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, ние изчисляваме детерминанти за неизвестни
Детерминантите на неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
В задачите, включващи системи от линейни уравнения, има и такива, в които освен букви, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви представляват число, най-често реално. На практика такива уравнения и системи от уравнения се дължат на проблеми за търсене на общи свойства на всякакви явления или обекти. Тоест вие сте изобретили някакъв нов материал или устройство и за да опишете свойствата му, които са общи, независимо от размера или количеството на образеца, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има писма. Не е нужно да търсите далеч за примери.
Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи определено реално число, се увеличава.
Пример 8.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Намиране на детерминанти за неизвестни
В първата част разгледахме малко теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно събиране на системни уравнения. Препоръчвам на всички, които са влезли в сайта през тази страница, да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в процеса на решаване на системи от линейни уравнения направих редица много важни коментари и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.
Сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решаването на система от линейни уравнения с помощта на обратна матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно; почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.
Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? – В края на краищата най-простата система може да бъде решена с помощта на училищния метод, метода на добавяне на член по член!
Факт е, че макар и понякога, се случва такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни по формулите на Крамер. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.
Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!
Разгледайте системата от уравнения
На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.
Метод на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И
На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинска буква.
Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,
Пример 7
Решете система от линейни уравнения 
Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.
Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.
Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.
;
;
Отговор: ,
И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.
Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.
Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.
Пример 8
Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.
Това е пример, който можете да решите сами (пример за окончателния дизайн и отговора в края на урока).
Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни: 
Намираме основната детерминанта на системата: 
Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне; трябва да използвате метода на Гаус.
Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти: 
, 
, 
И накрая, отговорът се изчислява по формулите: 
Както можете да видите, случаят "три по три" не се различава по същество от случая "два по два"; колоната от свободни термини последователно "ходи" отляво надясно по колоните на основната детерминанта.
Пример 9
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамър. 
, което означава, че системата има уникално решение.
Отговор: 
.
Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, поради факта, че решението следва готови формули. Но има няколко коментара.
Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за „лечение“. Ако нямате компютър под ръка, направете следното:
1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лоша“ фракция, незабавно трябва да проверите Правилно ли е пренаписано условието?. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширение в друг ред (колона).
2) Ако в резултат на проверката не са идентифицирани грешки, най-вероятно е имало печатна грешка в условията на задачата. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО отработете задачата до края и след това не забравяйте да проверитеи го съставяме на чист лист след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който много обича да дава минус за всякакви глупости като . Как да работим с дроби е описано подробно в отговора на пример 8.
Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма за проверка, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да стартирате решението); веднага ще видите междинната стъпка, в която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.
Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например: 
Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта: 
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.
Пример 10
Решете системата с помощта на формулите на Крамер. 
Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).
За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Свойства на детерминантите. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на обувката на професор върху гърдите на щастлив студент.
Решаване на системата с помощта на обратна матрица
Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).
За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширявате детерминанти, да намирате обратната на матрица и да извършвате умножение на матрица. С напредването на обясненията ще бъдат предоставени подходящи връзки.
Пример 11
Решете системата с матричния метод 
Решение: Нека напишем системата в матрична форма:
, Където 
Моля, разгледайте системата от уравнения и матрици. Мисля, че всеки разбира принципа, по който записваме елементи в матрици. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава нулите трябва да бъдат поставени на съответните места в матрицата.
Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
Първо, нека да разгледаме детерминантата:
Тук детерминантата е разширена на първия ред.
внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава по метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).
Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите 
Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът: 
Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона
2. Решаване на системи от уравнения по матричния метод (с помощта на обратна матрица).
3. Метод на Гаус за решаване на системи от уравнения.
Методът на Крамер.
Методът на Крамер се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения ( СЛАУ).
Формули, използващи примера на система от две уравнения с две променливи.
дадени:Решете системата с помощта на метода на Крамер
Относно променливите хИ при.
Решение:
Да намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата Изчисляване на детерминанти. : 
Нека приложим формулите на Cramer и да намерим стойностите на променливите: 
И 
.
Пример 1:
Решете системата от уравнения:
по отношение на променливите хИ при.
Решение:
Нека заменим първата колона в тази детерминанта с колона с коефициенти от дясната страна на системата и да намерим нейната стойност: 
Нека направим подобно нещо, като заменим втората колона в първата детерминанта: 
Приложимо Формули на Крамери намерете стойностите на променливите:
И .
Отговор: 
коментар:Този метод може да решава системи с по-високи измерения.
коментар:Ако се окаже, че , но не може да се раздели на нула, тогава те казват, че системата няма уникално решение. В този случай системата или има безкрайно много решения, или изобщо няма решения.
Пример 2(безкраен брой решения):
Решете системата от уравнения:
по отношение на променливите хИ при.
Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата: 
Решаване на системи чрез метода на заместване. 
Първото от уравненията на системата е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите (тъй като 4 винаги е равно на 4). Това означава, че остава само едно уравнение. Това е уравнение за връзката между променливите.
Открихме, че решението на системата е всяка двойка стойности на променливи, свързани една с друга чрез равенството.
Общото решение ще бъде написано, както следва: 
Конкретни решения могат да бъдат определени чрез избиране на произволна стойност на y и изчисляване на x от това равенство на връзката. 
и т.н.
Има безкрайно много такива решения.
Отговор:общо решение
Частни решения:
Пример 3(няма решения, системата е несъвместима):
Решете системата от уравнения:
Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата: 
Формулите на Cramer не могат да се използват. Нека решим тази система, използвайки метода на заместване 
Второто уравнение на системата е равенство, което не е вярно за никакви стойности на променливите (разбира се, тъй като -15 не е равно на 2). Ако едно от уравненията на системата не е вярно за никакви стойности на променливите, тогава цялата система няма решения.
Отговор:няма решения
